Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =

Transkrypt

1 Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o róŝnicy Oblicz objętość tego ostrosłupa Odp: V = 4,5 Zad : W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt dwuścienny wyznaczony przez płaszczyznę podstawy i płaszczyznę ściany bocznej ma miarę, a promień okręgu opisanego na podstawie wynosi R Oblicz objętość i pole całkowitej tego ostrosłupa ( ) R 1+ cos Odp: V = 8 R tg, P = cos Zad : W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę Odległość wierzchołka podstawy od krawędzi bocznej, do której ten wierzchołek nie naleŝy, jest równa d Oblicz objętość ostrosłupa Dla jakich wartości zadanie ma rozwiązanie? d cos + 1 Odp: V =, gdzie ( 0; π ) 6sin ( 1+ cos) Zad 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość, a pozostałe 4 Znajdź objętość tego ostrosłupa Odp: V = 4 11 Zad 5: Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości a Jedna ze ścian bocznych jest trójkątem równoramiennym o ramieniu długości 4a i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy a) Oblicz tangens kąta nachylenia najdłuŝszej krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa oraz środki tych dwóch krawędzi podstawy, które nie zawierają się w prostopadłej ścianie bocznej c) Oblicz cosinus kąta między przystającymi ścianami bocznymi Odp: a) tg = 5 ; b) P = 7 a ; c) cosγ = 7 4 Zad 6*: Dany jest czworościan foremny, którego krawędź ma długość a a) Oblicz stosunek objętości kuli opisanej na czworościanie do objętości kuli wpisanej w ten czworościan b) Oblicz odległość między krawędziami skośnymi danego czworościanu c) Udowodnij, Ŝe dla kaŝdego punktu leŝącego wewnątrz danego czworościanu suma odległości tego punktu od ścian tego czworościanu jest taka sama 17

2 Odp: a) 7; b) a Zad 7: Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe S, a kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną wyznaczoną przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa Odp: P S tg ctg = 1 Zad 8: Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny, w którym kąt przy podstawie ma miarę 60 Przekątna tego trapezu ma długość 6 cm i zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego Krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 Oblicz objętość tego ostrosłupa Odp: V = 18 Zad 9*: Ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie ABCD i wierzchołku S przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną DB podstawy i środek krawędzi CS Kąt nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny podstawy ma miarę, a pole otrzymanego przekroju jest równe 9 cm a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa b) Oblicz odległość wierzchołka C od płaszczyzny przekroju Odp: a) V = 6sin cos, P = 6cos ( tg ) = 6( cos + 1+ sin ) b) sin cos ; Zad 10: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem Odległość wierzchołka ostrosłupa od środka kuli wpisanej w ostrosłup jest równa d Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa 4d ( 1+ cos) 4d ( 1+ cos) Odp: V =, P = tg sin tg Zad 11: Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość h, a krawędź podstawy ma długość a W ostrosłup ten wpisano sześcian tak, Ŝe cztery jego wierzchołki naleŝą do krawędzi bocznych ostrosłupa, a cztery pozostałe naleŝą do płaszczyzny jego podstawy a) Znajdź stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu *b) Jak zmienia się stosunek objętości ostrosłupa do objętości sześcianu w zaleŝności od stosunku h a? Odp: a) ( a h) + h ; b) Oznaczmy x = a Wówczas rozwaŝany stosunek objętości brył moŝna ah ( 1+ x) opisać wzorem f( x) =, gdzie x (0; + ) Wynika stąd, Ŝe rozwaŝany stosunek x maleje od + do 1 18

3 Zad 1: (profil matematyczno-fizyczny) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę Przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę Znajdź tangens kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny podstawy ostrosłupa Odp: tgγ = ctg Zad 1: (profil matematyczno-fizyczny) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym promień okręgu opisanego na ścianie bocznej ma długość R Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę Oblicz objętość tego ostrosłupa Dla jakich wartości zadanie ma rozwiązanie? 8 π π Odp: V = R sin cos 4 sin 1, gdzie ( ; ) Zad 14: (profil matematyczno-fizyczny) Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym KaŜda z krawędzi bocznych jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β Oblicz stosunek objętości ostrosłupa do objętości opisanej na nim kuli Odp: sin sin tgβ β 4π Zad 15: (profil matematyczno-fizyczny) Ścianami czworościanu są dwa trójkąty równoboczne o boku długości a i dwa trójkąty prostokątne Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego czworościanu Odp: ( ) P = + 1 a, V = a 1 Zad 16: (profil matematyczno-fizyczny) Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość dm, pozostałe - 4 dm a) Oblicz objętość ostrosłupa b) Znajdź odległości wierzchołków tego ostrosłupa od przeciwległych ścian c) Oblicz cosinusy kątów dwuściennych w tym ostrosłupie Odp: a) V = 4 11 ; b) lub ; c) lub lub Zad 17: (profil matematyczno-fizyczny) Czworościan ma pięć jednakowych krawędzi i jedną dwukrotnie krótszą od pozostałych Oblicz stosunek promienia kuli opisanej na tym czworościanie do długości krótszej krawędzi Odp: Zad 18: (profil matematyczno-fizyczny) Kąt dwuścienny pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę, a krawędź boczna ma długość a Znajdź objętość tego ostrosłupa V = a ctg 1 ctg Odp: ( ) Zad 19: (profil matematyczno-fizyczny) Kąt dwuścienny między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę 10 Znajdź miary pozostałych kątów dwuściennych w tym ostrosłupie

4 Odp: 45 Zad 0: (profil matematyczno-fizyczny) Kąt dwuścienny między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy Dla jakich kątów zadanie ma rozwiązanie? π cosβ = cos, gdzie ; π Odp: ( ) Zad 1: (profil matematyczno-fizyczny) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę a) Znajdź cosinus kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa b) Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, Ŝe pole ściany bocznej jest równe S Odp: a) cosβ = ctg ; b) 4S V = tg ( ) S tg tg 1 4S π π = Sctg, gdzie ( 4 ; ) tg Zad : (profil matematyczno-fizyczny) Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe S, a kąt między wysokościami dwóch sąsiednich ścian bocznych, poprowadzonymi z wierzchołka ostrosłupa, ma miarę Oblicz objętość ostrosłupa Odp: V 4 = S S 6 sin cos Zad : Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość b Kąt między krawędzią boczną i podstawą ostrosłupa ma miarę, a kąt między ścianą boczną i podstawą ostrosłupa ma miarę β a) Oblicz objętość ostrosłupa dla = 60 i b = 4 b) Oblicz pole powierzchni bocznej dla b = 6 i cosβ = Odp: a) V = 6; b) P b = 7 5 Zad 4: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa jest równy, a pole ściany bocznej wynosi P Oblicz objętość ostrosłupa Odp: V = 1 P Ptg ( tg ) Zad 5*: Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a i jest dwa razy krótsza od krawędzi bocznej a) Oblicz pole powierzchni i objętość tego ostrosłupa b) Znajdź cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa Odp: a) ( + ) P = a, V = 1 a ; b) cos = Zad 6: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy 140

5 ma miarę Promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest równy R Oblicz objętość ostrosłupa Odp: V = 9 1 cos 8cos R Zad 7: Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 Pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź boczną i wysokość wynosi: a) 4, 5 cm ; b) 8 cm Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa oraz objętość kuli wpisanej w ten ostrosłup 4 64 Odp: a) V = 9 cm, P = 7 cm, VK = π cm ; b) V = cm, P = 48 cm, V π cm = 56 K 81 Zad 8: Krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego mają długość a i są parami prostopadłe Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa oraz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy Odp: V = a P = + 1 6, a, tg = Zad 9: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 4 dm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 0 Oblicz: a) objętość tego ostrosłupa; b) pole powierzchni całkowitej ostrosłupa; c) odległość środka podstawy ostrosłupa od ściany bocznej Odp: a) V = 16 dm ; b) P = 8( + 15) dm ; c) 15 dm 5 Zad 0: Odległość środka podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego od krawędzi bocznej jest równa 6 cm, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 0 Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa oraz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy 6 Odp: Pb = cm, tg = Zad 1: Podstawa i ściany boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają równe pola Oblicz sinus kąta, jaki tworzą przeciwległe krawędzie boczne tego ostrosłupa Odp: sin =

6 Zad : Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości a i kącie ostrym Krawędź boczna wychodząca z wierzchołka kąta ma długość b i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt β Oblicz objętość tego ostrosłupa Odp: V a bsin sin β = 1 Zad : W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość b i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt a) Oblicz objętość tego ostrosłupa *b) Przyjmij b = 10, = 60 i oblicz cosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa c) Oblicz promień okręgu opisanego na ścianie bocznej ostrosłupa Odp: a) V = 1 b b sin cos ; b) cosγ = 1 7 ; c) 1+ sin ( ) Zad 4: Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa H, a kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę a) Znajdź pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa b) Wykonaj obliczenia dla H = + i = 0 *c) Oblicz stosunek objętości kuli opisanej na ostrosłupie do objętości kuli wpisanej w ten ostrosłup H tg Odp: a) P = 4 b 1 tg ( ) ; b) P = 4 ; c) 1+ tg b 8tg ( 1 tg ) Zad 5: Przekrój ostrosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o polu P Oblicz objętość tego ostrosłupa Odp: V = 9 P P Zad 6: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a, a kąt między przeciwległymi ścianami bocznymi ma miarę Oblicz objętość kuli wpisanej w ten ostrosłup πa cos Odp: V = 6 1+ sin Zad 7: a) W sześcianie o krawędzi długości a połączono wszystkie wierzchołki dolnej podstawy z jednym z wierzchołków podstawy górnej Oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanego w ten sposób ostrosłupa *b) Oblicz miarę kąta między tymi ścianami bocznymi ostrosłupa, które nie są prostopadłe do płaszczyzny podstawy Odp: a) P = ( + ) a ; b) ACB = 10 14

7 Zad 8*: Ostrosłup przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i dzielącą wysokość ostrosłupa w stosunku m : n a) Oblicz stosunek objętości otrzymanych brył b) Znajdź taką wartość stosunku m : n, aby stosunek objętości otrzymanych brył wynosił 1 : 7 m Odp: a) ( m n ) ; b) m : n = 1 : 1 + m Zad 9: (profil podstawowy, matematyczno-fizyczny) Krawędź sześcianu ma długość a Jedną z krawędzi bocznych sześcianu przedłuŝono o odcinek długości a i koniec tego odcinka połączono z wierzchołkami dolnej podstawy Powierzchnia powstałego ostrosłupa o wysokości a wycina z sześcianu ostrosłup ścięty Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa ściętego (profil matematyczno-fizyczny) Oblicz cosinus kąta między tymi ścianami bocznymi ostrosłupa, które nie są prostopadłe do płaszczyzny podstawy Odp: P = c a, V = 7 a, cos = 10 9 Zad 40: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny pod- stawy pod kątem, którego tangens jest równy Wiedząc, Ŝe krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a, oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa + Odp: V = 4 a, Pc = a 4 Zad 41: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe S, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę Ostrosłup przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i przechodzącą przez środek rozłącznej z nią krawędzi podstawy Oblicz pole otrzymanego przekroju Odp: P = 5 4 cos 8cos S Zad 4: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a, a krawędź boczna 4a Przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa przeprowadzono płaszczyznę a) Oblicz pole otrzymanego przekroju oraz tangens kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy ostrosłupa b) Zbadaj, czy kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne ma miarę większą od π 5 5 Odp: a) P = a, tg = 1 ; b) RozwaŜany kąt ma miarę większą od π 8 Zad 4*: Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość a Przez krawędź 14

8 podstawy poprowadzono płaszczyznę, która dzieli na połowy kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa a) Oblicz pole przekroju ostrosłupa tą płaszczyzną b) Dla = 60 oblicz stosunek objętości brył, na jakie ta płaszczyzna dzieli ostrosłup sin cos Odp: a) P = a ; b) 5 sin Zad 44: Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o objętości V Kąt dwuścienny przy podstawie ostrosłupa ma miarę W ostrosłup ten wpisano kulę, a następnie przez jej środek poprowadzono płaszczyznę równoległą do podstawy ostrosłupa Znajdź objętość otrzymanego ostrosłupa ściętego V Odp: ( 1 ) + cos Zad 45: (profil matematyczno-fizyczny) Dany jest ostrosłup prawidłowy n-kątny o objętości V Kąt dwuścienny przy podstawie ostrosłupa ma miarę W ostrosłup ten wpisano kulę, a następnie przez jej środek poprowadzono płaszczyznę równoległą do podstawy ostrosłupa Znajdź objętość ostrosłupa odciętego do danego 1 Odp: V' = V 1+ cos Zad 46: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 6, a kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych, wychodzącymi z wierzchołka ostrosłupa, ma miarę 60 Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa Odp: V = 88, P = 144( 1+ ) Zad 47: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 60 Wysokość ostrosłupa ma długość 4 a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa b) Oblicz miarę kąta między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa *c) Dany ostrosłup podzielono na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez dwa przeciwległe wierzchołki podstawy i prostopadłą do jednej z krawędzi bocznych WykaŜ, Ŝe objętość jednej części jest trzy razy większa od objętości drugiej części 18 Odp: a) V = P = ( 1+ ), ; b) 90 Zad 48: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość d, a pole powierzchni bocznej jest 8 razy większe od pola podstawy a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa b) Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy oraz cosinus kąta β nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy Porównaj miary tych kątów bez korzystania z tablic matematycznych i kalkulatora 144

9 Odp: a) V = d, P = d ; b) cos =, cosβ = , > β ( 8 48, β ) Zad 49: Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku a Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a najdłuŝsza krawędź tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa Odp: V = a tg P = a ( + tg + + tg ) 1 1, Zad 50: Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat o boku a Krawędź SD jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ostrosłupa, a krawędź AS tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa 1 1 a Odp: V = a tg, P = a 1+ tg + = ( cos + sin + 1) cos cos 145