Slope stability Stateczność zboczy Limit Equilibrium Methods Metody Równowagi Granicznej

Transkrypt

1 Slope stablty Stateczność zboczy Lmt Equlbrum Methods Metody Równowag Grancznej Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty przyczyny utraty statecznośc Analza statecznośc skarp zboczy, zarówno naturalnych jak powstałych w wynku dzałalnośc człoweka, jest jednym z najwaŝnejszych zadań geomechank geotechnk. Problematyka ta szczególne stotna jest w górnctwe odkrywkowym, gdze wykonuje sę wykopy o olbrzymch, gdze ndzej ne spotykanych głębokoścach nasypy (zwały) o olbrzymch wysokoścach. Zagadnene statecznośc od dawna stanow przedmot zanteresowań welu badaczy. Perwsze naukowe prace z tej dzedzny pojawły sę w XVIII weku, a ch autorem był Coulomb (777). Gwałtowny rozwój metod analzy statecznośc obserwuje sę na początku XX weku, kedy to opracowano fundamentalne do dzś stosowane metody analzy (Petterson 96, Fellenus 97, Terzagh 95) oraz w latach 50-tych 60-tych (Masłow 949, Taylor Bshop 954, Janbu 956, Nonveller 965, Morgenstern Prce 963, Spencer 967). Pommo tak lcznych badań do chwl dzsejszej ne udało sę stworzyć teor w sposób pełny jednoznaczny rozwązującej problematykę statecznośc. Przyczyną takego stanu rzeczy jest duŝa lczba czynnków wpływających na warunk statecznośc oraz trudnośc w określanu stanu napręŝena, odkształcena przemeszczena dla skarpy Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

2 Slope Stablty przyczyny utraty statecznośc Przyczyny powodujące utratę statecznośc skarp zboczy są bardzo skomplkowane. Najogólnej mówąc, są nm sły cęŝkośc wywołane przycąganem zemskm nnych cał nebeskch, oraz wywołane nm napręŝena. Na rozkład napręŝeń w masywe gruntowym wpływ ma szereg dodatkowych czynnków, których nawet dokładne określene jest nemoŝlwe NajwaŜnejsze z tych czynnków to: kształt wymary skarpy budowa geologczna, a szczególne stnene necągłośc w postac powerzchn kontaktowych powerzchn zaburzeń tektoncznych woda, powodująca obnŝene wytrzymałośc gruntów oraz przejawająca sę dzałanem cśnena hydrostatycznego spływowego obcąŝena dynamczne, wywołane ruchem pojazdów pracą maszyn, robotam strzałowym, trzęsenam Zem t.p., warunk atmosferyczne wpływy chemczne bologczne Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty metody analzy statecznośc Metody, których celem jest określene geometr (kształtu proflu) skarpy statecznej, jeŝel znana jest jej budowa geologczna własnośc gruntów. Do tej grupy zalczyć moŝna metody bazujące na teor stanów grancznych (metoda Sokołowskego, metoda Sokołowskego-Senkowa) oraz metody empryczne (metoda Masłowa Fp). Metody, których zadanem jest ocena, czy skarpa (zbocze) o zadanej budowe geologcznej geometr jest stateczna. Metody tej grupy noszą równeŝ nazwę metod równowag grancznej. Zakłada sę w nch znajomość kształtu połoŝena powerzchn poślzgu, wzdłuŝ której spełnone są warunk stanu grancznego Coulomba-Mohra. Marą statecznośc jest wskaźnk statecznośc, defnowany jako stosunek sł utrzymujących równowagę do sł zmerzających do destrukcj. Metody te najczęścej stosują podzał potencjalnej bryły osuwskowej na pask (blok) o ścankach ponowych, na których przyłoŝone są sły styczne normalne. Ze względu na statyczną newyznaczalność zadana, poszczególne metody tej grupy przyjmują róŝne załoŝena, dotyczące rozkładu sł pomędzy paskam, oraz warunków równowag gwarantujących stateczność. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

3 Slope Stablty metody analzy statecznośc Metody numeryczne: Metoda RóŜnc Skończonych (FLAC,FLAC3D) Metoda Elementów Skończonych (NASTRAN, ABAQUS, COSMOS/M, Z_SOIL) Metoda Elementów Brzegowych (BEASY) Metody meszane - hybrydowe Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty metody analzy statecznośc Metody analzy statecznośc zboczy Określane kształtu proflu statecznego Określane grancznego obcąŝena nazomu skarpy Sprawdzane statecznośc zboczy Teora stanów grancznych Metody empryczne Teora stanów grancznych Metody numeryczne Metody numeryczne Metody równowag grancznej płaska powerzchna poślzgu walcowa powerzchna poślzgu łamana powerzchna poślzgu dowolna powerzchna poślzgu Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 3

4 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Metoda Masłowa Fp, zwana równeŝ metodą jednakowej statecznośc słuŝy do wyznaczana kształtu proflu zboczy statecznych. Została ona opracowana w oparcu o wynk obserwacj procesów osuwskowych zachodzących główne na zboczach rzek Wołg. Obserwacje te wykazały, Ŝe: w wynku naturalnych procesów osuwskowych w gruntach spostych tworzy sę krzywolnowy profl zbocza, który gwarantuje zachowane stanu równowag, generalne nachylene tego proflu jest ścśle zwązane z wytrzymałoścą gruntów na ścnane, Ŝe krzywzna proflu jest najwększa w górnych partach skarpy maleje prawe do zera w marę oddalana sę od nazomu, gdze profl staje sę prostolnowy, nachylony do pozomu pod kątem tarca wewnętrznego gruntu. Na tej podstawe Masłow sformułował hpotezę, zgodne z którą nachylene zbocza w stane równowag grancznej, w punkce odległym od nazomu o z równe jest kątow oporu ścnana gruntu na tej samej głębokośc. Hpoteza ta budz szereg wątplwośc natury teoretycznej dlatego teŝ naleŝy ją traktować jako metodę empryczną, przydatną do nŝynerskej analzy statecznośc skarp zboczy. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Wartość kąta oporu ścnana określć moŝna w oparcu o wytęŝenową hpotezę Coulomba-Mohra na podstawe wzoru: f c tgψ τ tgϕ + σ σ ψ - kat oporu ścnana, ϕ - kąt tarca wewnętrznego, c - spójność, τ - opór ścnana (napręŝene styczne w płaszczyźne ścęca), σ - napręŝene normalne do płaszczyzny ścęca. Interpretację geometryczną kąta oporu ścnana (kąta wytrzymałośc na ścnane) przedstawono na rysunku. τ ψ Interpretacja kąta oporu ścnana φ σ Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 4

5 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Zgodne z hpotezą Masłowa, kąt nachylena skarpy w stane grancznym, w danym punkce jej proflu, określć moŝna ze wzoru: c tgα tgψ tgϕ + σ Masłow przyjął, Ŝe wartość napręŝeń normalnych σ równa jest perwotnym napręŝenom ponowym, jake panują w grunce na głębokośc równej odległośc rozpatrywanego punktu od nazomu, powększonej o wartość równomernego obcąŝena nazomu skarpy: σ γz + p 0 γ - cęŝar objętoścowy gruntu, z - odległość rozpatrywanego punktu od nazomu, p 0 - obcąŝene nazomu. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego W zwązku z tym wzór Masłowa przyjme postać: c tgα tgψ tgϕ + γz p + 0 Wyznaczane proflu statecznego zgodne z metodą Masłowa polega na określanu wartośc kąta α z powyŝszego wzoru dla róŝnych wartośc z. Na tej podstawe wykreślć moŝna kształt proflu skarpy statecznej. W grunce uwarstwonym kaŝdą warstwę naleŝy podzelć na j warstewek o jednakowej grubośc w obrębe warstwy. Kąt nachylena skarpy w warstewce,j moŝna oblczyć ze wzoru: tgα tgψ tgϕ + j j c γ z j + p 0 α j - kąt nachylena skarpy w warstewce j w warstwe, ψ j - kąt oporu ścnana na pozome spągu warstewk j w warstwe, ϕ,c - parametry oporu ścnana w warstwe, γ -średn cęŝar objętoścowy warstwy, z j - odległość spągu warstewk j w warstwe od nazomu. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 5

6 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Wyznaczane kształtu proflu skarpy w ośrodku jednorodnym x 0 α 3 0 α 3 0 α z Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Wyznaczane kształtu proflu skarpy w ośrodku nejednorodnym P 0 x φ,g c, h φ,g c, h Z -,j z j φ,g c, h z Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 6

7 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Dla ośrodka jednorodnego, moŝlwe jest uzyskane wzoru analtycznego, określającego równane proflu skarpy. W tym celu przyjmuje sę układ współrzędnych w tak sposób, aby jego początek pokrywał sę z górną krawędzą skarpy x H 90 c tg(45+φ/)/g x 0 z 0 α zf(x) 3 0 z Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Równane Masłowa moŝna przedstawć w postac: dz x c tg α ( ) tg tg dx ψ ϕ + γz + p 0 W celu rozwązana równana róŝnczkowego rozdzelamy zmenne w wynku tego dzałana otrzymujemy: ( γz + p0) ( 0) dz dx tgϕ γz + p + c Po scałkowanu wyraŝena otrzymuje sę: c z [ tg ( z p0 ) c] x D tgϕ ϕ γ + + γtgϕ ln + Stałą całkowana D znajdujemy z warunków grancznych: dla z 0 x 0, c D ln + 0 γtg ϕ ( p tgϕ c) Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 7

8 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Po podstawenu stałej otrzymuje sę ostateczną postać wzoru na określane kształtu proflu skarpy: x { ztg + c ( p tg + c) c [( z + p ) tg + c 0 0 ]} γtg ϕ γ ϕ ln ϕ ln γ ϕ W przypadku, gdy nazom jest neobcąŝony (p o 0), wzór określający kształt proflu skarpy ma postać: x + + γtg ϕ γ ϕ γ ϕ { ztg c ln c c ln [ ztg c] } Dla gruntów dealne sypkch (c0): tgα tgϕ Wynka stąd, Ŝe neobcąŝona skarpa wykonana z gruntów sypkch nachylona jest pod stałym kątem, równym kątow tarca wewnętrznego. Jest to zgodne z obserwacjam nnym rozwaŝanam teoretycznym. Dla gruntów dealne spostych (ϕ 0), róŝnczkowe równane kształtu proflu ma postać: dz c tgα dx γz + p Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Całkując powyŝsze równane róŝnczkowe, oraz uwzględnając warunk brzegowe: dla z 0, x 0 D 0, otrzymujemy następujący wzór na kształt proflu skarpy statecznej: Z równań tych wynka, Ŝe dla górotworu z p x γ c + 0 c z zbudowanego z gruntów dealne spostych, stateczna skarpa ma kształt parabol. Z rozwaŝań teoretycznych oraz obserwacj wynka, Ŝe profl a dla nazomu neobcąŝonego: z x γ skarpy określony na podstawe metody Masłowa dla gruntów spostych charakteryzuje pewen nadmar statecznośc. c Dlatego teŝ nekedy postuluje sę, aby skarpę zaprojektowaną z zastosowanem metody Masłowa podwyŝszyć o odcnek skarpy ponowej o wysokośc: H 90 c ϕ 45 + γ tg Pommo szeregu wątplwośc natury teoretycznej metoda Masłowa Fp dobrze opsuje geometrę skarp statecznych, szczególne wówczas, gdy spójność gruntu wynka ze stanu wodno-kolodalnego a ne z cech strukturalnych gruntu. Skarpy zaprojektowane wg tej metody cechuje z reguły pewen nadmar statecznośc, w zwązku z tym jej stosowane jest dość bezpeczne. Wadą metody Masłowa jest nemoŝlwość uwzględnena wpływu powerzchn necągłośc (powerzchn kontaktu warstw, necągłośc tektoncznych t.p) na warunk statecznośc. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 8

9 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Wyznaczyć profl stateczny za pomocą metody Masłowa dla następujących danych: wysokość zbocza 0 m; cęŝar objętoścowy gruntu 0 kn/m 3 ; obcąŝene nazomu 0 kn/mb; kąt tarca wewnętrznego gruntu 0 0 ; kohezja 50 kpa. z α x Głębokość z, m c ϕ H 90 tg m γ Odległość x, m Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Metoda Sokołowskego bazuje na rozwązanach teor równowag grancznej. W teor tej zakłada sę, Ŝe w kaŝdym punkce ośrodka spełnone są równana równowag wewnętrznej cała dla zadana płaskego, w postac: σ x τ xz + X x z σ z τ xz + Y z x W równanach tych występują trzy newadome składowe tensora napręŝeń w płaskm stane napręŝena. Dla rozwązana zadana o rozkładze napręŝeń w ośrodku przy zadanych warunkach brzegowych, koneczne jest sformułowane trzecego równana, zwanego równanem stanu lub równanem konstytutywnym ośrodka. W teor stanów grancznych zakłada sę, Ŝe równanem tym jest warunek stanu grancznego wytęŝenowej hpotezy Coulomba-Mohra, w postac: ( σ x σ y ) + 4τ xy ( σ x + σ y + c ctgϕ) sn ϕ Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 9

10 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Zakłada sę przy tym, Ŝe grunt jest całem sztywno-plastycznym, jednorodnym zotropowym, w którym parametry hpotezy Coulomba-Mohra są stałe w rozpatrywanym obszarze ne zaleŝą od współrzędnych. Rozwązując układ równań dla danych warunków brzegowych moŝna uzyskać szereg rozwązań praktycznych, główne z dzedzny nośnośc podłoŝa statecznośc skarp. Zastosowanem teor stanów grancznych do rozwązywana problemów statecznośc skarp zajmował sę Sokołowsk (94), który zastosował metodę charakterystyk całkowana układu. W tym celu wprowadzł on dwe nowe zmenne wąŝące ze sobą składowe tensora napręŝeń, a manowce: odległość środka grancznego koła Mohra od punktu przecęca prostej grancznej hpotezy Coulomba-Mohra z osą napręŝeń normalnych: p c ctgϕ + σ + σ 3 psnϕ ( σ σ 3) ( ) kąt utworzony przez maksymalne napręŝene główne z osą ponową. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Zgodne z hpotezą Coulomba-Mohra powerzchne poślzgu tworzą z kerunkem maksymalnego napręŝena głównego kąt: ω π ϕ 4 (a) y (b) τ σ 3 θ ω ω σ φ c p k σ 3 σ M τ M σ x σ Ilustracja grafczna załoŝeń teor stanów grancznych a - kerunk napręŝeń głównych oraz ln poślzgu, b - konstrukcja koła Mohra Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 0

11 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego W zwązku z tym kąty utworzone przez powerzchne poślzgu z osą ponową wynosć będą: θ π + ϕ θ ϖ 4 oraz: θ + π ϕ θ + ϖ 4 Wykorzystując zwązk pomędzy napręŝenam głównym a składowym tensora napręŝeń w postac: σ + σ σ σ 3 3 σ x + cosθ σ + σ 3 σ σ 3 σ y cosθ σ σ 3 τ xy sn θ otrzymuje sę: ( sn cos ) ( sn cos ) σ x p + ϕ θ pk σ y p ϕ θ pk τ xy psnϕ snθ Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego RóŜnczkując te równana podstawając uzyskane zwązk do równań równowag wewnętrznej otrzymuje sę następujący układ równań róŝnczkowych: p ϕ θ ( θ ϖ ) p + ptg + tg + + ptgϕtg( θ + ϖ ) θ x x y y ( θ ϖ ) Y cos( θ ϖ ) ϕ cos( θ ϖ ) X sn cos p ϕ θ ( θ ϖ ) p ptg + tg ptgϕtg( θ ϖ ) θ x x y y X sn ( θ + ϖ ) Y cos( θ + ϖ ) cosϕ cos( θ ϖ ) PowyŜszy układ równań, w którym newadomym są welkośc p θ, stanow układ cząstkowych równań róŝnczkowych qas-lnowych, typu hperbolcznego. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

12 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Sokołowsk rozpatrywał on dwa podstawowe zagadnena. Perwsze z nch dotyczyło określena maksymalnego, grancznego obcąŝena nazomu skarpy o danym kące nachylena, a druge określena geometr skarpy, gwarantującej zachowane statecznośc. Zgodne z rozwązanem Sokołowskego, granczną wartość obcąŝena nazomu skarpy w punkce A pokrywającym sę z jej górną krawędzą oblczyć moŝna ze wzoru: sn p max c + ϕ ctg [( A ) tg ] sn exp ϕ π θ ϕ ϕ gdze: p max - maksymalne obcąŝene skarpy w rejone górnej krawędz, c,ϕ - parametry oporu ścnana gruntów, θ A - kąt nachylena skarpy w punkce A. Schemat wyznaczana nośnośc skarpy Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk p(y) A θ A x y Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Rozwązane zadana dotyczącego określana kształtu proflu skarpy statecznej jest znaczne trudnejsze z matematycznego punktu wdzena. Do chwl obecnej udało sę rozwązać to zadane jedyne dla gruntów dealne spostych (ϕ 0). Wzór na kształt proflu skarpy statecznej ma wówczas postać: p0 cos c c y ln γ p0 γ c c z cos gdze: p 0 - obcąŝene górnej krawędz skarpy oblczane ze wzoru: p 0 c γ Kształt proflu skarpy dla przypadku gdy ϕ jest róŝne od zera moŝna określać z nomogramów sporządzonych przez Muchna Sargowczową, na podstawe całkowana numerycznego równań teor stanów grancznych, przeprowadzonego zgodne z metodą zaproponowaną przez Sokołowskego. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

13 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Krzywe, dla róŝnych wartośc kąta tarca wewnętrznego, zostały sporządzone w układze współrzędnych bezwymarowych, przy załoŝenu, Ŝe c γ. Dla określena współrzędnych rzeczywstych statecznego proflu skarpy, wartośc określone z nomogramu naleŝy pomnoŝyć przez loraz spójnośc cęŝaru objętoścowego zgodne z ponŝszym wzoram: x x c Hc/γtg(45+ϕ/) y γ y y c γ x, y - odczytane z wykresu współrzędne skarpy statecznej w układze współrzędnych bezwymarowych, x,y - współrzędne rzeczywste proflu statecznego Nomogram do określana kształtu proflu skarp statecznych Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk ϕ0 0 ϕ5 0 ϕ0 0 ϕ5 0 ϕ5 0 ϕ30 0 ϕ35 0 ϕ40 0 ϕ45 0 x Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego Zaprojektowane wg podanej metody zbocze moŝna obcąŝyć do wartośc: cosϕ p0 c c tg ϕ 45 + snϕ lub usypać na nm warstwę gruntu o wysokośc wzoru: p c c h 0 cosϕ ϕ tg 45 + γ γ snϕ γ Analzując kształt zboczy statecznych, uzyskanych z zastosowana teor równowag grancznej Sokołowskego, Senkow (950) udowodnł, Ŝe moŝna je opsać zaleŝnoścą funkcyjną. Dlatego teŝ opsana nŝej metoda nos nazwę metody Sokołowskego-Senkowa. Zgodne z metodą tą kształt proflu statecznego opsuje równane: ( m) m z ( m) + + α π exp exp( 5 ) exp +... ytg ϕ α - współczynnk zaleŝny od własnośc gruntów, określany z wzoru: c + snϕ α γ snϕ Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 3

14 Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego z y hc/γtg(45+ϕ/) θ 0 Schemat oblczenowy do metody Sokołowskego-Senkowa Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, określane kształtu proflu statecznego m - współczynnk określany ze wzoru: m y α Analza wzoru wykazuje, Ŝe wyrazy sumy bardzo szybko maleją do zera, w marę wzrostu współrzędnej y. Dlatego teŝ, z wystarczającą do celów praktycznych dokładnoścą moŝna stosować wzór uproszczony, w którym uwzględna sę jedyne perwszy składnk sumy: z α π ytg m ϕ exp( ) Zaprojektowane wg podanej metody zbocze znajdujące sę w stane równowag grancznej będze mogło wytrzymać obcąŝene nazomu o wartośc: cosϕ ϕ p0 c c tg 45 + snϕ Rozpatrując obcąŝene jako cęŝar warstwy gruntu, jej wysokość moŝna określć ze wzoru: p c c h 0 cosϕ ϕ tg 45 + γ γ snϕ γ Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 4

15 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Główne załoŝena tych Metod Równowag Grancznej są następujące: Znany jest kształt połoŝene powerzchn poślzgu. W praktyce przyjmuje sę najczęścej, Ŝe powerzchna poślzgu ma kształt ln prostej, wycnka okręgu, spral logarytmcznej, dowolnej krzywej lub ln łamanej. WzdłuŜ powerzchn poślzgu spełnone są warunk stanu grancznego. Dla określena stanu grancznego stosuje sę najczęścej wytęŝenową hpotezę Coulomba-Mohra. W przypadku róŝnej od prostolnowej powerzchn poślzgu potencjalną bryłę osuwskową dzel sę na blok (pask) o ścankach ponowych, zgodne z metodą zaproponowana przez Pettersona (96 r). Na boczne powerzchne pasków dzałają sły wzajemnego oddzaływana, których charakter jest odmenny w róŝnych metodach. Marą statecznośc zbocza jest wskaźnk statecznośc, który perwotne defnowany był jako loraz sł utrzymujących zsuwających: F F u z Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods gdze: - wskaźnk statecznośc, F u - sły utrzymujące równowagę, F z - sły zsuwające, Wskaźnk statecznośc moŝna równeŝ wyrazć jako loraz zmoblzowanych napręŝeń stycznych zwązanych z wytrzymałoścą na ścnane ośrodka oraz napręŝeńścnających wywołanych przez sły cęŝkośc oraz nne oddzaływana występujące w masywe: τ f c + σtgϕ τ d τ d gdze: τ f - maksymalny opór ścnana gruntów, określany w oparcu o hpotezę Coulomba-Mohra, τ d - napręŝene ścnające, c - spójność, φ - kąt tarca wewnętrznego, σ - napręŝene normalne wzdłuŝ powerzchn poślzgu Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 5

16 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Przy takm zdefnowanu wskaźnka statecznośc, spełnony jest zwązek: σtgϕ τ d + c Wzór ten określa róŝnce pomędzy napręŝenam stnejącym w masywe a jego wytrzymałoścą. Przyjmowana najczęścej jednakowa wartość wskaźnka statecznośc dla spójnośc kąta tarca wewnętrznego budz powaŝne wątplwośc. Nekedy postuluje sę, aby przyjmować róŝne, określane na podstawe statystycznej analzy wynków badań wytrzymałoścowych, wartośc dla spójnośc kąta tarca wewnętrznego. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods b (a) c/η Rozkład sł dzałających na blok w metodach równowag grancznej E+ X+ W X E T/η N ϕ R E W X a) w napręŝenach całkowtych, b) w napręŝenach efektywnych (z uwzględnenem fltracj) α (b) T b W X N E h T/η c/η W X+ R hw E+ N U X N E α T U Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 6

17 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Zgodne z powyŝszym załoŝenam na pojedynczy blok wyodrębnony z masywu dzała układ sł, których rozkład lustruje rysunek. Przyjęto na nm następujące oznaczena: b - szerokość bloku, h - wysokość bloku, α - kąt nachylena do pozomu bloku, L - długość podstawy bloku, W - cęŝar bloku, N - wartość reakcj normalnej w podstawe bloku, E,E + - składowe pozome sł oddzaływana pomędzy blokam, X,X + - składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy blokam, T - zmoblzowana sła oporu ścnana w podstawe bloku, U - sła parca wody na podstawę bloku, Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Przyjmując, Ŝe potencjalna bryła została podzelona na n bloków, lczba newadomych, które naleŝy określć dla sprawdzena jej statecznośc jest następująca: lczba reakcj normalnych N w podstawe bloków - n, lczba punktów przyłoŝena sł normalnych do podstawy bloków - n, lczba sł normalnych E na bokach pasków - n-, lczba punktów przyłoŝena tych sł - n-, lczba sł stycznych do bocznych powerzchn bloków - n-, lczba sł stycznych w podstawe bloków - n, wskaźnk statecznośc -. Sumując powyŝsze wartośc moŝna węc stwerdzć, Ŝe całkowta lczba newadomych wynos 6n-. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 7

18 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Do rozwązana zadana dysponujemy następującą lczbę równań: suma sł na kerunek pozomy - n, suma sł na kerunek ponowy - n, suma momentów - n, warunek stanu grancznego - n. Całkowta lczba równań jest węc równa 4n. MoŜna węc stwerdzć, Ŝe zadane jest welokrotne statyczne newyznaczalne (lczba newadomych o n- przekracza lczbę równań równowag). Z tego względu koneczne jest przyjmowane dodatkowych załoŝeń, dotyczących główne rozkładu sł pomędzy blokam oraz warunków równowag, których spełnene gwarantuje zachowane statecznośc. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Stateczność zbocza o neogranczonej długośc bez fltracj Z analzą statecznośc zboczy o neskończonej długośc mamy do czynena najczęścej wówczas, gdy na mocnejszym podłoŝu o newelkm nachylenu zalega warstwa materału o nŝszych wartoścach parametrów wytrzymałoścowych. Z duŝa dozą prawdopodobeństwa moŝna wówczas przyjąć, Ŝe poślzg nastąp po powerzchn kontaktu gruntów słabych mocnejszego podłoŝa. W górnctwe podobna sytuacja występuje przy powększanu starych, skonsoldowanych zwałów, podczas sypana na stok. Analza statecznośc w takm przypadku ograncza sę do paska o ogranczonej szerokośc, na który dzałają sły jak na rysunku. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 8

19 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods L W F H W T F W N β T R N Schemat oblczenowy analzy statecznośc neskończonego zbocza bez fltracj Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Na rysunku przyjęto następujące oznaczena: W - cęŝar bloku: W γlh W N - składowa normalna sły cęŝkośc: W W cos β γ LH cos β N W T - składowa styczna sły cęŝkośc, która jest słą zsuwającą (zmerzającą do naruszena stanu równowag): W W sn β γ LH sn β T F - sły oddzaływana pomędzy blokam. Zakłada sę, Ŝe sły te są równoległe do powerzchn skarpy są sobe równe. ZałoŜene take jest usprawedlwone, ponewaŝ ruch mas osuwskowych jest ruchem postępowym. N - reakcja normalna. Z warunku rzutów na kerunek normalnej do podstawy otrzymujemy: N WN γlh cos β T - sły oporu ścnana, określane w oparcu o hpotezę wytrzymałoścową Coulomba-Mohra: τ f σtgϕ + c Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 9

20 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Po podstawenu wyŝej zdefnowanych welkośc otrzymuje sę: L L L T τ f Ntgϕ + c LH tg + c cos β cos β γ cos β ϕ cos β Z przedstawonej wyŝej defncj wskaźnka statecznośc wynka, Ŝe: F F u z T W T γlh cos βtgϕ + cl γh cos βtgϕ + c tgϕ c + γlh sn β cos β γh cos βtgβ tgβ γh cos Ostateczne wzór na wartość wskaźnka statecznośc zbocza o neskończonej długośc bez uwzględnena fltracj przyjme postać: tgϕ c + tgβ γh cos βtgβ Na podstawe powyŝszego wzoru oblczyć moŝna granczną wysokość zsuwającej sę warstwy w stane grancznym. Przyjmując, Ŝe.0 otrzymamy: c H H kr Wzór ma sens, jeŝel cos tg tg spełnony jest warunek: β > ϕ ( ) γ β β ϕ βtgβ Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Lne przepływu L F W T h w F W W N H Lne ekwpotencjalne T N b R N U Stateczność zbocza o neskończonej długośc z uwzględnenem fltracj Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 0

21 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk

22 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Przyjęto na nm następujące oznaczena: W - cęŝar bloku: W γ sr LH gdze: L - szerokość bloku H - grubość zsuwającej sę warstwy, γ sr - cęŝar objętoścowy gruntu całkowce nasączonego wodą, W N - składowa normalna sły cęŝkośc: gdze: N β - kąt nachylena zbocza, W W cos β γ LH cos β sr W T - składowa styczna sły cęŝkośc, która jest słą zsuwającą (zmerzającą do naruszena stanu równowag): W W sn β γ LH sn β T sr F - sły oddzaływana pomędzy blokam. Zakłada sę, Ŝe sły te są równoległe do powerzchn skarpy są sobe równe, N - reakcja normalna w podstawe bloku: N W γ LH cos β N sr Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods T - sły oporu ścnana, określane w oparcu o hpotezę wytrzymałoścową Coulomba-Mohra:,, gdze: τ ( σ u) tgϕ + c f u - cśnene porowe: u γ h γ H cos β Uwzględnając, Ŝe: w w w ( ) N N U LH u L γ sr cos β LH cos β γ sr γ w LH cos βγ cos β otrzymujemy: L L L T τ f N tgϕ + c LH tg + c cos β cosβ γ cos β ϕ cos β Fu T γ LH cos βtgϕ + c L γ H cos βtgϕ + c F W γ LH sn β cos β γ H cos βtgβ γ tgϕ c + γ tgβ γ H cos βtgβ sr z sr T sr Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk sr

23 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Ostateczne wzór na wartość wskaźnka statecznośc dla zbocza neskończene długego, przy załoŝenu, Ŝe przez całą, potencjalne zsuwającą sę warstwę przepływa woda, przyjmuje postać: γ γ sr tgϕ c + tgβ γ H cos sr βtgβ gdze: γ - cęŝar objętoścowy gruntu z uwzględnenem wyporu wody, ϕ,c - efektywne wartośc parametrów wytrzymałoścowych Dla gruntów dealne sypkch (c0) wzór przyjmuje postać: γ tgϕ γ tgβ Na podstawe wzoru na wartość wskaźnka statecznośc oblczyć moŝna granczną wysokość zsuwającej sę warstwy. Przyjmując, Ŝe.0 otrzymamy: c H Hkr cos β γ β γ ϕ ( srtg tg ) Wzór ma sens, jeŝel spełnony jest warunek: γ tgβ > tgϕ γ Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk sr sr Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Analza statecznośc przy załoŝenu płaskej powerzchn poślzgu (metoda Cullmana 875 r) B C W T W W N H T N A β ϖ R Schemat oblczenowy metody Cullmana Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 3

24 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods W metodze tej zakłada sę, Ŝe powerzchna poślzgu ma kształt płaszczyzny przechodzącej przez dolną krawędź skarpy. MoŜe być ona stosowana do analzy statecznośc skarp stromych, w których przebeg powerzchn poślzgu uwarunkowany jest naturalnym defektam strukturalnym występującym w górotworze, takm jak powerzchne kontaktu warstw, necągłośc tektonczne, powerzchne spękań, zlustrowań t.p. γ ( ) W - cęŝar klna ABC: W H( BC) gdze: γ - cęŝar objętoścowy, H - wysokość skarpy, ( BC) - długość odcnka BC, () - jednostkowa długość w kerunku prostopadłym do rozpatrywanej płaszczyzny. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Uwzględnając, Ŝe: sn( β ϖ ) ( BC) Hctgϖ Hctgβ H sn β snω cęŝar bloku ABC oblczyć moŝna ze wzoru: ( β ϖ ) sn W γh sn β snϖ W N - składowa normalna sły cęŝkośc: ( β ϖ ) W W sn cosω γh N cosϖ sn β snϖ W T - składowa styczna sły cęŝkośc (sła zsuwająca): ( β ϖ ) sn WT W snω γh snϖ sn β snϖ N - reakcja normalna do powerzchn poślzgu: Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 4

25 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods sn( β ϖ ) N WN γh cosϖ sn β snϖ T - sły oporu ścnana, określane w oparcu o hpotezę wytrzymałoścową Coulomba-Mohra: τ σtgϕ + c f ( ) ϕ ( ) T τ AC Ntg + c AC f Uwzględnając, Ŝe: ( AC) H snω otrzymujemy: ( β ϖ ) T H tg c H sn γ cosϖ ϕ + sn β snϖ snϖ ( β ϖ ) H sn γh cosϖ snϖtgϕ + c snϖ sn β snϖ Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Z defncj wskaźnka statecznośc wynka, Ŝe: F F u z T W T tgϕ c sn β + tgϖ γh snϖ sn ( β ϖ ) Z przedstawonego wzoru wynka, Ŝe wskaźnk statecznośc jest funkcją kąta nachylena powerzchn poślzgu. Jego mnmalna wartość występuje, gdy spełnony jest warunek: β + ϕ Oblczając perwszą pochodną 0 ϖ ϖ kr ϖ przyrównując ją do zera znajdujemy, Ŝe: Ostateczny wzór na mnmalną wartość wskaźnka statecznośc przyjme postać: tgϕ[ + cos( β + ϕ) ] c sn β mn + sn β + ϕ γh sn 0.5 β + ϕ sn 0.5 β ϕ ( ) [ ( )] [ ( )] Podstawając mn oblczyć moŝna krytyczną wysokość zbocza statecznego ze wzoru: H kr 4c sn β cosϕ γ cos( β ϕ) Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 5

26 Slope Stablty, Lmt Equlbrum Methods Wyznaczyć mnmalną wartość wskaźnka statecznośc za pomocą metody Cullmana dla następujących danych: wysokość zbocza 0 m; cęŝar objętoścowy gruntu 0 kn/m 3 ; kąt nachylena zbocza 40 0 ; kąt tarca wewnętrznego gruntu 0 0 ; kohezja 0 kpa. mn.37 H kr m Wyznaczyć mnmalną wartość wskaźnka statecznośc za pomocą metody Cullmana dla następujących danych: wysokość zbocza 30 m; cęŝar objętoścowy gruntu kn/m 3 ; kąt nachylena zbocza 50 0 ; kąt tarca wewnętrznego gruntu 5 0 ; kohezja 30 kpa. mn.36 H kr m Wyznaczyć mnmalną wartość wskaźnka statecznośc za pomocą metody Cullmana dla następujących danych: wysokość zbocza 35 m; cęŝar objętoścowy gruntu 3 kn/m 3 ; kąt nachylena zbocza 45 0 ; kąt tarca wewnętrznego gruntu 7 0 ; kohezja 8 kpa. mn.36 H kr m Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM Metoda Fellenusa, 95 Metoda Fellenusa jest najstarszą z metod, które umoŝlwają przeprowadzene analzy statecznośc dla róŝnych od prostolnowej powerzchn poślzgu. Opracowana ona została na podstawe wynków badań Szwedzkej Komsj Geotechncznej, której prace prowadzone były w latach Metoda ta wykorzystuje podzał potencjalnej bryły osuwskowej na blok (pask) ponowe. Z powyŝszych względów metoda ta znana jest równeŝ pod nazwą metody Pettersona-Fellenusa lub metody szwedzkej.w metodze Fellenusa przyjęto następujące załoŝena: powerzchna poślzgu ma kształt walca cylndrycznego, sły oddzaływana pomędzy blokam są równoległe do podstawy bloku ne wpływają na wartość reakcj normalnej do podstawy bloku oraz wartość sł oporu ścnana, wskaźnk statecznośc defnowany jest jako stosunek momentów sł bernych (utrzymujących równowagę) sł czynnych (zsuwających). Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 6

27 Slope Stablty, LEM Metoda Fellenusa, 95 R snα O n b R b α H Wypadkowa sł oddzaływana pomędzy blokam wywołuje wprawdze moment przy analze pojedynczego bloku, ale ze względu na wewnętrzny charakter tych sł wywołany przez ne moment dla całej bryły względem dowolnego punktu pownen być równy zeru. E h W E + α T ZałoŜena metody Fellenusa α N Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM Metoda Fellenusa, 95 ZałoŜena metody Fellenusa lustruje rysunek, na którym przyjęto następujące oznaczena: N b - szerokość bloku, h - wysokość bloku, R - promeń powerzchn poślzgu, α - kąt nachylena do pozomu bloku, L - długość podstawy bloku, W - cęŝar bloku, N - wartość reakcj normalnej w podstawe bloku, W cosα T - zmoblzowana sła oporu ścnana w podstawe bloku, określana z warunku stanu grancznego Coulomba-Mohra. Wartość zmoblzowanych sł oporu ścnana określć moŝna ze wzoru: τ f τ ( σtgϕ + c) Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 7

28 Slope Stablty, LEM Metoda Fellenusa, 95 MnoŜąc to wyraŝene przez powerzchnę podstawy bloku (. L ) otrzymujemy: T ( N tgϕ + c L ) ( W cosα tgϕ + c L ) Równane równowag momentów względem środka potencjalnej powerzchn poślzgu przyjmuje postać: Mo T R W Rsnα 0 skąd: ( W cosαtgϕ + cl ) W snα przyjmując, Ŝe: const. dla wszystkch bloków, otrzymamy po przekształcenach podstawową postać wzoru na wartość wskaźnka statecznośc: ( W cosα tgϕ c L ) + W snα Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM Metoda Fellenusa, 95 Dla ośrodka zawodnonego, gdze w podstawe bloku dzałają sły wyporu o wartośc: ( cosα ) N N u L W u L wzór na wartość wskaźnka statecznośc ma postać: [( W cosα u L ) tgϕ c L ] + W snα gdze: u - cśnene wody w podstawe bloku, ϕ,c - efektywne parametry oporu ścnana. Przy załoŝenu, Ŝe szerokość bloków jest newelka, ch cęŝar moŝna oblczyć ze wzoru: W b hγ Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 8

29 Slope Stablty, LEM Metoda Fellenusa, 95 Uwzględnając, Ŝe: L b cosα wartość wskaźnka statecznośc określć moŝna ze wzoru: b [( hγ cos α u ) tgϕ + c ] cosα b hγ snα Ze względu na przyjęte załoŝena (ne uwzględnane sł pomędzy blokam) metoda Fellenusa daje z reguły wynk nŝsze nŝ nne metody analzy statecznośc. W porównanu z metodą Bshopa róŝnce te wynoszą od 5 do 0%, a nekedy nawet do 60%. ZanŜone wartośc wskaźnków statecznośc stawają tą metodę w grupe metod bezpecznych a nawet asekuracyjnych. Pommo tego metoda ta jest często stosowana w praktyce, szczególne wówczas, gdy sposób określana parametrów wytrzymałoścowych ośrodka jest nezbyt dokładny. DuŜą zaletą metody Fellenusa jest jej prostota. Jawna postać wzorów powoduje, Ŝe jej praktyczne wykorzystane ne wymaga stosowana drogch programów oblczenowych komputerów. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 Podstawowe załoŝena metody Bshopa są podobne jak w metodze Fellenusa. Podstawowe róŝnce sprowadzają sę do odmennych załoŝeń odnośne sł oddzaływana pomędzy blokam. ZałoŜena metody Bshopa są następujące: powerzchna poślzgu ma kształt walca cylndrycznego, sły oddzaływana pomędzy blokam są neznane, a ch wartość określa sę metodą kolejnych prób przy zastosowanu ogólnych równań równowag wewnętrznej. wartość reakcj normalnej w podstawe bloku określa sę z warunku rzutów sl na kerunek ponowy, wskaźnk statecznośc określany z równana równowag momentów sł względem środka potencjalnej powerzchn poślzgu. W równanu tym ne uwzględna sę sł oddzaływana pomędzy blokam. Wypadkowa sł oddzaływana pomędzy blokam wywołuje wprawdze moment przy analze pojedynczego bloku, ale ze względu na wewnętrzny charakter tych sł wywołany przez ne moment dla całej bryły względem dowolnego punktu pownen być równy zeru. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 9

30 Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 R snα O b R H n α b X + X E + E h z w g W h w Schemat oblczenowy metody Bshopa N T u l α N Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 Oznaczena: b - szerokość bloku, h - wysokość bloku, R - promeń powerzchn poślzgu, α - kąt nachylena do pozomu bloku, L - długość podstawy bloku, W - cęŝar bloku, N - wartość reakcj normalnej w podstawe bloku, E,E + - składowe pozome sł oddzaływana pomędzy blokam, X,X + - składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy blokam, T - zmoblzowana sła oporu ścnana w podstawe bloku. Wartość zmoblzowanych sł oporu ścnana w podstawach pasków określa sę z warunku stanu grancznego hpotezy Coulomba-Mohra, ze wzoru: τ f τ ( σtgϕ + c) skąd: T ( N tgϕ + c L ) Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 30

31 Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 Dla ośrodka zawodnonego: skąd: T ( N u L ) N N u L ( ) W + X X N cosα T snα + 0 Przyjmując, Ŝe: X X X + [ tg + c L ] ϕ Z równana rzutów wszystkch sł na kerunek ponowy otrzymamy: otrzymujemy wzór na wartość reakcj normalnej w podstawe paska: c W + X L snα N cosα + tgϕ snα Podstawając: cos tgα tgϕ + α + tgϕ sn α cos α Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk m α Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 otrzymujemy, Ŝe: cl snα W + X N m α Równane momentów dla całego masywu względem środka potencjalnej powerzchn poślzgu ma postać: skąd: ( ) W snα Ntgϕ + cl R W snα R T Przyjmując, Ŝe dla wszystkch pasków wartość wskaźnka statecznośc const., otrzymujemy następujący wzór na wartość wskaźnka statecznośc: W snα [( W + X ) tgϕ + c L cosα ] m α Dla ośrodka zawodnonego wzór na wartość efektywnej reakcj w podstawe bloku ma postać: c snα W X L u cosα + + N N ul mα Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 3

32 Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 [( W + X u L cosα ) tgϕ + c L cosα ] skąd: W snα mα W powyŝszych równanach występują neznane wartośc przyrostów sł stycznych do bocznych powerzchn bloków, a węc równana te ne umoŝlwają wyznaczena wskaźnka statecznośc w sposób bezpośredn, tak jak ma to mejsce w metodze Fellenusa. Wartośc sł stycznych na bocznych powerzchnach bloków moŝna określć metodą kolejnych przyblŝeń, wykorzystując w tym celu fakt, Ŝe sły oddzaływana pomędzy blokam są słam wewnętrznym dla całego masywu, a węc ch suma mus być równa zeru. Spełnone muszą węc być równana równowag wewnętrznej w postac: ( + ) ( + ) X X X 0 E E E 0 Dodatkowe równane wąŝące sły styczne normalne do bocznej powerzchn bloku uzyskać moŝna z równana rzutów wszystkch sł na kerunek stycznej do podstawy, a manowce: Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 E E+ T ( W + X X+ ) tgα cosα Po zsumowanu dla wszystkch pasków otrzymuje sę zwązek w postac: ( W + X ) tgϕ + cl cosα E E + mα cosα ( W + X X ) + α PowyŜsze równana pozwalają na wyznaczene metodą kolejnych przyblŝeń wartośc wskaźnka statecznośc. Oblczena rozpoczyna sę od najwyŝszego paska, na który sły wewnętrzne dzałają tylko z jednej strony a ch wartość równa jest przyrostow sł na szerokośc paska. Ze względu na uwkłany charakter wzorów na określane wskaźnków statecznośc (wskaźnk statecznośc występuje po lewej prawej strone równań, oblczena te są bardzo pracochłonne). Dlatego teŝ w praktyce najczęścej stosuje sę uproszczoną metodę Bshopa, w której zakłada sę, Ŝe składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy paskam są równe zeru, czyl Ŝe spełnony jest warunek: X X 0 tg Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 3

33 Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 Z załoŝena tego wynka, Ŝe sły oddzaływana pomędzy paskam są pozome. Wzór uproszczonej metody Bshopa przyjmuje wówczas postać: [( W ul cosα ) tgϕ + cl cosα ] W snα m a po podstawenu: b L cosα W snα α [( W u b ) tgϕ + c b ] mα Określane wskaźnka statecznośc odbywa sę na drodze teracyjnej. W perwszym kroku przyjmuje sę po prawej strone równań wartość.0 lub teŝ wartość określoną z uprzednego zastosowana nnej metody (np. metody Fellenusa). Oblczena teracyjne wykonuje sę do momentu, gdy spełnony jest warunek: o z ε Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 o ε gdze: o - oblczona wartość wskaźnka statecznośc w kolejnym kroku teracyjnym. z - załoŝona wartość wskaźnka statecznośc w kolejnym kroku teracyjnym. W oblczenach praktycznych, gdy ne znane jest połoŝene zwercadła wód gruntowych cśnena porowego w podstawe paska, wpływ wody moŝna określać szacunkowo, wykorzystując pojęce współczynnka cśnena porowego, zdefnowanego jako: r u γ whw u γh γh z gdze: r u - współczynnk cśnena porowego, h w - wysokość zwercadła wody w -tym bloku, h - wysokość -tego bloku γ w - cęŝar objętoścowy bloku, γ - cęŝar objętoścowy gruntu. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 33

34 Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 Podstawając w mejsce u wartość: u r hγ u oraz uwzględnając, Ŝe: W bhγ otrzymujemy następującą postać wzoru na wskaźnk statecznośc: [ W ( r ) tgϕ + c b ] u W snα mα W zagadnenach praktycznych przyjmuje sę, Ŝe współczynnk cśnena porowego przyjmuje jednakową wartość dla wszystkch bloków, która zawarta jest w przedzale od zera dla górotworu odwodnonego do wartośc 0.7 dla górotworu zawodnonego. Najczęścej przyjmuje sę, Ŝe r u 0.3. Porównane metody Bshopa metody Fellenusa wskazuje, Ŝe perwsza z nch daje neco wyŝsze wartośc wskaźnków statecznośc, czyl Ŝe spełnony jest warunek: B > F RóŜnce w wartoścach wskaźnków wahają sę od 5% do 0%, a w nektórych przypadkach dochodzć mogą nawet do 60%. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM - Metoda Bshopa, 955 W manownku wzorów występuje współczynnk m α, którego wartość jest zaleŝna od kąta nachylena podstawy paska. Przy małych wartoścach kąta nachylena współczynnk ten przyjmować moŝe bardzo małe wartośc, lub nawet wartośc ujemne, co powoduje newspółmerne duŝy wzrost wartośc wskaźnka statecznośc. Powoduje to, Ŝe metoda ta moŝe dawać błędne oszacowana wskaźnka statecznośc szczególne w przypadku kół poślzgu przechodzących ponŝej dolnej krawędz zbocza, co moŝe meć mejsce w przypadkach skarp łagodne nachylonych lub wówczas, gdy w podstawe skarpy występują grunty słabe, o nskch wartoścach parametrów wytrzymałoścowych. W praktyce postuluje sę nekedy, aby metody tej ne wykorzystywać dla powerzchn poślzgu, w których występują pask charakteryzujące sę wartoścą współczynnka m α nŝszą od 0.. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 34

35 Slope Stablty, LEM - Metoda Nonvellera (965) W metodze tej przyjęto następujące załoŝena: powerzchna poślzgu ma kształt dowolnej krzywej, sły oddzaływana pomędzy blokam są neznane, a ch wartość określa sę metodą kolejnych prób przy zastosowanu ogólnych równań równowag wewnętrznej. wartość reakcj normalnej w podstawe bloku określa sę z warunku rzutów sl na kerunek ponowy, wskaźnk statecznośc określany z równana równowag momentów sł względem dowolnego punktu. W równanu tym ne uwzględna sę sł oddzaływana pomędzy blokam. Wypadkowa sł oddzaływana pomędzy blokam wywołuje wprawdze moment przy analze pojedynczego bloku, ale ze względu na wewnętrzny charakter tych sł wywołany przez ne moment dla całej bryły względem dowolnego punktu pownen być równy zeru. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM - Metoda Nonvellera (965) f O x b h w h H a n W α b X + X E + E h W N h w ZałoŜena metody Nonvellera T u L α N Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 35

36 Slope Stablty, LEM - Metoda Nonvellera (965) Oznaczena: b - szerokość bloku, h - wysokość bloku, R - promeń powerzchn poślzgu, α - kąt nachylena do pozomu bloku, L - długość podstawy bloku, f - ramę reakcj normalnej względem punktu O, a - ramę sły oporu ścnana względem punktu O, x - ramę sły cęŝkośc względem punktu O, W - cęŝar bloku, N - wartość reakcj normalnej w podstawe bloku, E,E + - składowe pozome sł oddzaływana pomędzy blokam, X,X + - składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy blokam, T - zmoblzowana sła oporu ścnana w podstawe bloku. Wartość zmoblzowanej sły oporu ścnana wyznacza sę, podobne jak w metodze Bshopa, z warunku: τ f τ ( σtgϕ + c) Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM - Metoda Nonvellera (965) MnoŜąc to wyraŝene przez powerzchnę podstawy bloku (. L ), dla -tego bloku otrzymujemy: T ( N tgϕ + c L ) Dla ośrodka zawodnonego: T [( N u L ) tg + c L ] ϕ ( ) W + X X N cosα T snα + 0 Z równana rzutów wszystkch sł na kerunek ponowy otrzymamy: skąd: N c W + X L snα η cosα + tgϕ snα η Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 36

37 Slope Stablty, LEM - Metoda Nonvellera (965) Podstawając: tgαtgϕ cosα + tgϕ sn α cos α + m otrzymujemy, Ŝe: N cl snα W + X m α Równane momentów dla całego masywu względem beguna O ma postać: T a + N f W x 0 skąd: ( W + X + c b ) a m α W x ( W + x ) f cb m f m Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk α α α tgα Slope Stablty, LEM - Metoda Nonvellera (965) c snα W + X L u cosα + η N N u L mα tgαtgϕ cosα + tgϕ snα cosα mα + Dla górotworu zawodnonego: gdze: wzór na wartość wskaźnka statecznośc ma postać: a f ( W + X ub + cb ) cb tgα mα mα f W x ( W ub + x ) mα W równanach występują neznane wartośc przyrostów sł stycznych do bocznych powerzchn bloków, a węc równana te ne umoŝlwają wyznaczena wskaźnka statecznośc w sposób bezpośredn. Wartośc sł stycznych na bocznych powerzchnach bloków określa metodą kolejnych przyblŝeń, podobne jak w metodze Bshopa, wykorzystując w tym celu równana równowag wewnętrznej w postac: Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 37

38 Slope Stablty, LEM - Metoda Nonvellera (965) X ( X X + ) 0 E ( E E+ ) 0 E E+ T ( W + X X+ ) tgα cosα ( W + X ) tgϕ + cl cosα E E + mα cosα ( W + X X ) + α Ze względu na uwkłany charakter wzorów na określane wskaźnków statecznośc (wskaźnk statecznośc występuje po lewej prawej strone równań ), oblczena te są bardzo pracochłonne. Dlatego teŝ w praktyce najczęścej stosuje sę uproszczoną metodę Nonvellera, w której zakłada sę, Ŝe składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy paskam są równe zeru, czyl Ŝe spełnony jest warunek: X X 0 Metoda Nonvellera daje wynk zblŝone do metody Bshopa. Podobne są równeŝ ogranczena w jej stosowanu. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk tg Slope Stablty, LEM Metoda Janbu, 957 W metodze Janbu przyjęto następujące załoŝena: powerzchna poślzgu ma kształt dowolnej krzywej, sły oddzaływana pomędzy blokam są neznane, a ch wartość określa sę po przyjęcu dodatkowych załoŝeń dotyczących połoŝena sł wypadkowych na bocznych powerzchnach pasków lub teŝ ch nachylena, wartość reakcj normalnej oraz sły oporu ścnana w podstawe bloku określa sę z warunku rzutów sł na kerunek ponowy pozomy, dla określena sł oddzaływana pomędzy paskam stosuje sę równane równowag momentów względem środka podstawy paska. b - szerokość bloku, h - wysokość bloku, α - kąt nachylena do pozomu bloku, L - długość podstawy bloku, y - odległość punktu przyłoŝena sły na bocznej powerzchn paska od jego podstawy, Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 38

39 Slope Stablty, LEM Metoda Janbu, 957 b D y h H y M W y n b α Schemat sł dzałających na pask w metodze Janbu X a E h D y X + W y E + h w y M M N T u L α N Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk α t Slope Stablty, LEM Metoda Janbu, kąt nachylena ln łączącej punkty przyłoŝena sł na bokach pasków do pozomu W - cęŝar bloku, N - wartość reakcj normalnej w podstawe bloku, E,E + - składowe pozome sł oddzaływana pomędzy blokam, X,X + - składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy blokam, T - zmoblzowana sła oporu ścnana w podstawe bloku, określana z warunku stanu grancznego Coulomba-Mohra T ϕ + ( N tg c L ) Dla ośrodka zawodnonego: T [( N u L ) tg + c L ] ϕ Równane rzutów wszystkch sł na kerunek ponowy ma postać: N cosα + T snα W X 0 Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 39

40 Slope Stablty, LEM Metoda Janbu, 957 a na kerunek pozomy: T cosα N snα E 0 Rozwązując powyŝszy układ równań znajdujemy, Ŝe: [( ) α ] T cosα W + X tg + E Uwzględnając równane wyjścowe oraz warunek równowag sł wewnętrznych dla całego masywu w postac: E 0 otrzymuje sę następujący wzór na wartość wskaźnka statecznośc dla górotworu ne zawodnonego: ( W + X lub po podstawenu: b L cosα ) tgα [( W + X ) tgϕ + c L cosα ] ( W + X cosα m ) tgα Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk α [( W + X ) tgϕ + c b ] cosα m α Slope Stablty, LEM Metoda Janbu, 957 Dla ośrodka zawodnonego wzór na wartość wskaźnka statecznośc przyjme postać: gdze: m + X [( W + X u b ) tgϕ + c b ] ( W ) cos tgα αmα tgα + + tgϕ cosα tgϕ snα cosα + tgα tg + ϕ cosα tg ϕ snα cosα α m α Dla określena sł oddzaływana pomędzy blokam Janbu stosuje dodatkowe równane równowag w postac sumy momentów względem środka podstawy bloku (punktu M), z którego wynka, Ŝe: X b E y E y b + X Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 40

41 Slope Stablty, LEM Metoda Janbu, 957 lub dla małej szerokośc pasków: X E tg E y αt b Dla rozwązana równana zakłada sę znajomość punktów przyłoŝena sł na bocznych powerzchnach bloków lub teŝ ch nachylene wyraŝone stosunkem E/X. Dla określena połoŝena punktów przyłoŝena sł pomędzy blokam przyjmuje sę postać funkcj opsującej to połoŝene, która pownna zapewnać zbeŝność procesu teracj, opsywać realne połoŝene sł ch wartośc tak, aby ne zostały przekroczone warunk stanu grancznego. Rozwązane przeprowadza sę metodą kolejnych przyblŝeń od najwyŝej połoŝonego paska, dla którego E 0. Welkość E dla kaŝdego paska oblcza sę ze ww wzorów, podstawając w perwszym przyblŝenu X 0. Na podstawe znanych przyrostów E moŝna określć wartośc E z zaleŝnośc E + E E Wartośc X X, dla załoŝonej w danym kroku teracyjnym wartośc, oblczyć moŝna z równań sprawdzając kolejno poprawność przyjętych załoŝeń. Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk Slope Stablty, LEM Metoda Janbu, 957 W kolejnym kroku oblczenowym dokonuje sę korekty przyjętej wartośc wskaźnka statecznośc a następne powtarza cały cykl oblczenowy. Oblczena prowadz sę aŝ do uzyskana załoŝonej dokładnośc (najczęścej na pozome 0.0). W drugm przypadku proces oblczenowy jest mnej skomplkowany. Wartośc X otrzymuje sę bezpośredno na podstawe oblczonych wartośc X, będących funkcją E. Równana wykorzystuje sę wówczas jedyne do wyznaczana punktów przyłoŝena sł oddzaływana pomędzy blokam. Podobne jak w poprzednm przypadku oblczena przeprowadza sę metodą teracyjną (wzory na wartośc wskaźnków statecznośc są funkcja uwkłaną). W praktyce najczęścej stosowana jest uproszczona metoda Janbu, w której zakłada sę, podobne jak w uproszczonej metodze Bshopa, Ŝe składowe ponowe sł oddzaływana pomędzy blokam są równe zeru dla kaŝdego paska ( X 0). Wzór na wartość wskaźnka statecznośc przyjme wówczas postać: [( c + ( p u ) tgϕ ) b ( sec α /( tgα tgϕ / )] + W tgα Marek Cała, Jerzy Flsak Kat. Geomechank, Budownctwa Geotechnk 4