Metoda wyznaczania komutacyjnych tętnień momentu silnika PM BLDC

Transkrypt

1 etoda wyznaczania komutacyjnych tętnień momentu ilnika P LD Robert Piwowarczyk, Krzyztof Krykowki, Januz Hetmańczyk. Wtęp W beczotkowym ilniku prądu tałego wzbudzanym magneami trwałymi (Permanent agnet ruhle Direct urrent P LD) komutator mechaniczny zotaje zatąpiony przekztałtnikiem elektronicznym (energoelek tronicznym), nazywanym również komutatorem elektronicznym. Przekztałtnik ten naśladuje działanie komutatora mechanicznego i w odpowiednich chwilach przełącza zailanie uzwojeń ilnika. Przełączanie uzwojeń odbywa ię w poób dykretny, z rozdzielczością odpowiadającą liczbie pulów przypadających na obrót ilnika. W idealnym ilniku P LD prądy fazowe mają kztałt protokątny, wpływ indukcyjności na pracę ilnika jet pomijalnie mały, a fazowe iły elektromotoryczne ą trapezowe i w czynnym obzarze pracy zaworów przyjmują wartości tałe. W ilniku rzeczywitym przy przełączaniu tranzytorów komutatora elektronicznego natępuje przeładowanie energii w obwodach z indukcyjnością. Powoduje to powtanie dodatkowych tętnień komutacyjnych momentu. Wywołany przełączeniami tranzytorów moment komutacyjny może powodować tętnienia prędkości, co jet zczególnie niekorzytne w przypadku ilnika pracującego w zakreie małych prędkości obrotowych, zwłazcza gdy momenty bezwładności ilnika i mazyny roboczej ą małe. Tętnienia komutacyjne momentu ą jezcze bardziej niebezpieczne w przypadku ilników wyokoobrotowych, gdy może dojść do ytuacji, że czętotliwość tętnień momentu będzie równa czętotliwości rezonanu mechanicznego ilnika [3]. Tętnienia komutacyjne ą przedmiotem wielu publikacji. W artykułach tych przedtawiona jet analiza zjawika komutacji w ilnikach P LD [, 6, ], zaproponowane ą pooby minimalizacji tętnień realizowanych na drodze terowania [, 7, 4] lub modyfikacji trategii terowania komutatorem elektronicznym [3, 6] albo przez wprowadzenie dodatkowego przekztałtnika D/D, z którego zailany jet dopiero ilnik P LD [5]. Przedtawione w tych artykułach zależności ą rozbudowane i nie zapewniają możliwości zybkiej oceny tętnień. elem publikacji jet przedtawienie protej metody oceny tętnień komutacyjnych momentu typowych ilników P LD, łuznej w przypadku, gdy pełnione ą założenia uprazczające []:. Elektromagnetyczna tała czaowa ilnika jet na tyle duża, że przebiegi prądów i mo mentów można aprokymować liniowo. Strezczenie: W beczotkowym ilniku prądu tałego komutator mechaniczny zotaje zatąpiony przekztałtnikiem energoelektronicznym pełniącym rolę komutatora elektronicznego. W chwilach przełączania pozczególnych uzwojeń fazowych pojawiają ię w ilniku puly prądu. Puly te powodują powtawanie tętnień momentu elektromagnetycznego i prędkości kątowej ilnika. W artykule zaproponowano protą metodę określania wielkości tętnień momentu oraz wartości pierwzej harmonicznej momentu elektromagnetycznego. Uzykane wyniki zweryfikowano za pomocą badań ymulacyjnych w programie atlab/simulink. Słowa kluczowe: beczotkowy ilnik prądu tałego, tętnienia momentu, pierwza harmoniczna momentu THE ETHOD FOR DETERNNG OF THE SWTHNG RPPLE OF P LD OTOR TORUE btract: n a bruhle D motor mechanical commutator i replaced by a power electronic converter erving a an electronic commutator. The pule of the motor current appear in moment of witching individual phae winding. Thee pule caue the formation of pule of electromagnetic torque and angular peed of the motor. Thi paper propoe the imple method of determining the magnitude of torque pule. The achieved reult have been verified through imulation reearch in atlab/simulink environment performed on a computer model of P LD motor. Keyword: permanent magnet bruhle direct current, torque ripple, firt harmonic of a torque. W chwili zakończenia komutacji prądy fazy niebiorącej udziału w komutacji i fazy przejmującej prąd ą równe prądowi źródła. 3. Prąd źródła dla przedziału międzykomutacyjnego jet w przybliżeniu równy średniej wartości prądu fazy niebiorącej udziału w komutacji i prądu fazy załączanej określonych niezależnie. 4. za komutacji jet mniejzy od czau trwa nia taktu pracy komutatora elektronicznego. Nr Grudzień 07 r. 0

2 W tanie utalonym prędkość idealnego ilnika P LD o pomijalnej indukcyjności jet określona zależnością: Rd U d e K ω i = (6) K Ry.. Schemat połączeń ilnik P LD. Silnik P LD Schemat połączeń obwodu głównego 3-fazowego ilnika P LD o jednej parze biegunów, uzwojeniach połączonych w gwiazdę i z komutatorem elektronicznym w układzie motka 3-fazowego przedtawiono na ry.. Pozczególne uzwojenia fazowe ą przełączane ekwencyjnie przez tranzytory komutatora elektronicznego i wytwarzają pole magnetyczne, którego wektor może przyjmować ześć położeń. Funkcja przełączeń zaworów komutatora elektronicznego jet wypracowywana na podtawie ygnałów pochodzących z dykretnych czujników położenia wirnika (PW). Zaada działania ilnika P LD zotała opiana między innymi w [4, 5]. Siła elektromotoryczna E k indukowana w k-tym uzwojeniu fazowym ilnika jet proporcjonalna do prędkości kątowej ilnika ω zgodnie z za leżnością: k ( ϑ ) e = ωk () oment elektromagnetyczny wytwarzany przez prąd płynący w uzwojeniu k-tej fazy jet opiany zależnością: ek = ϑ () ek K( ek) ik Wytępujący w zależności () prąd fazowy wynika z równania: di = ek (3) dt k u k Rik L w którym R i L oznaczają rezytancję i indukcyjność fazy tojana, przy czym L jet indukcyjnością zatępczą, uwzględniającą indukcyjność właną uzwojenia fazowego oraz wpływ indukcyjności wzajemnej i prądów płynących w fazach o liczbie porządkowej różnej od k. W wielu rozważaniach, przy opiie ilnika, wygodnie jet wprowadzić zatępczy obwód prądu tałego, w którym iłę elektromotoryczną zatępczego obwodu prądu tałego i moment elektromagnetyczny można opiać za pomocą zależności: E d = K ω (4) 3. Tętnienia komutacyjne momentu oment elektromagnetyczny rozwijany przez ilnik może zawierać kładowe tętniące powodowane: napięciem zailającym; odkztałceniami napięcia fazowego lub fazowych ił elektromotorycznych; modulacją PW w komutatorze elektronicznym; komutacją. Tematem rozważań ą tętnienia komutacyjne w związku z tym w dalzych rozważaniach pominięto tętnienia wywołane odkztałceniami napięć, ił elektromotorycznych i modulacją. W czaie komutacji natępuje zwarcie zacików wejściowych ilnika i zmiana połączeń uzwojeń. Przeprowadzono analizę przebiegów prądów i momentów dla jednego taktu pracy komutatora elektronicznego, o okreie wynikającym z zależności: π π T = = (7) ω mpω przy czym analizę rozpoczęto dla chwili przełączenia tranzytorów. Schematy połączeń uzwojeń w czaie komutacji układu bezpośrednio po załączeniu tranzytora w fazie przedtawiono na ry.. W chwili poprzedzającej przełączanie (ry. a) przewodzą tranzytory T (faza ) i T 6 (faza ). Równoczene załączenie tranzytora T 3 fazy i wyłączenie tranzytora T fazy powoduje, że prąd fazy przejmuje dioda D (ry. b) i natępuje rozładowanie energii zmagazynowanej w uzwojeniu fazy, przy równoczenym wzroście energii magazynowanej w uzwojeniu fazy. Dioda D przetaje przewodzić, gdy prąd wyłączanej fazy () zmaleje do zera (ry. 3). Wtedy prąd zaczyna płynąć przez dwie fazy ilnika załączone przez tranzytory T 3 oraz T 6 (ry. c). W rozważeniach wprowadzono oznaczenia prądów (ry. 3): oraz t = (8) T ) ( = (9) oraz: = (5) e Kd które by płynęły, gdyby uzwojenia fazowe nie były połączone. Dla przedziału międzykomutacyjnego warunek 3 można zapiać jako: 0 Nr Grudzień 07 r.

3 Ry.. Schematy połączeń ilnika P LD w czaie przełączeń uzwojeń: a) przewodzą tranzytory T w fazie oraz T 6 w fazie ; b) tranzytor T Ry. 3. Przebiegi prądów ilnika w czaie jed nego taktu pracy komutatora elektronicznego przy załączaniu fazy i wyłączaniu fazy jet wyłączony, przewodzi tranzytor T 6 w fazie oraz dioda D w fazie ; c) dioda D przetaje przewodzić, przewodzą tranzytory T 3 w fazie oraz T 6 w fazie ( ( = ( = ( (0) d( Po podtawieniu (8) i (9) do (0) uzyka ię: = t ) 0 (4) = Prądy faz i oraz prąd źródła ą natomiat równe i określone zależnością: = = t d( ( ( () T W chwili początkowej dla czau t = 0 prądy ilnika wynozą odpowiednio (ry. 3): = 0) = = 0) = 0 = 0) = 0 d = 0) = () Na końcu analizowanego taktu pracy komutatora elektronicznego dla czau t = T prądy ilnika wynozą odpowiednio: = T ) = 0 = T ) = = T ) = d = T ) = (3) t = = = d ) ) ( t ) (5) T omenty elektromagnetyczne wywoływane przez prądy płynące w pozczególnych uzwojeniach fazowych ą opiane zależnością ogólną (). Dla trapezowego kztałtu iły elektromotorycznej fazowy wpółczynnik wzbudzenia dla fazy i jet tały i wynoi K lub K. Korzytając z tych wartości wpółczynnika wzbudzenia, można momenty elektromagnetyczne wytwarzane przez pozczególne fazy oraz moment całkowity ilnika opiać zależnościami w charakterytycznych punktach przebiegu (ry. 3). tak: dla czau t = 0: e e e (0) = K (0) = K (0) = K (0) = K (0) = 0 (0) = K = = moment całkowity ilnika opiuje zależność: (6) Prąd fazy (wyłączanej) maleje w czaie komutacji i w chwili zakończenia komutacji dla czau t = t przyjmuje wartość równą zero: e ( 0) = e(0) e(0) = K = (7) Nr Grudzień 07 r. 03

4 dla czau, w którym kończy ię komutacja t = t, momenty wynozą: e e e ) = K ) = K = 4 ) = K = 4 ) = 0 ) = K t T ) = K t T a moment całkowity jet równy: e = K ) = e ) t T e ) = t T t T t T na końcu analizowanego okreu t = T momenty wynozą: e e e ( T ) = K ( T ) = K ( T ) = K ( T ) = 0 ( T ) = K ( T ) = K = = a moment wytwarzany przez ilnik wynoi: (8) (9) (0) t t dla 0 < t < t e( ) t T t = () t dla < t t T T W momencie elektromagnetycznym ilnika można wyróżnić kładową tałą: 3 t e(v) 4 4 = (3) T oraz kładową przemienną o wartości międzyzczytowej: t epp = (4) T totny wpływ na tętnienia momentu ma iloraz czau komutacji t i okreu taktowania komutatora elektronicznego T. loraz ten, oznaczany jako: można wyznaczyć, łącząc zależność (6): t t * = (5) T Ld d(v) t = (6) U d na cza komutacji i zależności opiujące moment elektromagnetyczny (5) oraz okre taktowania (7) rzeczywitego ilnika. Po podtawieniu i przekztałceniu uzyka ię: e ( T ) = e( T ) e( T ) K = = () Korzytając z zależności (7), (9) oraz (), aprokymowano przebieg momentu elektroma gnetycznego ilnika (ry. 4) zależnością: gdzie: t * k ω mp Ld d(v) = ωikω (7) π U d = mpld 8π K K e (8) oznacza wpółczynnik nachylania charakterytyki, który informuje o relacji pomiędzy prędkością ilnika idealnego (6) i rzeczywitego [5]. Zależności () (4) obowiązują dla czaów komutacji nie więkzych od połowy okreu taktowania komutatora elektronicznego, czyli gdy zachodzi: Ry. 4. Przebieg momentu elektromagnetycz nego ilnika aprokymowany liniowo w czaie jednego taktu pracy komutatora elektronicznego T t (9) 04 Nr Grudzień 07 r.

5 Dla czaów komutacji więkzych od połowy okreu taktowania komutatora elektronicznego, czyli gdy zachodzi: T t > (30) a cza jet więkzy od połowy okreu taktowania komutatora elektronicznego, czyli gdy dodatkowo zachodzi: T t > (3) wpływ momentu pochodzącego od prądu fazy wyłączanej na całkowity moment elektromagnetyczny jet nieznaczny. Spowodowane to jet małymi wartościami wpółczynnika wzbudzenia dla fazy oraz małymi wartościami prądu fazy dla czaów pełniających warunek (3). W tej ytuacji przebiegi momentu wywołanego prądem uzwojenia fazy i całkowitego momentu elektromagnetycznego w przypadku pełnienia warunku (30) przybierają potać: oraz: t T dla 0 < t < ( ) e T t = (3) T 0 dla t < T t dla 0 < t < t T e ( = (33) t dla < t t T T Wartość kładowej tałej momentu i wartość międzyzczytowa momentu elektromagnetycz nego ilnika, gdy cza komutacji t i cza t pełniają zależność (30) i (3), ą opiane zależnościami: epp e(v) t T 3 t = 4 4 T 7 dla t dla t T T > (36) Po uwzględnieniu wzoru (5) zależność (36) można zapiać jako: epp e(v) ( t ) 3 t = 7 * * dla t dla t T T > (37) 4. Rozkład kładowej tętniącej momentu w zereg Fouriera W analizie układów o przebiegach okreowych powzechnie touje ię rozkład funkcji okreowej w zereg Fouriera i aprokymowanie przebiegu okreowego pierwzą harmoniczną. Na ry. 5 pokazano przebieg kładowej tętniącej momentu aprokymowany linią łamaną. totny wpływ na tętnienia momentu ma iloraz czau komutacji t i okreu taktowania komutatora elektronicznego T, oznaczany jako t *. Funkcję okreową o przebiegu jak na ry. 5 można opiać zeregiem trygonometrycznym o potaci: n= ( ) f ( x) = b n in nx φ (38) i wpółczynnikach opianych zależnościami: n ( ξ ) n ( ξ ) ( ) ξ n π bn = h in (39) n π ξ x = ωt (40) 7 e(v) = (34) 8 oraz: epp = (35) 4 Dla czau komutacji pełniającego warunek (9) wyznaczono, korzytając z zależności (3), (4) oraz (5), zależność pomiędzy wartością międzyzczytową a wartością średnią momentu elektromagnetycznego i uzykano: Ry. 5. Przebieg kładowej tętniącej momentu aprokymowany linią łamaną Nr Grudzień 07 r. 05

6 gdzie: Łącząc zależności (45) i (47), uzyka ię: epp h = (4) T ξ = = (4) t* t th() e(v) in π t = [( t* ) π ] ( 3 t ) * 8 7π * dla 0 < t T dla t T T (48) Łącząc zależności (38) (4), wyznaczono, dla czau komutacji mniejzego od połowy okreu taktowania komutatora elektronicznego (9), relację pomiędzy wartością międzyzczytową momentu a amplitudą pierwzej harmonicznej kładowej tętniącej momentu jako: ( t ) [( t ) ] epp b = th() = in * π t π (43) * * Z ry. 5 wynika natomiat, że kąt przeunięcia fazowego względem punktu załączenia tranzytora wynoi dla pierwzej harmonicznej: φ( ) = πt* (44) Po uwzględnieniu zależności (37) wyrażenie (43) przybierze potać: th() ( 3 t ) [( t ) π ] e(v) = in * (45) π t * * Potępując analogicznie jak przy wyprowadzaniu zależności (43), wyznaczono, dla czau komutacji więkzego od połowy okreu taktowania komutatora elektronicznego, pełniającego warunek (30), zależność (46) opiującą relację pomiędzy wartością międzyzczytową momentu a amplitudą pierwzej harmonicznej momentu. 5. adania ymulacyjne adania ymulacyjne wykonano na modelu komputerowym wykonanym dla oprogramowa nia atlab/simulink. Schemat blokowy modelu przedtawiono na ry. 6. Pozczególne bloki oznaczają: ZNS terowany zailacz napięcia tałego; KE komutator elektroniczny; RLE obwód główny ilnika, zawierający elementy RL oraz uwzględniający SE; USKE układ terowania komutatorem elektronicznym (re gulacja PW); EL-ech blok przetwarzania wielkości elektrycznych na mechaniczne. W badaniach wykorzytano ilnik, którego fazowe iły elektromotoryczne ą trapezowe, a opiany jet parametrami: U n = 4 V, R = 0 mω, p = 4, P n = 43 W, n =,09 N.m, L = 0,5 mh, J = 43,7 0 6 kg.m, lo = 0,08 N.m, K m = 5 mn.m/, K = 6 mv./rad. Dane te w pewnym przybliżeniu odpowiadają danym katalogowym ilnika G75x50 firmy Dunkermotoren. Dla warunków znamionowych zailania i dwóch przypadków obciążenia zetawiono wyniki ilorazu czau komutacji i czau taktowania t * oraz zależności pomiędzy wartością średnią i międzyzczytową momentu elektro magnetycznego epp / e(v) w tabeli. Wyznaczenie wartości momentów w trakcie ymulacji komputerowej polegało na rejetracji przebiegów w tanie utalonym i odczytaniu wartości minimalnej, makymalnej oraz średniej momentu. W badaniach laboratoryjnych, weryfikujących metodę, pomiar oraz detekcja tętnień momentu e zotaną zrealizowane z wykorzytaniem przetwornika momentu wbudowanego w układ napędowy (metoda bezpośredniego pomiaru). nne metody pomiaru momentu elektromagnetycznego ilników zotały opiane w [9], a dla ilników wyokoobrotowych w [0]. th() epp = π 4 = π epp (46) Po uwzględnieniu zależności (34) wyrażenie (46) przybierze potać: th() th() epp 8 = e(v) = e(v) (47) 7π epp e(v) Ry. 6. Schemat blokowy modelu komputerowego badanego ilnika P LD 06 Nr Grudzień 07 r.

7 Tabela. Wyniki obliczeń teoretycznych i y mulacyjnych wykonanych dla warunków zna mionowych Wielkość Obliczenia Symulacja L = 0,4 N epp / e(v) 0,535 0,535 t /T S 0,64 0,64 th() / e(v) 0,9 0,9 L = N epp / e(v ) 0,404 0,378 t /T S 0,38 0,47 th() / e(v) 0,59 0,58 L = N epp / e(v) 0,86 0,98 t /T S 0,55 0,6 th() / e(v) 0,6 0,7 Ry. 7. Zetawienie momentu e wyznaczo nego teoretycznie i ymulacyjnie Na ry. 7 zetawiono przebieg momentu uzykany w wyniku ymulacji z przebiegiem momentu uzykanym w wyniku aprokymacji liniowej. Na ry. 8 zamiezczono przebiegi momentu e, prądów fazowych i prądu d uzykane w trakcie ymulacji komputerowej. Kolejne dwa ryunki przedtawiają zależności pomiędzy wartością międzyzczytową a wartością średnią momentu epp / e(v) oraz wartością pierwzej harmonicznej i wartością średnią momentu th() / e(v) uzykane ymulacyjnie i obliczeniowo w funkcji momentu elektromagnetycznego ilnika e i czau komutacji t. Wykrey zależności epp / e(v) oraz th() / e(v) w funkcji momentu elektromagnetycznego ilnika (ry. 9 a i ry. 0 a) potwierdzają dużą zbieżność wyników. W przypadku tych amych zależności w funkcji czau komutacji t (ry. 9 b i ry. 0 b) można zauważyć, że czay komutacji wyznaczone z ymulacji komputerowej ą więkze niż to wynika z obliczeń teoretycznych. Wyznaczony cza komutacji t z zależności (6) jet wartością przybliżoną, gdyż nie uwzględnia rezytancji uzwojeń oraz padków napięcia na diodach zwrotnych znajdujących ię w wewnętrznej trukturze tranzytorów komutatora elektronicznego. 6. Podumowanie i wnioki W artykule przedtawiono protą oryginalną metodę określania tętnień komutacyjnych mo mentu elektromagnetycznego ilnika P LD pojawiających ię w chwilach przełączania tranzytorów komutatora elektronicznego. adania ymulacyjne wykazały, że mimo przyjęcia daleko pouniętych uprozczeń obliczona proponowaną metodą wartość momentu mię dzyzczytowego oraz momentu pochodzącego od pierwzej harmonicznej dość dokładnie opiuje tan faktyczny. Znaczący wpływ na uzykane wyniki ma cza komutacji t. Proponowany w pracy [8] poób wyznaczenia czau komutacji może powodować zwiękzenie dokładności przedtawionej metody. Proponuje ię pozerzenie badań o badania nad tętnieniami komutacyjnymi prędkości oraz o badania na temat wpływu regulatorów prądu i/lub prędkości na tętnienia komutacyjne. Ry. 8. Przebiegi momentu, prądu zailania oraz prądów fazowych ilnika P LD zarejetrowane dla warunków znamionowych Literatura [] arlon R.: nalyi of torque ripple due to phae commutation in bruhle dc machine. EEE Tranaction on ndutry pplication, Vol. 8, No. 3, pp , 99. [] Drabek T. et al.: ommutation torque ripple reduction in high- -peed bruhle D motor. nternational Sympoium on Electrical achine (SE), Nałęczów, 07, pp. 6. [3] Gałuzkiewicz Z., Krykowki K., Hetmańczyk J., Skoć.: Rezonan mechaniczny w wyoko obrotowym ilniku P LD. Zezyty Proble mowe azyny Elektryczne 86/00. [4] Henderhot J.R., iller T.J.E.: Deign of bruhle permanent magnet motor. agna Phyic Publihing and larendon Pre, Oxford 994. [5] Krykowki K.: Silniki P LD. Właściwości, terowanie, aplikacje. Wydawnictwo T, Legio nowo 05. [6] Lee T.Y., Seol.K., Kim Y.J., Jung S.Y.: Deign and Torque Ripple nalyi of ruhle D otor ccording to Delta Winding Nr Grudzień 07 r. 07

8 a) a) b) b) Ry. 9. Wykrey wyznaczone teoretycznie i ymulacyjnie, gdzie: a) epp / e(v) = f( e ); b) epp / e(v) = f(t ) Ry. 0. Wykrey wyznaczone teoretycznie i ymulacyjnie, gdzie: a) th() / e(v) = f( e ); b) th() / e(v) = f(t ) onnection. Journal of agnetic, Vol. 0, No., June 05, pp [7] Liu Y., Zhu Z.., Howe D.: ommutation-torque-ripple inimization in Direct-Torque-on trolled P ruhle D Drive. EEE Tranaction on ndutry pplication, Vol. 43, No. 4, pp. 0 0, 007. [8] akieła D.: Roerzona metoda wyznaczania czau komutacji w ilnikach P LD. Przegląd Elektrotechniczny 9/05. [9] Naruzewicz W.: Pomiary momentu obrotowgo (9..07) [0] Pfiter P.D., Perriard Y.: Torque meaurement method for very high peed motor. OPEL The nternational Journal for omputation and athematic in Electrical and Electronic Engineering, Vol. 9 ue: 5, 00, pp [] Piwowarczyk R., Krykowki K., Hetmańczyk J.: Komutacyjne tętnienia momentu ilnika P LD. Zezyty problemowe azyny elektryczne 3/06. [] Piwowarczyk R., Krykowki K., Hetmańczyk J.: Tętnienia prądu zailającego beczotkowy ilnik prądu tałego. Przegląd Elektrotechniczny 6/04. [3] Salah W.., hak D., Hammadi K.J.: PW witching trategy for torque ripple minimization in LD motor. Journal of Electrical Engineering, Vol. 6, No. 3, 0, pp [4] Song H.J., ck.: ommutation torque ripple reduction in bruhle D motor driver uing a ingle D current enor. EEE Tranaction On Power Electronic, Vol. 9, 004, pp [5] Viwanathan V., Seenithangom J.: ommutation Torque Ripple Reduction in the LD otor Uing odified SEP and Three- -Level NP nverter. EEE Tranaction On Power Electronic,, Vol. 33, No., 08, pp [6] Zhang J., hen S., Liu L.: Reearch on commutation torque ripple uppreion trategy of LD baed on iterative learning. omputer odelling & New Technologie 8(5)/04. mgr inż. Robert Piwowarczyk doktorant na Wydziale Elektrycznym Politechniki Śląkiej, p.robert@interia.pl; prof. dr hab. inż. Krzyztof Krykowki Politechnika Śląka, Katedra Energoelektroniki, Napędu Elektrycznego i Robotyki, Krzyztof.Krykowki@poll.pl dr inż. Januz Hetmańczyk Politechnika Śląka, Katedra Energoelektroniki, Napędu Elektrycznego i Robotyki Januz.Hetmanczyk@poll.pl artykuł recenzowany 08 Nr Grudzień 07 r.