Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Transkrypt

1 Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018 dr inż. Sebastian Korczak

2 Wykład 14 Powtórzenie materiału. Informacje o egzaminie. Ankiety. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 2

3 Wykład 1 pary kinematyczne, mechanizmy, ruchliwość, więzy bierne Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 3

4 Stopnie swobody punkt materialny (2D) bryła sztywna (2D) 2 st. swob. 3 st. swob. punkt materialny (3D) bryła sztywna (3D) 3 st. swob. 6 st. swob TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 4

5 Pary kinematyczne i łańcuchy kinematyczne Para kinematyczna ruchome połączenie dwóch sztywnych elementów wywołujące ograniczenia ruchu względnego między nimi. Łańcuch kinematyczny połączenie co najmniej dwóch par kinematycznych. Podstawa nieruchomy człon mechanizmu TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 5

6 Pary kinematyczne (3D) klasa V = 6-1 obrotowe postępowa śrubowa TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 6

7 Pary kinematyczne (3D) klasa IV = 6-2 walcowa TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 7

8 Pary kinematyczne (3D) klasa III = 6-3 kulista TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 8

9 Pary kinematyczne (3D) klasa II = TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 9

10 Pary kinematyczne (3D) klasa I = TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 10

11 Pary kinematyczne (2D) klasa V = 6-1 obrotowa postępowa TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 11

12 Pary kinematyczne (2D) klasa IV = 6-2 założenie toczenia z poślizgiem popychacz krzywka TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 12

13 Pary kinematyczne Para niższa kontakt powierzchniowy Para wyższa kontakt punktowy bądź liniowy TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 13

14 Pary kinematyczne Para zamknięta zachowanie kontaktu poprzez geometrię Para otwarta kontakt zachowany z użyciem dodatkowej siły TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 14

15 Wielokrotne pary kinematyczne człony 1 para kinematyczna 3 człony 2 para kinematyczna TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 15

16 Ruchliwość łańcucha kinematycznego Ruchliwość liczba stopni swobody mechanizmu względem podstawy Wzory strukturalne (Chebychev Grübler Kutzbach) (3 D) F=6 N p 1 2 p 2 3 p 3 4 p 4 5 p 5 (2 D) F=3 N p 4 2 p 5 N liczba elementów ruchomych p i liczba par kinematycznych i-tej klasy F >= 1 mechanizm z możliwością ruchu F < 1 mechanizm zablokowany albo ruchomy z więzami biernymi TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 16

17 Wykład 2 Podział strukturalny mechanizmów, metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów płaskich. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 17

18 Klasyfikacja łańcuchów kinematycznych Łańcuch kinematyczny prosty każdy człon łańcucha wchodzi w nie więcej niż dwie pary kinematyczne. Łańcuch kinematyczny złożony co najmniej jeden człon mechanizmu wchodzi w więcej niż dwie pary kinematyczne. Łańcuch kinematyczny otwarty istnieją człony wchodzące tylko w jedną parę kinematyczną. Łańcuch kinematyczny zamknięty żaden człon mechanizmu nie wchodzi w skład tylko jednej pary kinematycznej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 18

19 Podział strukturalny mechanizmów Grupa strukturalna najprostszy łańcuch kinematyczny o ruchliwości zero powstały z podziału mechanizmu. Mechanizm płaski tylko z parami V klasy: F=3 n 2 p 5 =0 p 5 n = 3 2 = 6 4 = 9 6 =... II grupa strukturalna III grupa strukturalna IV grupa strukturalna n=2 p 5 =3 n=4 p 5 =6 n=6 p 5 = TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 19

20 Podział strukturalny mechanizmów I grupa strukturalna człon napędowy n=1 p 5 =1 + napęd napęd korbowy napęd liniowy napęd obrotowy TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 20

21 Kinematyka mechanizmów Analiza kinematyczna mechanizmu polega na wyznaczeniu prędkości i przyspieszeń wybranych członów mechanizmu w interesujących nas położeniach tego mechanizmu. Dana musi być budowa mechanizmu (geometria członów, rodzaje par kinematycznych) oraz sposób jego napędzania TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 21

22 Metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów Metody wykreślne - metoda rzutów prędkości, - metoda chwilowego środka obrotu, - metoda chwilowego środka przyspieszeń, - metoda prędkości obróconych, - metoda rozkładu prędkości, - metoda rozkładu przyspieszeń, - metoda planu prędkości, - metoda planu przyspieszeń. Metoda analityczna TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 22

23 Metoda rzutów prędkości Rzuty prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na kierunek łączący te punkty są sobie równe. v B A B v A TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 23

24 Metoda chwilowego środka obrotu Z chwilowego środka obrotu widać końce wektorów prędkości wszystkich punktów bryły sztywnej pod jednakowym kątem względem prostej łączącej te punkty ze środkiem obrotu. v B v A A B S TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 24

25 Metoda rozkładu prędkości Dowolny ruch płaski bryły sztywnej możemy przedstawić za pomocą sumy ruchu postępowego i obrotowego. Przykład 2 A B = A B + A ω B Prędkość bezwzględna punktu B v B = v A + v BA Prędkość ruchu postępowego całej bryły Prędkość ruchu obrotowego punktu B względem punktu A v BA = ω AB TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 25

26 Metoda planu prędkości Planem prędkości członu sztywnego nazywamy miejsce geometryczne końców wektorów prędkości bezwzględnych członu odłożonych z punktu zwanego biegunem planu prędkości. Plan prędkości członu jest do niego podobny pod względem konfiguracji punktów i obrócony o kąt 90 o zgodnie ze zwrotem chwilowej prędkości kątowej członu TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 26

27 Metoda planu prędkości Dane: geometria, v A i v B Przykład a v A Szukane: v C C B 90 o O v v C v A A v B c v B Rysunek w skali! np. Podziałka geometrii: 1cm 10cm Podziałka wektorów: 1cm 1m/s Inna podziałka geometrii! b TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 27

28 Prędkości w ruchu złożonym A A 1 A 2 v A 2 = v A 1 + v A 2 A 1 Prędkość bezwzględna punktu A 2 Prędkość unoszenia Prędkość względna TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 28

29 Wykład 3 Metody wyznaczania przyspieszeń mechanizmów płaskich Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 29

30 Chwilowy środek przyspieszeń A a A ψ B a B ψ P środek przyspieszeń ψ =arctg ε ω TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 30

31 Metoda rozkładu przyspieszeń Przykład A B = A B + A ω B + A ε B Przyspieszenie bezwzględne punktu B Przyspieszenie bryły w ruchu postępowym a B = a A + a BA = a A + a n BA Przyspieszenie punktu B w ruchu obrotowym względem A. t + a BA Przyspieszenie kątowe (styczne) Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 31

32 Metoda rozkładu przyspieszeń Przykład A B = A B + A ω B + A ε B a B = a A + a BA = a A + a n BA t + a BA Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) a BA = ω ( ω AB )= ω 2 AB Przyspieszenie kątowe (styczne) a BA = ε AB TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 32

33 Plan przyspieszeń Planem przyspieszeń członu sztywnego nazywamy miejsce geometryczne końców wektorów przyspieszeń bezwzględnych członu odłożonych z punktu zwanego biegunem planu przyspieszeń. Plan przyspieszeń członu jest do niego podobny pod względem konfiguracji punktów i obrócony o kąt (180 o -ψ) w kierunku: - zgodnym ze zwrotem chwilowej prędkości kątowej członu, jeżeli jednakowe są zwroty wektorów ω i ε, - przeciwnym do zwrotu chwilowej prędkości kątowej członu, jeżeli przeciwne są zwroty wektorów ω i ε TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 33

34 Dane: a A i a B + geometria Metoda planu przyspieszeń Przykład ψ a Szukane: a C a A C B a B a A A O a a B a C c Przyspieszenia w skali, np.: 1cm 1m/s 2 Geometria w skali względem rozmiarów rzeczywistych b TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 34

35 Przyspieszenia w ruchu złożonym B B 1 B 2 a B 2 = a u B 1 w + a B 2 B1 + a c Bezwzględne przyspieszenie punktu B2 Przyspieszenie unoszenia (bezwzględne przyspieszenie punktu B1) Przyspieszenie względne Przyspieszenie Coriolisa a c =2 ω u v B 2B TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 35

36 Wykład 4 Analityczna metoda wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów płaskich. Mechanizmy krzywkowe. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 36

37 Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń punktów mechanizmów płaskich 1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O xy. 2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację. 3. Wprowadzone wektory muszą tworzyć zamknięte wieloboki, często występując w obrębie grup strukturalnych mechanizmu. 4. Dla wszystkich wektorów wprowadzić jednakowo określone kąty ich orientacji względem wybranej osi (tzw. kąty skierowane). Przyjmijmy, że będą to kąty między dodatnią półosią osi x układu współrzędnych a dodatnim kierunkiem wektora, mierzone z dodatnim znakiem przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. 5. Dla każdego z wieloboku wektorów zapisać wektorowe równanie ich sumy, np.: i=n l i =0 i= TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 37

38 Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń punktów mechanizmów płaskich 6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.: i=n x: l i cos φ i =0 i=1 i=n y: l i sin φ i =0 i=1 (przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania znaków) Na tym etapie warto oznaczyć, które długości wektorów i kąty skierowania są znane (są stałe bo wynikają z geometrii mechanizmu), a które się zmieniają i są niewiadomymi funkcjami. W prawidłowo postawionym zadaniu na koniec tego etapu liczba niewiadomych powinna być równa liczbie równań rzutów. 7. Rozwiązać równania rzutów wyznaczając niewiadome funkcje. Otrzymujemy na tym etapie funkcyjny opis ruchu mechanizmu TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 38

39 Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń punktów mechanizmów płaskich 8. Zróżniczkować wyznaczone w pkt. 7 funkcje aby uzyskać prędkości zmian długości wektorów i ich prędkości kątowe. Dokonać kolejnego różniczkowania w celu uzyskania przyspieszeń zmian długości wektorów i przyspieszeń kątowych. 9. Jeśli w pkt. 8 nie uzyskano pożądanych informacji należy zróżniczkować równania rzutów z pkt. 6. i wyznaczyć prędkości. Po kolejnym różniczkowaniu można wyznaczyć przyspieszenia. Bardzo pomocnicze może okazać się na tym etapie obrócenie układu współrzędnych o pewien kąt, co upraszcza niektóre składniki w równaniach rzutów TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 39

40 Mechanizmy krzywkowe Podstawowe informacje Mechanizm krzywkowy mechanizm składający się z krzywki i popychacza tworzących parę kinematyczną wyższą klasy IV. Krzywka porusza się najczęściej ruchem obrotowym (czasem postępowym, a popychacz ruchem postępowo zwrotnym (czasem wahadłowym). zalety prosta konstrukcja, łatwość wykonania, dowolne wymiary, łatwość uzyskania skomplikowanych przebiegów. wady niska wytrzymałość przy dużych obciążeniach, brak adaptacyjności TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 40

41 Mechanizmy krzywkowe Podstawowe informacje Podział mechanizmów krzywkowych: płaskie / przestrzenne z popychaczem centralnym / z popychaczem mimośrodowym z zamknięciem kinematycznym / z zamknięciem siłowym TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 41

42 Analiza i synteza mechanizmów krzywkowych Analiza mechanizmu krzywkowego wyznaczenie przebiegu przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki dla zadanej konstrukcji i geometrii mechanizmu. Synteza mechanizmu krzywkowego zaprojektowanie geometrii krzywki dla danej konstrukcji mechanizmu krzywkowego w celu uzyskania pożądanego przebiegu przemieszczenia, prędkości lub przyspieszenia popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki. Dodatkowo narzuca się pewne ograniczenia, np. maksymalny wznios popychacza, maksymalną prędkość lub przyspieszenie. Należy sprawdzić również trzecią pochodną wzniosu popychacza (udar), która powinna mieć skończone wartości TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 42

43 Wykład 5 Mechanizmy krzywkowe cd. Dynamika mechanizmów płaskich. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 43

44 Analiza i synteza mechanizmów krzywkowych Analiza Synteza zastąpienie pary IV klasy parami V klasy i zastosowanie metod wykreślnych (plany prędkości i przyspieszeń) graficzne wyznaczenie przebiegu wzniosu popychacza i jego różniczkowanie graficzne zastosowanie metody analitycznej (zastąpienie mechanizmu wielobokiem wektorów) graficzne konstruowanie zarysu krzywki poprzez obracanie koła bazowego i odkładanie pożądanego wzniosu popychacza analityczne projektowanie zarysu krzywki poprzez opis funkcyjny TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 44

45 Synteza mechanizmów krzywkowych Metoda analityczna Dla danego przebiegu przyspieszenia lub prędkości wzniosu popychacza w funkcji czasu (lub kąta obrotu) charakterystykę wzniosu popychacza otrzymuje się poprzez całkowanie. Przebieg wzniosu popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki możemy wprost wykorzystać do wygenerowania zarysu krzywki (lub po przekształceniu do współrzędnych biegunowych). Zastosowanie popychacza ostrzowego pozwala dokładnie odzwierciedlić zadaną funkcję wzniosu popychacza. Zastosowanie popychacza rolkowego wprowadza ograniczenie maksymalnej prędkości wzniosu popychacza wymaga ustalenia proporcji między wielkością krzywki a promieniem rolki. Często projektuje się krzywki o symetrycznym zarysie oraz gładkie (bez uskoków) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 45

46 Dynamika mechanizmów TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 46

47 Dynamika mechanizmów Przegląd zagadnień Opis mechanizmu płaskiego za pomocą brył sztywnych i punktów materialnych. Wykreślne wyznaczanie sił i momentów sił bezwładności. Reakcje w parach kinematycznych. Siły napędzające i robocze. Pierwsze i drugie zadanie dynamiki mechanizmów. Zastosowanie metod wykreślnych, analityczno-wykreślnych i analitycznych. Tarcie w parach kinematycznych TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 47

48 Dynamika mechanizmów Reprezentacja członów mechanizmu Dla członu mechanizmu płaskiego jako bryły sztywnej podajemy: masa położenie środka masy masowy moment bezwładności względem osi prostopadłej do płaszczyzny ruchu i przechodzącej przez środek masy położenie punktów łączenia w pary kinematyczne TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 48

49 Dynamika mechanizmów Reprezentacja członów mechanizmu Metoda mas skupionych układ punktów materialnych równość mas położenie środka masy równość momentów bezwładności TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 49

50 Dynamika mechanizmów Siły i momenty sił bezwładności ε siła bezwładności B C = m a C B C M C Moment od sił bezwładności C a C M C = I C ε TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 50

51 Dynamika mechanizmów Pierwsze zadanie dynamiki Wyznaczenie sił i momentów sił działających na mechanizm wywołujących zadany ruch mechanizmu KINETOSTATYKA MECHANIZMÓW. 0. Zaprojektowanie mechanizmu do wykonywania konkretnego zadania. Ustalenie napędu i sprawdzenie zgodności z założeniami przebiegu przemieszczeń, prędkości i przyspieszeń. 1. W oparciu o wyznaczone przyspieszenia wyznaczyć siły bezwładności działające na człony ruchome mechanizmu w wybranym położeniu mechanizmu. 2.Dokonać rozkładu mechanizmu na podukłady ujawniając reakcje w połączeniach. 3. Zapisać równania d'alemberta dla podukładów mechanizmu (dla ruchu postępowego i obrotowego). 4. Rozwiązać powstałe równania metodą graficzną, analityczną lub mieszaną TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 51

52 Wykład 6 Dynamika maszyn. Redukcja mas i sił. Równanie ruchu maszyny. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 52

53 Redukcja mas i sił Idea redukcji układ o jednym stopniu swobody m r (t) F r (t ) x r (t) lub M r (t) φ r (t) I r (t) układ o wielu stopniach swobody TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 53

54 Redukcja mas Energia kinetyczna E k = 1 2 m r v r 2 m r (t) x r (t) F r (t ) Całkowita energia kinetyczna układu E k (m i, I i, v i,ω i ) lub masa zredukowana v r = dx r(t ) dt M r (t) E k = 1 2 I r ω r 2 φ r (t) I r (t) zredukowany moment bezwładności ω r = d φ r(t) dt TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 54

55 Redukcja sił Moc układu P=F r v r m r (t) F r (t ) x r (t) Całkowita moc układu P(F i, M i,ω i, v i,...) lub siła zredukowana v r = dx r(t ) dt M r (t) P=M r ω r φ r (t) I r (t) moment zredukowany ω r = d φ r(t) dt TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 55

56 Redukcja mas i momentów bezwładności n m r = i=1 2 k v m i i 2 v + r j=1 2 ω I j j 2 v r n I r = i=1 2 k v m i i 2 ω + r j=1 I j ω j 2 ω r 2 Redukcja sił i momentów sił n P r = i=1 k v i P i cosα v i + r j=1 M j ω j v r n M r = i=1 k v i P i ω cosα i + r j=1 M j ω j ω r TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 56

57 Równanie ruchu maszyny dla ruchu postępowego m(t) F (t) v(t) de k =dw d ( 1 2 m(t) ) v(t)2 =F (t)dx 1 2 dm(t)v (t)2 +m(t)v(t)dv(t)=f (t)dx 1 2 dm(t)v(t)2 +m(t ) dx(t ) dv(t )=F (t )dx dt dm(t) v(t) 2 dx dm(t ) dt 2 v(t ) 2 dv(t) +m =F (t ) dt dv(t ) +m =F (t) dt if m=const. m dv(t) = P(t) o r m ẍ(t)=f (t ) dt TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 57

58 Równanie ruchu maszyny dla ruchu obrotowego M (t) φ (t) I (t) de k =dw d( I ω(t)2 ) =M (t)d φ di (t) ω (t) 2 +I (t) d ω(t ) =M (t ) d φ 2 dt di (t) ω(t) d ω (t) +I (t) =M (t) dt 2 dt if I=const. I d ω(t) =M (t ) o r I φ (t)=m (t ) dt TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 58

59 ω 1 (t ) M r (t) I r (t) rozwiązanie ogólne ω 1 g (t)=e e B I r t d ω 1 dt Redukcja mas i sił Przykład 1 Rozruch maszyny I r d ω 1 dt =M r + B I r ω 1 = A M P I r rozwiązanie szczególne ω 1 p (t)=f warunek początkowy ω 1 (t=0)=0 ω 1 (t)= A M P B ( 1 e t) B I r M r = A B ω 1 M P ω 1 (t) ω max = A M P B czas rozruchu (95% maks.) t 95 3 I r B TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 59 t

60 Wykład 7 Nierównomierność ruchu maszyny. Wstęp do automatyki. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 60

61 Nierównomierność biegu maszyny w ruchu ustalonym silnik maszyna φ (t) I R φ (t) ω max Nierównomierność biegu maszyny ω min δ= ω max ω min ω śr ω śr = ω max +ω min 2 t E k.max = 1 2 I ω 2 R max E k.min = 1 2 I ω 2 R min 2 Δ L=E k.max E k. min =δ I R ω śr TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 61

62 Nierównomierność biegu maszyny w ruchu ustalonym F R (t) maszyna x(t) m R ẋ(t) v max v min Nierównomierność biegu maszyny δ= v max v min v śr v śr = v max +v min 2 t 2 Δ L=E k.max E k. min =δ m R v śr TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 62

63 Nierównomierność biegu maszyny w ruchu ustalonym przyczyna nierównomierności biegu - przykład silnik M C M B maszyna M C Δ L M B φ (t) I R π 2π φ (t) φ max Δ L= (M C M B )d φ φ min ω(t) ω max 2 Δ L=E k.max E k. min =δ I R ω śr ω min δ= Δ L 2 I R ω śr φ (t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 63

64 Koło zamachowe w ruchu ustalonym silnik maszyna silnik maszyna φ (t) I R φ (t) I KZ I R φ (t) φ (t) ω max ω min ω max ω min t t 2 Δ L=δ 1 I R ω śr założenie I R const. 2 Δ L=δ 2 (I R +I FW )ω śr δ 1 I R ω 2 2 śr =δ 2 (I R +I KZ )ω śr I KZ = ( δ 1 δ 2 1 ) I R TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 64

65 Podstawy automatyki TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 65

66 Podstawy automatyki Automatyka dyscyplina naukowa (z dziedziny nauk technicznych, wymieniana razem z robotyką) zajmująca się zagadnieniami sterowania procesami bez stałego nadzoru człowieka automatyka automatyzacja Teoria sterowania gałąź matematyki i cybernetyki zajmująca się analizą i modelowaniem matematycznym układów i procesów traktowanych jako układy dynamiczne ze sprzężeniem zwrotnym TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 66

67 Teoria sterowania Klasyczna teoria sterowania Współczesna teoria sterowania (od około 1950) układy o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) układy o wielu wejściach i wyjściach układy liniowe często układy nieliniowe układy niezależne od czasu układy zależne od czasu opis za pomocą transmitancji opis równaniami stanu analiza w dziedzinie czasu i częstości analiza w dziedzinie czasu zainteresowanie odpowiedzią układu zainteresowanie stanem układu TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 67

68 Single Input Single Output (SISO) system x(t) OBIEKT y(t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 68

69 Układy liniowe niezależne od czasu (Linear time-invariant LTI) Układ liniowy x (t) - wejście, y(t)=h(x (t)) - wyjście h(α x(t))=α h(x(t))=α y (t) skalowanie h(x 1 (t)+x 2 (t))=h(x 1 (t))+h(x 2 (t)) superpozycja TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 69

70 Układy liniowe niezależne od czasu (Linear time-invariant LTI) Układ niezależny od czasu wyjście układu nie zależy wprost od czasu jeżeli y(t)=h(x(t)) to y (t τ)=h(x(t τ)) Układ zależny od czasu jeżeli y(t)=h(x(t)) to y (t τ) h(x(t τ)) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 70

71 Sterowanie w otwartej pętli y d (t) pożądane wyjście obiektu KONTROLER sygnał sterujący u(t)=x(t) wejście obiektu OBIEKT y (t) wyjście obiektu TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 71

72 Sterowanie w zamkniętej pętli pożądane wyjście obiektu y d (t) + - błąd sterowani a e(t) KONTROLER sygnał sterujący u(t)=x(t) wejście obiektu OBIEKT y (t) wyjście obiektu TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 72

73 Wykład 8 Transformata Laplace'a. Transmitancja. Wyznaczanie odpowiedzi. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 73

74 Transformata Laplace'a Założenie: x (t) - sygnał taki, że dla t <0 x(t)=0 Transformata Laplace'a funkcji x(t): X (s)=l{x (t)}= 0 x(t)e st dt gdzie: s C, s=σ+ j ω, j= 1 Warunkiem koniecznym istnienia całki jest lokalna całkowalność x(t) dla t <0, ). Odwrotna transformata Laplace'a x(t): x (t)=l 1 {X (s)}= 1 γ+ j ω 2 π j lim ω γ j ω X (s)e st ds TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 74

75 δ(t) impuls jednostkowy skok jednostkowy TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 75

76 splot TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 76

77 Transmitancja Dany jest liniowy niezależny od czasu układ typu SISO o ciągłym sygnale wejściowym x(t) i wyjściowym y(t) d n y (t ) d n 1 y(t ) +a dt n 1 dt n a n 1 dy(t) dt +a n y(t )= dm x(t ) d m 1 x(t ) +b dt m 1 dt m b m 1 dx(t) dt +b m x(t) po transformacie Laplace'a z zerowymi warunkami początkowymi s n Y (s)+a 1 s n 1 Y (s)+...+a n 1 s Y (s)+a n Y (s)=s m X (s)+b 1 s m 1 X (s)+...+b m 1 s X (s)+b m X (s) (s n +a 1 s n a n 1 s+a n )Y (s)=(s m +b 1 s m b m 1 s+b m ) X (s) Transmitancja: G(s)= Y (s) X (s) = sm +b 1 s m b m 1 s+b m s n +a 1 s n a n 1 s+a n TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 77

78 Transmitancja G(s)= Y (s) X (s) = sm +b 1 s m b m 1 s+b m s n +a 1 s n a n 1 s+a n G(s)= Y (s) X (s) = (s z 1)(s z 2 )...(s z m ) (s p 1 )(s p 2 )...(s p n ) z 1, z 2,..., z m - zera transmitancji p 1, p 2,..., p n - bieguny transmitancji TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 78

79 Wejście i wyjście Transmitancja: G(s)= Y (s) X (s) Transformata Laplace'a wyjścia: Y (s)=g(s) X (s) Wyjście w dziedzinie czasu: y(t )=L 1 {Y (s)} y(t)=l 1 {G(s) X (s)}=l 1 {G(s)} L 1 {X (s)}=g(t) x(t) Splot: g(t ) x (t )= g(τ) x(t τ)d τ 0 g(t) - odpowiedź impulsowa układu ( y(t) dla x(t)=δ(t)) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 79

80 Wejście i wyjście dziedzina czasu x (t) g(t) y (t)=g(t) x(t) L L L -1 X (s) G(s) Y (s)=g(s) X (s) dziedzina zespolona TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 80

81 Przykłady funkcji sygnałów wejściowych Brak wejścia: x(t)=0 Wymuszenie impulsowe (Delta Diraca): δ(t)={ 0, t<0, t=0 0, t>0 Jendostkowe wymuszenie skokowe (funkcja Heaviside'a): 1(t)= { 0, t <0 1, t 0 H (t ) lub 1 + (t) Funkcja liniowo narastająca: x (t)= { 0, t <0 t, t 0 Funkcja harmoniczna: x(t)=a sin(ω t ) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 81

82 Wykład 9 Transmitancja widmowa. Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 82

83 Transmitancja operatorowa Dany jest liniowy niezależny od czasu układ typu SISO o ciągłym sygnale wejściowym x(t) i wyjściowym y(t) G(s)= Y (s) X (s) Y (s) - transformata Laplace'a sygnału wyjściowego X (s) - transformata Laplace'a sygnału wejściowego TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 83

84 Transmitancja operatorowa i widmowa Transmitancja operatorowa G(s) pełen opis dynamiki układu (dla dowolnych sygnałów wejściowych) s= j ω Transmitancja widmowa G( j ω) opis dynamiki układu w stanie ustalonym dla harmonicznego sygnału wejściowego TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 84

85 Transmitancja widmowa wejście: x(t)=sin(ω t) transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) G(s) s= j ω G( j ω)=p(ω)+ j Q(ω) A (ω)= G( j ω) = P 2 (ω)+q 2 (ω) wzmocnienie φ (ω)=arg G( j ω)=arctg Q P opóźnienie Wykres transmitancji widmowej Częstościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa Q(ω) ω= Wykres Nyquista ω=0 φ (ω i ) A (ω i ) ω i P(ω) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 85

86 wejście: x(t )=sin(ωt) Transmitancja widmowa transmitancja: G(s) wyjście: y(t)=a sin(ωt +φ ) wykres wzmocnienia (amplitudowo-częstościowy) Wykres Bodego wykres przesunięcia fazowego (fazowo-częstościowy) L(ω) [db] ω [rad/s] φ (ω ) [rad] ω [rad/s] L(ω)=20 log A(ω) oś pozioma w skali logarytmicznej, oś pionowa w skali liniowej! TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 86

87 Transmitancja widmowa Skala liniowa i logarytmiczna A (wzmocnienie) 20logA [db] ,1-20 0, , TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 87

88 Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki Nazwa elementu Równanie Transmitancja proporcjonalny (bezinercyjny) y (t )=ku (t ) k inercyjny I rzędu T dy (t ) dt +y (t )=ku (t ) k Ts+1 całkujący t y (t )=k u (t )dt 0 dy (t ) =ku (t ) dt k s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 88

89 Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki Nazwa Równanie Transmitancja różniczkujący y (t )=k du (t ) dt ks różniczkujący rzeczywisty (z bezwładnością) T dy (t ) dt +y (t )=k du (t ) dt ks Ts TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 89

90 Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki Nazwa Równanie Transmitancja opóźniający y (t )=u (t τ ) e τ s inercyjny II rzędu (oscylacyjny) 2 d 2 y (t ) dy (t ) T 1 +T dt dt +y (t )=ku (t ) k T 1 2 s 2 +T 2 s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 90

91 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 91

92 TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 92

93 Wykład 10 Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki z przykładami. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 93

94 Element proporcjonalny 1. Równanie: y (t )=ku (t ) u(t) - wejście, y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y=ku y u dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G( s)=k 4. Odp. skokowa: y(t)=k u 0 1(t) u(t) y (t ) dla u(t)=u 0 1(t) u 0 k u 0 t TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 94 t

95 Element proporcjonalny 5. Transmitancja widmowa: G( j ω)=k P(ω)=k, Q(ω)=0 6. Wykres Nyquista: Q(ω) P(ω) dla k >0 7. Wykres Bodego: L(ω) [db] 20 log k A(ω)= P 2 +Q 2 = k L(ω)=20 log A(ω) φ (ω)=arctan Q P = { 0, dla k 0 π, dla k<0} ω [rad/s] φ (ω ) [rad] ω [rad/s] TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 95

96 Element proporcjonalny Przykłady 1 ω 1 (t) przekładnia zębata: wejście prędkość kątowa ω 1 (t) wyjście prędkość kątowa ω 2 (t) ω 2 (t) 2 φ 1 (t) przekładnia zębata: wejście kąt obrotu φ 1 (t) wyjście kąt obrotu φ 2 (t) φ 2 (t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 96

97 Element proporcjonalny Przykłady R 1 R 2 3 WZMACNIACZ OPERACYJNY: V supply wejście napięcie v 1 (t) wyjście napięcie v 2 (t) v 1 (t) 0V v 2 (t) v 2 (t )=v 1 (t ) ( 1+ R 2 R 1 ) 4 F 1 F 2 BELKA w stanie ustalonym: wejście siła F 1 wyjście siła F TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 97

98 Element proporcjonalny Przykłady 5 x 1 (t ) x 2 (t ) PODNOŚNIK HYDRAULICZNY: wejście przemieszczenie x 1 (t) wyjście przemieszczenie x 2 (t) 6 x(t) SIŁOWNIK PNEUMATYCZNY: wejście ciśnienie p 1 (t) p(t) wyjście przemieszczenie x(t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 98

99 1. Równanie: Element inercyjny pierwszego rzędu T dy (t ) dt +y (t )=ku (t ) u(t) - wejście y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y=ku y dla dy dt =0 du dt =0 u 3. Transmitancja: G(s)= k Ts TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 99

100 Element inercyjny pierwszego rzędu 4. Odp. skokowa: Wejście: u(t)=u 0 1(t) Transformata Laplace'a wejścia: U (s)=u 0 1 s Transformata Laplacea wyjścia: Y (s)=g (s)u (s)= k u 0 s(ts +1) Wyjście: y(t)= L 1 {Y (s)}=k u 0 (1 e t /T ) u(t) u 0 k u 0 y (t) 0,950 k u 0 0,865 k u 0 0,632 k u 0 t T 2T 3T t TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 100

101 Element inercyjny pierwszego rzędu 5. Transmitancja widmowa: P(ω)= G( j ω)= k Tj ω+1 k T 2 ω 2 +1, Q(ω)= k T ω T 2 ω Wykres Nyquista: zał.: k >0 Q(ω) ω= 0 ω=0 k/2 k P(ω) k /2 ω=1/t TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 101

102 Element inercyjny pierwszego rzędu 7. Wykres Bodego: A(ω)= P 2 +Q 2 = k / T 2 ω 2 +1 L(ω)=20 log A(ω)=20 log k 20 log T 2 ω 2 +1 φ (ω)=arctan Q P =arctan ( T ω ) L(ω) [db] 20 log k 1 10T 1 T 20 log k log k 3 10/T ω [rad/s] φ (ω ) [rad] π T 1 10 T 1 T 10 T ω [rad/s] 100 T π 2 20 log k TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 102

103 Element inercyjny pierwszego rzędu Przykłady 1 F(t) v(t) RUCH POSTĘPOWY PUNKTU MATERIALNEGO Z LINIOWYM TŁUMIENIEM: wejście siła F(t) wyjście prędkość v(t) Przykład: ruch samochodu po płaskim podłożu z oporem powietrza proporcjonalnym do prędkości (np. opisany za pomocą równania ruchu maszyny ze stałą masą zredukowaną) 2 M(t) ω(t) RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ Z LINIOWYM TŁUMIENIEM: wejście moment M(t) wyjście prędkość kątowa ω(t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 103

104 Element inercyjny pierwszego rzędu Przykłady 3 p 1 (t) p 2 (t) ZBIORNIK POWIETRZA: wejście ciśnienie p 1 (t) wyjście ciśnienie p 2 (t) 4 OGRZEWANY OBIEKT O MAŁEJ BEZWŁADNOŚCI: wejście moc grzałki h(t) wyjście temperatura obiektu T i (t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 104

105 1. Równanie: Element całkujący dy(t) dt =k u(t ) u(t) - wejście y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y u u=0 dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G(s)= k s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 105

106 Element całkujący 4. Odp. skokowa: Wejście: u(t)=u 0 1(t) Transformata Laplace'a wejścia: U (s)=u 0 1 s Transformata Laplace'a wyjścia: Y (s)=g(s)u (s)= k u 0 s 2 Wyjście: y(t)= L 1 {Y (s)}=k u 0 t u(t) u 0 y (t ) u 0 t 1/k t TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 106

107 5. Transmitancja widmowa: Element całkujący G( j ω)= k j ω P(ω)=0, Q(ω)= k ω 6. Wykres Nyquista: dla k >0 Q(ω) 0 ω= P(ω) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 107

108 Element całkujący 7. Wykres Bodego: A(ω)= P 2 +Q 2 = k ω L(ω)=20 log A(ω)=20log k ω φ (ω)=arctan Q P =arctan ( ) 20 db/dek dla k > L(ω) [db] 0 k/10 k 10k 100 k ω [rad/s] φ (ω ) [rad] π 2 ω [rad/s] TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 108

109 Element całkujący Przykłady 1 f(t) PROSTOPADŁOŚCIENNY ZBIORNIK PŁYNU: wejście wydatek dopływu f(t) wyjście poziom cieczy h(t) h(t) R C 2 WZMACNIACZ v 1 (t) OPERACYJNY: V wejście napięcie v 1 (t) supply wyjście napięcie v 2 (t) 0V v 2 (t) v 2 (t)= 1 t RC 0 v 1 (t)dt TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 109

110 Element całkujący Przykłady 3 ω(t) przekładnia zębata: wejście prędkość kątowa ω(t) wyjście kąt obrotu φ(t) φ(t) 4 CYLINDER HYDRAULICZNY: wejście wydatek cieczy f(t) f(t) wyjście przemieszczenie x(t) x(t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 110

111 1. Równanie: Element różniczkujący idealny y(t)=k du(t) dt u(t) - wejście y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y=0 y u dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G( s)=k s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 111

112 4. Odp. skokowa: Element różniczkujący idealny Wejście: u(t)=u 0 1(t) Transformata Laplacea wejścia: U (s)=u 0 1 s Transformata Laplacea wyjścia: Y (s)=g (s)u (s)=k u 0 Wyjście: y(t)= L 1 {Y (s)}=k u 0 δ(t) u(t) y (t ) u 0 t t TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 112

113 Element różniczkujący idealny 5. Transmitancja widmowa: G( j ω)= j k ω P(ω)=0, Q(ω)=k ω 6. Wykres Nyquista: dla k >0 Q(ω) 0 ω=0 P(ω) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 113

114 πφ (ω ) [rad] Element różniczkujący idealny 7. Wykres Bodego: A(ω)= P 2 +Q 2 = k ω L(ω)=20 log A(ω)=20 log k ω φ (ω)=arctan Q P =arctan ( ) +20 db/dek dla k > L(ω) [db] 0 20 k/10 k 10k ω [rad/s] ω [rad/s] TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 114

115 Element różniczkujący idealny Przykłady 1 φ(t) PRZEKŁADNIA ZĘBATA: wejście kąt obrotu φ(t) wyjście prędkość kątowa ω(t) ω(t) C R 2 WZMACNIACZ v 1 (t) OPERACYJNY: V wejście napięcie v 1 (t) supply wyjście napięcie v 2 (t) 0V v 2 (t) v 2 (t)= RC dv 1(t) dt TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 115

116 Element różniczkujący rzeczywisty 1. Równanie: T dy(t) dt + y (t)=k du(t) dt u(t) - wejście y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y u y=0 dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G(s)= k s Ts TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 116

117 Element różniczkujący rzeczywisty 4. Odp. skokowa: Wejście: u(t)=u 0 1(t) 1 Transformata Laplacea wejścia: U (s)=u 0 s Transformata Laplacea wyjścia: Y (s)=g (s)u (s)= k u 0 Ts+1 Wyjście: y(t)= L 1 {Y (s)}=k u 0 e t /T y (t ) u(t) k u 0 u 0 t 0,368 k u 0 0,135 k u 0 0,050 k u 0 T 2T 3T TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 117 t

118 5. Transmitancja widmowa: Element różniczkujący rzeczywisty G( j ω)= k j ω Tj ω+1 P(ω)= k T ω2 T 2 ω 2 +1, Q(ω)= k ω T 2 ω Wykres Nyquista: dla k >0 k /2 Q(ω) ω=1/t 0 ω=0 ω= k k P(ω) 2T T TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 118

119 Element różniczkujący rzeczywisty 7. Wykres Bodego: A(ω)= P 2 +Q 2 = k ω / T 2 ω 2 +1 L(ω)=20 log A(ω)=20log k ω 20 log T 2 ω 2 +1 φ (ω)=arctan Q P =arctan ( 1 T ω) 20 log k /T 20 log k /T 3 π 2 dla k >0 0 L(ω) [db] 1 10 T 1 T 10/T 20 log k /T 20 ω [rad/s] φ (ω ) [rad] π 4 ω [rad/s] 20 log k /T T 1 10 T 1 T 10 T 100 T TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 119

120 Element różniczkujący rzeczywisty Przykłady 1 OBWÓD RC: wejście napięcie u 1 (t) wyjście napięcie u 2 (t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 120

121 Element opóźniający 1. Równanie: y(t)=u(t τ) u(t) - wejście y (t) - wyjście 2. Charakterystyka statyczna: y=u y u dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G(s)=e τ s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 121

122 Element opóźniający 4. Odp. skokowa: Wejście: u(t)=u 0 1(t) 1 Transformata Laplacea wejścia: U (s)=u 0 s Transformata Laplacea wyjścia: Y (s)=g (s)u (s)= u 0 τ s s e Wyjście: y(t)= L 1 {Y (s)}=u 0 1(t τ) u(t) y (t ) u 0 u 0 τ t t TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 122

123 Element opóźniający 5. Transmitancja widmowa: G( j ω)=e τ j ω e x =cos x j sin x P(ω)=cos(τ ω), Q (ω)= sin(τ ω) 6. Wykres Nyquista: Q(ω) 1 ω= 3 π 2 τ ω= π τ 1 0 ω=0 1 P(ω) ω= π 2 τ TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 123 1

124 Element opóźniający 7. Wykres Bodego: L(ω)=20 log A(ω)=20 log 1=0 φ (ω)=arctan Q P A(ω)= P 2 +Q 2 =1 =arctan ( tan(τ ω))= τ ω L(ω) [db] T 1 T 10 T ω [rad/s] π φ (ω ) [rad] π τ 10 π τ ω [rad/s] TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 124

125 Element opóźniający Przykłady 1 TRANSMISJA BEZPRZEWODOWA: wejście dane wysłane wyjście dane odebrane nadajnik odbiornik TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 125

126 Element inercyjny drugiego rzędu 1. Równanie: T 1 2 d 2 y(t) dt 2 +T 2 dy(t) dt + y(t)=k u(t) 2. Charakterystyka statyczna: y=ku y u dla dy dt =0 du dt =0 3. Transmitancja: G( s)= k T 1 2 s 2 +T 2 s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 126

127 Element inercyjny drugiego rzędu 4. Odp. skokowa: Wejście: u(t)=u 0 1(t) Transformata Laplacea wejścia: U (s)=u 0 1 s Transformata Laplacea wyjścia: Y ( s)=g (s)u (s)= wyjście: y (t )= L 1 {Y (s )}= k u 0 s(t 1 2 s 2 +T 2 s+1) ={ k u 0 T 1 2 (1 e ht ( cosωt + h ω sin ω t )), dla h ω 0 k u 0 T 1 2 ( 1+e ht (( h+w 2 w 1 ) wt h+w )) e 2 w ewt, dla h ω 0 gdzie: h= T 2 2T, ω = , ω= ω 1 T 0 h 2, w= h 2 2 ω TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 127

128 Element inercyjny drugiego rzędu 4. Odp. skokowa: y (t) h<ω 0 u(t) k u 0 u 0 h=ω 0 t h>ω 0 t TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 128

129 Element inercyjny drugiego rzędu 5. Transmitancja widmowa: k G( j ω)= T 2 1 ω 2 +T 2 j ω+1 P(ω)= k (1 T 2 1 ω 2 ) (1 T 2 1 ω 2 ) 2 +T 2 2 ω, Q (ω)= k T 2 ω 2 (1 T 2 1 ω 2 ) 2 +T 2 2 ω 2 6. Wykres Nyquista: dla k >0 Q(ω) 0 ω= ω=0 k P(ω) dla h<ω 0 dla h=ω 0 dla h>ω 0 ω=1/t TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 129

130 Element inercyjny drugiego rzędu 7. Wykres Bodego: L(ω)=20 log A(ω) φ (ω)=arctan Q P A(ω)= P 2 +Q 2 dla h<ω 0 dla h=ω 0 dla h>ω 0 L(ω) [db] 20 log k T 1 T 1 20 log k T 1 ω [rad/s] φ (ω ) [rad] π T 1 10 T dla k >0 1 T 10 T ω [rad/s] 100 T π 20 log k TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 130

131 Element inercyjny drugiego rzędu Przykłady 1 UKŁAD DRGAJĄCY: wejście siła F(t) wyjście przemieszczenie y(t) punkt materialny o masie m F(t) y(t) liniowa sprężyna o sztywności k liniowy tłumik o współczynniku c TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 131

132 Element inercyjny drugiego rzędu Przykłady 1 F(t) x(t) RUCH POSTĘPOWY PUNKTU MATERIALNEGO Z LINIOWYM TŁUMIENIEM: wejście siła F(t) wyjście przemieszczenie x(t) Przykład: ruch samochodu po płaskim podłożu z oporem powietrza proporcjonalnym do prędkości (np. opisany za pomocą równania ruchu maszyny ze stałą masą zredukowaną) 2 M(t) φ(t) RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ Z LINIOWYM TŁUMIENIEM: wejście moment M(t) wyjście kąt obrotu φ(t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 132

133 Element inercyjny drugiego rzędu Przykłady 4 OGRZEWANY OBIEKT O DUŻEJ BEZWŁADNOŚCI: wejście moc grzałki h(t) wyjście temperatura obiektu T i (t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 133

134 Klasyfikacja podstawowych obiektów automatyki nazwa elementu Proporcjonalny Inercyjny pierwszego rzędu Całkujący Różniczkujący idealny Różniczkujący rzeczywisty Element opóźniający Inercyjny drugiego rzędu transmitancja k k Ts+1 k s ks ks Ts+1 e τ s k T 2 1 s 2 +T 2 s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 134

135 Wykład 11 Algebra schematów blokowych. Regulatory automatyczne i sterowanie. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 135

136 Algebra schematów blokowych transmitancja X(s) G(s) Y(s) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 136

137 Algebra schematów blokowych węzeł informacyjny X(s) X(s) X(s) X(s) Jedno wejście, wiele wyjść TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 137

138 Algebra schematów blokowych węzeł sumacyjny C(s) A(s) + + B(s) A(s)+B(s)-C(s) Wiele wejść, jedno wyjście TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 138

139 Algebra schematów blokowych połączenie szeregowe x(s) y(s) x(s) y(s) G 1 (s) G 2 (s) G R (s) G R (s)=g 1 (s) G 2 (s) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 139

140 Algebra schematów blokowych połączenie równoległe G 3 (s) + x(s) - y(s) x(s) y(s) G 1 (s) G R (s) + G 2 (s) G R (s)= - G 1 (s) + G 2 (s) + G 3 (s) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 140

141 Algebra schematów blokowych połączenie ze sprzężeniem zwrotnym x(s) + y(s) x(s) y(s) G 1 (s) G R (s) G 2 (s) G R = G 1 1+G 1 G TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 141

142 Algebra schematów blokowych zmiana kolejności węzłów informacyjnych X(s) X(s) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 142

143 Algebra schematów blokowych przeniesienie węzła sumacyjnego za blok transmitancji X(s) + + A(s) G(s) Y(s) X(s) G(s) + + G(s) Y(s) A(s) Y=(X+A)G Y=XG+AG TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 143

144 Algebra schematów blokowych zmiana kolejności węzłów sumacyjnych Przykład 2 - UWAGA NA ZNAKI! A(s) A(s) B(s) C(s) C(s) B(s) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 144

145 Algebra schematów blokowych zmiana kolejności bloku transmitancji i węzła informacyjnego G(s) G(s) G(s) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 145

146 Regulatory automatyczne i sterowanie TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 146

147 Sterowanie w zamkniętej pętli pożądane wyjście obiektu y d (t) + - błąd sterowani a e(t) REGULATOR sygnał sterujący u(t)=x(t) wejście obiektu OBIEKT y(t) wyjście obiektu TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 147

148 Sterowanie w zamkniętej pętli błąd sterowani a e(t) REGULATOR sygnał sterujący u(t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 148

149 Podstawowe regulatory dwustanowy trójstanowy Proporcjonalny (P) Całkujący (I) Różniczkujący (D) Proporcjonalno-całkująco-różniczkujący (PID) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 149

150 Regulator dwustanowy u(t) błąd sterowani a e(t) u max e 0 e 0 e(t) sygnał sterujący u(t) u min { u max, jeżeli e>e 0 u(t)= u min, jeżeli e< e 0 bez zmian, w pozostałych przypadkach} e o - histereza konstrukcyjna lub programowalna TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 150

151 Przykład 1 Sterowanie prędkością (tempomat) pojazd na płaskim podłożu m masa pojazdu, f(t) siła napędowa, d(t)=c*v(t) opór powietrza, v(t) prędkość pojazdu m dv(t ) = f (t) d (t) dt G(s)= V (s) F (s) = 1 ms+c Prędkość zadana v d (t) + - Błąd prędkości e(t) REGULATOR Siła napędowa f (t) POJAZD Prędkość zmierzona v (t) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 151

152 Ograniczenie wartości sygnałów (saturacja) wyjście wejście TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 152

153 Strefa nieczułości wyjście wejście TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 153

154 Przykład 2 Sterowanie poziomem wody x 1 (t) h(t) x 1 (t)[m 3 /s] - dopły wody (sterowany) x 2 (t) x 2 (t )[m 3 /s] - odpływ wody (niesterowany, nie mierzony) v (t )[m 3 ] - objętość wody w zbiorniku h(t)[m] - poziom wody w zbiorniku A [m 2 ] - pole powierzchni przekroju zbiornika prostopadłościennego TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 154

155 Wykład 12 Regulator PID. Stabilność. Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 155

156 Sterowanie w zamkniętej pętli pożądane wyjście obiektu y d (t) + - błąd sterowani a e(t) REGULATOR sygnał sterujący u(t)=x(t) wejście obiektu OBIEKT y (t) wyjście obiektu TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 156

157 Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Transmitancja Proporcjonalny (P) Całkujący (I) Różniczkujący idealny (D) Różniczkujący rzeczywisty (D) k P 1 T i s T d s T d s T s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 157

158 Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Transmitancja Proporcjonalno-całkujący (PI) k P ( 1+ 1 T i s) Proporcjonalnoróżniczkujący (PD) k P (1+T d s) TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 158

159 Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Transmitancja Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci standardowej z różniczkowaniem idealnym k P ( 1+ 1 T i s +T d s ) Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci równoległej z różniczkowaniem idealnym k P +k i 1 s +k d s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 159

160 Transmitancje podstawowych regulatorów Regulator Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci standardowej z różniczkowaniem rzeczywistym Proporcjonalno-całkującoróżniczkujący (PID) w postaci równoległej z różniczkowaniem rzeczywistym Transmitancja k P ( 1+ 1 T i s + T d s Ts+1) k P +k i 1 s +k d s Ts TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 160

161 Regulator PID postać standardowa z różniczkowaniem idealnym 1 k P 1 T i s T d s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 161

162 Regulator PID postać równoległa z różniczkowaniem idealnym k P k i 1 s k d s TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 162

163 Regulatory - odpowiedzi na wymuszenia skokowe błąd sterowani a e(t) REGULATOR sygnał sterujący u(t)? TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 163

164 Regulator proporcjonalny (P) G(s)=K p K p x 0 wyjście x 0 wejście czas TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 164

165 Regulator całkujący (I) G(s)= 1 T i s wyjście x 0 wejście T i czas TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 165

166 Regulator proporcjonalno-całkujący (PI) G(s)=K p( 1+ 1 T i s) 2 K p x 0 wyjście K p x 0 x 0 wejście T i czas TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 166

167 Regulator różniczkujący idealny (D) + G(s)=T d s wyjście x 0 wejście czas TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 167

168 Regulator różniczkujący idealny (D) G(s)=T d s T d x 0 Δ t sygnały dyskretne x 0 wejście wyjście Δ t czas TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 168

169 Regulator proporcjonalno-różniczkujący (PD) + G(s)=K P (1+T d s) wyjście K p x 0 x 0 wejście czas TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 169

170 Regulator różniczkujący rzeczywisty (D) G(s)= T d s T s+1 u max =x 0 T d T wyjście 0,368 u max x 0 wejście 0,135 u max 0,05u max T T T czas TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 170

171 Regulator proporcjonalno-różniczkujący rzeczywisty (PD) K P x 0( 1+ T d T ) G(s)=K p( 1+ T d s T s+1) K p x 0 wyjście x 0 wejście czas TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 171

172 Regulator PID w postaci standardowej z różniczkowaniem idealnym + G(s)=K p( 1+ 1 T i s +T d s) wyjście 2 K p x 0 K p x 0 x 0 wejście czas T i TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 172

173 Regulator PID w postaci standardowej z różniczkowaniem rzeczywistym K P x 0( 1+ T d T ) G(s)=K p( 1+ 1 T i s + T d s T s+1) wyjście 2 K p x 0 K p x 0 x 0 wejście czas T i TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 173

174 regulator PID charakterystyka działania Czynnik proporcjonalny zazwyczaj niezbędny do działania regulatora, gdyż powoduje generowanie sygnału sterującego zbliżającego wyjście układu do wartości zadanej; zwiększanie jego wartości zazwyczaj zmniejsza błędy sterowania; sygnał sterujący jest uzależniony tylko od aktualnej wartości błędu; Czynnik całkujący akumuluje błędy; niezerowy błąd powoduje wzrost sygnału sterującego, co zazwyczaj pomaga osiągnąć wartość zadaną; sygnał sterujący jest uzależniony od wcześniejszego przebiegu błędów; problem nasycenia całkowania; wygładza zakłócenia; Czynnik różniczkujący reaguje na zmiany wartości błędu; przy stałym błędzie generuje zerowy sygnał sterujący; sygnał sterujący wynika z trendu przyszłego błędu; czynnik bardzo podatny na zakłócenia; TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 174

175 regulator PID problem nasycenia całkowania (integral windup) Po dużej zmianie wartości zadanej czynnik całkujący może wygenerować bardzo duży sygnał sterujący na skutek długiego akumulowania błędu. Sygnał ten może wręcz osiągnąć maksymalną dopuszczalną wartość. Sygnał sterujący będzie tak duży dopóki wartość zakumulowanego błędu nie zacznie spadać, a to ma miejsce dopiero po osiągnięciu przeciwnego znaku błędu. Działanie układu sterowania jest zatem przez długi czas zablokowane, co niekorzystnie wpływa na zachowanie układu. Możliwe rozwiązanie problemu: wyłączanie i zerowanie zakumulowanego błędu, jeśli wartość błędu jest poza pewnym małym obszarem wokół zera TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 175

176 regulator PID metody doboru nastawów regulatora Analityczna Symulacyjna Eksperymentalna 1: wyznaczyć transmitancję zredukowaną układu sterowania 2: wyznaczyć odpowiedź na wymuszenie skokowe 3: dobrać parametry Kp, Ki i Kd do uzyskania zadowalającego kształtu odpowiedzi skokowej (można badać również odpowiedzi na dowolne wymuszenia lub charakterystyki Bodego) 1: wyznaczyć transmitancję zredukowaną układu sterowania 2: dokonać symulacji działania układu dla dowolnego interesującego nas wymuszenia 3: dobrać parametry Kp, Ki i Kd do uzyskania zadowalającego kształtu Strojenie ręczne lub metody: Zieglera-Nicholsa Pessena Cohen a-coon a Åström a Hägglund a TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 176

177 regulator PID metoda Zieglera-Nicholsa (PID w formie standardowej) 1. Ustawić regulator na działanie proporcjonalne o minimalnej wartości wzmocnienia. 2. Obserwować odpowiedzi skokowe układu. Przejść do punktu 3 jeśli zaobserwuje się niegasnące oscylacje wyjścia układu. Jeśli brak oscylacji lub zanikają, to należy podnieść nieznacznie współczynnik wzmocnienia i powtórzyć punkt Dla uzyskanego w punkcie 2 wzmocnienia krytycznego K kryt i zmierzonego okresu oscylacji T kryt wyznaczyć nastawy według tabeli: k p T i T d Klasyczna reguła Zieglera-Nicholsa 0,6 K u 0,5 T u 0,125 T u Wersja Pessen 0,7 K u 0,4 T u 0,15 T u Bez przeregulowania 0,2 K u 0,5 T u 0,333 T u TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 177

178 dt = 0.5 p_błąd = 0. suma = 0. Kp = 1. Ki = 1. Kd = 1. start: regulator PID (równoległy) programowanie (pseudokod) wartość zadana + błąd PID sterowanie pomiar OBIEKT wartość_zadana = wartość_zmierzona = błąd = wartość_zadana wartość_zmierzona suma = suma + błąd * dt pochodna = (błąd p_błąd) / dt wyjście = Kp* błąd + Ki*suma + Kd*pochodna p_błąd = błąd wait(dt) goto start wyjście TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 178

179 regulator PID symulacja regulator PID w sterowaniu ruchem samochodu TMiPA, Wykład 14, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 179