Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu równania........................... 3 1.4 Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu................. 8 1.5 Obniżanie rzędu równania liniowego jednorodnego............. 9 1.6 Rozwiązywanie równań niejednorodnych................... 11 1.6.1 Metoda uzmienniania stałych..................... 11 1.6. Metoda Cauchy ego.......................... 14 Zadania 16.1 Zadania na 3.0................................. 16. Zadania na 4.0................................. 16.3 Zadania na 5.0................................. 17 1 Wstęp 1.1 Istnienie rozwiązań Sprowadzenie do układu równań pierwszego rzędu. Każde jawne równanie różniczkowe rzędu n y n) = f x, y, y,..., y n 1)) 1) można przez wprowadzenie nowych zmiennych: y 1 = y ) y = y 3)... 4) y n 1 = y n 1) 5) przekształcić do układu n równań różniczkowych pierwszego rzędu: dy dx = y 1 6) 1

dy 1 dx = y 7)... 8) dy n 1 dx = f x, y, y 1,..., y n 1 ) 9) W porównaniu z powyższym bardziej ogólny układ n równań różniczkowych pierwszego rzędu: dy i dx = f i x, y 1, y,..., y n ) dla i = 1,,..., n 10) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe określone i ciągłe w przedziale i spełniające warunek początkowy: jeśli tylko funkcje y i = y i x) dla i = 1,,..., n 11) x 0 h x x 0 + h 1) y i x 0 ) = y i0 dla i = 1,,..., n 13) f i x, y 1, y,..., y n ) 14) są ciągłe względem wszystkich zmiennych i spełniają warunek Lipschitza. 1. Rozwiązanie ogólne Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego zawiera n niezależnych stałych: y = y x, C 1, C,..., C n ) 15) Aby całka szczególna spełniała warunki początkowe, wartości C 1, C,..., C n muszą zostać wyznaczone z równań: y x 0, C 1,..., C n ) = y 0 16) [ ] d dx y x, C 1,..., C n ) = y 0 17) x=x 0... 18) [ ] d n 1 dx n 1 y x, C 1,..., C n ) = y n 1) 0 x=x 0 19) Rozwiązanie ogólne układu 10) również zawiera n stałych dowolnych. Rozwiązanie to możemy przedstawić na dwa sposoby, w postaci rozwiązanej albo względem niewiadomych funkcji: y 1 = F 1 x, C 1,..., C n ) 0)

albo względem stałych dowolnych: Dla drugiego przypadku, każdą relację postaci y = F x, C 1,..., C n ) 1)... ) y n = F n x, C 1,..., C n ) 3) φ 1 x, y 1, y,..., y n ) = C 1 4) φ x, y 1, y,..., y n ) = C 5)... 6) φ n x, y 1, y,..., y n ) = C n 7) φ i x, y 1, y,..., y n ) = C i 8) nazywamy całką pierwszą układu 10). Jeśli dana jest jakakolwiek całka szczególna powyższej postaci to funkcja φ i x, y 1, y,..., y n ) 9) musi spełniać następujące równanie różniczkowe cząstkowe: φ i x + f 1 x, y 1,..., y n ) φ i y 1 +... + f n x, y 1,..., y n ) φ i y n = 0 30) i odwrotnie, każde rozwiązanie φ i x, y 1,..., y n ) powyższego równania różniczkowego jest całką pierwszą układu 10). Rozwiązanie ogólne układu 10) można złożyć z n całek pierwszych tego układu, takich, że odpowiednie funkcje φ i x, y 1,..., y n ) pozostają liniowo niezależne. 1.3 Obniżanie rzędu równania Jedną z najważniejszych metod całkowania równań różniczkowych n-tego rzędu f x, y, y,..., y n)) = 0 31) jest podstawienie nowych zmiennych. Rozwiązywanie równań szczególnych typów: 1. f jest postaci: y n) = f x) 3) Rozwiązanie ogólne otrzymujemy przez n-krotne całkowanie: y = C 1 + C x + C 3 x +... + C n x n 1 + ψ x) 33) gdzie ψ x) =... f x) dx) n = 1 x f t) x t) n 1 dt 34) n 1)! x 0 3

. Równanie bez jawnie występującego y: f x, y,..., y n)) = 0 35) Dokonujemy podstawienia: y = p. 36) Jeśli pierwszych k pochodnych nie występuje w równaniu wyjściowym, to stosujemy podstawienie postaci: y k+1) = p 37) Przykład 1. Po podstawieniu y = p: Otrzymujemy równanie pierwszego rzędu. Rozwiązanie: Po podstawieniu i scałkowaniu: Po ponownym całkowaniu: y xy + y 3 = 0 38) p x dp ) dp 3 dx + = 0 39) dx p = C 1 x C 3 1 40) y = 1/C 1 x C 3 1x + C 41) y = 1/6C 1 x 3 C 3 1x / + C x + C 3 4) Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= y% 7% 7-xy% 7% 7% 7% By% 7% 7% 7^3+ %3D+ 0. 3. Równanie bez jawnie występującego x: f y, y,..., y n)) = 0 43) Celem jest takie podstawienie aby otrzymać równanie różniczkowe rzędu n 1 z nową zmienną zależną p i zmienną niezależną y. Dokonujemy podstawienia: y = d p dx = dp dp dy dx y = p 44) y = dp dx = dy dp dx dy = pdp dy = dp dp dx dy + pddp dy dx = pdp dy i redukujemy równanie do równania rzędu n 1. 4 45) dp dy + p dy d dp dy dx dy = pdp dp dy dy + p d p dy 46)

Przykład. yy y = 0 47) yp dp dy p = 0 / : p p 0 48) y dp p = 0 / : py y 0 49) dy 1 p dp 1 dy = 0 50) y ln p ln y = lne C 51) p y = ec 5) p = C 1 y C 1 0 53) dy dx = C 1y 54) ln y = C 1 x + C 55) ln y = lne C 1x + lne C 56) y = C 3 e C 1x C 3 0 57) Gdy p = 0, to otrzymujemy funkcję stałą, która spełnia równanie, więc dołączamy C 1 = 0 i C 3 = 0. Gdy y = 0, jest to też stała, która już była rozpatrywana C 3 = 0). Więc ostatecznie y = C 3 e C 1x 58) Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= yy% 7% 7-y% 7^+ %3D+ 0. Przykład 3. Po zamianie zmiennych otrzymujemy y y = 0 59) p dp dp dy dy + p d p dy p = 0 60) Możemy wyłączyć p przed nawias: ) dp dp p dy dy + p pd dy 1 = 0 61) Równanie jest spełnione gdy p = 0, czyli y = C oraz gdy spełnione jest drugie równanie. 5

Następnie ponownie obniżamy rząd drugiego równania: gdzie t + pt dt dp 1 = 0 6) p = t 63) Jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, także Bernoulliego, http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= t^+ %B+ pt+ dt% Fdp+ -+1+ %3D+ 0. Rozwiązanie c1 + p t p) = ± 64) p Następnie powracamy do zmiennej p podstawiając 63) p c1 + p = ± p 65) pp = ± c 1 + p 66) p p = c 1 + p 67) Równanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= p% 8y% 9^p% 7^+ %3D+ c1+ %B+ p^. Równanie to można rozwiązać za pomocą zmiennych rozdzielonych. Wynik p = ± ±c y + c c 1 + y 68) Następnie powracamy do zmiennej y podstawiając 44) y = ± ±c y + c c 1 + y 69) y = ±c y + c c 1 + y 70) Równanie http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= y% 7% 8x% 9^+ %3D+ c_ y% 8x% 9+ %B+ c_ ^+ -+c_ 1+ %B+ y% 8x% 9^ oraz http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= y% 7% 8x% 9^+ %3D+ -c_ y% 8x% 9+ %B+ c_ ^+ -+c_ 1+ %B+ y% 8x% 9^. Równanie to można rozwiązać za pomocą zmiennych rozdzielonych. Rozwiązania y = 1 ) c 1 e c3 x + e c3+x c 71) y = 1 c1 e x c 3 + e c3 x ) c y = 1 ) c 1 e c3 x + e c3+x + c y = 1 c1 e x c 3 + e c3 x ) + c 7) 73) 74) 6

Możemy te rozwiązania połączyć ze sobą: y = 1 ) c 1 e c3 x + e c3+x + c y = 1 c1 e x c 3 + e c3 x + c ) 75) 76) gdzie c = ±c. Równanie wyjściowe http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= y% 7% 7% 7- y% 7% 3D0. 4. Funkcja f jest funkcją jednorodną zmiennych y, y,..., y n). Dokonujemy podstawienia: z = y y y 0 77) Przykład 4. Funkcja f jest jednorodna ponieważ: Po podstawieniu otrzymujemy: dz dx = y y y y 78) yy y = 0 79) λx 1 λx λ x 3 = λ x 1 x x 3 ) 80) y dz dx = 0 81) y = 0 z = C 8) y y = C 83) ln y = Cx + C 1 84) y = C e Cx C 0 85) Po połączeniu z drugim rozwiązaniem y = 0 otrzymujemy gdzie C 3 R. Alternatywnie można zauważyć ogólnie, że y = C 3 e Cx 86) y = e zdx 87) y = ze zdx 88) y = z e zdx + z e zdx 89) 7

oraz dodatkowo musimy sprawdzić rozwiązanie y = 0. Po podstawieniu w przykładzie otrzymujemy ) e zdx z e ) zdx + z e zdx z e zdx = 0 90) z = 0 91) z = C 9) i dalej podobnie. Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= yy% 7% 7-y% 7^% 3D0. 1.4 Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu Równanie różniczkowe postaci: y n) + a 1 x) y n 1) + a x) y n ) +... + a n 1 x) y + a n x) y = F x) 93) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu. Zakładamy, że funkcje F i a i zmiennej x są ciągłe w pewnym ustalonym przedziale. W przypadku, gdy a 1, a,..., a n są stałymi, równanie nazywamy równaniem różniczkowym o stałych współczynnikach, gdy F 0 równaniem różniczkowym jednorodnym nie mylić z funkcjami jednorodnymi) i dla F 0 równaniem różniczkowym niejednorodnym. Układ n rozwiązań y 1, y,..., y n pewnego liniowego równania różniczkowego określamy jako podstawowy fundamentalny), jeśli funkcje te w rozpatrywanym przedziale są liniowo niezależne, innymi słowy kombinacja liniowa: C 1 y 1 + C y +... + C n y n 94) nie może znikać tożsamościowo dla jakichkolwiek wartości C 1, C,..., C n z wyjątkiem: C 1 = C =... = C n = 0 95) Rozwiązania jednorodnego liniowego równania różniczkowego y 1, y,..., y n tworzą układ podstawowy, wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyznacznik Wrońskiego wrońskian) y 1 y... y n y 1 y... y n W x) = 96)............ y n 1) 1 y n 1)... y n n 1) jest różny od zera. Dla każdego układu rozwiązań rozważanego równania zachodzi wzór Liouville a: W x) = W x 0 ) e x a x 1 x)dx 0 97) Dla tego równania n rozwiązań y 1, y,..., y n są liniowo zależne wtw, gdy wrońskian przyjmuje wartość zero chociażby tylko w jednym punkcie x 0 rozpatrywanego przedziału. Jeśli natomiast rozwiązania y 1, y,..., y n tworzą układ podstawowy, to rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego możemy zapisać w postaci: y = C 1 y 1 + C y +... + C n y n 98) 8

Przykład 5. y y = 0 99) Można łatwo sprawdzić, że powyższe równanie ma dwa rozwiązania szczególne: y 1 = e x 100) y = e x 101) Aby zbadać czy są one liniowo zależne, czy też niezależne, tworzymy wrońskian: e W [y 1, y ] = x e x = 0 10) e x e x Dlatego oba rozwiązania szczególne tworzą układ fundamentalny i rozwiązaniem ogólnym jest: y = C 1 e x + C e x 103) Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= y% 7% 7-y% 3D0. Przykład 6. Znajdziemy rozwiązanie równania różniczkowego przy pomocy wzoru Liouville a. y + p 1 y + p y = 0 104) które ma rozwiązanie szczególne y 1. Ze wzoru Liouville a otrzymujemy: y 1 y y 1 y = Ce p 1 dx 105) Po przekształceniu: Po scałkowaniu: y 1 y y 1y = Ce p 1 dx / : y 1 y 1 0 106) y = y 1 Ce p 1 dx dx + C 107) y 1 1.5 Obniżanie rzędu równania liniowego jednorodnego Jeśli znamy pewne rozwiązanie szczególne y 1 równania jednorodnego, to pozostałe rozwiązania możemy wyznaczyć przez podstawienie: y = y 1 x) u x) 108) z otrzymanego w ten sposób liniowego równania jednorodnego rzędu n 1 na funkcję u x) podstawienie u x) = vx)). 9

Przykład 7. y + Rozwiązaniem szczególnym jest: ponieważ: x 1 x y 1 y = 0, x 1 109) 1 x e x + Postulujemy rozwiązanie postaci: Podstawiamy: Po podstawieniu otrzymujemy: e x u x) + e x u x) + e x u x) + Podstawiamy następnie φ 1 = e x 110) x 1 x ex 1 1 x ex = 0 111) 1 + x 1 x 1 1 x = 0 11) 1 1 x 1 1 x = 0 113) φ = e x u x) 114) y = e x u x) 115) y = e x u x) + e x u x) 116) y = e x u x) + e x u x) + e x u x) 117) u x) + u x) + u x) + x e x u x) + e x u x) ) 1 1 x 1 x ex u x)) = 0 118) xu x) 1 x + xu x) 1 x u x) 1 x = 0 119) u x) + u x) 1 x + u x) xu x) u x) 1 x 1 x = 0 10) u x) + u x) xu x) 1 x u x) + u x) x u x) + u x) 1 + 1 1 x = 0 11) 1 x = 0 1) ) = 0 13) u x) = v x) 14) v x) + v x) 1 + 1 ) = 0 1 x 15) 10

Rozwiązaniem tego równania jest: v x) = C 1 x) e x 16) Przyjmujemy C = 1. Skąd otrzymujemy: u x) = v x) dx = 1 x) e x dx = e x xe x dx + C = 17) = e x + xe x Wybieramy C = 0, i otrzymujemy: A więc rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać: e x dx + C = xe x + C 18) φ = e x u x) = x 19) y x) = C 1 e x + C x 130) Sprawdzić za pomocą Wrońskianu, że rozwiązania szczególne są liniowo niezależne. Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= y% 7% 7+ %B+ x% F% 81-x% 9y% 7+ -+1% F% 81-x% 9y% 3D0. 1.6 Rozwiązywanie równań niejednorodnych Jeśli znaleziony został podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego, to możemy zastosować następujące dwie metody. 1.6.1 Metoda uzmienniania stałych Po angielsku variation of parameters. Poszukiwane rozwiązanie postulujemy w postaci: y = C 1 y 1 + C y +... + C n y n 131) gdzie C 1, C,..., C n nie są w tym przypadku stałymi, ale funkcjami zmiennej x, a y i to rozwiązania szczególne równania różniczkowego jednorodnego niezależne od siebie. Żądamy przy tym, aby spełnione były poniższe równania: Możemy zapisać te równania jako C 1y 1 + C y +... + C ny n = 0 13) C 1y 1 + C y +... + C ny n = 0 133)... 134) C 1y n ) 1 + C y n ) +... + C ny n ) n = 0 135) C iy j) i = 0 136) 11

dla j = 0, 1,..., n. Ostatnie równanie będzie następujące Zapisane inaczej C 1y n 1) 1 + C y n 1) +... + C ny n 1) n = F 137) C iy n 1) i = F. 138) Z powyższych równań wyznaczamy C 1, C,..., C n, z których przez scałkowanie otrzymujemy funkcje C 1, C,..., C n. Dowód. Wyprowadzenie równania 138). Zauważmy, że różniczkując 131) otrzymujemy y = C 1y 1 + C 1 y 1 + C y + C y +... + C ny n + C n y n 139) Możemy podstawić do powyższego 13) i otrzymamy Różniczkując kolejny raz powyższe otrzymujemy y = C 1 y 1 + C y +... + C n y n 140) y = C 1y 1 + C 1 y 1 + C y + C y +... + C ny n + C n y n 141) Po podstawieniu 133) otrzymujemy Ogólnie różniczkując j-krotnie otrzymujemy y = C 1 y 1 + C y +... + C n y n 14) y j) = dla j = 0,..., n 1. A dla j = n otrzymujemy y n) = C iy n 1) i + C i y j) i 143) C i y n) i 144) ponieważ tego pierwszego składnika nie możemy już uprościć. Następnie podstawiamy wszystkie 143) oraz 144) do 93) i otrzymujemy: C iy n 1) i + C iy n 1) i + C i y n) i + a 1 x) C i y n 1) i +... + a n x) C i y i = F x) 145) C i y n) i + a 1 x) y n 1) ) i +... + a n x) y i = F x) 146) Ponieważ y i są rozwiązaniami równania jednorodnego, a więc drugi składnik sumy znika i otrzymujemy 138). 1

Równania od 1 do n 1 zostały dobrane w sposób arbitralny, aby były możliwie proste. A ostatnie równanie tak aby było spełnione równanie wyjściowe. Przykład 8. y + x 1 x y 1 1 x y = x 1 147) Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne: y + x 1 x y 1 1 x y = 0 148) Równanie to zostało już wcześniej rozwiązane, rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać: y x) = C 1 e x + C x 149) Uzmiennianie stałych daje: Rozwiązaniem jest: Po scałkowaniu: y x) = u 1 x) e x + u x) x 150) u 1 x) e x + u x) x = 0 151) u 1 x) e x + u x) = x 1 15) u 1 x) = xe x 153) u x) = 1 154) u 1 x) = 1 + x) e x + C 3 155) u x) = x + C 4 156) Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest więc: y x) = 1 + x) + C 3 e x x + C 4 x = 1 + x ) + C 3 e x + C 5 x. 157) Drugi sposób wykorzystuje następujące twierdzenie. Twierdzenie 1.1. Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego odpowiadającego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Dla poprzedniego przykładu, bierzemy przykładowe u 1 x) i u x) po scałkowaniu, i konstruujemy rozwiązanie szczególne, przykładowo bierzemy u 1 x) = 1 + x)e x i u x) = x i rozwiązanie szczególne równania to po podstawieniu do 150) jest równe 1 + x) e x e x xx = 1 + x) x 158) Rozwiązanie ogólne konstruujemy jako sumę rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Otrzymujemy C 1 e x + C x 1 x x = C 1 e x + C 3 x 1 x. 159) Równanie w wolframalpha.com, http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%7%7% Bx%F%81-x%9y%7+-+1%F%81-x%9y+%3D+x-1. 13

1.6. Metoda Cauchy ego Po angielsku method of undetermined coefficients. W rozwiązaniu ogólnym równania jednorodnego odpowiadającego równaniu 93) y = C 1 y 1 + C y +... + C n y n 160) stałym przypisujemy takie wartości, aby dla dowolnego parametru α po podstawieniu x = α spełnione były równania: y α) = 0 161) y α) = 0 16)... 163) y n ) α) = 0 164) y n 1) α) = F α) 165) Jeśli otrzymane w ten sposób rozwiązanie szczególne równania jednorodnego oznaczymy przez φ x, α) to: y = x x 0 φ x, α) dα 166) jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego, przy czym w punkcie x = x 0 funkcja ta wraz ze swoimi pochodnymi aż do rzędu n 1) włącznie przyjmuje wartość zero. Przykład 9. Dla poprzedniego przykładu mamy rozwiązanie równania jednorodnego: dostajemy równania: Z tego otrzymujemy: x y x) = C 1 e x + C x 167) y α) = C 1 e α + C α = 0 168) y α) = C 1 e α + C = α 1 169) C 1 = αe α 170) C = 1 171) φ x, α) = αe α e x x 17) y x) = αe α e x x ) dα = x 0 + 1) e x x 0 + x 0 1) x x 1 173) x 0 Jest to rozwiązanie szczególne, wybierzmy dowolne x 0, np. x 0 = 1, wtedy otrzymujemy y x) = x x 1 174) Rozwiązanie ogólne jest sumą rozwiązania równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego, a więc y x) = C 1 e x + C x x x 1 = C 1 e x + C 3 x x 1 175) 14

Ponadto dla równań liniowych zachodzi prawo superpozycji. Twierdzenie 1.. Prawo superpozycji. Jeśli mamy dwa rozwiązania szczególne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego y 1 i y dla prawych stron F 1 i F, wtedy suma tych rozwiązań y = y 1 +y jest rozwiązaniem szczególnym tego samego równania o prawej stronie F = F 1 + F. Przykład 10. Mamy równanie Możemy rozwiązać 3 równania niejednorodne y 4y = x 8x + 3 176) y 4y = x 177) Rozwiązaniem szczególnym jest Następne równanie Rozwiązaniem szczególnym jest Następne równanie Rozwiązaniem szczególnym jest y = x 1 4 178) y 4y = 8x 179) y = x 180) y 4y = 3 181) y = 3 4 18) A więc rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego jest Rozwiązaniem równania jednorodnego jest A więc ostatecznym rozwiązaniem jest x 1 4 + x 3 4 = x + x 1 183) C 1 e x + C e x 184) C 1 e x + C e x x + x 1 185) Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/?i= y% 7% 7+ -4y+ %3D+ x^+ -+8x+ %B+ 3. 15

Zadania.1 Zadania na 3.0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi. 1.. 3. 4. 5. Odp.: Odp.: Odp.: y = y y y > 0 186) y = C e C 1x 187) y + 1 4 y = xy 188) y = C 1 x x C 1 ) + C, y = x3 3 + C 189) xy + y = 1 + x 190) y = x3 1 + x + C 1x ln x + C x + C 3 191) x yy = y xy ) 19) xy y = x 193). Zadania na 4.0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi. 16

1. z wartościami początkowymi: d 3 y = ln x 194) dx3 Znaleźć całkę ogólną tego równania. Odpowiedź: x 0 = 1, y 0, y 0, y 0 dowolne 195) y = y 0 + x 1) y 0 + Rozwiązanie ogólne: x 1) y 0 + 1 6 x3 ln x 11 36 x3 + 1 x 1 4 x + 1 18 196) y = 1 6 x3 ln x 11 36 x3 + C x + C 1 x + C 0 197).3 Zadania na 5.0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi. 1. Linia pościgu. Po osi Ox porusza się w kierunku dodatnim ze stałą prędkością a punkt P. Po płaszczyźnie Oxy porusza się punkt M ze stałą prędkością v tak, że wektor prędkości jest w każdej chwili skierowany do punktu P. Znaleźć równanie różniczkowe. Znaleźć tor punktu M. Odpowiedź: Literatura y 0 x = 1 + a ) v ) y 1+ a v y 0 y0 1 a ) v y y 0 ) 1 a v 1 ) + C 1 198) [1] I. N. Bronsztejn, K. Siemiendiajew, G. Musiol, and H. Möhlig, Nowoczesne kompendium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, 004. [] J. Niedoba and W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe. Wydawnictwa AGH, 001. 17