Konstrukcja uśmiechu zmienności Dr Piotr Zasępa
Rynek opcji FX Rynek Międzybankowy Market Makerów Klientowski (bank/klient) (bank makler/bank user) Rynek opcji waniliowych Opcje egzotyczne I generacji Kierunkowe opcje Waniliowe i egzotyczne Opcje kierunkowe Opcje egzotyczne II generacji Strategie opcyjne Zabezpieczające Strategie kształtujące Płaszczyznę zmienności ATM,risk reversal,fly Opcje egzotyczne III generacji Opcje i strategie opcyjne Jako częśc struktur
Wycena walutowego kontraktu opcyjnego oparta jest na zmodyfikowanej formule BS nazywanej modelem Garmana-Kohlhagena opublikowanym w 1982 r. C = Sexp rt N d + Kexp Rt N d P = Kexp Rt N d Sexp rt N d + d + = ln S K + R r + σ2 2 T Tσ d = d + σ T
Analiza zmienności kuru walutowego Zmienność (volatility) jest jedynym parametrem kształtowanym na rynku pochodnym, a nie na rynku instrumentu bazowego, W inżynierii finansowej możemy wskazać następujące rodzaje zmienności: zmienność historyczną (historical volatility), zmienność implikowaną lub rynkową (implied volatility), zmienność lokalną (local volatility), zmienność stochastyczną (stochastic volatility).
Zmienność historyczna Zmienność historyczna to zaanualizowane odchylenie standardowe logarytmicznej stopy zwrotu z ceny danego aktywa S. Z procesu stochastycznego wynika, że: S t = S 0 exp( r d r f 1 2 σ2 t + σw t. Wyznaczenie zmienności historycznej jest jedynie podstawą do dalszego prognozowania zmienności.
Zmienność historyczna -5,0000% -4,0000% -3,0000% -2,0000% -1,0000% 0,0000% 1,0000% 2,0000% 3,0000% 4,0000% 5,0000% 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 211 226 241 256 271 286 301 316 331 346 361 376 391 406 421 436 451 466 481 496 511 526 541 556 571 586 601 616 631 646 661 676 691 706 721 736 751
Struktura czasowa zmienności 13,5 13 12,5 12 11,5 11 10,5 12.01 19.01 26.01 09.02 23.02 09.03 23.03 06.04 VOL 1,2 = (VOL 0,2) 2 T 0,2 (VOL 0,1 ) 2 T 0,1 T 1,2
Struktura kursowa zmienności W przypadku kursów walutowych problem wzrostu zmienności może wystąpić symetrycznie po dwóch stronach kursu w stosunku do kursu ATM F, Dodatkowym problemem na rynku walutowym jest notowanie zmienności względem kursu delty.
Krzywa wskazująca na zależność między kursem realizacji i poziomem zmienności implikowanej ma najczęściej kształt nazywany uśmiechem zmienności (volatility smile). 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1,2 1,25 1,26 1,27 1,28 1,285 1,29 1,295 1,3 1,305 1,31 1,32 1,33 1,34 1,38 1,4 1,45
Płaszczyzna zmienności W przypadku, gdyby model Blacka-Scholesa wyceniał opcje prawidłowo, to zmienność implikowana powinna mieć stałą wartość niezależną od współczynnika moneyness opcji oraz niezależna od terminu do wygaśnięcia opcji. Rzeczywista płaszczyzna zmienności charakteryzuje się efektem uśmiechu zmienności, czyli zależnością zmienności implikowanej od ceny wykonania. Kształt uśmiechu zmienności zależy od siły efektu dźwigni w szeregu stóp zwrotu instrumentu bazowego, czyli wielkości asymetrii w reakcji inwestorów na dopływające do rynku wiadomości dobre i złe. Efekt dźwigni powoduje asymetrie w uśmiechu zmienności, który nazywany jest wtedy grymasem zmienności. Wraz ze wzrostem terminu do wygaśnięcia, kształt uśmiechu lub grymasu zmienności staje się bardziej płaski.
Płaszczyzna zmienności Dodatkowo wraz ze wzrostem terminu do wygaśnięcia obserwuje się często wzrost lub spadek zmienności implikowanej dla opcji o tym samym współczynniku moneyness. Efekt ten nazywa się strukturą czasowa zmienności implikowanej. Związany jest on z faktem, że po okresie szczególnie niskiej lub wysokiej zmienności, obserwuje się powrót do poziomu średniego (mean reversion).
Dyskretna struktura zmienności implikowanej Ti\ k 10 25 50 75 90 1D δ1d,10 δ1d,25 δ1d,50 δ1d,75 δ1d,90 1W δ1w,10 δ1w,25 δ1w,50 δ1w,75 δ1w,90.................. 1Y δ1y,10 δ1y,25 δ1y,50 δ1y,75 δ1y,90
Konstrukcja płaszczyzny zmienności Macierz utworzona przez terminy zapadalności i kursy realizacji volatility surface, V=f(t,z,x) V zmienność rynkowa, t tenor, x kurs realizacji, instrument podstawowy, Zmienność wyznaczana jest w punktach węzłowych, Typowe okresy 1, 2, 3, 6, 12 miesięcy, kursy realizacji przy danym poziomie delty 90, 75, 50, 25, 10, Terminy łamane i kursy pośrednie wyznacza się różnymi metodami interpolacyjnymi, Zmienność wyznacza się na podstawie notowań 3 strategii: zmienności opcji 25ΔP - σ 25 put, zmienność opcji ATM σ ATM, zmienność opcji 25Δcall σ 25 call, przy czym dwie ostatnie wartości są kwotowane pośrednio poprzez: zmienność strategii 25Δ risk reversal: σ 25 RR = σ 25 c σ 25 p, zmienność strategii 25Δbutterfly: σ 25 BF = 1 2 σ 25c + σ 25 p σ ATM.
Konstrukcja płaszczyzny zmienności Zero delta Straddle strategia stelaża ATM złożenie opcji 50 delta call i 50 delta put (obie kupione lub sprzedane). Zmienność rynkowa dla tej strategii jest podstawowym parametrem na rynku opcyjnym, ponieważ obejmuje opcje z najwyższą Vegą dla danego terminu zapadalności. Jest to gra na drugim momencie centralnym wariancji rozkładu zwrotu, Opcje o tym samym kursie realizacji, o tym samym terminie wygaśnięcia, Standardowo opcje mają deltę 50, co oznacza, że sumaryczna delta wynosi zero, Long Straddle0 = +C50+P50 vega dodatnia Short Straddle0 = -C50-P50 vega ujemna Cenę Straddle pokazuje się w wymiarze zmienności rynkowej. Pozwala na spekulację, co do poziomu zmienności kursowej. W związku z tym Straddle jest grą na oczekiwanej wariancji rozkładu stóp zwrotu.
Konstrukcja płaszczyzny zmienności 25 delta Risk Reversal RRd złożenie opcji 25 delta call i 25 delta put (jedna kupiona druga sprzedana). RR pokazuje jaka jest różnica zmienności rynkowej dla opcji z kursami rozłożonymi symetrycznie względem kursu terminowego, z których jeden jest po stronie deprecjacyjnej, a drugi aprecjacyjnej. Strategia RR jest grą na trzecim momencie centralnym skośności (asymetrii) rozkładu stóp zwrotu, Cena RR jest różnicą zmienności rynkowej stosowanej do wyceny poszczególnych opcji składowych, Opcje OTM o tych samych wartościach bezwzględnych delt, znajdujące się po przeciwnych stronach kursu terminowego, mają różne zmienności, Strategia pozwala na spekulację na szerszym zakresie oczekiwań wahań. Z uwagi na występowanie volatility smile zmienność rynkowa dla strategii jest wyższa niż dla Straddle.
Konstrukcja płaszczyzny zmienności 25 delta Butterfly złożenie strategii 25 delta strangle i Zero delta Straddle (jedna strategia kupiona, druga sprzedana). 25 delta strangle składa się z opcji 25 delta call i 25 delta put obie kupione lub sprzedane. Kupujemy kurs realizacji równy terminowemu i sprzedajemy kurs realizacji rozłożone symetrycznie względem kursu oczekiwanego. Strategia FLY jest grą na czwartym momencie centralnym kurtozie rozkładów stóp zwrotu, Cena FLY jest kwotowana jako różnica pomiędzy ceną strategii Strangle i Straddle. Im większa oczekiwana kurtoza, tym wyższa cena dla rozkładu normalnego BS cena FLY powinna być równa 0, Cena FLY pokazuje o ile droższe (w wymiarze zmienności) są opcje OTM (średnio call i put, których kursy realizacji reprezentują grube ogony rozkładu) względem opcji ATM.
Konstrukcja płaszczyzny zmienności Cena Straddle i Strangle jest średnią z cen pojedynczych opcji składających się na strategię. Cena RR i Buterfly jest różnicą zmienności rynkowej dla opcji cząstkowych (jedną sprzedajemy drugą kupujemy): STD50 = 0,5x(C50+P50) RR25 = C25-P25 FLY25=STD50-STG25 STG25=0,5x(C25+P25) C25=STD50+FLY25+0,5RR25 P25=STD50+FLY25-0,5RR25
Odcinek ED odpowiada za koszt transakcji BF a odcinek AB za koszt transakcji RR. Koszt zmienności instrumentu I można oszacować na podstawie oszacowania ceny opcji z uwzględnieniem uśmiechy zmienności na podstawie formuły: I cost = I MKT I BS, co następnie można zastosować do ustalenia kosztu zmienności dla transakcji BF oraz RR Zmienność C A D E B F 25ΔPUT ATM 25ΔCALL
Metody interpolacji Interpolacja zmienności w stosunku do delty oraz terminów zapadalności, Liniowa interpolacja zrealizowanej wariancji, Uwzględnienie dni wolnych oraz znaczących informacji wpływających na rynek, Ekstrapolacja dla bardzo wysokich delt nie ma dużego znaczenia, gdyż zmienność dla wysokich cen wykonania nie jest mocno wrażliwa, Czasowa ekstrapolacja też nie ma większej wrażliwości dlatego, iż płaszczyzna wypłaszcza się wraz ze wzrostem terminów do zapadalności.
Krzywa zmienności na rynku polskim W Polsce, opcje z niskimi kursami realizacji są tańsze w wymiarze zmienności niż opcje ATM, natomiast opcje z wysokimi kursami realizacji są kwotowane z bardzo wysoką zmiennością.
Dziękuję za uwagę