WIZUALIZACJA OBIEKTÓW W PRZESTRZENIACH WIELOWYMIAROWYCH

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANIS AWA STASZICA W KRAKOWIE WYDZIA ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI, INFORMATYKI I ELEKTRONIKI Darusz Jamróz WIZUALIZACJA OBIEKTÓW W PRZESTRZENIACH WIELOWYMIAROWYCH ROZPRAWA DOKTORSKA Promotor: rof. zw. dr hab. n. Ryszard Tadeusewcz Kraków 00

Skùadam serdeczne odzêkowana Panu rofesorow Ryszardow Tadeusewczow za oekê naukow¹ oraz cenne wskazówk z których mogùem korzystaã w trakce owstawana racy.

SPIS TREÚCI. WSTÆP... 5.. TEMATYKA... 5.. TEZA... 5.3. CELE... 5.4. ZAWARTOÚÃ PRACY... 6. PROBLEM ANALIZY OBIEKTÓW W PRZESTRZENIACH WIELOWYMIAROWYCH (PRZEGL D LITERATURY)... 8.. METODA GRAND TOUR... 8.. METODA G ÓWNYCH SK ADOWYCH (PCA)... 0.3. METODY WYKORZYSTUJ CE SIECI NEURONOWE....3.. AUTOASOCJACYJNE SIECI NEURONOWE....3.. SIECI KOHONENA... 3.4. METODA OSI RÓWNOLEG YCH... 4.5. OBRAZ RADAROWY... 5.6. SKALOWANIE WIELOWYMIAROWE... 6.7. METODA SCATTERPLOT MATRICES... 7.8. MAPA ODNIESIENIA... 8.9. OBSZARY MOZAIKOWE... 9 3. KONCEPCJA PATRZENIA W PRZESTRZENIACH WIELOWYMIAROWYCH... 3.. WPROWADZENIE... 3.. MODEL MATEMATYCZNY... 3.3. PRZYK ADY BRY... 3 4. IMPLEMENTACJA SYSTEMU DO WIZUALIZACJI OBIEKTÓW WIELOWYMIAROWYCH (BRY WYPUK YCH)... 37 4.. PROJEKT SYSTEMU... 37 4... STRUKTURY DANYCH... 37 4... ZMIANA PUNKTU WIDZENIA W PRZESTRZENI n-wymiarowej... 38 4..3. RYSOWANIE BRY Y... 39 4.. SPOSÓB UÝYTKOWANIA... 4 4... DANE WEJÚCIOWE... 4 4... PARAMETRY... 4 4..3. FUNKCJE KLAWISZY... 43 4..4. OKNO TEKSTOWE... 46 4..5. OKNO GRAFICZNE... 46 5. PROBLEM WIZUALIZACJI WIELOWYMIAROWYCH ZBIORÓW DANYCH DYSKRETNYCH... 47 5.. ROZPOZNAWANIE OBRAZÓW... 47 5.. EKONOMIA... 49 5... OCENA KONDYCJI FIRMY... 49 5... SEGMENTACJA RYNKU... 49 5..3. WYKRYWANIE LUKI NA RYNKU... 50 5..4. WYKRYWANIE NIETYPOWYCH ZACHOWAÑ KLIENTÓW... 50 5.3. WYSTÆPOWANIE Z ÓÝ... 5

6. METODA WIZUALIZACJI WIELOWYMIAROWYCH DANYCH DYSKRETNYCH... 5 6.. WPROWADZENIE... 5 6.. MODEL MATEMATYCZNY... 54 6.3. PRZYK ADY ZBIORÓW DANYCH DYSKRETNYCH... 6 6.3. KOSTKI 7-WYMIAROWE Z ZAK ÓCENIEM... 6 6.3. KULA 7-WYMIAROWA W SFERZE 7-WYMIAROWEJ KTÓRA SIÆ ZNAJDUJE W DRUGIEJ SFERZE 7-WYMIAROWEJ... 63 6.3.3 WALEC 7-WYMIAROWY I DWIE PÓ SFERY 7-WYMIAROWE Z CYLINDRAMI 7-WYMIAROWYMI... 66 6.3.4 TRZY OBEJMUJ CE SIÆ TORUSY 5-WYMIAROWE... 68 7. IMPLEMENTACJA SYSTEMU DO WIZUALIZACJI WIELOWYMIAROWYCH DANYCH DYSKRETNYCH... 73 7.. PROJEKT SYSTEMU... 73 7... STRUKTURY DANYCH... 73 7... ZMIANA PUNKTU WIDZENIA W PRZESTRZENI n-wymiarowej... 74 7..3. RYSOWANIE PUNKTÓW... 74 7..4. USUWANIE PUNKTÓW... 77 7.. SPOSÓB UÝYTKOWANIA... 77 7... DANE WEJÚCIOWE... 78 7... PARAMETRY... 79 7..3. FUNKCJE KLAWISZY... 80 7..4. USUWANIE PUNKTÓW... 8 7..5. OKNO TEKSTOWE... 83 7..6. OKNO GRAFICZNE... 83 7..7. PO CZENIE SYSTEMÓW... 83 8. PODSUMOWANIE I WNIOSKI... 84 8.. ZREALIZOWANE ZADANIA... 84 8.. WYNIKI DOÚWIADCZEÑ... 84 LITERATURA... 86 DODATEK A... 89

. WSTÆP.. TEMATYKA W welu roblemach sotykamy sê z otrzeb¹ analzy welowymarowych danych. Nastêuje to zawsze wtedy, gdy dany roblem zw¹zany jest z bardzo zùo on¹ rzeczywstoœc¹, któr¹ mo na rozatrywaã w welu asektach, ùaszczyznach, z u ycem welu zmennych. W celu osu analzy takej rzeczywstoœc, ka dy z jej asektów, ùaszczyzn czy zmennych traktuje sê jako osobny wymar ewnej welowymarowej rzestrzen. Dla konkretnych zastosowañ konstruuje sê algorytmy otraf¹ce analzowaã tak welowymarowy roblem w sosób loœcowy. Jednak w welu sytuacjach jeœl ne koneczna to na ewno korzystna byùaby tak e mo lwoœã ogl¹dowej, jakoœcowej oceny struktury analzowanych welowymarowych danych. Na rzykùad jakoœcowa ocena welowymarowej rzestrzen cech wykorzystywanej w klasycznych metodach rozoznawana obrazów, mogùaby omóc w wyborze metody rozoznawana. Natomast mo lwoœã ogl¹dowej oceny welowymarowych danych ekonometrycznych, mogùaby omóc w ocene obrazu sytuacj ekonomcznej rzedsêborstwa. Najbardzej naturalnym, wykorzystywanym wùaœne w celach obserwacj jakoœcowych êródùem nformacj dla czùoweka jest zmysù wzroku. Z tego owodu celowe staje sê wykorzystane wzroku do róby obserwacj obektów w rzestrzenach welowymarowych. Aby to umo lwã ostanowono w tej racy stworzyã odowedn model matematyczny, rozw¹zuj¹cy roblem wzualzacj welowymarowych bryù wyukùych oraz welowymarowych zborów danych dyskretnych... TEZA Stosuj¹c zaroonowane w racy metody matematyczne mo na wzualzowaã na ekrane komutera obekty zdefnowane formalne lub emryczne w rzestrzenach welowymarowych, co ozwala na jakoœcow¹ ocenê struktury danych welowymarowych..3. CELE W celu udowodnena ostawonej tezy nale y zrealzowaã nastêuj¹ce unkty: ) Oracowane modelu matematycznego rozw¹zuj¹cego roblem wzualzacj welowymarowych bryù wyukùych oraz welowymarowych zborów danych dyskretnych.

6 Ponewa zmysù wzroku u czùoweka sùu y jedyne do obserwacj rzestrzen trójwymarowej, nale y dokùadne srecyzowaã sosób w jak nale y atrzeã w welowymarowej rzestrzen. Srowadza sê to do zdefnowana mechanzmów metod rzutowana takej rzestrzen na odowedn¹ ùaszczyznê (ekran obserwacyjny). Ponewa rozw¹zane omawanego roblemu wymyka sê naszemu ludzkemu doœwadczenu, konecznym jest stworzene slnego formalzmu, osuj¹cego rozw¹zuj¹cego ten roblem. Ka d¹ najdrobnejsz¹ wùasnoœã otrzebn¹ do dalszych rozwa añ nale y formalne udowodnã, mmo ozornej oczywstoœc nektórych faktów. Zagadnene to bêdze wyczeruj¹co rzedstawone w tej racy. ) Budowa systemu ozwalaj¹cego wzualzowaã welowymarowe bryùy wyukùe oraz welowymarowe zbory danych dyskretnych z omoc¹ grafk komuterowej. System tak ownen owstaã w oarcu o stworzony model matematyczny. Pownen on umo lwaã: - rzechowywane w amêc komutera osu welowymarowych obektów, - wybór unktu wdzena obserwowanych obektów orzez rzemeszczane wrtualnego obserwatora w welowymarowej rzestrzen, - rysowane na ekrane komutera welowymarowego obektu wdzanego z danego mejsca rzestrzen, zgodne z zasadam oracowanym rzez autora racy. 3) Przerowadzene doœwadczeñ, olegaj¹cych na rzedstawenu na ekrane komutera rzykùadowych welowymarowych bryù wyukùych oraz welowymarowych zborów danych dyskretnych ze wskazanem korzyœc, jake mo na odneœã z ch wzualzacj. Oczekujemy, e w wynku rzerowadzonych doœwadczeñ ownny zostaã zauwa one ewne jakoœcowe cechy obserwowanych obektów, ozwalaj¹ce na jakoœcow¹ ocenê struktury obserwowanych danych welowymarowych..4. ZAWARTOÚà PRACY Rozrawa rzedstawa oracowany orygnalny model matematyczny rocesu atrzena wdzena w rzestrzen welowymarowej w oarcu o który owstaù system, ozwalaj¹cy wzualzowaã welowymarowe bryùy wyukùe oraz welowymarowe zbory danych dyskretnych. Pokazano na rzykùadach rezultaty rzerowadzonej, rzy omocy tej wzualzacj, jakoœcowej analzy welowymarowych danych. Praca zawera osem rozdzaùów, bblografê oraz dodatek. W rozdzale erwszym rzedstawono tematykê, tezê oraz cele rozrawy.

7 Drug rozdzaù zawera rzegl¹d lteratury zw¹zanej z wzualzacj¹ welowymarowych danych. Lteratura ta (do której udaùo sê dotrzeã) jest raczej uboga, wêc ne stanowùa ona odstawy do tworzena systemu osanego w tej racy. Trzec rozdzaù rzedstawa oracowany rzez autora model matematyczny, rozw¹zuj¹cy roblem wzualzacj welowymarowych bryù wyukùych. Zawera on równe rzykùady wygl¹du bryù welowymarowych, uzyskane z wykorzystanem rzedstawonego modelu. W osywanych rzykùadach zwrócono uwagê na ewne zauwa one cechy jakoœcowe obserwowanych bryù. Jak sê wydaje, sostrze ena te ne byùy ngdze do tej ory rzytaczane (rzynajmnej autor rzedstawanej racy ne sotkaù ch w dostênej lteraturze), mo na wêc rzyuszczaã, e rzynajmnej czêœã z tych sostrze eñ wzbogaca w jakmœ stonu zasób wedzy na temat wùaœcwoœc obektów w rzestrzenach welowymarowych. Czwarty rozdzaù oœwêcono mlementacj roonowanego w racy systemu do wzualzacj obektów welowymarowych. Osano w nm rojekt oraz sosób u ytkowana stworzonego systemu, który umo lwa ogl¹dane z ró nych stron wygl¹du welowymarowych bryù wyukùych. P¹ty rozdzaù rzedstawa rzykùady zagadneñ wymagaj¹cych jakoœcowego analzowana zborów danych welowymarowych. Szósty rozdzaù zawera model matematyczny rozw¹zuj¹cy roblem wzualzacj welowymarowych zborów danych dyskretnych. Przedstawono rzykùady wygl¹du welowymarowych zborów unktów, uzyskane z wykorzystanem rzedstawonego modelu. Osano ewne zauwa one cechy jakoœcowe obserwowanych welowymarowych danych dyskretnych. Tak e te obserwacje wydaj¹ sê byã w eùn orygnalne. Sódmy rozdzaù oœwêcono mlementacj systemu do wzualzacj welowymarowych danych dyskretnych. Osano w nm rojekt oraz sosób u ytkowana tego systemu, który umo lwa ogl¹dane z ró nych stron wygl¹du zborów welowymarowych danych dyskretnych, rzezwycê aj¹c rzy tym ewne secyfczne trudnoœc tego zadana. W ósmym rozdzale zawarto odsumowane wnosk.

. PROBLEM ANALIZY OBIEKTÓW W PRZESTRZENIACH WIELOWYMIAROWYCH (PRZEGL D LITERATURY).. METODA GRAND TOUR Jedn¹ z metod sùu ¹cych do wzualzacj welowymarowych danych jest rzedstawona w racy [6] metoda grand tour. Perwszy osaù j¹ Asmov w racy [], nastêne zostaùa rozwnêta w racach [6], [8], [35], [] [7]. Metoda ta zostaùa wykorzystana w aketach grafcznych XGob [30], ExlorN [9] oraz Xlore [5], sùu ¹cych do wzualzacj welowymarowych danych. Grand tour jest c¹gù¹, jednoarametrow¹ rodzn¹ d-wymarowych rojekcj n-wymarowych danych. Elementy tej rodzny wybrane zostaj¹ soœród wszystkch d-wymarowych rojekcj z R n. Przyjmuj¹c d= metoda ta ozwala ogl¹daã welowymarowe dane na ekrane komutera orzez sekwencje rojekcj na dwuwymarowe odrzestrzene. Dla d=3 metoda ta ozwala ogl¹daã welowymarowe dane orzez rzedstawene na ekrane komutera sekwencj rojekcj, bêd¹cych trójwymarowym odrzestrzenam. Algorytm grand tour realzuje o rostu anmacjê odowedno wybranych rojekcj welowymarowego obektu. Wygl¹da to jak wyceczka, odczas której oruszamy sê o rzestrzen, zmenaj¹c w sosób c¹gùy unkt wdzena. Wybór c¹gu rojekcj olega na tym, e z aktualnej rojekcj (unktu wdzena) k do nastênej wybranej losowo rojekcj k + dochodzmy orzez c¹g rojekcj, owstaùych jako nterolacje rojekcj k oraz k +. Jak wdaã u ytecznoœã tego algorytmu oera sê na omyœle c¹gùego nterolowana neskoñczonej sekwencj losowo wybranych rojekcj. Przyjrzyjmy sê bl ej najczêœcej stosowanej w grand tour realzacj ojedynczej rojekcj. Rozwa my -elementowy zbór n-wymarowych danych zasany w ostac macerzy: X [ X, X,..., X ] x x xn x x x n x x x n Jednowymarowa rojekcja tych danych oznacza rojekcjê na dany wektor. Przyjme ona ostaã: T T T T X X, X,..., X ] [ [ x x... n xn, x x... n xn,..., x x... x n n gdze:... n ]

9 Projekcja dwuwymarowa zostaje zdefnowana jako dwe jednowymarowe rojekcje na dwa wektory,, które seùnaj¹ warunek: T 0. Analogczne mo na rozszerzyã t¹ defncjê dla rojekcj d-wymarowej. Z owy szego wynka, e rojekcja dwuwymarowa jest o rostu rzutem rostoadùym na ùaszczyznê. Czyl w danym unkce e dwuwymarowej ùaszczyzny P wdoczne s¹ wszystke unkty znajduj¹ce sê w caùej odrzestrzen n- wymarowej zaweraj¹cej e rostoadùej do P. Take ostêowane rowadz do tego, e rojekcja obektu srowadza sê do wdoku ksztaùtu jego obrysu (cena), bez mo lwoœc zaobserwowana cech zw¹zanych n. z nachylenem œcan. Powy sza metoda rzutowana ró n sê od metody rzedstawonej w tej rozrawe w rozdzale 3 w sosób zasadnczy. Stanow ona bowem rzut rostoadùy na ùaszczyznê sùu ¹c¹ do obserwacj, natomast w rozdzale 3 osano metodê rzutowana równolegùego do danego wektora rostoadùego do ùaszczyzny. W rzyadku rzutu rostoadùego w danym unkce e ùaszczyzny P sùu ¹cej do obserwacj, wdoczne s¹ wszystke unkty odowednej odrzestrzen n- wymarowej (gdze n-wymar rzestrzen). Natomast w rzyadku rzutu równolegùego do danego wektora r rostoadùego do ùaszczyzny P, w danym unkce e wdoczne s¹ wszystke unkty le ¹ce na rostej rzechodz¹cej rzez e równolegùej do r. W rzestrzen 3-wymarowej obe metody srowadzaj¹ sê do tego samego. Natomast w rzestrzenach o wêkszej lczbe wymarów, w danym unkce e ùaszczyzny P wdoczne s¹ wszystke unkty nale ¹ce do odrzestrzen o ró nej lczbe wymarów, zale nej od metody. Metoda oracowana w ramach tej rozrawy rzedstawona w rozdzale 3 umo lwa dodatkowo obserwacjê nachylena œcan obserwowanej bryùy, co ne jest mo lwe rzy rzuce rostoadùym. Bowem rzy rzuce rostoadùym, w jednym unkce na ekrane mo e byã wdocznych jednoczeœne wele unktów, bêd¹cych w takej samej odlegùoœc od ùaszczyzny stanow¹cej ekran. Prowadz to do sytuacj w której ne mo na okreœlã, od którego z tych unktów ma zale eã jasnoœã b¹dê kolor unktu na ekrane. Jeszcze naczej wygl¹da orównane rzutu rostoadùego z oracowan¹ rzez autora metod¹ wzualzacj welowymarowych danych dyskretnych rzedstawon¹ w rozdzale 6. Intucyjne metoda ta olega na rzuce równolegùym z lokalnym rzutem rostoadùym, maj¹cym zasêg ogranczony rzez wrowadzony w tej racy maksymalny romeñ tunelu. Rozw¹zane to ozwala na obserwacje wybranych fragmentów rzestrzen nos¹cych stotne nformacje, nemo lwe do uzyskana z wykorzystanem rzutu rostoadùego. Wykorzystuj¹c rzut rostoadùy nemo lwe byùoby n. zaobserwowane w rzykùadach 6.3. oraz 6.3.3 faktu, e osane tam zbory ne zachodz¹ na sebe. Nale y zwrócã uwagê na fakt, e metoda

0 rzedstawona w rozdzale 6 z arametrem maksymalny romeñ tunelu o wartoœc równej neskoñczonoœã staje sê znanym z lteratury rzutem rostoadùym. Jak z tego wynka, oracowana w tej racy metoda jest bardzej ogólna. Rysunek.. Przedstawony w racy [6] rzykùad zastosowana bblotek XGob do wzualzacj zboru 6-wymarowych unktów. W danym unkce ekranu wdoczne s¹ (zlewaj¹c sê w jeden unkt) wszystke unkty, nale ¹ce do odowadaj¹cej temu unktow 4-wymarowej odrzestrzen. Na rysunku. okazano rzedstawony w racy [6] rzykùad zastosowana metody grand tour rzy u ycu bblotek XGob do rzedstawena 6-wymarowych danych... METODA G ÓWNYCH SK ADOWYCH (PCA) Podobn¹ do osanej wczeœnej metody transformacj, jest mog¹ca sùu yã wzualzacj welowymarowych danych metoda gùównych skùadowych (rncal comonent analyss, orównaj n. racê [4]). W metodze tej dokonuje sê rzutu rostoadùego na ùaszczyznê rerezentowan¹ rzez secjalne wybrane wektory,. S¹ to wektory wùasne, odowadaj¹ce dwóm najwêkszym wartoœcom wùasnym macerzy kowarancj zboru obserwacj. Dobór wektorów, rzerowadza sê w ten sosób, by na ùaszczyêne stanow¹cej ekran byùy zachowane mo lwe du e odlegùoœc omêdzy unktam. Wyberaj¹c zamast dwóch odowedno trzy wektory,, 3, mo na rzy omocy tej metody ogl¹daã welowymarowe dane orzez obserwacjê rzestrzen 3-wymarowej. Istota tej metody jest

zgodna z stot¹ koncecj rzutowana, rzedstawon¹ rzy ose metody grand tour - z elmnacj¹ czynnka ruchu..3. METODY WYKORZYSTUJ CE SIECI NEURONOWE W racach [], [3], [5], [] [3] zaroonowano zastosowane sec neuronowych do wzualzacj danych. Metoda ta oarta jest na transformacj n-wymarowej rzestrzen danych w dwuwymarow¹ rzestrzeñ, rzy u ycu sec neuronowej..3.. AUTOASOCJACYJNE SIECI NEURONOWE W metodze zastosowanej w racy [] zbór danych rzed odanem na wejœca sec neuronowej nale y rzetworzyã. Mamy zbór m wymarowych danych. Na ocz¹tku nale y ustalã zbór wektorów referencyjnych ={,,..., n } rerezentuj¹cych nteresuj¹ce obszary rzestrzen danych (n. wzorce rozwa anych klas danych). Ka dy wektor danych x=(x,x,...,x m ) zastêujemy wektorem d=(d,d,...,d n ), gdze: d x x x,,... m, m rzy czym,j oznacza j-t¹ wsóùrzêdn¹ -tego wektora referencyjnego. Jak wdaã wektor d rerezentuje odlegùoœc koñca wektora x do koñców wektorów referencyjnych (w metryce eukldesowej). Otrzymane w ten sosób n-wymarowe wektory d zostaj¹ odane na wejœce sec neuronowej. Do nauk u yta zostaje autoasocjacyjna seã neuronowa, która ma n wejœã, jedn¹ z warstw oœrednch zùo on¹ z neuronów oraz n wyjœã. Seã uczona jest metod¹ roagacj wstecznej bùêdu. Rysunek.. Struktura autoasocjacyjnej sec neuronowej sùu ¹cej do wzualzacj welowymarowych danych. (a) trenowane sec w celu uzyskana na wyjœcach sygnaùów jak najbardzej zbl onych do sygnaùów odawanych na wejœca, (b) rzeksztaùcane wejœcowego sygnaùu w oùo ene na dwuwymarowym ekrane rzy omocy fragmentu wczeœnej nauczonej sec.

Na wyjœcach sec neuronowej w wynku jej uczena maj¹ sê ojawã take same sygnaùy, jake zostaj¹ odane na jej wejœca. Dzaùane osywanej sec oera sê na zamane wejœcowej n-wymarowej rzestrzen B w dwuwymarow¹ rzestrzeñ Y a nastêne z owrotem w n-wymarow¹ rzestrzeñ B *, tak by B * byùa jak najbardzej zbl ona do B. Dane rzechodz¹c rzez warstwê zùo on¹ z dwóch neuronów, których wyjœca rerezentuj¹ dwuwymarow¹ rzestrzeñ Y zostaj¹ skomresowane, w wynku czego w dwóch wymarach zostaj¹ zachowane ewne ndywdualne cechy orygnalnych danych z rzestrzen B, ozwalaj¹ce na rekonstrukcjê tych danych. Po zakoñczenu nauk mo na rzyst¹ã do wzualzacj danych. Polega ona na odanu ka dego wektora d rerezentuj¹cego wektor danych x, na wejœce sec neuronowej na wyœwetlenu (na odstawe danych z warstwy ukrytej) dwuwymarowego unktu go rerezentuj¹cego. Poùo ene tego unktu okreœlone zostaje rzez dwe wsóùrzêdne, wzête bezoœredno z wyjœã dwóch neuronów skùadaj¹cych sê na warstwê oœredn¹, rerezentuj¹c¹ (w sosób skomresowany) rzestrzeñ B. Jeœl owy sz¹ metodê zmodyfkujemy w ten sosób, e zastosujemy warstwê oœredn¹ rerezentuj¹c¹ rzestrzeñ Y zùo on¹ z trzech neuronów, to rzestrzeñ Y bêdze trójwymarowa, czyl dane wejœcowe bêdze mo na ogl¹daã na ekrane komutera jako unkty w rzestrzen trójwymarowej. Rysunek.3. Przedstawony w racy [] rzykùad zastosowana sec neuronowej do wzualzacj 0-wymarowych zborów danych.

3 Osana owy ej metoda rzutowana rzy omocy sec neuronowej jest nna, n metody rzedstawone w racy, onewa ozwala rzedstawã na ekrane ewne zale noœc rzestrzenne omêdzy danym, zauwa one rzez seã neuronow¹, jednak rzy zaùo enu wczeœnejszego odana wektorów referencyjnych..3.. SIECI KOHONENA W racy [3] rzedstawono sosób ozwalaj¹cy wzualzowaã welowymarowe dane rzy u ycu sec Kohonena. Jest to seã neuronowa jednowarstwowa z reguùam uczena konkurencyjnego, w której wrowadzono ojêce s¹sedztwa. Do ka dego neuronu dochodz¹ wszystke wejœca sec. W trakce uczena modyfkacj ulegaj¹ wag neuronu zwycêzcy (którego sygnaù wyjœcowy, bêd¹cy odowedz¹ na element c¹gu ucz¹cego jest najwêkszy) oraz (w mnejszym stonu) wag neuronów, bêd¹cych s¹sadam zwycêzcy. Modyfkacja wag rzebega w tym kerunku, by odowedê neuronu (zwycêzcy oraz s¹sadów zwycêzcy) na dany element c¹gu ucz¹cego byùa jeszcze wêksza. Przyjmuj¹c s¹sedztwo dwuwymarowe (neurony uùo one w satce ln kolumn), mo na bezoœredno rerezentowaã wyjœce sec na ekrane w ten sosób, e sygnaù neuronu znajduj¹cego sê w -tej ln oraz j-tej kolumne sec, bêdze wyœwetlony na ekrane jako unkt o wsóùrzêdnych (,j). Rysunek.4. Przedstawone w racy [3] korzystne nekorzystne odwzorowana dwuwymarowych unktów wejœcowej rzestrzen, rzy omocy jednowymarowej sec Kohonena. Jak wdaã zdarza sê, e odobne sygnaùy wejœcowe mog¹ byã rerezentowane rzez odlegùe neurony.

4 Na rysunku.4 okazano rzedstawone w racy [3] rzykùadowe odwzorowane rzestrzen dwuwymarowej w rzestrzeñ jednowymarow¹ rzy u ycu sec Kohonena. Wad¹ tej metody wzualzacj jest fakt, e stosunkowo blske obszary welowymarowej rzestrzen wejœcowej, mog¹ byã rerezentowane rzez odlegùe obszary ekranu..4. METODA OSI RÓWNOLEG YCH Inn¹ metod¹ wzualzacj welowymarowych danych jest metoda równolegùych os wsóùrzêdnych (arallel coordnates) osana w racach [0], [4], [9], [0], [], [34]. W metodze tej n równolegùych os wsóùrzêdnych rozmeszczonych jest równomerne na ùaszczyêne. Punktow n-wymarowemu odowada n unktów na ùaszczyêne, o jednym na ka dej os. Poùo ene unktu na -tej os odowada -tej wsóùrzêdnej n-wymarowego unktu. Punkty na s¹saduj¹cych osach ù¹czone s¹ odcnkam tworz¹c ùaman¹ zùo on¹ z n- odcnków, która rerezentuje jeden unkt n-wymarowy (rysunek.5). Rysunek.5. Jeden szeœcowymarowy unkt o wsóùrzêdnych (3,5,6,,,4) rerezentowany jest jako ùamana zùo ona z 5 odcnków ù¹cz¹cych 6 unktów na ùaszczyêne, o jednym unkce na ka dej z równolegùych os. Poùo ene unktu na -tej os odowada -tej wsóùrzêdnej szeœcowymarowego unktu. Prowadz sê badana (n. raca [7]) maj¹ce na celu szukane metod nterretacj wyœwetlanych w ten sosób danych. Dowodz¹ one, e owy szy sosób wzualzacj umo lwa obserwacjê ró nego rodzaju cech obserwowanych welowymarowych danych, n. wystêowane skusk unktów. Na rysunku.6 okazano rzedstawony w racy [7] rzykùad zastosowana metody równolegùych os wsóùrzêdnych do rzedstawena zborów unktów. Wad¹ tej metody jest fakt, e ksztaùt ùamanej rerezentuj¹cej n-wymarowy unkt zale y od ustalonej kolejnoœc rozmeszczena na ùaszczyêne os oszczególnych wsóùrzêdnych.

5 Rysunek.6. Przedstawony w racy [7] rzykùad zastosowana równolegùych os wsóùrzêdnych do wzualzacj 6-wymarowych zborów danych..5. OBRAZ RADAROWY Podobn¹ do metody równolegùych os wsóùrzêdnych jest metoda wzualzacj danych welowymarowych wykorzystuj¹ca obraz radarowy (star grah). Zostaùa ona rzedstawona w racy [8]. W metodze tej n os wsóùrzêdnych wychodz romenœce z jednego unktu, dzel¹c koùo na n równych czêœc. Rysunek.7. Na obraze radarowym jeden szeœcowymarowy unkt o wsóùrzêdnych (3,5,6,,,4) rerezentowany jest jako ùamana zùo ona z 6 odcnków ù¹cz¹cych 6 unktów na ùaszczyêne, o jednym unkce na ka dej z romenœce rozchodz¹cych sê os. Poùo ene unktu na -tej os odowada -tej wsóùrzêdnej unktu.

6 Ka dy unkt jest rerezentowany rzez ùaman¹ zamknêt¹. amana rzecna -t¹ oœ w mejscu odowadaj¹cym wartoœc -tej wsóùrzêdnej n-wymarowego unktu (rysunek.7). Wad¹ tej metody jest fakt, e rzy du ej lczbe wymarów wykres ten mo e byã maùo czytelny. Jest to zw¹zane z tym, e wraz ze wzrostem lczby os wsóùrzêdnych maleje k¹t dzel¹cy s¹saduj¹ce ose. Druga wada, odobne jak w orzednej metodze wynka z faktu, e ksztaùt ùamanej rerezentuj¹cej n-wymarowy unkt zale y od wybranej kolejnoœc rozmeszczena os wsóùrzêdnych. Jak wdaã metoda równolegùych os wsóùrzêdnych oraz metoda wykorzystuj¹ca obraz radarowy s¹ zueùne nne n metody rzedstawone w racy. Wynka to z zueùne nnego sosobu zobrazowana welowymarowego unktu jako dwuwymarowej ùamanej..6. SKALOWANIE WIELOWYMIAROWE Do wzualzacj welowymarowych danych wykorzystuje sê równe skalowane welowymarowe (multdmensonal scalng, MDS). Metoda ta zostaùa wykorzystana n. w akece Xgvs [8]. Skalowane welowymarowe jest oarte na oblczanu odlegùoœc omêdzy ka d¹ ar¹ m-wymarowych unktów. Na tej odstawe rozwa ana metoda ozwala uzyskaã oùo ene tych unktów w rzestrzen n-wymarowej o dowolnej, zadanej lczbe wymarów. Oto zarys tej metody: nech d j oznacza odlegùoœã omêdzy m-wymarowym unktam nr oraz j. Skalowane welowymarowe olega na takm rozmeszczenu unktów w rzestrzen n-wymarowej, by odlegùoœã D j lczona w tej rzestrzen omêdzy odwzorowanym unktam nr oraz j byùa jak najbardzej zbl ona do d j. Dzaùane algorytmu MDS mo e olegaã na teracyjnej zmane oùo ena losowo (ocz¹tkowo) rozmeszczonych unktów w rzestrzen n-wymarowej w ten sosób, by funkcja: S D j d j j rzyjêùa jak najmnejsz¹ wartoœã. Dla n= metoda ta ozwala ogl¹daã welowymarowe dane bezoœredno na dwuwymarowym ekrane komutera. Dla n=3 metoda ta ozwala ogl¹daã welowymarowe dane orzez rzedstawene na ekrane komutera unktów znajduj¹cych sê w rzestrzen 3-wymarowej. Wad¹ tej metody jest fakt, e dla bardzej zùo onych welowymarowych danych, rzy rzyjêtym n= lub 3 mnmum funkcj S bêdze du e. Oznacza to du e ró nce omêdzy zale noœcam unktów rysowanych na ekrane a rzeczywstym zale noœcam omêdzy badanym unktam, co w znacznym stonu mo e zneksztaùcã obserwowane dane. Wynka to z faktu, e w ogólnym rzyadku zale noœc omêdzy danym m-wymarowym mo na efektywne skalowaã welowymarowo doero w rzestrzen m-wymarowej.

7 Rysunek.8. Przedstawony w racy [9] rzykùad zastosowana skalowana welowymarowego w où¹czenu z konstrukcj¹ mnmalnego drzewa roznaj¹cego do wzualzacj odzaùu zboru unktów na dwa skuska. Powy sza metoda zostaùa wykorzystana n. w racy [9], w której rzedstawono metodê wzualzacj skusk welowymarowych unktów, wykorzystuj¹c¹ où¹czene skalowana welowymarowego oraz mnmalnego drzewa roznaj¹cego. W celu wydzelena k skusk danych najerw rzedstawono unkty na ùaszczyêne rzy omocy skalowana welowymarowego. Nastêne skonstruowano mnmalne drzewo roznaj¹ce na grafe eùnym, którego werzchoùkam byùy wszystke rzedstawane unkty, natomast wartoœc krawêdz okreœlone zostaùy rzez odlegùoœc omêdzy unktam. Podzaù na k skusk mógù nast¹ã orzez usunêce k- krawêdz mnmalnego drzewa roznaj¹cego, oczynaj¹c od gaùêz o najwêkszych wartoœcach. Na rysunku.8 okazano rzedstawony w racy [9] rzykùad zastosowana owy szej metody do wzualzacj skusk unktów..7. METODA SCATTERPLOT MATRICES W racach [5], [], [3] rzedstawono kolejn¹ metodê wzualzacj welowymarowych danych, zwan¹ scatterlot matrces. W metodze tej welowymarowe dane rzedstawone s¹ rzy omocy ser dwuwymarowych zale noœc. Ka da dwuwymarowa zale noœã rzedstawa zale noœã omêdzy dwema zmennym. Autorzy tej metody twerdz¹, e nformacje stracone orzez wzualzacjê welowymarowych danych rzy omocy dwuwymarowej zale noœc, mog¹ zostaã zauwa one orzez jednoczesn¹

8 obserwacjê welu dwuwymarowych zale noœc. Na rysunku.9 okazano rzedstawony w racy [3] rzykùad zastosowana owy szej metody do wzualzacj trójwymarowych danych. Rysunek.9. Przedstawony w racy [3] rzykùad zastosowana metody scatterlot matrces do wzualzacj zale noœc omêdzy 3-wymarowym zboram danych. Puste obszary na rzek¹tnej okreœlaj¹ nazwy zmennych. Dwuwymarowa zale noœã, która znajduje sê w -tym werszu j-tej kolumne, rzedstawa zale noœã omêdzy zmenn¹, której nazwa znajduje sê w -tym werszu a zmenn¹, której nazwa znajduje sê w j-tej kolumne. Wy ej osana metoda ma stotn¹ wadê. Bowem nformacje stracone orzez wzualzacjê welowymarowych danych rzy omocy dwuwymarowej zale noœc, mog¹ byã nemo lwe do uzyskana orzez jednoczesn¹ obserwacjê welu dwuwymarowych zale noœc. Poza tym taka równoczesna obserwacja welu zale noœc jest w raktyce trudna, a wynk s¹ maùo czytelne..8. MAPA ODNIESIENIA W racach [3],[4] rzedstawono kolejn¹ metodê, tzw. maê odnesena (relevance ma), sùu ¹c¹ do wzualzacj welowymarowych danych. Na ùaszczyêne sùu ¹cej do wzualzacj danych zostaj¹ rozmeszczone secjalne unkty F, F,...,Fn, rerezentuj¹ce

9 oszczególne cechy. Rozkùad unktów rerezentuj¹cych rzedstawane welowymarowe dane odzwercedla relacje omêdzy tym danym a cecham. Im bardzej -ta cecha wystêuje w danym obekce, tym bl ej ownen le eã unkt rerezentuj¹cy dany obekt unktu F. W ten sosób ka dy unkt F, rerezentuj¹cy dan¹ cechê, dzel ùaszczyznê na obszary bardzej oraz mnej zale ne od cechy nr (mnej oraz bardzej odlegùe od unktu F). Ne zawsze unkty F, F,...,Fn mo na rozmeœcã w ten sosób, by wszystke unkty rerezentuj¹ce wzualzowane obekty mogùy byã w sosób rawdùowy rozmeszczone. Wtedy douszcza sê dodane ko nektórych unktów F rerezentuj¹cych cechy. Rysunek.0. Przedstawony w racy [3] rzykùad zastosowana may odnesena do wzualzacj zale noœc omêdzy welowymarowym zboram danych. Nektóre unkty F rerezentuj¹ce cechy owtarzaj¹ sê w celu zaewnena odowednej blskoœc wszystkm unktom tego wymagaj¹cym. Na rysunku.0 okazano rzedstawony w racy [3] rzykùad zastosowana owy szej metody do wzualzacj welowymarowych danych. Wad¹ may odnesena jest fakt, e rzy jej omocy mo na rzedstawã jedyne relacje obektów wzglêdem oszczególnych z góry zadanych cech, natomast ne mo na rzedstawã relacj wystêuj¹cych omêdzy badanym obektam..9. OBSZARY MOZAIKOWE W racach [6], [7] wrowadzono jeszcze jedn¹ metodê, tzw. obszary mozakowe (mosac lots), które tak e mog¹ byã stosowane w celu rzedstawena welowymarowych danych. Stanow¹ one naturalne rozszerzene jednowymarowych wykresów sùukowych.

0 Jeœl wykres sùukowy rozc¹gnemy do staùej wysokoœc odzelmy onowo wg udzaùu drugej zmennej zmenaj¹c szerokoœã sùuka tak, by owerzchna odowadaùa wartoœc erwszej zmennej, to otrzymamy wykres dwuwymarowy. Nastên¹ zmenn¹ mo emy dodaã orzez odzelene ka dego obszaru ozomo. Postêuj¹c analogczne mo emy dodaã wêcej zmennych. Na rysunku. okazano rzedstawony w racy [7] sosób tworzena obszarów mozakowych w celu wzualzacj welowymarowych danych. Rysunek.. Przedstawone w racy [7] etay tworzena obszarów mozakowych. Z rzedstawonych w tym rozdzale metod wdaã, e s¹ ró ne roozycje, ale roblem wzualzacj welowymarowych danych ne zostaù do tej ory rozw¹zany w sosób zadowalaj¹cy. St¹d wysùek wùo ony w oracowane metod rezentowanych w tej racy byù wysùkem dobrze ukerunkowanym celowym do onesena.

3. KONCEPCJA PATRZENIA W PRZESTRZENIACH WIELOWYMIAROWYCH 3.. WPROWADZENIE Jak wygl¹da rzestrzeñ n-wymarowa? Gdybyœmy sê znaleêl w takej rzestrzen jake wra ena wzrokowe by do nas doceraùy? Aby odowedzeã na te ytana zastanówmy sê najerw, w jak sosób odberamy nformacjê wzrokow¹ z otaczaj¹cego nas œwata? Satkówka oka, orzez któr¹ odberamy bodêce wzrokowe z otaczaj¹cego nas œwata, jest w rzybl enu wycnkem sfery do której docera œwatùo z zewn¹trz orzez soczewkê. Jest wycnkem sfery czyl obraz owstaj¹cy na nej rzekazywany do mózgu jest -wymarowy. Czùowek wdz œwat orzez arê oczu, czyl doceraj¹ do nas dwa obrazy -wymarowe. Ponewa do mózgu doceraj¹ dwa obrazy -wymarowe, wêc nasze rozumene wyobra ene rzestrzen 3-wymarowej jest wynkem naszego doœwadczena uczena sê rzez nasz mózg rekonstrukcj tej rzestrzen. Polega ono na oznawanu tej rzestrzen orzez obserwacjê obektów 3-wymarowych z ró nych stron, od ró nym k¹tam (ogl¹dane rzedmotu olega na oatrzenu na nego z ró nych stron). Rysunek 3.. Mmo, e odberamy obrazy dwuwymarowe, nasze mózg rozoznaj¹ je jako trójwymarowe trzy równolegùobok (fgury ùaske) ró nej jasnoœc, sklejone krawêdzam odberamy jako trójwymarowy szeœcan. Wykorzystuje sê to w kne telewzj, w których obserwujemy œwat orzez ekran -wymarowy. Wszystke systemy urzestrzennena telewzj kna olegaj¹ na dostarczenu do jednego oka obrazu rzesunêtego wzglêdem drugego obrazu dostarczonego do drugego oka (rzy czym oba obrazy s¹ -wymarowe). Jeœl nasza obserwacja rzeczywstoœc 3-wymarowej olega na jej rzutowanu na -wymarowy recetor, to dlaczego

ne melbyœmy zrobã tego samego z rzestrzen¹ 4,5,...,n wymarow¹? W dalszej czêœc zostane rzedstawone w jak sosób atrzeã w takej rzestrzen, czyl jak rzutowaã tak¹ rzestrzeñ na ekran -wymarowy. 3.. MODEL MATEMATYCZNY Zdefnujmy narzêdza matematyczne, sùu ¹ce nam do osu rzestrzen w której bêdzemy umeszczaã obserwowane obekty. Def.3. Przestrzen¹ obserwowan¹ X bêdzemy nazywaã dowoln¹ rzestrzeñ wektorow¹ nad caùem F lczb rzeczywstych, n-wymarow¹, n 3, z loczynem skalarnym. Def.3. Punktem obserwowanym a bêdzemy nazywaã ka dy wektor rzestrzen obserwowanej X, czyl ka dy ax Def.3.3 : X X X def k w, A x X : k N,,..., k F v, v,..., vk A, t. e x w v Def.3.4 Nech, X - lnowo nezale ne, wx. Pùaszczyzn¹ obserwacyjn¹ PX bêdzemy nazywaã P=(w,{, }). Zdefnowana w ten sosób ùaszczyzna obserwacyjna P bêdze nam sùu yã jako ekran, orzez który bêdzemy obserwowaã obekty umeszczone w rzestrzen obserwowanej X. Wektor w wskazywaã bêdze oùo ene œrodka tego ekranu, natomast, jego ose. W tym momence musmy zastanowã sê w jak sosób romene œwetlne odbte od danego unktu obserwowanego bêd¹ zmerzaã do ùaszczyzny obserwacyjnej? W rzestrzen 3-wymarowej do danego unktu e ùaszczyzny obserwacyjnej P mog¹ dotrzeã tylko romene œwetlne odbte od najbl szego unktu le ¹cego na rostej rostoadùej do P rzechodz¹cej rzez e. W rzestrzen 3-wymarowej jest tylko jedna taka rosta. Natomast w rzestrzen n-wymarowej, dla n>3 takch rostych jest wêcej. Pojawa sê wêc roblem: do jednego unktu e ùaszczyzny obserwacyjnej P mog¹ dotrzeã jednoczeœne romene odbte od welu unktów obserwowanego obektu. Mo emy temu zaobec orzez wybór w danej chwl jednej konkretnej rostej rostoadùej do P, która bêdze nam sùu yã jako kerunek wzdùu którego bêdzemy w danej chwl dokonywaã rzutowana.

3 Def.3.5 Kerunkem rzutowana r na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P=(w,{, }) bêdzemy nazywaã dowolny wektor rx tak, e wektory {,, r} s¹ lnowo nezale ne. Aby to dokùadne zlustrowaã rzyjmjmy na chwlê, e nasza ùaszczyzna obserwacyjna P jest jednowymarowa rzy jej omocy chcemy obserwowaã bryùê 3-wymarow¹, n. tak¹ jaka jest rzedstawona na rys. 3.. W celu oznana jej wygl¹du ne doœã, e bêdzemy musel obejœã j¹ ze wszystkch stron, to dodatkowo z ka dego unktu wdzena bêdzemy musel j¹ rzeœledzã z góry na dóù. Na rysunku 3.. okazano sosób owstawana obrazu na jednowymarowej ùaszczyêne obserwacyjnej P. Przedstawono ró nce w obrazach, owstaj¹cych na jednowymarowej ùaszczyêne obserwacyjnej P, uzyskane w wynku zmany ustawena kerunku rzutowana r. Jak wdaã na ùaszczyêne obserwacyjnej P wdoczny jest fragment bryùy odowadaj¹cy ustawenu P kerunku rzutowana r. Jest to sytuacja analogczna do normalnej obserwacj (rzestrzeñ 3-wymarowa obserwowana rzez oczy -wymarowe), gdze jesteœmy w stane dostrzec jedyne fragment bryùy wdoczny z danego unktu wdzena. Rysunek 3.. Pokazano dwa ró ne obrazy owstaj¹ce na jednowymarowej ùaszczyêne obserwacyjnej P. Sytuacje (a) oraz (b) ró n¹ sê jedyne nnym ustawenem kerunku rzutowana r. Na rysunku 3.3 rzedstawono 44 jednowymarowe ùaszczyzny obserwacyjne, uzyskane w sosób okazany na rysunku 3.. Nale y zwrócã uwagê na fakt, e wszystke jednowymarowe ùaszczyzny obserwacyjne rzedstawone na tym rysunku ró n¹ sê jedyne wyborem kerunku rzutowana r. Rysunek ten ozwala zauwa yã, e zmenaj¹c unkt wdzena orzez zmanê oùo ena ùaszczyzny obserwacyjnej P, oraz zmenaj¹c kerunek

4 rzutowana r rzy danym oùo enu ùaszczyzny obserwacyjnej P, mo emy uzyskaã wszystke nformacje o zewnêtrznym wygl¹dze obserwowanego obektu. Pozwala to na owstane w naszym umyœle obrazu caùoœc zewnêtrznego wygl¹du obserwowanej bryùy. Rysunek 3.3. Przedstawono 44 obrazy owstaùe na jednowymarowej ùaszczyêne obserwacyjnej rzy ró nych ustawenach kerunku rzutowana r. Ka da ozoma lna o szerokoœc caùego rysunku stanow tutaj jednowymarow¹ ùaszczyznê obserwacyjn¹ rzy konkretnym ustalonym r. Dla rzejrzystoœc rozdzelono ùaszczyzny obserwacyjne lnam baùym. Def.3.6 Kerunek rzutowana r na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P=(w,{, }) bêdzemy nazywaã wùaœcwym jeœl wektory {,, r} s¹ ukùadem ortogonalnym. Def.3.7 Prost¹ równolegù¹ do rx rzechodz¹c¹ rzez ax bêdzemy nazywaã zbór k a,r X: k a,r def {xx : F t. e x= r+a} Def.3.8 Rzutem unktu obserwowanego ax zgodnym z kerunkem rzutowana rx na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P bêdzemy nazywaã wektor: epk a,r, gdze k a,r jest rost¹ równolegù¹ do r rzechodz¹c¹ rzez a Srawdêmy czy taka defncja rzutu unktu obserwowanego jest rawdùowa, czyl czy dany unkt obserwowany a bêdze wdoczny w co najwy ej jednym mejscu ùaszczyzny obserwacyjnej P. Pokazuje to nastêuj¹ce twerdzene:

5 Twerdzene 3. Nech: P=(w,{, })-ùaszczyzna obserwacyjna, rx - kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P, ax, k a,r - rosta równolegùa do r rzechodz¹ca rzez a wtedy: zbór Pk a,r jest zborem co najwy ej jednoelementowym Dowód: Hoteza: e e t. e e Pk a,r oraz e Pk a,r czyl: e e take, e e P e P e k a,r e k a,r korzystaj¹c z defncj P oraz z defncj k a,r otrzymujemy:,, 3, 4 F t. e e = w+ + e = w+ 3 + 4 oraz, F t. e e = r+a e = r+a z dwóch ostatnch otrzymanych wzorów na e, e oraz z tego, e e e wynka ; rzyrównajmy otrzymane wzory na e oraz rzyrównajmy otrzymane wzory na e, wtedy: r+a= w+ + r+a= w+ 3 + 4 z obu równañ olczmy a, wêc: a= w+ + - r a= w+ 3 + 4 - r rzyrównajmy otrzymane wzory na a, wtedy: w+ + - r = w+ 3 + 4 - r rzenosz¹c na jedn¹ stronê gruuj¹c otrzymamy: ( - ) r + ( - 3 ) + ( - 4 ) = 0 ( - )0 czyl wektory {,, r} ne s¹ lnowo nezale ne jest to srzeczne z defncj¹ kerunku rzutowana r, czyl hoteza faùszywa Poka emy teraz warunek koneczny wystarczaj¹cy na to by dany unkt obserwowany a byù wdoczny na ùaszczyêne obserwacyjnej P: Twerdzene 3. Nech: P=(w,{, })-ùaszczyzna obserwacyjna, rx - kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P, ax, k a,r - rosta równolegùa do r rzechodz¹ca rzez a

6 wtedy: Pk a,r wtw a-w jest kombnacj¹ lnow¹ wektorów {,, r} Dowód: ) Pk a,r wêc: epk a,r czyl: ex t. e ep ek a,r korzystaj¹c z defncj P oraz z defncj k a,r otrzymujemy:, F t. e e = w+ + F t. e e= r+a rzyrównajmy otrzymane wzory na e, wtedy:,,f t. e r+a= w+ + wêc:,,f t. e a-w= + +(-)r czyl a-w jest kombnacj¹ lnow¹ wektorów: {,, r} ) a-w jest kombnacj¹ lnow¹ wektorów {,, r} czyl:,, 3 F t. e a-w= + + 3 r zatem:,, 3 F t. e (- 3 )r+a= w+ + rzyjmjmy oznaczene: e= w+ +, ex wtedy:, F t. e e= w+ + =- 3 F t. e e= r+a korzystaj¹c z defncj P oraz z defncj k a,r otrzymujemy: ep ek a,r czyl: epk a,r z tego wynka, e: Pk a,r Def.3.9 Nech epk a,r - rzut unktu obserwowanego ax zgodny z kerunkem rzutowana rx na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P=(w,{, }). Poùo enem rzutu unktu obserwowanego a bêdzemy nazywaã arê {, },, F t. e e= w+ + Odlegùoœc¹ rzutu unktu obserwowanego a bêdzemy nazywaã F t. e e= r +a Oczywœce zdefnowana w ten sosób odlegùoœã rzutu ne seùna wùasnoœc n. metryk ale jest dealna do naszych otrzeb. Poza odlegùoœc¹ okreœla bowem orzez znak, równe o której strone ùaszczyzny obserwacyjnej P znajduje sê unkt obserwowany a. Zastanówmy sê teraz nad nastêuj¹cym roblemem: weêmy ùaszczyznê obserwacyjn¹ P, dowolny unkt a rzestrzen obserwowanej X oraz dowolny kerunek

7 rzutowana r. Wykonajmy rzut unktu obserwowanego a zgodne z kerunkem rzutowana r na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P otrzymuj¹c unkt ep. Chcemy dowedzeã sê jake jest oùo ene unktu e na P oraz jaka jest jego odlegùoœã od a, czyl chcemy olczyã oùo ene rzutu unktu obserwowanego a oraz odlegùoœã rzutu unktu obserwowanego a. Jak to zrobã okazuje nam nastêuj¹ce twerdzene: Twerdzene 3.3 Nech: X - rzestrzeñ obserwowana, n-wymarowa, {x,x,...,x n } baza X P=(w,{, })-ùaszczyzna obserwacyjna, {, }-ukùad ortogonalny, n n x x,,,, j, F j=, =,,...,n n w x w, w F =,,...,n rx - wùaœcwy kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P, n r x r, r F =,,...,n ax - unkt obserwowany, n a x a, a F =,,...,n,,f, t. e seùnony jest ukùad równañ: n n n n n w a r w a r w a r,,,,,, wtedy: ara {, } jest oùo enem rzutu unktu obserwowanego a, jest odlegùoœc¹ rzutu unktu obserwowanego a Dowód: z zaùo ena mamy: =,,...,n, +, - r = a - w mno ¹c obe strony równañ rzez x oraz dodaj¹c wszystke równana stronam otrzymamy: n n x w a x r,, wêc: n n n n n x w x a x r x x,,

8 czyl: n n n, x, x r x n a x korzystaj¹c z rzyjêtych oznaczeñ otrzymujemy: + - r = a-w wêc: w+ + = r + a rzez ex rzyjmjmy: e= w+ +, wtedy:, F t. e e= w+ + F t. e e= r+a korzystaj¹c z defncj P oraz z defncj k a,r otrzymujemy: ep ek a,r, F t. e e= w+ + F t. e e= r+a wêc: epk a,r, F t. e e= w+ + F t. e e= r+a czyl ara {, } jest oùo enem rzutu unktu obserwowanego a, oraz jest odlegùoœc¹ rzutu unktu obserwowanego a n w x Oszemy teraz bryùy, które bêdzemy chcel obserwowaã w rzestrzen obserwowanej X. S¹ to bryùy bêd¹ce czêœc¹ wsóln¹ ewnej lczby óùrzestrzen: Def.3.0 Póùrzestrzen¹ Z (s,d) zakotwczon¹ w sx skerowan¹ w kerunku dx bêdzemy nazywaã zbór: def Z ( s, d ) x X : ( x s, d) 0 Def.3. Herowerzchn¹ S (s,d) zakotwczon¹ w sx skerowan¹ w kerunku dx bêdzemy nazywaã zbór: def S ( s, d ) x X : ( x s, d) 0 Def.3. Bryù¹ wyukù¹ Y zawart¹ w óùrzestrzenach: Z (s,d), Z (s,d),..., Z (sk,dk) bêdzemy nazywaã zbór: def Y x X : x k Z ( s, d) Def.3.3 Nech Y bêdze bryù¹ wyukù¹ zawart¹ w óùrzestrzenach Z (s,d), gdze =,,...,k. Fragment herowerzchn S (s,d) nale ¹cy do Y bêdzemy nazywaã œcan¹ bryùy Y.

9 Zastanówmy sê chwlê jak œwatùo odbja sê od œcany bryùy wyukùej Y? Wymar rzestrzen obserwowanej X jak wymar bryùy wyukùej Y ustalmy n. na 7. Wtedy œcany bryùy wyukùej Y oddzelaj¹ce wnêtrze bryùy od jej zewnêtrza bêd¹ obektam 6-wymarowym. Nale y zauwa yã, e œwatùo mo e sê odbã od dowolnego unktu nale ¹cego do takej œcany, czyl w rzykùadowej sytuacj od dowolnego unktu nale ¹cego do obektu 6-wymarowego (czyl równe od wnêtrza takego obektu bêd¹cego œcan¹). Pytane brzm: jak¹ jasnoœã ma meã œwatùo odbte od danego unktu nale ¹cego do œcany n. 6-wymarowej? Dzêk owy szej defncj herowerzchn S (s,d) zaweraj¹cej œcanê odowedê jest banalna: jasnoœã zale y od kerunku skerowana d herowerzchn S (s,d) zaweraj¹cej dan¹ œcanê, kerunku rzutowana r oraz od kerunku z którego begne œwatùo. Zastanówmy sê teraz nad nnym roblemem. Weêmy dowolny unkt e ùaszczyzny obserwacyjnej P, ep. Aby stwerdzã która ze œcan bryùy wyukùej Y jest wdoczna z unktu e musmy stwerdzã która z nch jest najbl ej. W tym celu musmy olczyã odlegùoœã unktu e od ka dej herowerzchn zaweraj¹cej œcanê. Sosób olczena tej odlegùoœc odaje nam twerdzene 3.5. Wczeœnej jednak musmy okazaã, e z dowolnego unktu ùaszczyzny obserwacyjnej P wdoczny jest dokùadne jeden unkt herowerzchn S (s,d) (nekoneczne nale ¹cy do bryùy wyukùej Y). Twerdzene 3.4 Nech: P=(w,{, })-ùaszczyzna obserwacyjna, {, }-ukùad ortogonalny ep rx - wùaœcwy kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P S (s,d) X - herowerzchna t. e (r, d) 0 wtedy: as (s,d) dokùadne jedno t. e e jest rzutem unktu obserwowanego a zgodnym z kerunkem rzutowana r na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P Dowód: ) Istnene: ( e s, d) rzyjmjmy: oraz a=e - r ( r, d) rzeksztaùcaj¹c erwsze równane lcz¹c e z drugego równana otrzymamy: (e -s, d) = (r, d) F t. e e= r+a czyl: (e -s, d) (r, d) = 0 F t. e e= r+a

30 rzeksztaùcaj¹c erwsze równane korzystaj¹c z defncj k a,r otrzymujemy: (e - r -s, d) = 0 ek a,r na ocz¹tku dowodu rzyjêlœmy a=e- r, odstawaj¹c do loczynu skalarnego otrzymujemy: (a -s, d) = 0 ek a,r z zaùo ena ep wêc: (a -s, d) = 0 epk a,r korzystaj¹c z defncj herowerzchn oraz z defncj rzutu unktu obserwowanego mamy: as (s,d) oraz e jest rzutem unktu obserwowanego a zgodnym z kerunkem rzutowana r ) Jedynoœã: hoteza: ab t. e epk a,r epk b,r as (s,d) bs (s,d) korzystaj¹c z defncj k a,r oraz z defncj S (s,d) otrzymujemy:, F t. e e= r+a e= r+b (a -s, d) = 0 (b -s, d) = 0 wêc: a=e- r b=e- r (a -s, d) = 0 (b -s, d) = 0 odstawaj¹c olczone a oraz b do loczynów skalarnych otrzymujemy: a=e- r b=e- r (e- r -s, d) = 0 (e- r -s, d) = 0 wêc: a=e- r b=e- r (r, d) = (e -s, d) (r, d) = (e -s, d) z dwóch ostatnch równañ lczymy oraz otrzymujemy: ( e s, d) a=e- r b=e- r = = ( r, d) z tego wynka, e a=b czyl hoteza faùszywa Twerdzene 3.5 Nech: P=(w,{, })-ùaszczyzna obserwacyjna, {, }-ukùad ortogonalny ep czyl, F t. e e= w+ + rx - wùaœcwy kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P S (s,d) X - herowerzchna t. e (r, d) 0 as (s,d) t. e e jest rzutem unktu obserwowanego a wtedy: odlegùoœã rzutu unktu obserwowanego a wynos: ( w ( r, d) s, d)

3 Dowód: Na mocy twerdzena 3.4 wemy e: as (s,d) t. e e jest rzutem unktu obserwowanego a zgodnym z kerunkem rzutowana r oraz z zaùo ena e= w+ + wêc: (a-s,d) = 0 epk a,r e= w+ + korzystaj¹c z defncj k a,r otrzymujemy: (a-s,d) = 0 F t. e e= r+a e= w+ + rzyrównajmy otrzymane wzory na e, wtedy: (a-s,d) = 0 r+a = w+ + czyl: (a-s,d) = 0 a = w+ + - r odstawaj¹c olczone a do loczynu skalarnego otrzymujemy: (w+ + - r -s, d) = 0 zatem: (w+ + -s, d) - (r, d) = 0 wêc: (w+ + -s, d) = (r, d) ( w s, d) ostateczne otrzymujemy: ( r, d) Korzystaj¹c z twerdzena 3.5 mo emy srawdzã dla dowolnego unktu nale ¹cego do ùaszczyzny obserwacyjnej (ekranu) jego odlegùoœã w kerunku r od ka dej herowerzchn zaweraj¹cej œcanê bryùy. Mo emy wêc srawdzã która ze œcan nale ¹cych do bryùy jest najbl ej, czyl która, atrz¹c w kerunku r z danego unktu ùaszczyzny obserwacyjnej (ekranu) rzesùana nne wêc jest wdoczna. Nastêne twerdzene bêdze nam otrzebne do rozgl¹dana sê w rzestrzen obserwowanej X Twerdzene 3.6 Nech: X - rzestrzeñ obserwowana {q, q,..., q n } zbór ortonormalny wektorów z X q, q j - dwa dowolne, ró ne wektory nale ¹ce do {q, q,..., q n },,, F, t. e [-,],, =, = - t = q j + q

3 Dowód: t = q j + q wtedy: zbór owstaùy w wynku zamany wektorów q,q j wektoram t, t tzn. {q, q,..., q -, t, q +,..., q j-, t, q j+,..., q n } jest zborem ortonormalnym. ) na ocz¹tku oka emy, e owstaùe wektory t,t s¹ ortonormalne: (t,t ) = ( q j + q, q j + q ) = (q j, q j ) + (q j, q ) + (q, q j ) + (q, q ) = + = = = 0 (t,t ) = ( q j + q, q j + q ) = (q j, q j ) + (q j, q ) + (q, q j ) + (q, q ) = + = = + - = (t,t ) = ( q j + q, q j + q ) = (q j, q j ) + (q j, q ) + (q, q j ) + (q, q ) = + = +(- )(- ) = = - + = ) musmy jeszcze okazaã, e wektory t,t s¹ ortogonalne z dowolnym wektorem q m nale ¹cym do zboru {q, q,..., q n } oza wektoram q, q j, czyl: (t,q m ) = ( q j + q, q m ) = (q j, q m ) + (q, q m ) = 0 (t,q m ) = ( q j + q, q m ) = (q j, q m ) + (q, q m ) = 0 Przyjmjmy, e wùaœcwy kerunek rzutowana r jest sum¹ n- wektorów r 0,r,...,r n-3 takch, e ukùad {,, r 0, r, r,..., r n-3 } jest ukùadem ortonormalnym. Z owy szego twerdzena wynka, e jeœl weêmemy dowoln¹ arê wektorów ze zboru {,, r 0, r, r,..., r n-3 } zast¹my j¹ ar¹ wektorów t,t tak jak w omawanym twerdzenu, to owstaùy w ten sosób zbór równe bêdze ortonormalny a wêc nowy ukùad {,,r} bêdze ortogonalny. Czyl zmana kerunku atrzena olegaã bêdze na wyborze ary wektorów soœród zboru {,, r 0, r, r,..., r n-3 } oraz zast¹enu jej now¹ ar¹. Zmana taka odowada obrotow w ùaszczyêne utworzonej rzez te dwa wektory stanow obrót wokóù odrzestrzen n- wymarowej 3.3. PRZYK ADY BRY Stosuj¹c wy ej osany model matematyczny zdefnowano formalne klka rzykùadowych bryù welowymarowych oraz rzedstawono je na ekrane komutera. Rysunk o numerach od 3.4 do 3.9 rzedstawaj¹ kostkê 4-wymarow¹ (bêd¹c¹ czterowymarowym odowednkem szeœcanu) ogl¹dan¹ z ró nych stron, rzy ró nych

33 ustawenach kerunku rzutowana r. Wdaã na nch klka rzykùadowych konfguracj sklejonych fgur ùaskch o ró nej jasnoœc, rzedstawaj¹cych wygl¹d tej kostk. W wynku obserwacj zauwa ono, e jednoczeœne mo na byùo zobaczyã maksymalne 4 œcany. Stanow to ewn¹ ndywdualn¹ cechê jakoœcow¹ obserwowanego obektu. Nale y zwrócã uwagê, e kostka taka ma osem œcan a ka da z tych œcan jest szeœcanem trójwymarowym. Ju w tym momence u wêkszoœc ludz wyobraêna zawodz, onewa nasze mózg ne s¹ nauczone do odboru rzestrzen wêcej n 3-wymarowej orzez wzrok, brak m w tym wzglêdze doœwadczena. W tej sytuacj nale y sróbowaã atrzeã z ró nych stron na rozwa any obekt welowymarowy uczyã nasz mózg rozumena takej bryùy. Rysunek 3.4. Kostka 4-wymarowa ogl¹dana z odowednej strony rzy odowednm kerunku rzutowana r (kwadrat). Rysunek 3.5. Kostka 4-wymarowa (3 sklejone rostok¹ty).

34 Rysunek 3.6. Kostka 4-wymarowa ( trójk¹t 3 êcok¹ty). Rysunek 3.7. Kostka 4-wymarowa ( trójk¹ty, czworok¹t, êcok¹t). Rysunek 3.8. Kostka 4-wymarowa (3 czworok¹ty szeœcok¹t).

35 Rysunek 3.9. Kostka 4-wymarowa ( trójk¹ty, êcok¹t, szeœcok¹t). Rysunk o numerach od 3.0 do 3.3 rzedstawaj¹ kostkê 7-wymarow¹ (bêd¹c¹ sedmowymarowym odowednkem szeœcanu) ogl¹dan¹ z ró nych stron, rzy ró nych ustawenach kerunku rzutowana r. Wdaã na nch klka rzykùadowych konfguracj sklejonych fgur ùaskch o ró nej jasnoœc, rzedstawaj¹cych wygl¹d tej kostk. W wynku obserwacj zauwa ono, e jednoczeœne mo na byùo zobaczyã maksymalne 7 œcan. Stanow to ewn¹ ndywdualn¹ cechê jakoœcow¹ obserwowanego obektu. Zauwa my, e kostka taka ma czternaœce œcan a ka da z tych œcan jest kostk¹ szeœcowymarow¹.. Rysunek 3.0. Kostka 7-wymarowa (3 czworok¹ty êcok¹ty). Rysunek 3.. Kostka 7-wymarowa (4 czworok¹ty, êcok¹t, szeœcok¹t).

36 Rysunek 3.. Kostka 7-wymarowa ( trójk¹t, czworok¹ty, 3 êcok¹ty, szeœcok¹t). Rysunek 3.3. Kostka 7-wymarowa ( trójk¹t, czworok¹t, 4 êcok¹ty, szeœcok¹t). Wêcej uzyskanych wdoków rzedstawonych bryù okazano w dodatku A.

4. IMPLEMENTACJA SYSTEMU DO WIZUALIZACJI OBIEKTÓW WIELOWYMIAROWYCH (BRY WYPUK YCH) 4.. PROJEKT SYSTEMU Budowê systemu stanow¹cego w tej racy autorsk¹ roozycjê narzêdza do atrzena w rzestrzenach welowymarowych oarto na rogramowanu o charakterze zdarzenowym, olegaj¹cym na tym e rogram konstruuje sê jako zestaw funkcj obsùug, wywoùywanych rzez system oeracyjny w momence wyst¹ena jakegoœ nteresuj¹cego nas zdarzena (n. wcœnêce rzycsku myszy, wybrane ocj z menu, u yce klawatury, oruszene mysz¹, t.). System sùu ¹cy do wzualzacj bryùy n-wymarowej mus realzowaã nastêuj¹ce zadana: ) rzechowywane w amêc komutera osu bryùy n-wymarowej w odowednej forme z wykorzystanem odowednch struktur danych. ) zmana unktu wdzena obserwowanej bryùy, orzez rzemeszczane obserwatora w rzestrzen n-wymarowej. 3) rysowane bryùy wdzanej z danego mejsca rzestrzen. 4... STRUKTURY DANYCH Na odstawe defncj 3. rzyjêto, e rzestrzeñ obserwowana X jest rzestrzen¹ wektorow¹ nad caùem F, n-wymarow¹, n 3, z loczynem skalarnym. Ustalono wektory {x,x,...,x n } bêd¹ce ortonormaln¹ baz¹ rzestrzen X. Ponadto ustalono, e caùo F bêdze caùem lczb rzeczywstych loczyn skalarny bêdze dany wzorem: def n n, q gdze,qx, q x, q q x Bryùa wyukùa Y zgodne z defncj¹ 3. jest czêœc¹ wsóln¹ ewnej lczby óùrzestrzen. Natomast wg defncj 3.0 ka d¹ óùrzestrzeñ Z (s,d) okreœlaj¹ w sosób jednoznaczny dwa wektory: s,dx. W celu osana bryùy wyukùej rzyjêto zatem nastêuj¹ce struktury danych: n struct TYP_WEKTOR { double X[MAX_WYMIAR]; }; struct TYP_POLPRZESTRZEN { struct TYP_WEKTOR S,D;

38 }; struct TYP_BRYLA { nt LICZBA_SCIAN; struct TYP_POLPRZESTRZEN POLPRZ[MAX_SCIAN]; }; 4... ZMIANA PUNKTU WIDZENIA W PRZESTRZENI n-wymiarowej Zgodne z defncj¹ 3.4 ùaszczyznê obserwacyjn¹ P=(w,{, }) w sosób jednoznaczny okreœlaj¹ trzy wektory. Dodatkowo na odstawe defncj 3.4 defncj 3.5 wemy, e aby wektor r byù wùaœcwym kerunkem rzutowana, wektory {,,r} musz¹ byã ukùadem ortogonalnym. Z owy szych faktów wynka e zmanê unktu wdzena dokonuje sê orzez zmanê wektorów: w,,,r. Zmanê t¹ mo emy odzelã na dwa rodzaje: ) Zmana oùo ena obserwatora nastêuje orzez rzesunêce ùaszczyzny obserwacyjnej o dany wektor yx. Jest to najrostsza oeracja, bowem w celu jej wykonana wystarczy zmenã wektor w dodaj¹c do nego wektor y. ) Zmana kerunku atrzena nastêuje orzez zmanê wartoœc wektorów,,r tak by równe o zmane wektory,,r byùy ukùadem ortogonalnym. Przyjêto, e wektor r jest sum¹ n- wektorów r 0,r,...,r n-3 takch, e ukùad {,, r 0, r, r,..., r n-3 } jest ukùadem ortonormalnym. Na odstawe twerdzena 3.6 wemy, e jeœl weêmemy dowoln¹ arê Rysunek 4.. C¹g nstrukcj sùu ¹cy zmane dwóch wektorów q,q zale ne od arametru ø. Zmana taka odowada obrotow w ùaszczyêne utworzonej rzez te wektory.

39 wektorów q,q ze zboru {,, r 0, r, r,..., r n-3 } zast¹my j¹ ar¹ wektorów t,t, gdze: t =ø q + ø q, t = q + q, ø [-,],, = ø, = -ø, to owstaùy w ten sosób zbór równe bêdze ortonormalny a wêc nowy ukùad {,,r} bêdze ortogonalny. W zw¹zku z owy szym zmana kerunku atrzena olegaã bêdze na wyborze ary wektorów soœród zboru {,, r 0, r, r,..., r n-3 } oraz zast¹enu jej now¹ ar¹. Zmana taka bêdze nastêowaùa w wynku nacœnêca klawsza rzyorz¹dkowanego danej arze. Sowoduje to obrót w ùaszczyêne utworzonej rzez te wektory. 4..3. RYSOWANIE BRY Y Pùaszczyznê obserwacyjn¹ P=(w,{, }) w rzeczywstoœc rerezentujemy orzez dyskretn¹ satkê unktów, mo lw¹ do rzedstawena na ekrane grafcznym. Dla ka dego unktu takej satk (o wsóùrzêdnych, wzglêdem satk) mo emy na odstawe twerdzena 3.5 olczyã jego odlegùoœã w kerunku r od ka dej herowerzchn S (s,d) zaweraj¹cej œcanê bryùy. Dokonujemy tego rzy omocy wzoru: ( w ( r, d) s, d) Mo emy wêc srawdzã która ze œcan nale ¹cych do bryùy jest najbl ej, czyl która, atrz¹c w kerunku r z danego unktu ùaszczyzny obserwacyjnej (ekranu) rzesùana nne wêc jest wdoczna. Fakt dana herowerzchna jest najbl ej w kerunku r ne jest wystarczaj¹cy nale y dodatkowo srawdzã czy unkt a herowerzchn wdoczny w kerunku r nale y do œcany bryùy czyl do fragmentu herowerzchn nale ¹cego do bryùy. Mo na to zrealzowaã z defncj bryùy (defncja 3.) orzez srawdzene czy dany unkt a nale y do ka dej óùrzestrzen tworz¹cej bryùê. Wystarczy wêc srawdzã czy: Z (s,d) zachodz (a-s,d ) 0, gdze =..k oraz Z (s,d), Z (s,d),..., Z (sk,dk) - óùrzestrzene w których zawarta jest bryùa wyukùa Y. Pozostaje ostatn roblem: w jak sosób œwatùo odbja sê od œcany bryùy wyukùej Y? Przyjêto e atrz¹c w kerunku r jasnoœã œwecena unktu herowerzchn S (s,d) jest wrost roorcjonalna do wartoœc loczynu skalarnego (r,d). Sosób dzaùana caùej wy ej osanej rocedury rysuj¹cej bryùê, zostaù rzedstawony w ostac schematu blokowego na rysunku 4.. Procedurê t¹ system bêdze wywoùywaã o ka dej zmane jednego z wektorów w,,,r.

Rysunek 4.. Schemat blokowy rocedury rysuj¹cej bryùê wyukù¹. 40

4 4.. SPOSÓB UÝYTKOWANIA N ej osany system zostaù oracowany w oarcu o teorê z rozdzaùu 3. Sùu y on do ogl¹dana dowolnych bryù wyukùych, których wymar ne rzekracza 7 a lczba œcan 30. Jest nasany w jêzyku C, rzygotowany do racy w systeme Wndows, skomlowany w œrodowsku Borland C++. Pracê z systemem rozoczynamy od wczytana lku z osem bryùy. Nastêuje to orzez wybrane z gùównego menu ocj PLIK a nastêne CZYTAJ. Parametry racy mo emy zmenaã rzy omocy ocj PARAMETRY. Poruszane sê o n-wymarowej rzestrzen w celu zmany unktu wdzena, nastêuje orzez u yce odowednch klawszy. Okno systemu skùada sê z dwóch zasadnczych czêœc: okna grafcznego, które sùu y do rzedstawana wygl¹du ogl¹danej bryùy oraz okna tekstowego, na którym ojawaj¹ sê ewne nformacje tekstowe. Rysunek 4.3. Wygl¹d okna systemu skùadaj¹cego sê z dwóch czêœc: grafcznej tekstowej. 4... DANE WEJÚCIOWE Os bryùy któr¹ chcemy ogl¹daã, wczytywany jest z lku o rozszerzenu dat w którym nformacje zasane s¹ w nastêuj¹cym formace: ) nagùówek: - (wartoœã tyu nteger) staùa wynosz¹ca jeden, oznacza e lk osuje bryùê, n - (wartoœã tyu nteger) wymar bryùy (maksymalne 7), k - (wartoœã tyu nteger) lczba óùrzestrzen defnuj¹cych bryùê (maksymalne 30). ) arametry okreœlaj¹ce k óùrzestrzen defnuj¹cych konkretn¹ bryùê: wektor s - (n wartoœc tyu float) wsóùrzêdne wektora s óùrzestrzen Z (s,d), wektor d - (n wartoœc tyu float) wsóùrzêdne wektora d óùrzestrzen Z (s,d),... wektor s k - (n wartoœc tyu float) wsóùrzêdne wektora s k óùrzestrzen Z (sk,dk),

4 wektor d k - (n wartoœc tyu float) wsóùrzêdne wektora d k óùrzestrzen Z (sk,dk), gdze Z (s,d), Z (s,d),..., Z (sk,dk) - óùrzestrzene w których zawarta jest defnowana bryùa (zgodne z defncj¹ 3.). Jak ùatwo zauwa yã, lk ma orawny format jeœl o trzech wartoœcach tyu nteger zawera *n*k wartoœc tyu float. Przykùadowa rocedura generuj¹ca lk z bryù¹ wyukù¹ zawart¹ w strukturze BRYLA (tyu struct TYP_BRYLA osanego w unkce 4..) wygl¹da nastêuj¹co: nt zasz_lk(char nazwa[]) { float wx; nt,j; FILE *w_lku; w_lku = foen(nazwa,"wb"); f (w_lku==null) return ; frntf(w_lku,"%d\n",); frntf(w_lku,"%d\n",wymiar); frntf(w_lku,"%d\n",bryla.liczba_scian); for (=0;<(BRYLA.LICZBA_SCIAN);++) { for (j=0;j<wymiar;j++) { wx=bryla.polprz[].s.x[j]; frntf(w_lku,"%f\n",wx); } for (j=0;j<wymiar;j++) { wx=bryla.polprz[].d.x[j]; frntf(w_lku,"%f\n",wx); } } fclose(w_lku); return 0; } // ty obektów // lczba wymarów // lczba œcan Wczytane lku z osem bryùy nastêuje orzez wybrane z gùównego menu ocj PLIK a nastêne CZYTAJ. 4... PARAMETRY Wyberaj¹c w menu ocjê PARAMETRY mo emy zmenaã ewne ustawena rogramu, manowce: ) KOLOR T A zmenaj¹c ten arametr mo emy wybraã baùe lub czarne tùo na którym rzedstawana bêdze ogl¹dana bryùa.

43 ) SKOK OBROTU arametr rerezentuj¹cy k¹t obrotu o jak zmen sê kerunek atrzena w wynku nacœnêca jednego z klawszy rzyorz¹dkowanych takej zmane. 3) SKOK PRZESUNIÆCIA okreœla welkoœã rzemeszczena obserwatora w wynku u yca jednego z klawszy owoduj¹cych zmanê jego oùo ena. Rysunek 4.4. Wygl¹d okna wywoùywanego w celu zmany arametrów. 4..3. FUNKCJE KLAWISZY W celu zmany unktu wdzena mo emy sê oruszaã o n-wymarowej rzestrzen orzez u yce odowednch klawszy. Rysunek 4.5. Koloram oznaczono klawsze sùu ¹ce do oruszana sê o n-wymarowej rzestrzen. () kolor óùty klawsze sùu ¹ce zmane oùo ena wzdùu os wsóùrzêdnych, () kolor nebesk zmana oùo ena wzdùu kerunku rzutowana r, (3) kolor czerwony zmana oùo ena wzdùu os ùaszczyzny obserwacyjnej, (4) kolor zelony zmana kerunku atrzena. ) Zmana oùo ena wzdùu os wsóùrzêdnych sùu ¹ do tego klawsze z odstawowej klawatury, oznaczone cyfram,,3,...,7. Przemeszczene wzdùu -tej os wsóùrzêdnych nastêuje orzez wcœnêce klawsza z cyfr¹, czyl rzemeszczene wzdùu os nr o wcœnêcu klawsza z cyfr¹, wzdùu os nr o wcœnêcu klawsza z cyfr¹, td. Lczba aktywnych klawszy zale y bezoœredno od lczby wymarów dla bryùy n. czterowymarowej aktywne s¹ klawsze,,3,4. Wartoœã rzemeszczena, które nastêuje

44 rzy jednokrotnym u ycu odowedzalnego za to klawsza, zawarta jest w arametrze SKOK PRZESUNIÆCIA. Jeœl natomast u yjemy tego klawsza ù¹czne z klawszem SHIFT to rzemeszczene nast¹ o ujemn¹ wartoœã arametru SKOK PRZESUNIÆCIA, czyl w rzecwn¹ stronê. ) Zmana oùo ena wzdùu kerunku rzutowana r rzemeszczene nastêuje orzez wcœnêce klawsza ze znakem < (rzemeszczene do rzodu ) lub > (rzemeszczene do tyùu ). Wartoœã rzemeszczena, które nastêuje rzy jednokrotnym u ycu klawsza, zawarta jest w arametrze SKOK PRZESUNIÆCIA. 3) Zmana oùo ena wzdùu os, ùaszczyzny obserwacyjnej P. Przemeszczene obserwatora nastêuje orzez wcœnêce nastêuj¹cych klawszy: - klawsz [ - rzemeszczene w rawo, - klawsz ] - rzemeszczene w lewo, - klawsz { - rzemeszczene w dóù, - klawsz } - rzemeszczene w górê. Rysunek 4.6. Przedstawono efekt u yca klawszy odowedzalnych za zmanê oùo ena wzdùu os ùaszczyzny obserwacyjnej P. Rysunk kolejno od lewej rzedstawaj¹ rzemeszczene obserwatora: () w rawo, () w lewo, (3) w dóù, (4) w górê. Wartoœã rzemeszczena, które nastêuje rzy jednokrotnym u ycu klawsza, zawarta jest w arametrze SKOK PRZESUNIÆCIA. 4) Zmana kerunku atrzena - jak ju wsomnano w unkce 4.. nastêuje orzez odowedn¹ zmanê ary wektorów z ortonormalnego zboru {,, r 0, r, r,..., r n-3 }. Przyomnjmy, e, oznaczaj¹ wektory defnuj¹ce ùaszczyznê obserwacyjn¹ a suma wektorów r 0, r, r,..., r n-3 stanow wektor bêd¹cy wùaœcwym kerunkem rzutowana r. Ka dej arze rzyorz¹dkowano odowedn klawsz, ustalaj¹c ewn¹ kolejnoœã ar oraz ewn¹ kolejnoœã klawszy. Ustalono dla zboru {,, r 0, r, r,..., r n-3 } kolejnoœã ar w nastêuj¹cy sosób: {, },{, r 0 },{, r },...,{, r n-3 },

45 {, r 0 },{, r },{, r },...,{, r n-3 }, {r 0, r },{r 0, r },{r 0, r 3 },...,{r 0, r n-3 },... {r n-4, r n-3 } Kolejnej arze rzyorz¹dkowany zostaù kolejny klawsz z oznaczenem lterowym. Kolejnoœã klawszy z lteram ustalono wg ch fzycznego oùo ena na klawaturze, z lewa na rawo oraz z góry na dóù, czyl: qwertyuoasdfghjklzx. Aktywnych jest tyle klawszy le jest dwuelementowych odzborów zboru {,, r 0, r, r,..., r n-3 }, czyl: n(n-)/. Na rysunkach 4.7. 4.8. rzedstawono dla rzykùadu, rzyorz¹dkowane arom wektorów klawszy dla rzestrzen 4-wymarowej 7-wymarowej. Rysunek 4.7. Klawsze sùu ¹ce do zmany kerunku atrzena w rzestrzen czterowymarowej. Zmana wybranej ary wektorów, która nastêuje rzy jednokrotnym u ycu odowedzalnego za to klawsza, zawarta jest w arametrze SKOK OBROTU oznacza obrót w ùaszczyêne wyznaczonej rzez t¹ arê wektorów. Rysunek 4.8. Klawsze sùu ¹ce do zmany kerunku atrzena w rzestrzen sedmowymarowej.

46 Jeœl natomast u yjemy tego klawsza ù¹czne z klawszem SHIFT to zmana nast¹ o ujemn¹ wartoœã arametru SKOK OBROTU, co oznacza obrót w rzecwn¹ stronê. Rysunek 4.9. Przedstawono efekt u yca klawszy odowedzalnych za zmanê kerunku atrzena w rzestrzen 3-wymarowej. Rysunk kolejno od lewej rzedstawaj¹: () sytuacja wyjœcowa, () zmana wektorów, (3) zmana wektorów r0, (4) zmana wektorów r0. Je el zmane ulega ara wektorów wœród których znajduje sê wektor lub, oznacza to zmanê ustawena ùaszczyzny obserwacyjnej (ekranu). Jeœl natomast zmane ulega ara wektorów wœród których znajduje sê wektor r, dla =0..n-3, oznacza to zmanê ustawena wùaœcwego kerunku rzutowana r. 4..4. OKNO TEKSTOWE W okne tekstowym ojawaj¹ sê nastêuj¹ce nformacje: - WYMIAR PRZESTRZENI - okreœla lczbê wymarów rzestrzen w której znajduje sê obserwowana bryùa, - D UGOÚà W - okreœla odlegùoœã ùaszczyzny obserwacyjnej od œrodka ukùadu wsóùrzêdnych, - P ASZCZYZNA OBROTU rzedstawa arê wektorów, które braùy udzaù w ostatnej zmane kerunku atrzena. 4..5. OKNO GRAFICZNE W tym okne ojawa sê wygl¹d ogl¹danej bryùy. Welkoœã okna grafcznego mo emy zmenaã rozc¹gaj¹c okno systemu kursorem myszy. Bezoœredno od welkoœc okna grafcznego zale y szybkoœã dzaùana rogramu, bowem rocedura rysuj¹ca bryùê, dla ka dego unktu okna grafcznego lczy jego jasnoœã. Ne nale y wêc stosowaã wêkszego okna, n jest aktualne otrzebne dla orawnej orentacj w ksztaùce bryùy, bo owoduje to znacz¹ce ogorszene srawnoœc oblczenowej rogramu.

5. PROBLEM WIZUALIZACJI WIELOWYMIAROWYCH ZBIORÓW DANYCH DYSKRETNYCH Zdarza sê, e bardzo zùo on¹ rzeczywstoœã trzeba koneczne rozatrywaã, bor¹c od uwagê du ¹ lczbê asektów. Hurtowne danych bêd¹ce du ym analtycznym bazam danych, sùu ¹cym wszelkego rodzaju analzom, czêsto stanow¹ cenne êródùo danych jednak z reguùy welowymarowych. Pozyskane z takej bazy konkretnych nformacj mo e byã uùatwone orzez mo lwoœã jakoœcowej oceny tych danych. W dalszej czêœc tego rozdzaùu zostan¹ rzedstawone rzykùady zagadneñ wymagaj¹cych jakoœcowego (ogl¹dowego) analzowana zborów danych welowymarowych. 5.. ROZPOZNAWANIE OBRAZÓW Teora rozoznawana obrazów rozwnêùa sê wraz z badanam zw¹zanym ze sztuczn¹ ntelgencj¹, maj¹cym na celu uzyskane od komuterów dzaùañ odobnych do tych, jake realzuje czùowek za omoc¹ swojej ntelgencj (lteratura [3]). Zadane rozoznawana obrazów w ogólnym rzyadku olega na okreœlenu rzynale noœc rozmatego rodzaju obektów do ewnych klas. Ma to nast¹ã w sytuacj, w której jedyna wedza jak¹ dysonujemy na temat wymaganych form dzaùana algorytmu rozoznaj¹cego zawarta jest w c¹gu ucz¹cym, zùo onym z obektów dla których znana jest rawdùowa klasyfkacja ale ne reguùy rz¹dz¹ce t¹ klasyfkacj¹. Oznaczmy rzez zbór obektów odlegaj¹cych rozoznawanu. Przyjmjmy, e stneje na tym zborze relacja równowa noœc x dzel¹ca zbór na klasy take, e: Z Z, gdze - zbór ndeksów klas. I Zadane rozoznawana olega na znalezenu odwzorowana g:, rzyorz¹dkowuj¹cego rozoznawanemu obektow ze zboru numer klasy równowa noœc, do której ten obekt nale y. W klasycznych metodach rozoznawana obrazów (lteratura [3]) odwzorowane g realzowane jest jako zùo ene trzech odwzorowañ g=cba, gdze : ) a: nazywane rececj¹ - odwzorowane to rzyorz¹dkowuje obektow ze zboru unkt w welowymarowej rzestrzen cech. Lczba wymarów rzestrzen zale y od lczby rozatrywanych cech rozoznawanych obektów ze zboru. ) b: L oznacza oblczane wartoœc tzw. funkcj rzynale noœc. Odwzorowane to rzyorz¹dkowuje unktow z rzestrzen cech (ewnemu neznanemu obektow

48 odlegaj¹cemu rozoznawanu) ewn¹ marê odobeñstwa do oszczególnych klas, gdze L oznacza lczbê klas. Czyl odobeñstwo mo emy tu rzedstawã jako wektor zùo ony z L lczb rzeczywstych, 3) c: L I oznacza roces odejmowana decyzj, w wynku którego wartoœcom funkcj rzynale noœc rzyorz¹dkowywany jest numer klasy, do której badany obekt nale y. W osanym owy ej rocese rozoznawana, stotn¹ rolê odgrywa wybór cech branych od uwagê rzy konstrukcj welowymarowej rzestrzen. Bowem orawnoœã dalszego rocesu rozoznawana zale y bezoœredno od wzajemnego rozmeszczena oszczególnych klas w tej rzestrzen. Dodatkowe utrudnene jest sowodowane tym, e neowodzene algorytmu rozoznaj¹cego wcale ne mus œwadczyã o zùym wyborze rzestrzen cech. Koneczna wtedy staje sê mo lwoœã jakoœcowej analzy rozmeszczena w rzestrzen zborów unktów, rerezentuj¹cych oszczególne klasy. Mo lwoœã owstana skutecznego algorytmu rozoznaj¹cego, uzale nona jest bezoœredno od nastêuj¹cych jakoœcowych wùasnoœc zborów unktów bêd¹cych rerezentantam oszczególnych klas: ) Zachodzene na sebe zborów, czyl czêœcowe lub caùkowte okrywane sê odobszarów rzestrzen cech rzynale ¹cych do oszczególnych zborów. Wyst¹ene tego zjawska œwadczy o tym, e cechy wybrane do rerezentacj rozoznawanych obektów, ne s¹ do tego wystarczaj¹ce. Rozw¹zanem tego roblemu mo e byã nny dobór cech, z których konstruujemy rzestrzeñ cech. Jeœl dobór nnych cech ne jest mo lwy oznacza to, e dany roblem rozoznawana jest nerozw¹zywalny. ) Wystêowane unktów bêd¹cych zakùócenam. Mog¹ one owstaã n. w wynku zùego rzyorz¹dkowana nektórych obektów do newùaœcwych klas w trakce tworzena c¹gu ucz¹cego. Jeœl analza jakoœcowa ozwolùaby zauwa yã unkty bêd¹ce zakùócenam, wtedy mo na by je omn¹ã w dalszej analze. Dzêk temu mo na unkn¹ã sytuacj w której na odstawe zakùóceñ wyc¹gnête zostaj¹ bùêdne wnosk, rowadz¹ce do owstana bùêdnej rocedury rozoznaj¹cej. 3) Nejednosójnoœã zboru unktów rerezentuj¹cych dan¹ klasê. Zauwa ene tej wùasnoœc ozwala unkn¹ã sytuacj, w której rocedura rozoznaj¹ca na sùê stara sê obj¹ã unkty nale ¹ce w stoce do klku klas jednym sójnym obszarem. Jest to stotne szczególne wtedy, gdy omêdzy dwoma obszaram zaweraj¹cym unkty rerezentuj¹ce dan¹ klasê, znajduje sê obszar zaweraj¹cy unkty rerezentuj¹ce nn¹ klasê.

49 Analza jakoœcowa struktury zboru danych ucz¹cych w rzestrzen cech, mogùaby ozwolã na bezoœredne zaobserwowane owy szych wùasnoœc oraz na skorygowane zadañ stawanych w efekce algorytmom rozoznawana. 5.. EKONOMIA Ekonometra jest dzedzn¹ nauk zajmuj¹c¹ sê badanem zale noœc omêdzy zmennym rerezentuj¹cym rocesy zjawska ekonomczne, na odstawe materaùu emrycznego. Ponewa zjawska te s¹ bardzo zùo one, ostrzegaj¹c je oerujemy w sosób mnej lub bardzej œwadomy weloma wymaram danych (lteratura [36], [33]). Dla celów ekonom oracowano wele metod sùu ¹cych ukazanu struktury danych osuj¹cych zùo one zagadnena, orzez analzê welowymarowej rzestrzen, w której unkty odowadaj¹ badanym obektom. Jednak metody te s¹ na ogóù metodam loœcowym. Istota metod osywanych w tej racy umo lwa jakoœcow¹ analzê danych welowymarowych w osanych n ej rzykùadowych roblemach. 5... OCENA KONDYCJI FIRMY Kondycjê frmy osuje wele wskaênków ekonomczno-fnansowych oraz rynkowych. Uzyskane z tej lcznej gruy wskaênków obektywnej oceny w ostac jednej syntetycznej mary bywa czêsto bardzo zùo one. Jedn¹ z metod wykorzystywanych do rozw¹zana tego roblemu jest analza dyskrymnacyjna. Polega ona na rzyorz¹dkowanu danej obserwacj do jednej z wczeœnej ustalonych gru. Stan frmy rerezentowany jest rzez unkt w welowymarowej rzestrzen w której ka dy ze wskaênków osuj¹cych frmê stanow jeden wymar. Poszczególne gruy rerezentowane s¹ orzez unkty odowadaj¹ce frmom bêd¹cym rerezentantam tych gru. Przyorz¹dkowane do danej gruy mo na zrealzowaã dzel¹c rzestrzeñ rzy omocy odowednej funkcj dyskrymnacyjnej. Problemem jest wybór funkcj otraf¹cej odowedno odzelã omawan¹ rzestrzeñ. Poùo ene unktu rerezentuj¹cego badan¹ frmê w obszarze wystêowana unktów rerezentuj¹cych frmy dobrze roseruj¹ce, œwadczy o jej dobrej kondycj. Jakoœcowa obserwacja takej rzestrzen mogùaby ozwolã stwerdzã w sosób bezoœredn, w obrêbe której gruy unktów znajduje sê unkt rerezentuj¹cy badan¹ frmê. 5... SEGMENTACJA RYNKU Rynk skùadaj¹ sê z nabywców o ró nych otrzebach. Segmentacja rynku olega na odzale rynku na klasy nabywców. Nastêuje to na odstawe odobeñstwa wybranych

50 kryterów charakteryzuj¹cych klentów. Dzêk segmentacj mo na ocenã atrakcyjnoœã rynkow¹ uzyskanych gru konsumentów. Przedsêborstwo mo e dotrzeã do odowednej gruy konsumentów, dostosowaã rodukt do ch otrzeb oraz zauwa yã ró nego rodzaju zmany w referencjach. Klent rerezentowany jest rzez unkt w welowymarowej rzestrzen w której ka dy z kryterów go charakteryzuj¹cych stanow jeden wymar. W takej sytuacj segmentacja olega na zauwa enu ewnych skusk unktów rerezentuj¹cych gruy konsumentów. Analza jakoœcowa takej rzestrzen mogùaby ozwolã na bezoœredne zaobserwowane tych skusk. 5..3. WYKRYWANIE LUKI NA RYNKU Jedn¹ ze strateg marketngowych jest oszukwane luk rynkowej, czyl nowej ozycj w œwadomoœc klentów, odowadaj¹cej o ¹danemu towarow lub usùudze których brak. Sosób w jak konsumenc ostrzegaj¹ rodukty mo na rzedstawã w ostac welowymarowej rzestrzen. Umo lwa ona obserwacjê cech towarów, które s¹ dla klentów najbardzej o ¹dane. Ka dy wymar tej rzestrzen okreœla konkretn¹ cechê towaru ostrzegan¹ rzez klentów. Analza jakoœcowa takej rzestrzen mo e omóc w znalezenu odowednch obszarów, które ne s¹ zaeùnone unktam. Obszary te mog¹ stanowã oszukwan¹ lukê rynkow¹, czyl mog¹ sugerowaã odowedne où¹czene o ¹danych cech towarów, których ne seùnaj¹ towary bêd¹ce na rynku. 5..4. WYKRYWANIE NIETYPOWYCH ZACHOWAÑ KLIENTÓW Zachowane klenta mo na osaã weloma arametram. Jeœl ka dy z arametrów otraktujemy jako wymar rzestrzen welowymarowej, to zachowane klenta bêdze rerezentowane orzez unkt. Netyowe zachowane klenta bêdze zauwa alne jako odosobnony unkt w rzestrzen. Mo na je rozatrywaã jako netyowe zachowane danego klenta na tle nnych klentów lub netyowe zachowane danego klenta w orównanu z jego wczeœnejszym zachowanem. Netyowe zachowane na tle nnych œwadczy o ndywdualnoœc klenta, co mo e byã ozytywne (n. zysk banku dzêk du ym obrotom klenta), neutralne lub negatywne (n. chêã oszukana banku rzez kredytoborcê). Natomast netyowe zachowane w orównanu z wczeœnejszym rzyzwyczajenam mo e œwadczyã o zmane referencj klenta (mo na wtedy skerowaã do klenta now¹ ofertê) lub o tym, e mejsce klenta zaj¹ù ktoœ nny (n. w wynku kradze y karty kredytowej). Z owy szego

5 wynka, e nezale ne od rzyczyny - korzystne jest zauwa ene netyowego zachowana klenta. Jakoœcowa analza welowymarowej rzestrzen mo e omóc w wykrycu odosobnonych unktów rerezentuj¹cych netyowe zachowana klentów. 5.3. WYSTÆPOWANIE Z ÓÝ Rozwój metod aaratury omarowej oraz systemów nterretacyjnych sùu ¹cych wykrywanu zùó surowców naturalnych, sowodowaù mo lwoœã komleksowego odejœca do rozw¹zywana roblemów zùo owych. Skomlkowane warunk geologczne w jakch wystêuj¹ zùo a, zmuszaj¹ do jednoczesnego u yca welu metod omarowych. Stosuje sê omary z u ycem fal sejsmcznych, roflowana termcznego, fal akustycznych, td. Wele metod omarowych oznacza, e wynk mo na rozatrywaã w welu asektach. Prowadz to do mo lwoœc nterretacj wynków badañ jako unktów welowymarowej rzestrzen. Wystêowane unktu rerezentuj¹cego badany obszar geologczny w obszarze wystêowana unktów rerezentuj¹cych znane zùo a œwadczy o ch ewnym odobeñstwe. Analza jakoœcowa mogùaby ozwolã stwerdzã, w obrêbe której gruy unktów znajduje sê unkt rerezentuj¹cy badane zùo e, co znacz¹co uùatwa nterretacjê danych geofzycznych. Na odstawe rzedstawonych rzykùadów wdaã jak ró norodne mog¹ byã zastosowana jakoœcowej analzy danych welowymarowych. Mo na j¹ wykorzystaã wszêdze tam, gdze mamy do czynena z rzeczywstoœc¹, któr¹ mo na rozatrywaã w welu ùaszczyznach, asektach, wymarach.

6. METODA WIZUALIZACJI WIELOWYMIAROWYCH DANYCH DYSKRETNYCH 6.. WPROWADZENIE W rozdzale 3 okazano w jak sosób mo na wzualzowaã n-wymarowe bryùy wyukùe. Teraz zastanówmy sê jak wygl¹da sytuacja z wzualzacj¹ unktów w rzestrzen n- wymarowej. Na odstawe twerdzena 3.3 wemy, e olczene oùo ena rzutu unktu obserwowanego a, oraz odlegùoœc rzutu unktu obserwowanego a srowadza sê do rozw¹zana ukùadu n-równañ z 3 newadomym (gdze n oznacza wymar rzestrzen). Jak ùatwo zauwa yã, dla danego unktu obserwowanego a, rzy ustalonym n>3 owy szy ukùad równañ mo e ne meã rozw¹zana. Oznacza to w raktyce, e dany unkt obserwowany a ne bêdze wdoczny na ùaszczyêne obserwacyjnej P. Zobrazujmy owy szy wnosek na rzykùadze. W tym celu weêmy rzestrzeñ obserwowan¹ X 3-wymarow¹ (rzykùad z rzestrzen¹ wêcej wymarow¹ trudnej byùoby zrozumeã). W tej sytuacj aby ukùad równañ z twerdzena 3.3 maù wêcej równañ n newadomych rzyjmjmy na chwlê, e ùaszczyzna obserwacyjna P jest jednowymarowa (tzn. e mo emy obserwowaã rozwa an¹ rzeczywstoœã ne orzez wycnek ùaszczyzny dwuwymarowej lecz orzez wycnek rostej). Dodatkowo weêmy wektor r bêd¹cy wùaœcwym kerunkem rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P. Przykùad rzyjêtej sytuacj rzedstawa rysunek 6.. Rysunek 6.. Przedstawono sytuacjê, gdy ùaszczyzna obserwacyjna P jest jednowymarowa, rzestrzeñ obserwowana X 3-wymarowa, r jest wùaœcwym kerunkem rzutowana na P.

53 Dla danego unktu obserwowanego a wyznaczmy k a,r (czyl rost¹ równolegù¹ do r rzechodz¹c¹ rzez a). Jak wdaã na rys. 6. rosta k a,r ne mus meã unktów wsólnych z P (wynka to równe z twerdzena 3.). Natomast k a,r zawsze ma dokùadne jeden unkt wsólny z herowerzchn¹ S (w rzestrzen 3-wymarowej herowerzchna S jest ùaszczyzn¹) zaweraj¹c¹ P rostoadù¹ do r (fakt ten dla ogólnego rzyadku zostane udowodnony w twerdzenu 6.). Rysunek 6.. Prosta równolegùa do r rzechodz¹ca rzez a ne mus meã unktów wsólnych z P, natomast ma zawsze dokùadne jeden unkt wsólny z herowerzchn¹ S zaweraj¹c¹ P rostoadù¹ do r. W owy szej sytuacj tylko unkt a bêdze wdoczny rzy omocy ùaszczyzny obserwacyjnej P. W raktyce tylko rzy szczególnych ustawenach ùaszczyzny obserwacyjnej P byùoby mo lwe obserwowane jakchkolwek unktów. Oznacza to, e w wêkszoœc sytuacj obserwacja danego zboru unktów srowadzaùaby sê do tego, e rzy omocy ùaszczyzny obserwacyjnej P nc ne byùoby wdaã. Aby temu zaobec rzyjmjmy, e na ùaszczyêne obserwacyjnej P wdoczne s¹ ne tylko unkty le ¹ce na rostych równolegùych do r rzechodz¹cych rzez P ale równe te unkty które le ¹ na rostych równolegùych do r rzechodz¹cych rzez S (czyl herowerzchnê zaweraj¹c¹ P rostoadù¹ do r) w odlegùoœc mnejszej od ewnej ustalonej wartoœc od ùaszczyzny obserwacyjnej P. Odlegùoœã ta dla danego unktu obserwowanego a bêdze rerezentowana rzez wektor b a nazwany romenem tunelu (formalna defncja romena tunelu zostane wrowadzona w dalszej czêœc racy). W rzedstawonej sytuacj w danym unkce e ùaszczyzny obserwacyjnej P bêd¹ mogùy byã wdoczne wszystke unkty znajduj¹ce sê w tunelu o rzekroju bêd¹cym odcnkem rozc¹gaj¹cym sê wzdùu r.

54 Rysunek 6.3. Przedstawono tunel T unktu e (obszar zakreskowany ozomym lnam). Wszystke unkty nale ¹ce do tunelu T bêd¹ wdoczne w unkce e ùaszczyzny obserwacyjnej P. Natomast w ogólnej sytuacj w danym unkce e ùaszczyzny obserwacyjnej P bêd¹ wdoczne wszystke unkty znajduj¹ce sê w tunelu o rzekroju bêd¹cym kul¹ n-3 wymarow¹ rozc¹gaj¹cym sê wzdùu kerunku rzutowana r. Przedstawone owy ej w sosób ntucyjny fakty teraz sformalzujmy udowodnjmy. 6.. MODEL MATEMATYCZNY Na ocz¹tku udowodnmy, e herowerzchna zakotwczona w unkce w skerowana w kerunku r (r-wùaœcwy kerunek rzutowana) zawera ùaszczyznê obserwacyjn¹ P=(w,{, }). Wùasnoœã ta bêdze nam otrzebna rzy dowodze twerdzena 6.3. Twerdzene 6. Nech: P=(w,{, })-ùaszczyzna obserwacyjna, rx - wùaœcwy kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P, S (w,r) X - herowerzchna, wtedy: P S (w,r) Dowód: Nech xp, czyl z defncj P mamy:, F t. e x= w+ + z zaùo ena, e r jest wùaœcwym kerunkem rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P wynka, e {,, r} jest ukùadem ortogonalnym, zatem: x= w+ + (, r)=0 (, r)=0

55 wêc: x= w+ + (, r)=0 (, r)=0 czyl: x= w+ + (, r)+ (, r)=0 zatem: x w= + ( +, r)=0 odstawaj¹c do loczynu skalarnego wartoœã z erwszego równana otrzymujemy: (x w, r)=0 korzystaj¹c z defncj herowerzchn otrzymujemy: xs (w,r) Nastêne twerdzene okazuje, e rosta równolegùa do r rzechodz¹ca rzez a ma zawsze dokùadne jeden unkt wsólny z herowerzchn¹ S (w,r) zaweraj¹c¹ P rostoadù¹ do r. Wùasnoœã ta ma dla nas du e znaczene onewa gdy ne bêdzemy mogl olczyã odlegùoœc rzutu unktu obserwowanego a (gdy Pk a,r = ) to bêdzemy mogl olczyã odlegùoœã lczon¹ w kerunku r od unktu a do herowerzchn S (w,r). Twerdzene 6. Nech: rx - dowolny wektor nezerowy, wx, ax, k a,r - rosta równolegùa do r rzechodz¹ca rzez a, S (w,r) X - herowerzchna wtedy: ex dokùadne jedno take e e k a,r S (w,r) Dowód: ) Istnene: ( w a, r) nech: oraz e= r+a ( r, r) rzeksztaùcaj¹c erwsze równane otrzymujemy: (r, r)=(w -a, r) F t. e e= r+a czyl: ( r, r)-(w -a, r)=0 F t. e e= r+a zatem: ( r+a -w, r)=0 F t. e e= r+a

56 odstawaj¹c do loczynu skalarnego wartoœã z drugego równana otrzymujemy: (e -w, r)=0 F t. e e= r+a korzystaj¹c z defncj herowerzchn oraz rostej równolegùej do r otrzymujemy: es (w,r) e k a,r, wêc: e k a,r S (w,r) ) Jedynoœã: hoteza: e,cx take e ec ek a,r S (w,r) c k a,r S (w,r) czyl: ek a,r es (w,r) ck a,r cs (w,r) korzystaj¹c z defncj k a,r oraz z defncj S (w,r) otrzymujemy:, F take e e= r+a c= r+a (e -w, r)=0 (c -w, r)=0 odstawaj¹c olczone e oraz c do loczynów skalarnych otrzymujemy: e= r+a c= r+a ( r+a -w, r)=0 ( r+a -w, r)=0 wêc: e= r+a c= r+a ( r, r)-(w-a, r)=0 ( r, r)-(w-a, r)=0 zatem: e= r+a c= r+a (r, r)=(w-a, r) (r, r)=(w-a, r) z dwóch ostatnch równañ lczymy oraz otrzymujemy: e= r+a c= r+a ( w a, r) ( r, r) z tego wynka, e e=c czyl hoteza faùszywa Pon sze twerdzene okazuje w jak sosób bezoœredno olczyã odlegùoœã rzutu unktu obserwowanego a rzy zaùo enu, e stneje rzut unktu obserwowanego a zgodny z wùaœcwym kerunkem rzutowana r na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P. Twerdzene 6.3 Nech: P=(w,{, })-ùaszczyzna obserwacyjna, ax, rx - wùaœcwy kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P, k a,r - rosta równolegùa do r rzechodz¹ca rzez a, epk a,r wtedy: odlegùoœã rzutu unktu obserwowanego a wynos:

57 ( w a, r) ( r, r) Dowód: z zaùo ena mamy: epk a,r czyl: ep ek a,r na odstawe twerdzena 6. wemy, e PS (w,r), zatem: e S (w,r) ek a,r korzystaj¹c z defncj S (w,r) oraz z defncj k a,r otrzymujemy: (e w, r)=0 F t. e e= r+a odstawaj¹c olczone e do loczynu skalarnego otrzymujemy: ( r+a w, r)=0 wêc: ( r, r) (w a, r)=0 czyl: (r, r) = (w a, r) ( w a, r) ostateczne otrzymujemy: ( r, r) Wnosek: Nale y zauwa yã, e gdy ne stneje epk a,r (czyl rzut unktu obserwowanego a na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P) to tak olczona rerezentuje odlegùoœã od unktu a do unktu es (w,r) k a,r (czyl odlegùoœã lczon¹ w kerunku r od unktu a do jego rzutu e na herowerzchnê zaweraj¹c¹ P rostoadù¹ do r). Natomast na odstawe twerdzena 6. wemy, e es (w,r) k a,r zawsze stneje. Pon sze twerdzene okazuje w jak sosób bezoœredno olczyã oùo ene rzutu unktu obserwowanego a rzy zaùo enu, e stneje rzut unktu obserwowanego a zgodny z wùaœcwym kerunkem rzutowana r na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P. Twerdzene 6.4 Nech: P=(w,{, })-ùaszczyzna obserwacyjna, {, }-ukùad ortogonalny, ax, rx - kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P, k a,r - rosta równolegùa do r rzechodz¹ca rzez a, epk a,r

58 wtedy: Poùo ene rzutu unktu obserwowanego a czyl ara {, } jest okreœlona wzoram : ( r a w, ) (, ) Dowód: ) Lczymy ( r a w, ) (, ) z zaùo ena mamy: epk a,r, czyl: ep ek a,r oraz wadomo, e: (e, )=(e, ) korzystaj¹c z defncj P oraz z defncj k a,r otrzymujemy:, F t. e e= w+ + F t. e e= r+a (e, )=(e, ) otrzymane wartoœc e odstawamy do loczynu skalarnego, otrzymuj¹c: (w+ +, )=( r+a, ) czyl: (w, )+(, )+ (, )=( r+a, ) zatem: (, )+ (, )=( r+a, ) -(w, ) z zaùo ena (, )=0, wêc: (, )=( r+a -w, ) ( r a w, ) czyl: (, ) ) Lczymy z zaùo ena mamy: epk a,r, czyl: ep ek a,r oraz wadomo, e: (e, )=(e, ) korzystaj¹c z defncj P oraz z defncj k a,r otrzymujemy:, F t. e e= w+ + F t. e e= r+a (e, )=(e, ) otrzymane wartoœc e odstawamy do loczynu skalarnego, otrzymuj¹c: (w+ +, )=( r+a, ) wêc: (, )+ (, )=( r+a, ) -(w, ) z zaùo ena (, )=0, wêc: (, )=( r+a -w, ) ( r a w, ) czyl: (, )

59 Def.6. Promenem tunelu unktu ax wzglêdem ùaszczyzny obserwacyjnej P=(w,{, }) bêdzemy nazywaã wektor b a = r+a w, gdze: ( w a, r), ( r, r) ( r a w, ), (, ) ( r a w, ), (, ) rx - wùaœcwy kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P Def.6. Tunelem unktu ep wzglêdem ùaszczyzny obserwacyjnej P=(w,{, }) bêdzemy nazywaã zbór T e, X : T def e, x X b x, : b e w x, gdze: b x - romeñ tunelu unktu x wzglêdem ùaszczyzny obserwacyjnej P=(w,{, }), ( r x w, ), (, ) ( r x w, ), (, ) ( w x, r) ( r, r) rx - wùaœcwy kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P Nastêne twerdzene okazuje e rzut unktu obserwowanego a zgodny z wùaœcwym kerunkem rzutowana r na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P stneje wtedy tylko wtedy gdy romeñ tunelu unktu a jest wektorem zerowym. Twerdzene 6.5 Nech: P=(w,{, })-ùaszczyzna obserwacyjna, rx - wùaœcwy kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P, ax, k a,r - rosta równolegùa do r rzechodz¹ca rzez a b a = r+a w, b a X - romeñ tunelu unktu a wzglêdem ùaszczyzny obserwacyjnej P wtedy: Pk a,r wtw b a =0 Dowód: ) Pk a,r wêc: epk a,r czyl: ep ek a,r korzystaj¹c z defncj P oraz z defncj k a,r otrzymujemy:, F t. e e=w+ + F t. e e= r+a

60 rzyrównajmy otrzymane wzory na e, wtedy: r+a = w+ + czyl: w a = r korzystaj¹c z defncj romena tunelu, wemy, e: b a = r+a w, gdze: ), ( ), ( r r r w a, ), ( ), ( w a r, ), ( ), ( w a r, wêc mamy: w a = r ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( r r r r r r r r r r r r r a w zatem: w a = r = wêc: r+a w= + = ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( w a r ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( w a r czyl: r+a w= + wêc: b a = r+a w =0 ) b a =0 wêc: r+a w =0 czyl: r+a = w+ + rzyjmjmy oznaczene: e= w+ +, ex, wtedy:,,f t. e e= w+ + e= r+a korzystaj¹c z defncj P oraz z defncj k a,r otrzymujemy: ep ek a,r czyl: epk a,r z tego wynka, e: Pk a,r Wnosek: Dzêk owy szemu twerdzenu zamast dla danego unktu a rozw¹zywaã ukùad równañ z twerdzena 3.3, wystarczy na odstawe twerdzena 6.3 bezoœredno olczyã

6 odlegùoœã rzutu unktu obserwowanego a, nastêne na odstawe twerdzena 6.4 bezoœredno olczyã oùo ene rzutu unktu obserwowanego a o czym nale y olczyã romeñ tunelu b a unktu a jeœl jest on wektorem zerowym to otrzymane wartoœc s¹ rozw¹zanem ukùadu równañ z twerdzena 3.3. Jeœl natomast otrzymany romeñ tunelu ne jest wektorem zerowym oznacza to, e unkt obserwowany a le y wewn¹trz tunelu T e, X, gdze e=w+ + oraz (b a, b a ) 6.3. PRZYK ADY ZBIORÓW DANYCH DYSKRETNYCH Stosuj¹c wy ej osany model matematyczny rzedstawono na ekrane komutera klka rzykùadów welowymarowych zborów danych dyskretnych. 6.3. KOSTKI 7-WYMIAROWE Z ZAK ÓCENIEM Perwszy rzykùad stanow¹ trzy zbory unktów umeszczone w rzestrzen 7-wymarowej. Ka dy z dwóch zborów ksztaùtem rzyomna kostkê 7-wymarow¹ a trzec zbór ksztaùtem rzyomna dwe kostk 7-wymarowe. Wszystke unkty x=(x, x,..., x 7 ) nale ¹ce do ka dej z tych czterech kostek seùnaj¹ warunek: A A,,...,7 zachodz : y x y, gdze y=(y, y,..., y 7 )-œrodek danej kostk, yx, A-bok kostk, AF. Rysunek 6.4. Przedstawono schematyczne w dwóch wymarach osywane w rzykùadze trzy zbory unktów. W zborze zelonym dodatkowo umeszczono zakùócene dwa unkty z nnego zboru. Zbór czerwony skùada sê z dwóch kostek.

6 Dodatkowo w œrodku jednego ze zborów umeszczono blsko sebe dwa unkty nale ¹ce do nnego zboru stanow¹ce zakùócene. Schematyczne rzedstawony dwuwymarowy odowednk osywanej sytuacj rzedstawa rysunek 6.4. Rysunek 6.5. Otrzymany wygl¹d omawanych zborów. Wyraêne wdoczne trzy stotne cechy jakoœcowe: (a) zbory ne zachodz¹ na sebe, (b) w zborze zùo onym z zelonych unktów znajduje sê zakùócene (w ostac dwóch sklejonych nebeskch unktów), (c) Zbór zùo ony z unktów czerwonych ne jest sójny. Na rysunku 6.5 rzedstawono otrzymany wygl¹d omawanych zborów. Maksymalny romeñ tunelu dobrano tak by wszystke unkty byùy wdoczne. Nale y zauwa yã, e wyraêne wdaã zbory te ne zachodz¹ na sebe. Oznacza to, e skuteczne mo na je od sebe oddzelã. Wdaã równe, e zbór nr 0 (unkty koloru czerwonego) ne jest sójny. Rysunek 6.6. Z tego unktu wdzena owstaje wra ene, e wszystke omawane zbory okrywaj¹ sê

63 Zauwa alne s¹ równe unkty bêd¹ce zakùócenem (dwa zù¹czone nebeske unkty znajduj¹ce sê w œrodku zboru zelonych unktów). Rysunk 6.6 6.7 równe rzedstawaj¹ otrzymany wygl¹d omawanych zborów. Wdaã e od wyboru ustaweñ ùaszczyzny obserwacyjnej oraz od ustawena kerunku rzutowana r zale y to, które cechy obserwowanych zborów s¹ wdoczne. Rysunek 6.7. Przy takch ustawenach arametrów okreœlaj¹cych kerunek atrzena owstaje wra ene czêœcowego zachodzena na sebe zborów. 6.3. KULA 7-WYMIAROWA W SFERZE 7-WYMIAROWEJ KTÓRA SIÆ ZNAJDUJE W DRUGIEJ SFERZE 7-WYMIAROWEJ Trzy zbory unktów xx, gdze n-wymar rzestrzen równy 7, x=(x, x,..., x 7 ), oraz R, R, R 3, R 4, R 5 F lczby rzeczywste take, e: 0<R <R <R 3 <R 4 <R 5 ) Wszystke unkty nale ¹ce do zboru nr 0 seùnaj¹ warunek: n x R ) Wszystke unkty nale ¹ce do zboru nr seùnaj¹ warunek: R x 3 n R 3) Wszystke unkty nale ¹ce do zboru nr seùnaj¹ warunek: R x 5 n 4 R

64 Schematyczne rzedstawony dwuwymarowy odowednk osywanej sytuacj rzedstawa rysunek 6.8. Z owy szego osu wynka, e omawany rzykùad dotyczy sytuacj w której zbór unktów w ksztaùce kul 7-wymarowej (zbór nr 0) jest otoczony zborem unktów nr maj¹cym ksztaùt sfery o ewnej gruboœc. Dodatkowo zbory nr 0 nr s¹ otoczone zborem unktów nr maj¹cym ksztaùt wêkszej sfery o ewnej gruboœc. Rysunek 6.8. Przedstawono schematyczne w dwóch wymarach osywane w rzykùadze zbory. Kolor czerwony oznacza mejsce w którym mog¹ sê znajdowaã unkty zboru nr 0, kolor zelony - zboru nr, kolor nebesk - zboru nr. Na rysunkach 6.9-6. rzedstawono otrzymany wygl¹d omawanych zborów. Na rysunku 6.9 tak dobrano arametry obserwacj (ustawene ùaszczyzny obserwacyjnej, maksymalny romeñ tunelu, zasêg atrzena oraz kerunek rzutowana) by wszystke unkty zboru nr 0 byùy wdoczne jednoczeœne unkty zboru nr 0 ne zachodzùy na unkty nnych zborów. Z faktu udaùo sê to os¹gn¹ã wynka e zbór nr 0 mo na oddzelã od ozostaùych zborów. Rysunek 6.9. Wszystke unkty zboru nr 0 (unkty czerwone) s¹ wdoczne jednoczeœne ne zachodz¹ na unkty nnych zborów. Wynka z tego stotna cecha jakoœcowa: zbór nr 0 mo na oddzelã od ozostaùych zborów. Przy nnym doborze arametrów obserwacj os¹gnêto sytuacjê w której wszystke unkty zboru nr s¹ wdoczne jednoczeœne unkty zboru nr ne zachodz¹ na unkty zboru nr

65 (rysunek 6.0). Wynka z tego e zbór nr mo na oddzelã od zboru nr. Z faktu, e zbór nr 0 mo na oddzelã od ozostaùych zborów oraz z faktu e zbór nr mo na oddzelã od zboru nr wynka, e ka dy ze zborów mo na oddzelã od ozostaùych, czyl e zbory ne zachodz¹ na sebe. Stanow to zaobserwowan¹ w wynku wzualzacj jakoœcow¹ cechê obserwowanych zborów. Rysunek 6.0. Wszystke unkty zboru nr (unkty zelone) s¹ wdoczne jednoczeœne ne zachodz¹ na unkty zboru nr. Wynka z tego e zbór nr mo na oddzelã od zboru nr. Rysunek 6.. Wdoczne wszystke unkty zboru nr 0 (unkty czerwone), zboru nr (unkty zelone) zboru nr (unkty nebeske).

66 Na rysunku 6. rzedstawono sytuacje rzy takch ustawenach arametrów obserwacj by wszystke unkty obserwowanych zborów byùy wdoczne. 6.3.3 WALEC 7-WYMIAROWY I DWIE PÓ SFERY 7-WYMIAROWE Z CYLINDRAMI 7-WYMIAROWYMI Trzy zbory unktów xx, gdze n-wymar rzestrzen równy 7, x=(x, x,..., x 7 ), oraz A, B, R, R, R 3 F - lczby rzeczywste take, e: 0<A<B oraz 0<R <R <R 3 ) Wszystke unkty nale ¹ce do zboru nr 0 seùnaj¹ warunek: n x R x [-B,B] ) Wszystke unkty nale ¹ce do zboru nr seùnaj¹ warunek: R R x x B 3 n R x 3 n R, dla x < -B, dla x [-B,-A] 3) Wszystke unkty nale ¹ce do zboru nr seùnaj¹ warunek: R R x 3 n R, dla x [A,B] x x B 3 n R, dla x > B Na rysunku 6. rzedstawono dwuwymarowy odowednk osywanej sytuacj. Rysunek 6.. Przedstawono schematyczne w dwóch wymarach osywane w rzykùadze zbory. Kolor czerwony oznacza mejsce w którym mog¹ sê znajdowaã unkty zboru nr 0, kolor zelony - zboru nr, kolor nebesk - zboru nr.

67 Omawany rzykùad dotyczy sytuacj w której zbór unktów nr 0 ma ksztaùt n-wymarowego walca. Zbór unktów nr ma ksztaùt n-wymarowej sfery o ewnej gruboœc où¹czonej z n-wymarowym cylndrem. Zbór unktów nr wygl¹da tak samo jak zbór nr 0 ró n sê tylko oùo enem. Otrzymany wygl¹d omawanych zborów rzedstawono na rysunkach 6.3-6.6. Na rysunku 6.3 tak dobrano arametry obserwacj, by wszystke unkty zboru nr 0 byùy wdoczne jednoczeœne unkty zboru nr 0 ne zachodzùy na unkty nnych zborów. Z faktu udaùo sê to os¹gn¹ã wynka, e zbór nr 0 mo na oddzelã od ozostaùych zborów. Rysunek 6.3. Wszystke unkty zboru nr 0 (unkty czerwone) s¹ wdoczne jednoczeœne ne zachodz¹ na unkty nnych zborów. Wynka z tego e zbór nr 0 mo na oddzelã od ozostaùych zborów. Inny dobór arametrów obserwacj ozwolù os¹gn¹ã sytuacjê, w której wszystke unkty wszystkch zborów s¹ wdoczne oraz unkty zboru nr ne zachodz¹ na unkty zboru nr (rysunek 6.4). Rysunek 6.4. Wszystke unkty zboru nr (unkty zelone) s¹ wdoczne jednoczeœne ne zachodz¹ na unkty zboru nr (unkty nebeske). Wynka z tego e zbór nr mo na oddzelã od zboru nr.

68 Wynka z tego e zbór nr mo na oddzelã od zboru nr. Z faktu, e zbór nr 0 mo na oddzelã od ozostaùych zborów oraz z faktu e zbór nr mo na oddzelã od zboru nr wynka, e ka dy ze zborów mo na oddzelã od ozostaùych, czyl e zbory ne zachodz¹ na sebe. Stanow to zaobserwowan¹ w wynku wzualzacj jakoœcow¹ cechê obserwowanych zborów. Na rysunku 6.5 rzedstawono sytuacje rzy nnych ustawenach arametrów obserwacj, gdze ne wszystke unkty obserwowanych zborów s¹ wdoczne. Rysunek 6.5. Z tego unktu wdzena owstaje wra ene, e zbór nr (unkty zelone) oraz zbór nr (unkty nebeske) maj¹ ksztaùt trójk¹ta. 6.3.4 TRZY OBEJMUJ CE SIÆ TORUSY 5-WYMIAROWE Trzy zbory unktów xx, gdze n-wymar rzestrzen równy 5, x=(x, x,..., x 5 ), oraz A, R, R F - lczby rzeczywste take, e: 0<R <R oraz A [R +R, R -R ] ) Wszystke unkty nale ¹ce do zboru nr 0 seùnaj¹ warunek: n 3 x x A x R R ) Wszystke unkty nale ¹ce do zboru nr seùnaj¹ warunek: n 4 x x x x3 R R 3) Wszystke unkty nale ¹ce do zboru nr seùnaj¹ warunek: n 3 x x A x R R Rysunek 6.6 rzedstawa trójwymarowy odowednk osywanej sytuacj. Omawany rzykùad dotyczy sytuacj w której ka dy z trzech zborów unktów ma ksztaùt

69 5-wymarowego torusa którego rzekrojem jest 4-wymarowa kula. Zbory obejmuj¹ sê wzajemne odobne jak ognwa ùañcucha. Rysunk 6.7-6.4 rzedstawaj¹ otrzymany wygl¹d omawanych zborów. Na rysunku 6.7 tak dobrano arametry obserwacj by wszystke unkty wszystkch zborów byùy wdoczne. Wdaã, e z tego unku wdzena nektóre fragmenty zborów zachodz¹ na sebe. Ne mo emy jednak bezoœredno stwerdzã czy nektóre fragmenty zborów zachodz¹ na sebe czy tylko sê rzesùanaj¹. Rysunek 6.6. Przedstawono schematyczne trójwymarowy rzyadek osywanych w rzykùadze zborów. Rysunek 6.7. Wszystke unkty wszystkch zborów s¹ wdoczne. Na odstawe owy szego rysunku ne mo emy stwerdzã czy nektóre fragmenty zborów zachodz¹ na sebe czy tylko sê rzesùanaj¹. Usuñmy fragment zboru nr do którego nale ¹ te unkty (unkty koloru zelonego z rysunku 6.8 objête ramk¹) które ne zachodz¹ na unkty nnych zborów. Jeœl mo emy to zrobã oznacza to e fragment zboru do którego nale ¹ mo na oddzelã od ozostaùych zborów. Sytuacjê owstaù¹ o usunêcu owy szych unktów rzedstawa rysunek 6.9. Jeœl

70 odobne ost¹my z drugm fragmentem zboru nr le ¹cym n ej, otrzymamy sytuacjê rzedstawon¹ na rysunku 6.0. Rysunek 6.8. Zaznaczono ramk¹ fragment zboru nr do którego nale ¹ te unkty, które ne zachodz¹ na unkty nnych zborów. Oznacza to e fragment zboru do którego nale ¹ mo na oddzelã od ozostaùych zborów. Rysunek 6.9. Sytuacja owstaùa o usunêcu zaznaczonego na rysunku 6.8 fragmentu zboru. Rysunek 6.0. Usunêto drug fragment zboru nr do którego nale ¹ te unkty które ne zachodz¹ na unkty nnych zborów.

7 Nastêne zmenaj¹c dobór arametrów obserwacj mo emy os¹gn¹ã sytuacjê w której wszystke neusunête unkty wszystkch zborów s¹ wdoczne oraz zbory te ne zachodz¹ na sebe (rysunek 6.). Wynka z tego e ka dy z tych zborów (owstaùych o wczeœnej osanym usunêcu fragmentów zboru nr ) mo na oddzelã od ozostaùych, czyl e zbory te ne zachodz¹ na sebe. Powy szy fakt w où¹czenu z faktem usunête fragmenty zboru nr równe mo na oddzelã od ozostaùych zborów oznacza e caùy zbór nr 0, caùy zbór nr oraz caùy zbór nr mo na oddzelã od ozostaùych, czyl e te caùe zbory ne zachodz¹ na sebe. Stanow to wywnoskowan¹ na odstawe wzualzacj jakoœcow¹ cechê obserwowanych zborów. Rysunek 6.. Parametry obserwacj dobrano w ten sosób by wszystke neusunête unkty wszystkch zborów byùy wdoczne oraz zbory te ne zachodzùy na sebe. Przedstawone wczeœnej rysunk rzedstawaj¹ obrazy zgodne z nasz¹ ntucj¹ zw¹zan¹ z osywanym zboram. Inaczej jest z nastênym rysunkam. Rysunek 6.. Z tego unktu wdzena owstaje wra ene, e omawane zbory le ¹ w tej samej ùaszczyêne.

7 Patrz¹c na rysunek 6. mo e owstaã mylne wra ene, e omawane zbory le ¹ w tej samej ùaszczyêne co ne jest zgodne z rawd¹. Rysunek 6.3. Powstaje wra ene, e zbór nr 0 (unkty koloru czerwonego) zbór nr (unkty koloru nebeskego) maj¹ mnejszy rozmar n zbór nr (unkty koloru zelonego). Na odstawe rysunku nr 6.3 trudno byùoby wywnoskowaã e osywane zbory ró n¹ sê tylko oùo enem. Rysunek 6.4. Przy takch ustawenach arametrów obserwacj wydaje sê e zbór nr tworzy ksztaùt kul.

7. IMPLEMENTACJA SYSTEMU DO WIZUALIZACJI WIELOWYMIAROWYCH DANYCH DYSKRETNYCH 7.. PROJEKT SYSTEMU Budowê systemu oarto na rogramowanu o charakterze zdarzenowym, olegaj¹cym na tym e rogram konstruuje sê jako zestaw funkcj obsùug, wywoùywanych rzez system oeracyjny w momence wyst¹ena jakegoœ nteresuj¹cego nas zdarzena (n. wcœnêce rzycsku myszy, wybrane ocj z menu, u yce klawatury, oruszene mysz¹, t.). System sùu ¹cy do wzualzacj danych dyskretnych (unktów obserwowanych) realzuje nastêuj¹ce zadana: ) rzechowywane w amêc komutera osu n-wymarowych zborów unktów w odowednej forme z wykorzystanem secjalne dobranych struktur danych. ) ustalane unktu wdzena obserwowanych zborów unktów orzez rzemeszczane wrtualnego obserwatora w rzestrzen n-wymarowej. 3) rysowane zborów unktów wdzanych z danego mejsca rzestrzen. 4) mo lwoœã usunêca unktów znajduj¹cych sê w zaznaczonym rzez obsùuguj¹cego obszarze. 7... STRUKTURY DANYCH Na odstawe defncj 3. rzyjêto, e rzestrzeñ obserwowana X jest rzestrzen¹ wektorow¹ nad caùem F, n-wymarow¹, n 3, z loczynem skalarnym. Ustalono wektory {x,x,...,x n } bêd¹ce ortonormaln¹ baz¹ rzestrzen X. Ponadto ustalono, e caùo F bêdze caùem lczb rzeczywstych loczyn skalarny bêdze dany wzorem: def n n, q gdze,qx, q x, q q x W celu osana unktu obserwowanego rzyjêto nastêuj¹ce struktury danych: n struct TYP_WEKTOR { double X[MAX_WYMIAR]; }; struct TYP_PUNKT { nt NR_KLASY; struct TYP_WEKTOR WSP; };

74 7... ZMIANA PUNKTU WIDZENIA W PRZESTRZENI n-wymiarowej Zgodne z defncj¹ 3.4 ùaszczyznê obserwacyjn¹ P=(w,{, }) w sosób jednoznaczny okreœlaj¹ trzy wektory: w,,. Dodatkowym arametrem okreœlaj¹cym unkt wdzena jest wektor r bêd¹cy wùaœcwym kerunkem rzutowana. Zmanê unktu wdzena dokonuje sê orzez zmanê wektorów: w,,,r. Sosób rodzaje tej regulacj s¹ dokùadne take same jak ju wczeœnej osane w unkce 4... 7..3. RYSOWANIE PUNKTÓW W celu narysowana danego unktu obserwowanego a, musmy olczyã jego oùo ene na ùaszczyêne obserwacyjnej P oraz romeñ tunelu b a. W celu olczena oùo ena wystarczy na odstawe twerdzena 6.3 bezoœredno olczyã odlegùoœã rzutu unktu obserwowanego a, nastêne na odstawe twerdzena 6.4 bezoœredno olczyã oùo ene rzutu (czyl arê, F) unktu obserwowanego a, czyl: ( w a, r) ( r a w, ), ( r a w, ),, ( r, r) (, ) (, ) gdze: r - wùaœcwy kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P=(w,{, }). Natomast romeñ tunelu b a unktu a lczymy zgodne z defncj¹ 6., czyl: b a = r+a w, gdze: ( w a, r) ( r a w, ), ( r a w, ),, ( r, r) (, ) (, ) rx - wùaœcwy kerunek rzutowana na ùaszczyznê obserwacyjn¹ P=(w,{, }). Aby unkt obserwowany a byù wdoczny na ùaszczyêne obserwacyjnej P w mejscu okreœlonym rzez oùo ene rzutu unktu obserwowanego a, musz¹ byã dodatkowo seùnone nastêuj¹ce warunk: ) loczyn skalarny (b a, b a ) mnejszy od ustalonego MAKSYMALNEGO PROMIENIA TUNELU. ) unkt obserwowany a ne mo e sê znajdowaã rzed ùaszczyzn¹ obserwacyjn¹, w odlegùoœc lczonej w kerunku r wêkszej od arametru ZASIÆG PATRZENIA. 3) unkt obserwowany a ne mo e sê znajdowaã za ùaszczyzn¹ obserwacyjn¹, w odlegùoœc lczonej w kerunku r wêkszej od arametru ZASIÆG PATRZENIA TY. Na rysunku 7. rzedstawono schemat blokowy rocedury rysuj¹cej zbory unktów. Procedura ta jest wywoùywana o ka dej zmane maksymalnego romena tunelu, zasêgu atrzena, owêkszena oraz jednego z wektorów w,,,r.

Rysunek 7.. Schemat blokowy rocedury rysuj¹cej zbory unktów. 75

Rysunek 7.. Procedura usuwaj¹ca unkty znajduj¹ce sê w zaznaczonym do usunêca obszarze. 76

77 7..4. USUWANIE PUNKTÓW W celu usunêca unktów które wdoczne s¹ wewn¹trz zaznaczonego do usunêca obszaru, nale y dla ka dego unktu a srawdzã nastêuj¹ce warunk: ) loczyn skalarny (b a, b a ) mnejszy od ustalonego MAKSYMALNEGO PROMIENIA TUNELU. ) unkt obserwowany a ne mo e sê znajdowaã rzed ùaszczyzn¹ obserwacyjn¹, w odlegùoœc lczonej w kerunku r wêkszej od arametru ZASIÆG PATRZENIA. 3) unkt obserwowany a ne mo e sê znajdowaã za ùaszczyzn¹ obserwacyjn¹, w odlegùoœc lczonej w kerunku r wêkszej od arametru ZASIÆG PATRZENIA TY. 4) oùo ene rzutu unktu obserwowanego a na ùaszczyêne obserwacyjnej P mus sê znajdowaã wewn¹trz zaznaczonego do usunêca obszaru. Usuwamy te unkty które seùnaj¹ wszystke warunk. Rysunek 7. rzedstawa schemat blokowy rocedury usuwaj¹cej unkty. 7.. SPOSÓB UÝYTKOWANIA N ej osany system zostaù oracowany w oarcu o teorê z rozdzaùu 3 oraz rozdzaùu 6. Sùu y on do ogl¹dana dowolnych zborów unktów, których ù¹czna lczba ne rzekracza 5000 a wymar ne rzekracza 7. Jest nasany w jêzyku C, rzygotowany do racy w systeme Wndows, skomlowany w œrodowsku Borland C++. Pracê z systemem rozoczynamy od wczytana lku z osem zborów unktów. Rysunek 7.3. Wygl¹d okna systemu skùadaj¹cego sê z dwóch czêœc: grafcznej tekstowej.

78 Parametry racy mo emy zmenã rzy omocy ocj PARAMETRY. Poruszane sê o n-wymarowej rzestrzen w celu zmany unktu wdzena, nastêuje orzez u yce odowednch klawszy. Okno systemu skùada sê z dwóch czêœc: okna grafcznego, które sùu y do rzedstawana wygl¹du ogl¹danych zborów unktów oraz okna tekstowego, na którym ojawaj¹ sê ewne nformacje tekstowe. 7... DANE WEJÚCIOWE Os zborów unktów które chcemy ogl¹daã, wczytywany jest z lku o rozszerzenu dat w którym nformacje zasane s¹ w nastêuj¹cym formace: ) nagùówek: - (wartoœã tyu nteger) staùa wynosz¹ca dwa, oznacza e lk osuje zbory unktów, n - (wartoœã tyu nteger) wymar rzestrzen z unktam (maksymalne 7), k - (wartoœã tyu nteger) lczba wszystkch unktów (maksymalne 5000). ) arametry okreœlaj¹ce k unktów: unkt - (n wartoœc tyu float) wsóùrzêdne unktu nr, nr klasy unktu - (wartoœã tyu nteger) numer zboru do którego nale y unkt nr, unkt - (n wartoœc tyu float) wsóùrzêdne unktu nr, nr klasy unktu - (wartoœã tyu nteger) numer zboru do którego nale y unkt nr,... unkt k - (n wartoœc tyu float) wsóùrzêdne unktu nr k, nr klasy unktu k - (wartoœã tyu nteger) numer zboru do którego nale y unkt nr k, gdze numer zboru zawera sê w rzedzale od 0 do 9. Jak ùatwo zauwa yã, lk ma orawny format jeœl o trzech wartoœcach tyu nteger zawera k bloków danych a w ka dym n wartoœc tyu float jedn¹ tyu nteger. Przykùadowa rocedura generuj¹ca lk z unktam zawartym w tablcy struktur PUNKT(tyu struct TYP_PUNKT osanego w unkce 7..) wygl¹da nastêuj¹co: nt zasz_lk(char nazwa[]) { float wx; nt,l,war_d; FILE *w_lku; w_lku= foen(nazwa,"wb"); f (w_lku==null) return ;

79 frntf(w_lku,"%d\n",); frntf(w_lku,"%d\n",wymiar); frntf(w_lku,"%d\n",liczba_pktow); for (l=0 ; l<liczba_pktow; l++ ) { for(=0;<wymiar;++) { wx=punkt[l].wsp.x[]; frntf(w_lku,"%f\n",wx); } war_d=punkt[l].nr_klasy; frntf(w_lku,"%d\n",war_d); } // ty obektów // lczba wymarów // lczba unktów fclose(w_lku); return 0; } Wczytane lku z danym wejœcowym nastêuje orzez wybrane z gùównego menu ocj PLIK a nastêne CZYTAJ. 7... PARAMETRY Wyberaj¹c w menu ocjê PARAMETRY mo emy zmenaã ewne ustawena rogramu, manowce: ) KOLOR T A zmenaj¹c ten arametr mo emy wybraã baùe lub czarne tùo, na którym rzedstawane bêd¹ zbory unktów. ) SKOK OBROTU arametr rerezentuj¹cy k¹t obrotu o jak zmen sê kerunek atrzena w wynku nacœnêca jednego z klawszy rzyorz¹dkowanych takej zmane. 3) SKOK PRZESUNIÆCIA okreœla welkoœã rzemeszczena obserwatora w wynku u yca jednego z klawszy owoduj¹cych zmanê jego oùo ena. 4) SKALA arametr okreœlaj¹cy wsóùczynnk owêkszena obserwowanego obrazu. 5) MAX. PROMIEÑ TUNELU wdoczne bêd¹ tylko unkty a, dla których wartoœã loczynu skalarnego (b a, b a ) jest mnejsza od tego arametru. 6) SKOK PROMIENIA TUNELU - okreœla welkoœã zmany arametru MAX. PROMIEÑ TUNELU w wynku u yca jednego z klawszy owoduj¹cych t¹ zmanê. 7) ZASIÆG PATRZENIA - aby unkt obserwowany a byù wdoczny, ne mo e sê znajdowaã rzed ùaszczyzn¹ obserwacyjn¹, w odlegùoœc lczonej w kerunku r wêkszej od tego arametru.

80 8) SKOK ZASIÆGU PATRZENIA - okreœla welkoœã zmany arametru ZASIÆG PATRZENIA w wynku u yca jednego z klawszy owoduj¹cych t¹ zmanê. 9) ZASIÆG PATRZENIA WSTECZ aby unkt obserwowany a byù wdoczny, ne mo e sê znajdowaã za ùaszczyzn¹ obserwacyjn¹, w odlegùoœc lczonej w kerunku r wêkszej od tego arametru. Rysunek 7.4. Wygl¹d okna wywoùywanego w celu zmany arametrów. 7..3. FUNKCJE KLAWISZY Porzez u yce odowednch klawszy mo emy wywoùywaã okreœlone akcjê, manowce: ) Zmana maksymalnego romena tunelu - zmana nastêuje orzez wcœnêce klawsza ze znakem rzecnek (zmnejszene arametru MAX. PROMIEÑ TUNELU) lub klawsza ze znakem kroka (zwêkszene arametru MAX. PROMIEÑ TUNELU). Wartoœã zmany, która nastêuje rzy jednokrotnym u ycu klawsza, zawarta jest w arametrze SKOK MAX. PROMIENIA TUNELU. ) Powêkszene omnejszene obrazu - nastêuje orzez wcœnêce klawsza ze znakem N (omnejszene obrazu) lub klawsza ze znakem M (owêkszene obrazu). Wsóùczynnk zmany, która nastêuje rzy jednokrotnym u ycu klawsza wynos 0.9 dla omnejszena. dla owêkszena. 3) Zmana zasêgu atrzena mo na j¹ wywoùaã orzez wcœnêce klawsza ze znakem n (zmnejszene arametru ZASIÆG PATRZENIA) lub klawsza ze znakem m

8 (zwêkszene arametru ZASIÆG PATRZENIA). Wartoœã zmany, która nastêuje rzy jednokrotnym u ycu klawsza, zawarta jest w arametrze SKOK ZASIÆGU PATRZENIA. 4) Poruszane sê o n-wymarowej rzestrzen sosób rodzaje oruszana s¹ dokùadne take same jak ju wczeœnej osane w unkce 4..3. Rysunek 7.5. Koloram oznaczono aktywne klawsze. () kolor foletowy klawsze sùu ¹ce zmane zasêgu atrzena oraz owêkszanu omnejszanu obrazu, () kolor nebesk zmana maksymalnego romena tunelu oraz zmana oùo ena wzdùu kerunku rzutowana r, (3) kolor óùty zmana oùo ena wzdùu os wsóùrzêdnych, (4) kolor czerwony zmana oùo ena wzdùu os ùaszczyzny obserwacyjnej, (5) kolor zelony zmana kerunku atrzena. 7..4. USUWANIE PUNKTÓW Zdarza sê, e z ró nych unktów wdzena nektóre fragmenty zborów zachodz¹ na sebe ne mo emy bezoœredno stwerdzã, czy rzeczywœce nektóre fragmenty zborów zachodz¹ na sebe czy tylko sê rzesùanaj¹. Wtedy korzystne jest usunêce czêœc zboru unktów w ten sosób, by mo na byùo z nnego unktu wdzena dostrzec ewne cechy obserwowanych zborów. Oczywœce ne chodz tutaj o usuwane ojedynczych unktów, lecz obszarów z unktam nale ¹cym do tylko jednego zboru. Mo lwoœã usunêca takego obszaru oznacza, e mo na go oddzelã od ozostaùych zborów a wêc ne zachodz na nne zbory. W celu usunêca unktów znajduj¹cych sê w danym obszarze nale y: ) rzesun¹ã kursor myszy w okne grafcznym w okolcê lewego górnego rogu usuwanego obszaru unktów, ) wcsn¹ã lewy rzycsk myszy, 3) trzymaj¹c wcœnêty lewy rzycsk myszy, rzesun¹ã kursor myszy w okolcê rawego dolnego rogu usuwanego obszaru unktów. W trakce rzesuwana bêdze wdoczna ramka obejmuj¹ca zaznaczany do usunêca obszar, 4) zwolnã lewy rzycsk myszy - ojaw sê nformacja dotycz¹ca lczby unktów znajduj¹cych sê w zaznaczonym obszarze z ytanem czy je usun¹ã,

8 Rysunek 7.6. Przedstawono ramkê obejmuj¹c¹ usuwany obszar unktów, wdoczn¹ w trakce rzec¹gana kursora myszy. Rysunek 7.7. Pytane ojawaj¹ce sê o zaznaczenu obszaru z unktam do usunêca. Rysunek 7.8. Sytuacja z rysunku 7.6 o usunêcu unktów.

83 5) na zadane ytane odowedzeã Tak. Na rysunku 7.8 rzedstawono rzykùad z rysunku 7.6 o usunêcu unktów znajduj¹cych sê w zaznaczonym obszarze. 7..5. OKNO TEKSTOWE W okne tekstowym ojawaj¹ sê nastêuj¹ce nformacje: - WYMIAR PRZESTRZENI okreœla lczbê wymarów rzestrzen w której znajduj¹ sê obserwowane zbory unktów, - D UGOÚà W okreœla odlegùoœã ùaszczyzny obserwacyjnej od œrodka ukùadu wsóùrzêdnych, - MAX.PROMIEÑ TUNELU wyœwetla wartoœã arametru MAX. PROMIEÑ TUNELU, - ZASIÆG PATRZENIA rzedstawa wartoœã arametru ZASIÆG PATRZENIA, - P ASZCZYZNA OBROTU rzedstawa arê wektorów, które braùy udzaù w ostatnej zmane kerunku atrzena, - KLASA WIDAà k Z m wyœwetla dla ka dego zboru unktów numer, lczbê unktów wdocznych k oraz lczbê wszystkch unktów m. Informacja ta ma stotne znaczene, bowem na jej odstawe bêdzemy mogl stwerdzã czy w okreœlonej sytuacj wszystke unkty danego zboru s¹ wdoczne. 7..6. OKNO GRAFICZNE W tym okne ojawa sê wygl¹d ogl¹danych zborów unktów. Welkoœã okna grafcznego mo emy zmenaã rozc¹gaj¹c okno systemu kursorem myszy. 7..7. PO CZENIE SYSTEMÓW Powy szy system où¹czono z systemem osanym w rozdzale 4 w jeden system dzaùaj¹cy w dwóch mo lwych trybach. Tryb racy (rysowane bryù b¹dê zborów unktów) wyberany jest automatyczne na odstawe formatu lku wejœcowego.

8. PODSUMOWANIE I WNIOSKI 8.. ZREALIZOWANE ZADANIA W ramach racy zrealzowano nastêuj¹ce zadana: ) Powstaù model matematyczny, rozw¹zuj¹cy roblem wzualzacj welowymarowych bryù wyukùych oraz welowymarowych zborów danych dyskretnych. Model ten ne byù wzorowany na adnym znanym oracowanu lteraturowym. ) Nasano aket orogramowana, ozwalaj¹cy wzualzowaã welowymarowe bryùy wyukùe oraz welowymarowe zbory danych dyskretnych. 3) Przerowadzono doœwadczena olegaj¹ce na rzedstawenu na ekrane komutera rzykùadowych welowymarowych bryù wyukùych. Przerowadzono równe doœwadczena olegaj¹ce na rzedstawenu na ekrane komutera rzykùadowych welowymarowych zborów danych dyskretnych. Zebrane wynk doœwadczeñ wydaje sê e wnosz¹ nowe nformacje na temat jakoœcowych cech obektów welowymarowych. 8.. WYNIKI DOÚWIADCZEÑ Przerowadzone ekserymenty okazaùy, e rzy omocy osanej metody wzualzacj mo na zaobserwowaã ewne stotne jakoœcowe cechy obserwowanych zborów unktów, manowce: ) Mo na stwerdzã, e dany zbór da sê w rozwa anej rzestrzen oddzelã od ozostaùych, czyl e dany zbór ne zachodz na nne (rzykùady od 6.3. do 6.3.4). Daje to odstawy do oszukwañ skutecznego algorytmu otraf¹cego rozoznaã, czy dany unkt nale y do badanego zboru. ) Mo na zauwa yã w zborze welowymarowych danych unkty odejrzane o to, e s¹ zakùócenam (rzykùad 6.3.). Dzêk temu wadomo, które unkty nale y omn¹ã w dalszej analze. Pozwala to unkn¹ã sytuacj w której na odstawe zakùóceñ wyc¹gnête zostaj¹ bùêdne wnosk. 3) Mo na zauwa yã brak sójnoœc zboru welowymarowych danych (rzykùad 6.3.). Cecha ta jest bardzo stotna, onewa ozwala rzyj¹ã mo lwoœã wyst¹ena omêdzy sójnym obszaram danego zboru unktów, obszarów rzynale ¹cych do nnego zboru unktów.

85 4) Fakt, e dany zbór mo na oddzelã od ozostaùych mo na stwerdzã równe wtedy, gdy dany zbór jest ze wszystkch stron otoczony nnym zborem unktów (rzykùad 6.3.) 5) Nawet w sytuacj gdy zbory obejmuj¹ sê mo emy stwerdzã, e dany zbór mo na oddzelã od ozostaùych (rzykùad 6.3.4), co mo e byã odstaw¹ do klasyfkacj welowymarowych danych. W rzyadku welowymarowych bryù mo emy stwerdzã ksztaùt oraz lczbê wdocznych czêœc œcan bryùy. W trakce ogl¹dana bryùy ju 4-wymarowej z ró nych stron, owstaje wra ene e zmena ona ksztaùt (rysunk 3.4 do 3.9). Jednak odobne wra ene maùby czùowek ogl¹daj¹c szeœcan 3-wymarowy z ró nych stron, gdyby ne znaù jego wygl¹du (szeœcan 3-wymarowy z odowednego unktu wdzena wygl¹da jak kwadrat, z nnego jak dwa sklejone rostok¹ty a jeszcze z nnego jak trzy sklejone równolegùobok). Zwrócono uwagê na fakt, e w rzyadku kostk czterowymarowej jednoczeœne mo na byùo zobaczyã maksymalne 4 œcany, natomast w rzyadku kostk sedmowymarowej jednoczeœne mo na byùo zobaczyã maksymalne 7 œcan. Stanow to ewn¹ ndywdualn¹ cechê jakoœcow¹ obserwowanych obektów, ró n¹c¹ je od sebe. Zarezentowane wynk w eùn otwerdzaj¹, e stosuj¹c zaroonowane w racy metody matematyczne mo na wzualzowaã na ekrane komutera obekty zdefnowane formalne lub emryczne w rzestrzenach welowymarowych, co ozwala na jakoœcow¹ ocenê struktury danych welowymarowych. Tym samym teza racy zostaùa wykazana.

LITERATURA [] Aldrch C., Vsualzaton of transformed multvarate data sets wth autoassocatve neural networks. Pattern Recognton Letters, Volume: 9, Issue: 8, June, 998,. 749-764. [] Asmov D. The Grand Tour: A Tool for Vewng Multdmensonal Data., SIAM Journal of Scentfc and Statstcal Comutng, 985,. 8-43, vol. 6, No.. [3] Assa J., Cohen-Or D., Mlo T., RMAP: a system for vsualzng data n multdmensonal relevance sace. [Journal Paer] Vsual Comuter, vol.5, no.5, 999,.7-34. Publsher: Srnger-Verlag, Germany. [4] Assa J., Cohen-Or D., Mlo T., Dslayng data n multdmensonal relevance sace wth D vsualzaton mas. [Conference Paer] Proceedngs. Vsualzaton '97 (Cat. No.97CB3655). IEEE. 997,.7-34, 534. New York, NY, USA. [5] Becker R.A., Cleveland W.S., Wlks A.R., Dynamc grahcs for data analyss. Statstcal Scence, 987,.355-395. [6] Buja A., Asmov D. Grand Tour Methods: An Outlne. Comutng Scence and Statstcs, 985,. 63-67, vol. 7. [7] Buja A., Cook D., Asmov D., Hurley C., Dynamc Projectons n Hgh- Dmensonal Vsualzaton: Theory and Comutatonal Methods. AT&T Research Labs Techncal Reort, 998. [8] Buja A., Swayne D.F., Lttman M.L., XGVs: nteractve data vsualzaton wth multdmensonal scalng. Journal of Comutatonal and Grahcal Statstcs, 998, To aear. [9] Carr D. B., Wegman E. J., Luo Q. ExlorN: Desgn Consderatons Past and Present. Center for Comutatonal Statstcs, George Mason Unversty, no. 9, 996. [0] Chatterjee A., Das P.P., Bhattacharya S., Vsualzaton n lnear rogrammng usng arallel coordnates. Pattern Recognton 6(), 993,.75-736. [] Cleveland W.S., McGll R., The many faces of a scatterlot. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 79, 984,.807-8. [] Cook D., Buja A., Cabrera J., Hurley C., Grand Tour and Projecton Pursut. Journal of Comutatonal and Grahcal Statstcs, 995,. 55-7, vol. 4, no. 3. [3] Eck Stehen G., Wlls Graham J., Hgh nteracton grahcs. Euroean Journal of Oeratonal Research, Volume: 8, Issue: 3, March 6, 995,. 445-459.

87 [4] Gennngs C., Dawson K.S., Carter W.H., Jr. Myers R.H., Interretng lots of a multdmensonal dose-resonse surface n a arallel coordnate system. Bometrcs 46, 990,. 79-735. [5] Hardle W., Klnke S., Turlach B. A. XloRe: An Interactve Statstcal Comutng Envronment. Srnger-Verlag, New York 995. [6] Hartgan J.A., Klener B., Mosac for Contngency Tables. In: Comuter Scence and Statstcs: Proceedngs of the 3 th Symosum on the Interface. New York, 98, Srnger Verlag,. 68-73. [7] Heke Hofmann, Exlorng categorcal data: nteractve mosac lots. Metrka 5, Srnger-Verlag, 000,. -6. [8] Hurley C, Buja A. Analyzng hgh-dmensonal data wth moton grahcs. [Journal Paer] SIAM Journal on Scentfc & Statstcal Comutng, vol., no.6, Nov. 990,.93-. USA. [9] Inselberg A., The lane wth arallel coordnates. Vsual Comuter, 985,. 69-9. [0] Inselberg A., Dmsdale B., Multdmensonal lnes I: reresentaton. SIAM J. Al. Math. 54 (), 994,. 559-577. [] Jan A.K., Mao J., Artfcal neural network for non-lnear rojecton of multvarate data. In: Proc. IEEE Internat. Jont Conf. On Neural Networks, Baltmore, 99, MD, 3,.335-340. [] Keller P.R., Keller M.W., Vsual Cues-Practcal Data Vsualzaton. IEEE Comuter Soc. Press, Slver Srng, 993. [3] Kraajveld M., Mao J., Jan A.K., A nonlnear rojecton method based on Kohonen s toology reservng mas. IEEE Trans. Neural Networks 6 (3), 995,. 548-559. [4] L Wehua, Yue H. Henry, Valle-Cervantes Sergo, Qn S. Joe, Recursve PCA for adatve rocess montorng. Journal of Process Control, Volume: 0, Issue: 5, October, 000,. 47-486. [5] Mao J., Jan A.K., Artfcal neural networks for feature extracton and multvarate data rojecton. IEEE Trans. Neural Networks 6 (), 995,. 96-37. [6] Q R., Cook D., Klemann W., Vttal V. Vsualzaton of Stable Manfolds and Multdmensonal Surfaces n the Analyss of Power Systems Dynamcs. Journal of Nonlnear Scence, 000,. 75-95, vol. 0.

88 [7] Shuo-Yan Chou, Shh-We Ln, Cha-Shn Yeh, Cluster dentfcaton wth arallel coordnates. Pattern Recognton Leters 0, 999,.565-57. [8] Sobol M.G., Klen G., New grahcs as comuterzed dslays for human nformaton rocessng. IEEE Trans. Systems Man Cybernet. 9 (4), 989,. 893-898. [9] Sung-Soo Km, Sunhee Kwon, Danne Cook, Interactve vsualzaton of herarchcal clusters usng MDS and MST. Metrka 5, Srnger-Verlag 000,. 39-5. [30] Swayne D. F., Cook D., Buja A. XGob: Interactve Dynamc Grahcs n the X Wndow System. Journal of Comutatonal and Grahcal Statstcs, 998,. 3-30, vol. 7, no.. [3] Tadeusewcz R., Elementarne wrowadzene do technk sec neuronowych z rzykùadowym rogramam. Akademcka Ofcyna Wydawncza PLJ, Warszawa 999. [3] Tadeusewcz R., Flasñsk M., Rozoznawane obrazów. Wydawnctwo Naukowe PWN, sera Wsóùczesna Nauka Technka, Informatyka, Warszawa 99. [33] Tarczyñsk W., O jeszcze jednym sosobe oceny fundamentalnej sóùk na geùdze aerów wartoœcowych w Warszawe. Wydawnctwo A.E., Klasyfkacja analza danych, Zeszyt 5, Wrocùaw 998. [34] Wegman E.J., Hyer-dmensonal data analyss usng arallel coordnates. J. Amer. Statst. Assoc. 85 (4), 990,. 664-675. [35] Wegman E., The Grand Tour n k-dmensons. Center for Comutatonal Statstcs, George Mason Unversty, no. 68, 99. [36] Zaborsk A., Przegl¹d zastosowañ skalowana welowymarowego w rozw¹zywanu roblemów marketngowych. Wydawnctwo A.E., Klasyfkacja analza danych, Zeszyt 4, Wrocùaw 997.

DODATEK A Przykùadowe wdok bryù wyukùych: Rysunek A.. Kostka 4-wymarowa ogl¹dana z ró nych stron, rzy ró nych ustawenach kerunku rzutowana r.

Rysunek A.. Kostka 4-wymarowa ogl¹dana z ró nych stron, rzy ró nych ustawenach kerunku rzutowana r. 90

Rysunek A.3. Kostka 7-wymarowa ogl¹dana z ró nych stron, rzy ró nych ustawenach kerunku rzutowana r. 9

Rysunek A.4. Kostka 7-wymarowa ogl¹dana z ró nych stron, rzy ró nych ustawenach kerunku rzutowana r. 9