REPREZENTACJA HIERARCHICZNEGO GRAFU ZNAKOWAŃ Z WYKORZYSTANIEM FUNKCJI MONOTONICZNYCH

Transkrypt

1 II Konferencja Naukowa KNWS'0 "Informatyka- sztuka czy rzemios o" - czerwca 00, Z otniki Luba skie REPREZENTACJA HIERARCHICZNEGO GRAFU ZNAKOWAŃ Z WYKORZYSTANIE FUNKCJI ONOTONICZNYCH Piotr iczulski Instytut Informatyki i Elektroniki, Uniwersytet Zielonogórski - Zielona Góra, ul. Podgórna 0 P.iczulski@iie.uz.zgora.l STRESZCZENIE W dotychczas stosowanych metodach oisu rzestrzeni stanów automatów wsółbie nych, oisywanych jednooziomowymi lub hierarchicznymi sieciami Petriego, graf znakowa rerezentowany był w ostaci klasycznej funkcji charakterystycznej. W oracowanych rozwi zaniach funkcja charakterystyczna rzedstawiana była jako ojedynczy diagram decyzyjny, co skutkowało brakiem mo liwo ci efektywnego rojektowania zło onych automatów wsółbie nych. W referacie zaroonowano nowy sosób oisu rzestrzeni stanów, w którym wykorzystano funkcje monotoniczne rerezentowane za omoc oł czonego systemu diagramów BDD.. WPROWADZENIE W trakcie rowadzonych badań nad metodami analizy i syntezy wsółbieżnych automatów cyfrowych, modelowanych za omocą jednooziomowych i hierarchicznych sieci Petriego, ojawiła się konieczność odzwierciedlenia hierarchicznej budowy układu także na oziomie rerezentacji rzestrzeni stanów. Wynikało to z konieczności zdecydowanego orawienia sosobu jej oisu tak, aby umożliwić efektywne rojektowanie złożonych automatów wsółbieżnych. Wykonane badania wykazały, że wykorzystanie w tym celu funkcji monotonicznych zwiększa wydajność rerezentacji rzestrzeni stanów układu, a rzy okazji daje dodatkowe zalety w ostaci nowego wariantu metody dekomozycji automatów wsółbieżnych na rocesy sekwencyjne. Rezultaty dekomozycji mogą zostać wykorzystane nastęnie do bezośredniego kodowania stanów lokalnych układu, na otrzeby syntezy, jak i weryfikacji. Podział grafu znakowań rerezentującego całą rzestrzeń stanów na zbiór wzajemnie owiązanych grafów znakowań, oisujących znakowania oszczególnych oziomów hierarchii, łatwość z jaką można rozwijać i zwijać ois rzestrzeni stanów z wykorzystaniem funkcji monotonicznych oraz ich rerezentacja za omocą diagramów decyzyjnych BDD [], stwarza możliwość efektywnej analizy i syntezy sterowników

2 cyfrowych. Przedstawioną metodę rerezentacji rzestrzeni stanów omówiono na rzykładzie hierarchicznej sieci Petriego, która została rzedstawiona na rys.. y 0 t x 0 y y t x t x 0 t x *x y *y t!x *!x y t!x t y t!x Rys.. Przykład hierarchicznej sieci Petriego. FUNKCJE ONOTONICZNE I ICH REPREZENTACJA W POSTACI DIAGRAÓW BDD Funkcja boolowska f jest funkcją monotoniczną, jeżeli dla dowolnych wektorów boolowskich a i b takich, że a b, funkcja f sełnia warunek f ( a) f ( b). Kombinacja zmiennych logicznych (wektor boolowski) jest nie mniejsza od innej kombinacji zmiennych, jeżeli wartość każdego argumentu jednej kombinacji jest większa lub równa wartości tego samego argumentu drugiej kombinacji. Kombinacje sełniające ten warunek nazywa się kombinacjami orównywalnymi. Zatem, w funkcji monotonicznej dla dowolnego wzrostu jej argumentów (wektorów boolowskich), wartości funkcji nie maleją, a warunek f ( a) f ( b) jest sełniony jedynie dla kombinacji orównywalnych. Funkcję monotoniczną można zatem zaisać w dysjunkcyjnej lub koniunkcyjnej ostaci normalnej, wykorzystując w tym celu oeratory sumy logicznej i iloczynu logicznego oraz nie używając oeratora negacji.

3 Funkcja monotoniczna może być również rerezentowana jako diagram decyzyjny BDD, ZBDD lub inny. Na obecnym etaie rac skuiono się jednak na oracowaniu metod rerezentacji rzestrzeni stanów za omocą funkcji monotonicznych oraz analizie i syntezie tak oisanych układów. Wybór odowiedniego rodzaju diagramu decyzyjnego zostanie rzerowadzony, w óźniejszym czasie o wykonaniu koniecznych badań. Aktualnie w rowadzonych racach zdecydowano się na wykorzystanie klasycznej odmiany diagramów decyzyjnych, jaką są diagramy ROBDD []. Przykładem funkcji monotonicznej jest funkcja oisująca całą rzestrzeń stanów sieci Petriego rzedstawionej na rys. : χ () = Funkcja () może być rerezentowana w ostaci diagramu decyzyjnego BDD (rys. ). χ 0 Rys.. Diagram BDD rerezentuj cy funkcj monotoniczn () Umownie rzyjęto, że łuk (narysowany linią rzerywaną), łączący węzeł z jego lewym nastęnikiem ma rzyisaną wartość 0, co oznacza, że zmienna skojarzona z węzłem oczątkowym tego łuku otrzymuje dla niego wartość 0. Natomiast łuk (narysowany linią ciągłą) łączący węzeł z jego rawym nastęnikiem ma rzyisaną wartość, co oznacza, że zmienna z nim skojarzona otrzymuje wartość. W raktyce diagram BDD zawiera tylko jeden węzeł terminalowy, rerezentujący wartość funkcji boolowskiej, a zerowa wartość funkcji otrzymywana jest rzez zanegowanie wartość. Na rys. węzły terminalowe zostały jednak owielone, aby zwiększyć jego czytelność.

4 Przeglądając diagram rekurencyjnie od korzenia do liści rerezentujących wartość funkcji monotonicznej otrzymuje się mintermy funkcji logicznej. Pomijając na ścieżce węzły rerezentujące zmienne o wartości 0 i stosując regułę ochłaniania otrzymuje się zminimalizowaną funkcję monotoniczną w dysjunkcyjnej ostaci normalnej.. REPREZENTACJA HIERARCHICZNEGO GRAFU ZNAKOWA Z WYKORZYSTANIE FUNKCJI ONOTONICZNYCH Projektując wsółbieżny sterownik cyfrowy o dużej liczbie stanów lokalnych często nie ma otrzeby rozatrywania jednocześnie ich wszystkich. Dlatego też abstrahowanie wybranych jego fragmentów, orzez wrowadzenie w sieci Petriego oziomów hierarchii, w ostaci makromiejsc (n. na rys. ), ozwala na rojektowanie w danej chwili tylko wybranego fragmentu zachowania układu. Podejście to jest dobrze znane z literatury [], [], []. Wykorzystując hierarchiczne sieci Petriego, na każdym etaie modelowania układu, może zachodzić otrzeba analizy, czy zarojektowany dotychczas jego fragment, na danym oziomie szczegółowości, nie zawiera konstrukcji wadliwych. Weryfikacja ta może być rzerowadzana orzez zbadanie odstawowych właściwości sieci Petriego takich, jak żywotność, bezieczeństwo, czy determinizm. Wymienione właściwości mogą zostać srawdzone za omocą analizy rzestrzeni stanów []. Analiza, jak również synteza, może być rzerowadzana oddzielnie dla każdego makromiejsca []. Tak więc celowe jest odzwierciedlenie hierarchicznej budowy układu również na oziomie jego rzestrzeni stanów. W racy [] rzedstawiono metodę oisu rzestrzeni stanów za omocą klasycznej funkcji charakterystycznej, rerezentowanej w amięci komutera za omocą jednego diagramu decyzyjnego, BDD lub ZBDD. Ponieważ jednak utworzona funkcja oisywała całą rzestrzeń stanów sterownika cyfrowego, to odejście to jest nie efektywne dla układów o dużej liczbie stanów globalnych. Dla sieci z rys., funkcja charakterystyczna ma nastęujący wzór: = χ () Każde znakowanie sieci Petriego jest oisywane rzez składnik funkcji (), którego oszczególne zmienne odowiadają miejscom sieci Petriego. Jeżeli w danym składniku zmienna nie jest zanegowana, to oznacza to, że miejsce osiada znacznik. Jeżeli zmienna jest zanegowana, to odowiadające jej miejsce nie zawiera znacznika. Z drugie strony rowadzone race badawcze w zakresie rerezentacji rzestrzeni stanów w ostaci hierarchicznego grafu znakowań, nie zajmowały się dostatecznie asektem rerezentacji utworzonego grafu znakowań w amięci komutera oraz sosobami jego analizy [].

5 Autor w swoich racach roonuje wykorzystanie monotonicznych funkcji boolowskich do oisu rzestrzeni stanów układu. Graf znakowań każdego oziomu hierarchii rerezentowany jest za omocą ojedynczej funkcji monotonicznej w dysjunkcyjnej ostaci normalnej. Każdy składnik funkcji rzedstawia ojedyncze znakowanie (konfigurację) makromiejsca, a zmienne funkcji odowiadają miejscom i makromiejscem sieci Petriego. Wystęowanie nazwy zmiennej w danym składniku funkcji oznacza, że miejsce rerezentowane rzez zmienną jest oznakowane w tej konfiguracji. Brak nazwy zmiennej w iloczynie oznacza, że miejsce to nie wchodzi w skład danej konfiguracji. Na rzykład, rzestrzeń stanów makromiejsca może zostać wyrażona w ostaci nastęującej funkcji monotonicznej: χ () = Na rys. rzedstawiono diagram BDD rerezentujący funkcję monotoniczną (). χ 0 Rys.. Funkcja monotoniczna rerezentuj ca rzestrze stanów makromiejsca Aby odczytać znakowania układu na wybranym oziomie hierarchii należy wyznaczyć wszystkie mintermy roste funkcji monotonicznej. Istotną zaletą funkcji monotonicznych jest fakt, że rzy suerozycji monotonicznych funkcji boolowskich i rzy odstawianiu do tych funkcji zmiennych, uzyskane w ten sosób funkcje nadal są funkcjami monotonicznymi. Twierdzenie to jest istotne z unktu widzenia rozwijania i zwijania hierarchicznej rerezentacji rzestrzeni stanów. Jeżeli zachodzi otrzeba rozwinięcia oisu rzestrzeni stanów w taki sosób, aby funkcja (diagram BDD) rzedstawiał całą rzestrzeń stanów na wybranym oziomie szczegółowości, należy za odowiednią zmienną odstawić funkcję monotoniczną rerezentującą niższy oziom hierarchii. Oeracja ta może zostać wykonana za omocą odowiedniego rzekształcenia diagramu decyzyjnego. Na rzykład, jeżeli rzestrzeń stanów najwyższego oziomu hierarchii oisywana jest funkcją χ = 0, to odstawiając za zmienną 0, funkcję rerezentującą rzestrzeń stanów makromiejsca 0 ( χ = 0 ), otrzymuje się funkcję oisującą zbiór konfiguracji grafu znakowań na

6 wybranym oziomie abstrakcji: χ =. Postęując w ten sosób można uzyskać całą rzestrzeń stanów oisaną wzorem (). Ponieważ funkcja rzedstawiająca w oisany sosób graf znakowań owinna wykazywać cechy funkcji monotonicznej, to możliwe jest wykrycie w nim nieorawnych znakowań. Ten wstęny eta weryfikacji rzestrzeni stanów może zostać rzerowadzony rzed wykonaniem analizy odstawowych właściwości sieci Petriego. Algorytm badania monotoniczności funkcji, bazujący na analizie diagramu BDD, jest tematem aktualnie rowadzonych badań.. ZAKO CZENIE Zaletą wykorzystania funkcji monotonicznych, do rerezentacji rzestrzeni stanów, w ostaci systemu skorelowanych ze sobą diagramów decyzyjnych jest zmniejszenie (od 0% do 0%) rozmiaru diagramu BDD. Odzwierciedlenie hierarchicznej struktury układu na oziomie rzestrzeni stanów nie wymaga również oerowania na jednym dużym diagramie decyzyjnym w czasie analizy lub syntezy układu. Ponadto zastosowanie funkcji monotonicznych stworzyło możliwość oracowania nowego wariantu metody dekomozycji wsółbieżnych automatów cyfrowych na rocesy sekwencyjne. Przedstawione race rowadzone są w ramach grantu KBN, TC 00. LITERATURA [] K. Biliński: Alication of Petri Nets in arallel controller design, PhD. Thesis, University of Bristol, Electrical and Electronic Deartment, [] P. Buchholz: Hierarchical High Level Petri Nets for Comlex System Analysis, Proceedings of the th International Conference on Alication and Theory of Petri Nets, ss. -, [] P. iczulski: Weryfikacja orawności oisu wsółbieżnych sterowników cyfrowych z wykorzystaniem diagramów decyzyjnych, ateriały Konferencji RUC, 00 [] S. inato: Binary Decision Diagrams and Alications for VLSI CAD, Kluwer Academic Publishers, []. Notomi, T. urata: Hierarchical Reachability Grah of Bounded Petri Nets for Concurrent Software Analysis, Proceedings of IEEE Transactions on Software Engineering, Vol. 0, No, [] E. Pastor, O. Roig, J. Cortadella,. Badia: Petri Net Analysis Using Boolean aniulation, Proceedings of th International Conference, Alication and Theory of Petri Nets, volume of Lecture Notes in Comuter Science, []. Węgrzyn: Hierarchiczna imlementacja wsółbieżnych kontrolerów cyfrowych z wykorzystaniem FPGA, Rozrawa Doktorska, Warszawa,