Ćw. S-III.4 ELEMENTY ANALIZY I SYNTEZY UAR (Dobór nastaw regulatora)

Dr inż. Michał Chłędowski PODSTAWY AUTOMATYKI I ROBOTYKI LABORATORIUM Ćw. S-III.4 ELEMENTY ANALIZY I SYNTEZY UAR (Dobór nastaw regulatora) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pojęciem "syntezy parametrycznej UAR", zasadami doboru regulatora dla konkretnego typu obiektu regulacji oraz z metodyką Nicholsa-Zieglera doboru nastaw regulatorów. Program ćwiczenia. Zapoznanie się ze strukturą układu i przydzielonymi danymi liczbowymi poszczególnych parametrów. Jest to kontynuacja poprzedniego ćwiczenia, więc tam sprawdź schemat blokowy układu i dane liczbowe dla Twojego Zespołu. 2. Przeanalizuj możliwe do zastosowania w badanym UAR typy regulatorów. 3. Przypomnij sobie metodykę Nicholsa-Zieglera. 4. Określenie z wykresu h(t) dla k = kkr okresu oscylacji Tosc. kkr wykorzystać z poprzedniego ćwiczenia lub obliczyć z kryterium Hurwitza. 5. Wyznaczenie optymalnych parametrów dla regulatora P, PI i regulatora PID w oparciu o metodykę Nicholsa-Zieglera 6. Obliczenie εust dla optymalnych nastaw regulatora P i regulatora PI 7. Zarejestrowanie procesów przejściowych w badanym układzie dla obydwóch typów regulatora 8. Oszacowanie z wykresów charakterystyk skokowych wartości uchybów ustalonych. 9. Oszacowanie zapasu modułu i zapasu fazy. Podstawy teoretyczne Zadanie syntezy Synteza układów sterowania, czyli ich projektowanie, polega na doborze takiej struktury układu i takich parametrów regulatora, by układ mógł realizować w zadowalający nas sposób po-

stawione przed nim zadanie. Postępowanie jest więc dwuetapowe. W pierwszym etapie należy określić strukturę układu regulacji i typ regulatora (członu korekcyjnego). Zadania tego etapu są najtrudniejszymi zagadnieniami zarówno teorii, jak i praktyki sterowania. Wymagają współpracy z technologiem procesu i podejmowania oprócz decyzji technicznych również decyzji ekonomicznych. Drugi etap polega na doborze wartości parametrów regulatora. Wiele szczegółów na ten temat można znaleźć w [, rozdz. ]. Należy pamiętać, że zachowanie stabilności układu regulacji jest warunkiem zasadniczym (koniecznym) poprawnej pracy układu regulacji, lecz nie jedynym. Dalsze warunki dotyczą dokładności statycznej (uchyb ustalony) i jakości dynamicznej (czas regulacji, przeregulowanie, oscylacyjność). Na podstawie rozważań teoretycznych, badań modelowych i doświadczeń eksploatacyjnych opracowano wiele (rzędu 50) reguł nastawiania regulatorów według żądanych cech przebiegu przejściowego. Przy czym zadanie najczęściej formułowane jest następująco: Należy zapewnić a) przebieg aperiodyczny, minimum tr, b) przebieg oscylacyjny z przeregulowaniem około 20%, minimum tr, c) przebieg z minimum całki kwadratu uchybu regulacji. Zagadnienia związane z jakością statyczną i dynamiczną omówione są w [, rozdz. 9]. Regulator Regulator jest tym członem UAR, który na podstawie informacji o uchybie regulacji oraz algorytmu, według którego działa wypracowuje sygnał sterujący minimalizujący uchyb regulacji. W typowym, jednoobwodowym układzie regulacji automatycznej regulator jest zlokalizowany w sposób pokazany na rys.. Głównymi sygnałami doprowadzonymi do regulatora są:. wielkość wejściowa w (na rys. wzad) określająca wartość oraz funkcję czasową wartości zadanej wielkości regulowanej, 2. wielkość regulowana y lub przetworzona na odpowiednią wielkość y*. Wielkością wyjściową regulatora jest sterowanie u lub w przypadku zespolenia regulatora z elementem wykonawczym wielkość u*. Rys. : Typowa struktura układu regulacji jednej zmiennej: linią przerywaną zaznaczono alternatywne rozwiązania W niektórych przypadkach okazuje się, że jednoobwodowy układ regulacji nie pozwala uzyskać zadowalających wyników regulacji, nawet przy zastosowaniu najbardziej złożonego re- 2

gulatora. Można wówczas próbować stosować układy regulacji złożonej. Najczęściej stosowane są układy kaskadowe i układy kombinowane (zamknięto-otwarte). Z liniową teorią regulacji najściślej są związane regulatory o działaniu ciągłym, a więc takie regulatory, w których zainstalowane podstawowe elementy, jak wzmacniacze, elementy pomocnicze i korekcyjne działają w oparciu o sygnały ciągłe. W układach regulacji automatycznej można wyróżnić trzy zasadnicze rodzaje (typy) regulatorów: regulatory o działaniu proporcjonalnym typu P, regulatory o działaniu całkującym typu I, regulatory o działaniu różniczkującym typu D. Ponadto istnieją regulatory stanowiące kombinacje typów podstawowych, a więc: regulatory proporcjonalno-całkujące typu PI, regulatory proporcjonalno-różniczkujące typu PD regulatory proporcjonalno-różniczkująco-całkujące - typu PID. Regulatorów analogowych (o działaniu ciągłym) o algorytmie regulacji bardziej złożonym niż algorytm PID w praktyce nie spotyka się. Dla każdego z wymienionych typów regulatorów przypisany jest charakteryzujący jego działanie. I tak: regulator P charakteryzuje się współczynnikiem proporcjonalności kp, regulator I - czasem zdwojenia Ti, regulator D - czasem wyprzedzenia Td. parametr Definicje poszczególnych parametrów możesz znaleźć w [, rozdz. 0]. Względami konstrukcyjnymi tłumaczy się fakt, że struktura blokowa regulatora PID (często nazywana idealną) ma postać jak na rys. 2 a realizowany przez niego algorytm zapisujemy w postaci równania [ t u (t)=k r ε (t)+ d τ(t ) ε ( τ )d τ +T d Ti 0 dt ] () Rys. 2: Schemat blokowy idealnego regulatora PID Transmitancja operatorowa idealnego regulatora PID zapisywana jest w postaci [ G PID (s)=k r + 3 + T d s T i s ] (2)

natomiast regulatora rzeczywistego (jak wiadomo, idealny człon różniczkujący jest fizycznie nie realizowalny) ma postać [ G PID ( s)=k r + T d s + T i s T d s + Dd ] (3) Istnieje bardzo dużo odmian postaci algorytmu PID. Jedna z najczęściej używanych w pracach naukowych, teoretycznych i programach symulacyjnych jest postać równoległa niezależna. Strukturę tego regulatora przedstawia rys. 3. Rys. 3: Struktura i parametry niezależnego regulatora PID Transmitancja operatorowa niezależnego regulatora PID najczęściej zapisywana jest w postaci G PID ( s)=k p + K i + K d s s gdzie: Kp (4) - wzmocnienie części proporcjonalnej, Ki - wzmocnienie części całkującej, Kd - wzmocnienie części różniczkującej, Dd - dzielnik stałej czasowej członu różniczkującego. Aby regulator PID pracował jako regulator: P (proporcjonalny), należy ustawić Ti = i Td =0 PD (proporcjonalno-różniczkujący), należy ustawić Ti = PI (proporcjonalno-całkujący), należy ustawić Td =0. Synteza parametryczna polega w szczególności na doborze najlepszych liczbowych wartości parametrów charakteryzujących zastosowany w projektowanym UAR regulator. Zasady wyboru regulatora Podstawowym warunkiem trafnego wyboru rodzaju regulatora jest znajomość, choćby przybliżona, własności obiektu regulacji. Zgodnie z klasyfikacją omówioną w [, rozdz. 6], wyróżniamy obiekty statyczne i astatyczne których własności w sposób przybliżony można określić transmitancjami przejścia: G st ( s)= k e τ s T s + 4 (5)

' k k Gast ( s )= e τs= e τ s s T s (6) gdzie: τ - zastępcze opóźnienie obiektu, T zastępcza stała czasowa obiektu, k jednostkowy współczynnik proporcjonalności obiektu. Przykładowo, przeciętne wartości τ i T dla kilku typowych procesów są następujące:. procesy zmian temperatury (obiekty statyczne) w małych piecach laboratoryjnych τ = 0,5 min, T = 5 5 min, w większych piecach żarowych τ = 3 min, T = 5 5 min, w kolumnach destylacyjnych τ = 7 min, T = 40 60 min, w pomieszczeniach ogrzewanych τ = 5 min, T = 0 60 min, 2. procesy zmian poziomu wody (obiekty astatyczne) w walczaku kotła parowego τ = 0,5 min, kxst = 6 20 cm/min, T = 0,8 2,5 min. Dokładniejsza analiza współpracy regulatora z obiektem prowadzi do następujących wniosków: regulator PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy zakłóceniach o małych częstotliwościach; regulator PD zapewnia szersze pasmo regulacji niż regulator PI, ale z gorszą jakością regulacji przy małych częstotliwościach; regulator PID łączy zalety obu poprzednich regulatorów. Należy także brać pod uwagę, że stosowanie akcji różniczkującej wzmacnia wszelkie szumy przetwornika pomiarowego, a ponadto przynosi niewielkie korzyści dla τ/t > 0,5. Doświadczenia eksploatacyjne UAR różnych procesów pozwoliły ustalić pewne reguły wyboru typu regulatora. Przedstawiono je w tabeli. Tabela : Dobór algorytmu sterowania w zależności od h(t) obiektu Metodyka Nicholsa-Zieglera (cykl graniczny) Jak wspomniano wyżej, opracowano wiele metod syntezy regulatorów. Zwłaszcza w przypadku układów specyficznych, od których wymaga się czy to bardzo dużej dokładności sterowania czy też szybkości reakcji przy jednoczesnym niedopuszczeniu do przeregulowania do syntezy itp. wykorzystuje się bardzo zaawansowany aparat matematyczny, specjalistyczne oprogramowanie i wyrafinowane metody. 5

Równocześnie w przypadku typowych układów regulacji, jakich tysiące wykorzystuje się w przeróżnych zakładach pracy konieczne są metody proste, łatwe do zastosowania, nie wymagające specjalistycznego oprogramowania i oprzyrządowania. Wśród praktyków najbardziej rozpowszechnioną metodą są reguły doświadczalnego nastawiania regulatorów opracowane przez Ziglera i Nicholsa, które realizują przypadek b) z rozdziału Zadanie syntezy. Dobór nastaw przeprowadza się już po zainstalowaniu regulatora w układzie. Kolejność postępowania przy stosowania tych reguł jest następująca:. Należy nastawić regulator na działanie tylko proporcjonalne (P). Działanie całkujące i różniczkujące (jeśli występują) powinny być wyłączone przez nastawienie Ti oraz Td 0. 2. Należy zwiększać wzmocnienie proporcjonalne kp regulatora, aż do wystąpienia oscylacji niegasnących w układzie (stała amplituda oscylacji granica stabilności). 3. Należy określić okres oscylacji granicznych Tosc (np. na taśmie rejestratora), oraz krytyczne wzmocnienie proporcjonalne kkr, przy którym one wystąpiły. 4. Zależnie od typu stosowanego regulatora, należy przyjąć nastawy dla regulatora P kp = 0,5kkr dla regulatora PI kp = 0,45kkr Ti = 0,85Tosc dla regulatora PID kp = 0,6kkr Ti = 0,5Tosc (7) Td = 0,2Tosc Uchyb ustalony Uchyb ustalony jest pojęciem związanym z dokładnością statyczną UAR. W sposób opisowy definiuje się go jako różnica pomiędzy wartością zadaną wzad (rys. ) a wartością rzeczywistą wielkości regulowanej y w stanie ustalonym. Odchylenie to oznaczamy przez εust i nazywamy uchybem ustalonym. Liczbową wartość uchybu ustalonego można wyliczyć korzystając z pojęcia transmitancji uchybowej, która definiowana jest albo ze względu na wymuszenie albo na zakłócenie. W obydwu przypadkach wielkością wyjściową jest transformata uchybu ε (s). Szczegóły tego zagadnienia opisane są w [, rozdz. 9.]. Transmitancje uchybowe maja postać: ze względu na wymuszenie Gwε (s )= ε (s ) = w(s ) +G R (s) G EW (s )G o (s) GUP (s ) (8) ze względu na zakłócenie G zε ( s )= G0 ( s ) G UP ( s ) ε( s) = z ( s ) + G R (s)g EW (s) Go (s) GUP (s) (9) Korzystając z twierdzenia o wartości końcowej możemy wyliczyć liczbową wartość uchybu. Szczegóły przekształceń podane są [, rozdz. 9.] a praktyczne ich wykorzystanie w dalszej części instrukcji (wzory, 2). 6

Praktyczna realizacja ćwiczenia. Strukturę układu regulacji przyjmiemy za daną. Jest to typowy, jednowymiarowy, zamknięty układ regulacji, taki jak w ćwiczeniu 3.3. Dla przypomnienia, jego schemat i oznaczenia przedstawia rys. 4. Przykładowe dane liczbowe są również takie same jak w poprzednim ćwiczeniu: k=0,4; k2=5; k3=7; T=5; T2=20; T3=20; T4=7. 2. Z rys. 4 wynika, że obiekt regulacji jest członem inercyjnym drugiego rzędu. Korzystając z tabeli wytypujemy możliwe do zastosowania regulatory. Naszemu obiektowi odpowiada charakterystyka skokowa zamieszczona w przedostatniej kolumnie tabeli. Widzimy więc, że możliwe są do zastosowania praktycznie wszystkie typy regulatorów. W naszych badaniach ograniczymy się trzema typami: P, PI oraz PID. Rys. 4: Struktura badanego UAR 3. Z metodyki Nicholsa-Zieglera wynika, że dla doboru nastaw regulatora istotne są dwa parametry: krytyczny współczynnika wzmocnienia kkr oraz okres oscylacji Tosc. Krytyczny współczynnik wzmocnienia był liczony w poprzednim ćwiczeniu. i wynosi kkr = 0.588. Okres oscylacji można próbować odczytać z wykresów otrzymanych w ćw. 3.3. (np. z rys.2 (wykres czerwony) lub z rys. 5) ale dokładniej go określimy wykonując symulację specjalnie pod odczyt tego parametru. Dobierzemy odpowiednio parametry symulacji. Skrypt realizujący to zadanie przedstawia rys. 5 a otrzymany wykres prezentuje rys. 6. Z wykresu dokonamy odczytu Tosc. Zrobimy to w następujący sposób. Dla wybranej wartości amplitudy, np. y = 0.25 odczytamy czas oscylacji jako różnicę czasów: Tosc = 54-20 = 34[s]. Powtórzmy działania dla y = 0.05. Tosc = 38-4 = 34[s]. 4. Mając współczynnik wzmocnienia kkr oraz Tosc wyliczymy według metodyki NicholsaZieglera (wzory (7) optymalne nastawy regulatorów. Dla regulatora P kp = 0,5kkr= 0,294 Dla regulatora PI kp = 0,45kkr=0,265 Ti = 0,85Tosc= 28,9 Dla regulatora PID kp = 0,6kkr= 0,353 Ti = 0,5Tosc = 7 (0) Td = 0,2Tosc= 4,08 5. Wyznaczenie wartości liczbowej uchybu ustalonego εust.. Mając liczbową wartość kopt możemy wyliczyć wartość uchybu ustalonego ε ust. korzystając z transmitancji uchybowej (8) i ze wzoru na uchyb ustalony. Przyjmiemy sygnał wymuszający w postaci skoku jednostkowego czyli. w z a d ( s )= s 7

Rys. 5: Skrypt napisany w SciNotes do wyznaczenia okresu oscylacji granicznych Rys. 6: Wykres oscylacji granicznych Transformata uchybu ze względu na wymuszenie wyznaczona z (8) ma postać: ε w (s)=g ε w w(s )= +G R (s )G EW ( s)g o (s)gup (s) () Wartość liczbową uchybu ustalonego liczymy korzystając z twierdzenia o wartości końcowej ε 0 w =lim ε w ( t )=lim s ε w ( s )=lim s t s 0 s 0 8 + G R (s)g EW (s)g o ( s) G UP ( s) (2)

Wstawimy do wzoru na uchyb ustalony transmitancje z rozważanego przykładu, przyjmując regulator P z optymalnym współczynnikiem wzmocnienia a za sygnał wejściowy wzad przyjmiemy wymuszenie jednostkowe. Otrzymamy ε 0 w =lim s w zad = k k2 k3 + k P +T s +T 3 s +T 2 s 2 +T 4 s ( + T s)(+t 3 s+t 2 s 2 )(+T 4 s) = lim s = 2 s 0 (+T s)(+t 3 s+t 2 s )(+T 4 s )+ k k 2 k 3 k opt s + k k 2 k 3 k opt Ostatecznie ε 0 w= = = =0.955 + k k 2 k 3 k opt + 0.4 5 7 0.588 5.6 s 0 Taka wartość uchybu ustalonego oznacza, że w stanie ustalonym na wyjściu obiektu w rozpatrywa nym przykładowym UAR sygnał ustali się na poziomie: yust = (-0,955)/7 = 0,49. Dzielenie przez 7 wynika z faktu, że w pętli sprzężenia zwrotnego badanego UAR mamy układ pomiarowy, współczynnik wzmocnienia którego wynosi 7. Sprawdź, że w przypadku regulatora zawierającego człon całkujący, a więc regulatora PI oraz PID uchyb ustalony będzie równy zero. W tych przypadkach sygnał na wyjściu układu ustali się na poziomie /7=0.428. Jeden, bo tyle wynosi amplituda wymuszenia. Dzielone przez siedem, bo tyle wynosi współczynnik wzmocnienia w pętli sprzężenia zwrotnego. 6. Sprawdzenie poprawności obliczeń przeprowadzimy symulując UAR w Xcos. W tym celu utworzymy w tym edytorze graficznym model jak na rys. 7 Rys. 7: Schemat blokowy UAR do sprawdzenia regulatorów: P, PI, PID Należy pamiętać, że blok regulatora PID w Xcos realizuje algorytm sterowania zgodnie z rys. 3. Oznacza to, że w parametrach tego regulatora ustawiamy: Kp - wzmocnienie części proporcjonalnej, 9

Ki - wzmocnienie części całkującej, Kd - wzmocnienie części różniczkującej, natomiast metoda Nicholsa-Zieglera daje wyniki dla struktury z rys. 2. Uwzględniając ten szczegół oraz wyniki (0) w regulatorach PID z rys. 7 ustawimy następujące parametry: regulator P (pierwszy układ od góry): Kp = 0,294; Ki = 0; Kd = 0; regulator PI (drugi układ od góry) : Kp = 0,265; Ki = kp / Ti = 0,265/28,9 = 0,0; Kd = 0; regulator PID (trzeci od góry): Kp = 0,353; Ki = 0,02; Kd = kp * Td = 0,353* 4,08 =,44; Otrzymane wykresy charakterystyk skokowych przedstawia rys. 8. Rys. 8: Wykresy charakterystyk skokowych UAR z różnymi typami regulatorów Analiza wykresów pozwala wyciągnąć szereg wniosków. Oczywiste to: Regulator P co prawda zapewnia najmniejsze przeregulowanie ale nie sprowadza uchybu ustalonego do zera Regulatory PI oraz PID zapewniają zerowy uchyb ustalonych przy większym przeregulowaniu Regulator PID wyraźnie skraca czas regulacji i oscylacyjność procesu przejściowego. Należy pamiętać, że te wnioski słuszne są dla tego, konkretnego przykładu UAR. Niestety, metoda cyklu granicznego Nicholsa-Zieglera nie zawsze daje zadowalające wyniki. Dlatego niekiedy stosowane są modyfikacje tej metody. Na przykład rzadko spotykana w literaturze, nazywana modyfikacją Pessena zapewnia aperiodyczność procesu przejściowego). Znane są modyfikacje Hanssena-Offereinsa dla PI oraz dla PID. Tak zwana I metoda Nicholsa-Zieglera zwana metodą odpowiedzi skokowej eliminuje potrzebę doprowadzaniu układu do granicy stabilności. Inną modyfikacją metody Nicholsa-Zieglera jest metoda przekaźnikowa wprowadzona przez Ǻstroma i Hågglunda. Jak widzimy, modyfikacji tylko tej jednej metody mamy kilka. W ogóle doliczono się około 50 metod stosowanych w syntezie UAR. Ten fakt pokazuje, że zagadnienie syntezy jest bardzo złożonym zagadnieniem oraz, że brak jest jednej idealnej metody rozwiązującej ten problem. 0