Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2 / 126

Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 3 / 126

Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek Czy mo»liwe jest, aby wyruszy z dowolnej cz ±ci l dowej miasta przej± przez ka»dy z mostów dokªadnie jeden raz i powróci do punktu wyj±ciowego (bez przepªywania przez rzek )? 4 / 126

Mosty królewieckie Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 r. w Bazylei - Szwajcaria, zm. 18 wrze±nia 1783 r. w Petersburgu - Rosja) - szwajcarski matematyk, zyk i astronom, jeden z twórców nowoczesnej matematyki. 5 / 126

Mosty królewieckie 6 / 126

Podstawowe denicje Denicja Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª czonych kraw dziami. Ka»da kraw d¹ ma dwa ko«ce, które s wierzchoªkami w grae. 11 / 126

Podstawowe denicje Denicja Drog w grae nazywamy taki ci g kraw dzi,»e ko«cem dowolnej kraw dzi tego ci gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz tek nast pnej kraw dzi. 14 / 126

Podstawowe denicje Denicja Drog, w której»adna kraw d¹ si nie powtarza nazywamy drog prost. 20 / 126

Podstawowe denicje Denicja Drog, w której»adna kraw d¹ si nie powtarza nazywamy drog prost. 21 / 126

Podstawowe denicje Denicja Drog, która zaczyna si i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog zamkni t. 22 / 126

Podstawowe denicje Denicja Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo± kraw dzi wychodz cych z tego wierzchoªka. 31 / 126

Podstawowe denicje Denicja Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo± kraw dzi wychodz cych z tego wierzchoªka. 32 / 126

Cykl Eulera Denicja Cyklem Eulera nazywamy tak zamkni t drog prost, która przechodzi przez wszystkie kraw dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d tylko jeden raz). 33 / 126

Cykl Eulera Twierdzenie (Euler, 1736) W grae istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie«parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si parzysta liczba kraw dzi. 44 / 126

Cykl Eulera Twierdzenie (Euler, 1736) W grae istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie«parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si parzysta liczba kraw dzi. 45 / 126

Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. 47 / 126

Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. Wiadomo,»e listonosz dor czaj c poczt musi przej± przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci na poczt. 48 / 126

Problem chi«skiego listonosza Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan. Wiadomo,»e listonosz dor czaj c poczt musi przej± przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci na poczt. Jak zaplanowa drog listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±nie pokonaª jak najkrótsz drog? 49 / 126

Kolorowanie kraw dzi Denicja Niech dany b dzie graf G. Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw dzi grafu G nazywamy takie pomalowanie wszystkich kraw dzi grafu,»e s siednie kraw dzie maj ró»ne barwy. 50 / 126

Kolorowanie kraw dzi Denicja Niech dany b dzie graf G. Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw dzi grafu G nazywamy takie pomalowanie wszystkich kraw dzi grafu,»e s siednie kraw dzie maj ró»ne barwy. 51 / 126

Kolorowanie kraw dzi Powy»sza denicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego danego grafu? 52 / 126

Kolorowanie kraw dzi Powy»sza denicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego danego grafu? Denicja Najmniejsz liczb barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw dzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem χ(g). 53 / 126

Kolorowanie kraw dzi Jest rzecz oczywist,»e je±li najwi kszy stopie«wierzchoªka grafu G jest równy d, to χ(g) d. 54 / 126

Kolorowanie kraw dzi Jest rzecz oczywist,»e je±li najwi kszy stopie«wierzchoªka grafu G jest równy d, to χ(g) d. 55 / 126

Kolorowanie kraw dzi Twierdzenie Je»eli graf G ma nieparzyst liczb wierzchoªków i ka»dy wierzchoªek ma stopie«d > 0, to χ(g) > d. 56 / 126

Kolorowanie kraw dzi Denicja Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª czona kraw dzi nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem K n. 57 / 126

Kolorowanie kraw dzi Denicja Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª czona kraw dzi nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem K n. 58 / 126

Kolorowanie kraw dzi Denicja Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª czona kraw dzi nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem K n. Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi ciu wierzchoªkach. 59 / 126

Kolorowanie kraw dzi Twierdzenie Indeks chromatyczny grafu peªnego K n wynosi: ( n 1 je»eli n parzyste χ(k n) = n je»eli n nieparzyste 60 / 126

Kolorowanie kraw dzi Twierdzenie Indeks chromatyczny grafu peªnego K n wynosi: ( n 1 je»eli n parzyste χ(k n) = n je»eli n nieparzyste χ(k 4) = 3 χ(k 5) = 5 χ(k 7) = 7 61 / 126

Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. 62 / 126

Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. 63 / 126

Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku 64 / 126

Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku 65 / 126

Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku Zakªadamy,»e jedna ekipa, u»ywaj c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona dokªadne jedn napraw. 66 / 126

Kolorowanie kraw dzi Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4} oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}. Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku Zakªadamy,»e jedna ekipa, u»ywaj c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona dokªadne jedn napraw. Nale»y opracowa taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª cznie trwaªy jak najmniejsz liczb dni. 67 / 126

Kolorowanie kraw dzi Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi za«jest pokazane na rysunku 68 / 126

Kolorowanie kraw dzi Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi za«jest pokazane na rysunku wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b d realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim. 69 / 126

Kolorowanie kraw dzi Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi za«jest pokazane na rysunku wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b d realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim. Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi χ(g) = 3, a zatem zgodnie z zaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszym ni» trzy dni. 70 / 126

Kolorowanie kraw dzi Inne rozwi zanie przedstawione jest na rysunku: 71 / 126

Kolorowanie kraw dzi Inne rozwi zanie przedstawione jest na rysunku: 72 / 126

Kolorowanie map Denicja Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw dzie mog mie co najwy»ej jeden punkt wspólny, b d cy wierzchoªkiem przylegªym do z tych kraw dziami. 73 / 126

Kolorowanie map Denicja Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw dzie mog mie co najwy»ej jeden punkt wspólny, b d cy wierzchoªkiem przylegªym do z tych kraw dziami. 74 / 126

Kolorowanie map 75 / 126

Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. 77 / 126

Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw d¹ jest cz ±ci granicy dwóch ró»nych regionów. 78 / 126

Kolorowanie map Denicja Mówimy,»e regiony grafu planarnego s pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s siednie nie maj tej samej barwy. Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw d¹ jest cz ±ci granicy dwóch ró»nych regionów. W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie. 79 / 126

Kolorowanie map Twierdzenie Map mo»na pokolorowa dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego. 82 / 126

Kolorowanie map Twierdzenie (O czterech kolorach, 1976) Ka»da mapa mo»e by pokolorowana wªa±ciwie co najwy»ej czterema kolorami. 87 / 126

Problem komiwoja»era Denicja Cyklem Hamiltona nazywamy tak drog zamkni t, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz. 90 / 126

Problem komiwoja»era Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton (1805-1865) w 1859 roku. 96 / 126

Problem komiwoja»era Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton (1805-1865) w 1859 roku. Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w grae spójnym, ale do dzi± nie s znane warunki konieczne pozwalaj ce stwierdzi w przypadku ogólnym,»e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona. 97 / 126

Problem komiwoja»era Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton (1805-1865) w 1859 roku. Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w grae spójnym, ale do dzi± nie s znane warunki konieczne pozwalaj ce stwierdzi w przypadku ogólnym,»e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona. Twierdzenie Graf peªny, posiadaj cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona. 98 / 126

Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. 99 / 126

Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. 100 / 126

Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. 101 / 126

Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? 102 / 126

Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 (n 1)! 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. 103 / 126

Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 (n 1)! 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: 104 / 126

Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 (n 1)! 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! = 181440, czas oblicze«wynosi ok. 0.18s 2 105 / 126

Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? (n 1)! Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! = 181440, czas oblicze«wynosi ok. 0.18s 2 dla n = 20 ilo± cykli wynosi (20 1)! 2 = 60822550204416000 - czas oblicze«wynosi ok. 2 tys. lat. 106 / 126

Problem komiwoja»era Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi pewn ilo± miast. Odlegªo±ci mi dzy tymi miastami s dane. Zakªadamy tu,»e ilo± miast jest wi ksza ni» 3 oraz,»e dowolne dwa miasta s ze sob poª czone drog. Wówczas istnieje dla grafu opisuj cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona. Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci do domu, przebywaj c najmniejsz liczb kilometrów? (n 1)! Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi za poprzez wyznaczenie 1 2 cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz sum wag. Okazuje si,»e metoda ta jest bardzo nieefektywna. Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj cym milion permutacji na sekund, to: dla n = 10 ilo± cykli wynosi (10 1)! = 181440, czas oblicze«wynosi ok. 0.18s 2 dla n = 20 ilo± cykli wynosi (20 1)! 2 = 60822550204416000 - czas oblicze«wynosi ok. 2 tys. lat. Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny. 107 / 126

Problem komiwoja»era Rozwa»my sie dróg pomi dzy pi cioma miastami jak na rysunku: 108 / 126

Problem komiwoja»era Rozwa»my sie dróg pomi dzy pi cioma miastami jak na rysunku: 109 / 126

Problem komiwoja»era Dªugo± drogi: 20 110 / 126

Problem komiwoja»era 115 / 126

Problem komiwoja»era W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowali rozwi zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA. 121 / 126

Problem komiwoja»era W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowali rozwi zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA. 122 / 126

Problem komiwoja»era W 1998 opublikowano rozwi zanie obejmuj ce 13549 miast USA.. 123 / 126

Problem komiwoja»era W 1998 opublikowano rozwi zanie obejmuj ce 13549 miast USA.. 124 / 126

ródªa plików gracznych http://pl.wikipedia.org/ http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/ http://gtresearchnews.gatech.edu/ 125 / 126

Dzi kuj za uwag!!! 126 / 126