ANALIZA MATEMATYCZNA
Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6
Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska marian.gewert@ pwr.edu.pl Zbigniew Skoczylas Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska zbigniew.skoczylas@ pwr.edu.pl Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 99 6 by Oficyna Wydawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. Składwykonanowsystemie L A TEX. ISBN 978 8 678 7 Wydanie XIX powiększone, Wrocław 6 Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT 4
Spis treści Wstęp 7 Całki niewłaściwe 9 Przykłady... 9 Całkiniewłaściwepierwszegorodzaju... 9 Kryteriazbieżnościcałekniewłaściwychpierwszegorodzaju... Zbieżnośćbezwzględnacałekniewłaściwychpierwszegorodzaju... 6 Całkiniewłaściwedrugiegorodzaju... 8 Kryteriazbieżnościcałekniewłaściwychdrugiegorodzaju... Zadania... 6 Szeregi liczbowe i potęgowe 8 Przykłady... 8 Definicjeipodstawowetwierdzenia... 8 Kryteriazbieżnościszeregów... Zbieżnośćbezwzględnaszeregów... 44 Szeregipotęgowe... 46 Zadania... 56 Rachunek różniczkowy funkcji dwóch i trzech zmiennych 59 Przykłady... 59 Funkcjedwóchitrzechzmiennych... 59 Granicefunkcjiwpunkcie... 6 Pochodnecząstkowefunkcji... 66 Różniczkafunkcji... 7 Pochodnecząstkowefunkcjizłożonych... 76 Pochodnakierunkowafunkcji... 78 WzórTaylora.Ekstremafunkcji... 8 Funkcjeuwikłane... 94 MnożnikiLagrange a... 98 Zadania... 5
4 Całki podwójne 6 Przykłady... 6 Całkipodwójnepoprostokącie... 6 Całkipodwójnepoobszarachnormalnych... 8 Zamianazmiennychwcałkachpodwójnych... Współrzędnebiegunowewcałkachpodwójnych... 5 Zastosowaniacałekpodwójnychwgeometrii... Zastosowaniacałekpodwójnychwfizyce... 4 Zadania... 47 5 Całki potrójne 5 Przykłady... 5 Całkipotrójnepoprostopadłościanie... 5 Całkipotrójnepoobszarachnormalnych... 5 Zamianazmiennychwcałkachpotrójnych... 58 Współrzędnewalcowewcałkachpotrójnych... 6 Współrzędnesferycznewcałkachpotrójnych... 65 Zastosowaniacałekpotrójnych... 7 Zadania... 8 Odpowiedzi i wskazówki 87 Zbiory zadań 94 6
Wstęp Niniejszy zbiór zadań jest drugą częścią zestawu podręczników do Analizy matematycznej. Podręczniki te są przeznaczone głównie dla studentów politechnik, ale mogą z nich korzystać także studenci uczelni ekonomicznych, pedagogicznych i rolniczych oraz niektórych wydziałów uniwersytetów. Przykłady i zadania z tego zbioru obejmują całki niewłaściwe, szeregi liczbowe i potęgowe oraz rachunek różniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych wraz z zastosowaniami. Ilustrują one materiał teoretyczny z pierwszej części zestawu pt. Analiza matematyczna. Definicje, twierdzenia, wzory. Zbiór zawiera przykładowe zadania z pełnymi rozwiązaniami oraz podobne zadania przeznaczone do samodzielnej pracy. Do wszystkich zadań podane są odpowiedzi lub wskazówki. Przykłady i zadania w zbiorze są podobnych typów oraz mają zbliżony stopień trudności do zadań, które studenci rozwiązują zwykle na kolokwiach i egzaminach. Oryginalne zestawy zadań ze sprawdzianów z poprzednich lat można znaleźć w trzeciej części zestawu pt. Analiza matematyczna. Kolokwia i egzaminy. Do obecnego wydania dodano kilkanaście nowych przykładów, zadań i rysunków. Ponadto wszystkie przykłady poprzedzono wiadomościami teoretycznymi i wzorami potrzebnymi do ich rozwiązania. Dziękujemy Koleżankom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechniki Wrocławskiej za uwagi o poprzednich wydaniach. Dziękujemy również naszym Studentom za wskazanie błędów w odpowiedziach do zadań. Czytelników prosimy o przesyłanie uwag o podręczniku oraz informacji o zauważonych błędach i usterkach. Marian Gewert Zbigniew Skoczylas 7
Całkiniewłaściwe Przykłady Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Przykład..Korzystajączdefinicjizbadaćzbieżnośćcałekniewłaściwychpierwszego rodzaju: (e) 4; (b) +4 ; (c) e ; (f) cos ; (g) 5 ; (d) e e + ; (h) +9 ; ln ( + ). Rozwiązanie. Całkę niewłaściwą funkcji f na[a, ) lub(, b] określamy odpowiednio wzorami: T a f() a f(), b f() b S S f(). Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że całka jestzbieżna.jeżeligranicajestrówna lub,tomówimy,żecałkajestrozbieżna odpowiednio do lub. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. Całkę niewłaściwą funkcji f na prostej(, ) definujemy jako sumę całek niewłaściwych na(, a],[a, ), gdzie a oznacza dowolną liczbę. Zbieżność tej całki ustalamy w zależności od zbieżności całek na półprostych. Jeżeli obie całki są zbieżne, tomówimy,żecałkajestzbieżna.jeżelijednaztychcałekjestrozbieżnadolub,adrugajestzbieżnaalborozbieżnaodpowiedniodolub,tomówimy,że całka jest rozbieżna do lub. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. 9
Całki niewłaściwe Mamy 4 T zatem rozważana całka jest zbieżna. (b)mamy +4 T = [ ] T ( 4 ) T + = 8 8, [ ] całkowanieprzezpodstawienie t= +4 +4; dt= =,t=4; =T,t=T +4 T +4 4 dt t [ ] T ln t +4 [ ( 4 ln T +4 ) ln4 ] = ( ln4)=. Otrzymaliśmy granicę niewłaściwą, więc rozważana całka jest rozbieżna do. (c)mamy 5 S S S [ 5 8 S 5 dt t = [ lim t S ] 8 S 5 całkowanie przez podstawienie t= 5; dt= =S,t=S 5; =,t= 8 = [ lim ( 8) ] (S 5) = S (4)=. Otrzymaliśmy granicę niewłaściwą, więc rozważana całka jest rozbieżna do. (d)przyjmująca=wdefinicjicałkiniewłaściwejna(, ),otrzymamy +9 = +9 + +9. ] Ponieważ +9 całkowanie przez podstawienie =t; =dt przyjętoc= = dt 9t +9 = dt t + = arctgt= arctg,
Przykłady więc +9 + +9 S S [ S = lim S +9 + lim ] arctg S ( arctg S = ( ) + =. Zatem rozważana całka jest zbieżna. (e)przyjmującjakpowyżeja=,otrzymamy e = S S S S e + e e + lim T [ e ] S+ lim ( e S ) +lim e T + lim ) +9 + lim [ arctg ] T ( arctg T [ ] T e ( ) ( e T = ) ( ) + =. Ponieważ pierwsza z granic jest równa, a druga jest skończona, więc rozważana całka jest rozbieżna do. (f)mamy T [ ] całkowanieprzezpodstawienie cos cos t= ; dt= =,t=; =T,t=T T costdt [ ] T sint ( sint sin ) = lim sint. Granica lim sint nieistnieje,gdyżnp.dlaciągówt n = n,t n = (/)+n, rozbieżnych do, mamy odpowiednio ) = ( = ( lim (T sin n lim sinn=, lim sin T ) n) lim sin n n n n +n =. )
Całki niewłaściwe Zatem badana całka jest rozbieżna. (g)mamy e e + T e T Badana całka jest zatem zbieżna. [ ] e całkowanieprzezpodstawienie e t=e + ; dt=e =,t=; =T,t=e T dt [ ] e T t + arctgt [ arctge T ] = 4 4. (h)przyjmująca=wdefinicjicałkiniewłaściwejna(, )otrzymamy ln ( + ) = ln ( + ) + Pokażemy,żedrugazcałekjestrozbieżnado.Mamy ln ( + ). ln ( + ) T ln ( + ) [ ] całkowanieprzezpodstawienie t= +; dt= =,t=; =T,t=T + T + [ ] całkowanieprzezczęści lntdt u(t)=lnt,v (t)= u (t)=/t,v(t)=t = T [ ] lim T + + tlnt dt = lim [( T + ) ln ( T + ) T ] = lim {( T + )[ ln ( T + ) ] + } =. Z nieparzystości funkcji podcałkowej wynika, że ln ( + ) =. Zatem badana całka niewłaściwa jest rozbieżna. Kryteria zbieżności całek niewłaściwych pierwszego rodzaju Przykład..Korzystajączkryteriumporównawczegozbadaćzbieżnośćcałek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Przykłady e sin ; (b) arctg ; (c) ( +) 4. + Rozwiązanie.Niechfunkcjefigspełniajądlakażdego [a, )nierówności f() g().wówczas: [] jeżeli całka niewłaściwa funkcji g jest zbieżna, to całka niewłaściwa funkcji f także jest zbieżna; [] jeżeli całka niewłaściwa funkcji f jest rozbieżna do, to całka niewłaściwa funkcji gtakżejestrozbieżnado. Dlakażdego prawdziwesąnierówności Ponadto całka e sin e. e jestzbieżna,gdyż e T e [ e ] T [ e T ] =. Zatem z kryterium porównawczego[] wynika zbieżność badanej całki. (b)dlakażdego prawdziwesąnierówności Ponadto całka arctg =. jestrozbieżnado,gdyż T [ ] T ln [lnt ln]=. Zatem z kryterium porównawczego[] wynika rozbieżność badanej całki do. (c)dlakażdego prawdziwesąnierówności Całki niewłaściwe, T + 4 + + 4 = +4. 4 sązbieżne,gdyż ] T [ ln [ T ] = ln ln,
4 Całki niewłaściwe 4 T 4 Zatem badana całka także jest zbieżna. ] T [ 4 ln4 [ 4 T ] = ln4 ln4. Przykład..Korzystajączkryteriumilorazowegozbadaćzbieżnośćcałekniewłaściwych pierwszego rodzaju: e e 4 5 ; (b) +cos ; (c) arctg ; (d) + +4. Rozwiązanie. Niech funkcje f i g będą dodatnie(ujemne) na półprostej[a, ) oraz niech spełniają warunek f() lim g() =k,gdzie<k<. Wówczas całki niewłaściwe funkcji f, g są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne do (). Zauważmy,żedla mamy e e 4 5 e e 4= e. Zatem przyjmując w kryterium ilorazowym zbieżności całek niewłaściwych otrzymamy f() k g() Ponieważ całka f()= e oraz g()= e e 4 5, e e e 4 5 więc badana całka także jest zbieżna. e 4 ( 5 e 4 5 ) e 4 =. e jestzbieżna(rozwiązanieprzykładu.)oraz<k<, (b)zauważmy,żedla mamy +cos =. Zatem w kryterium ilorazowym rozbieżności całek niewłaściwych przyjmujemy f()= oraz g()= +cos.
Przykłady 5 Wtedy f() k g() Ponieważ całka +cos +cos ( + cos ) =. jestrozbieżnado (rozwiązanieprzykładu.(b))oraz< k<,więcbadanacałkatakżejestrozbieżnado. (c)ponieważ lim arctg=/,więcdla mamy arctg + + = (+). Zatem w kryterium ilorazowym rozbieżności całek niewłaściwych przyjmujemy Wtedy Całka f()= arctg + f() k g() + jestrozbieżnado,gdyż + T oraz g()= (+) arctg + (+). arctg =. [ ] T + ln + ln(t+)=. Ponadto<k<,więcbadanacałkatakżejestrozbieżnado. (d)zauważmy,żedla mamy +4 =. Zatem przyjmując w kryterium ilorazowym zbieżności całek niewłaściwych f()= oraz g()= +4, otrzymamy f() k g() +4 +4 =.
6 Całki niewłaściwe Całka jestzbieżna,gdyż T [ ] T Ponadto<k<,więcbadanacałkatakżejestzbieżna. ( )=. T Zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych pierwszego rodzaju Przykład.4.Zbadaćzbieżnośćizbieżnośćbezwzględnącałekniewłaściwych: sin ; (b) Rozwiązanie. Mówimy, że całka cos ( ) ; (c) a cos; (d*) sin. f() jest zbieżna bezwzględnie, jeżeli a f() jest zbieżna. Wiadomo, że jeżeli całka niewłaściwa jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Dlakażdego prawdziwesąnierówności sin. Ponadto całka jestzbieżna.zkryteriumporównawczegowynika,żecałka sin jestzbieżna.stądcałka sin jestzbieżnabezwzględnie,awięc również zbieżna. (b)zauważmy,żedlakażdego zachodząnierówności cos ( ) ( ). Ponadto całka ( ) jestzbieżna,gdyż ( ) T ( ) T dt t [ t ] T [ ] całkowanieprzezpodstawienie t= ; dt= =,t=; =T,t=T ( ) 4 9 (T ) = 6.
Przykłady 7 Zatem analogicznie jak w poprzednim przykładzie badana całka niewłaściwa jest zbieżna bezwzględnie, a więc również zbieżna. (c) Pokażemy, że badana całka jest rozbieżna. Mamy T [ ] całkowanieprzezczęści cos cos u()=,v ()=cos u ()=,v()=sin [ ] T T sin sin [sin+cos]t (TsinT+cosT). Zauważmy teraz, że granica lim (TsinT+cosT)nieistnieje,gdyżnp.dlaciągów T n=n,t n=(n+),rozbieżnychdo,mamyodpowiednio lim n ( T n sint n +cost n ) lim (T n n sint n +cost n więc badana całka jest rozbieżna. Rozbieżność całki ) n (nsin(n)+cos(n))= n ((n+)sin(n+)+cos(n+))=, cos wynika,ztwierdzenia o zbieżności całek niewłaściwych zbieżnych bezwzględnie. Gdyby bowiem całka ta była zbieżna, to byłaby zbieżna także całka nie zachodzi. / cos,cojakpokazaliśmypowyżej (d*) Pokażemy, że badana całka nie jest zbieżna bezwzględnie, ale jest zbieżna. W rozwiązaniuwykorzystamynierówność sin sin zachodzącądlakażdego R orazokresowośćfunkcjisin.wykorzystująctęnierównośćotrzymamy sin sin = sin + = sin = sin + sin + ( + + 4 +... 4 sin + 4 sin 4 +... ( + + ) 4 +... ) =. sin +...
8 Całki niewłaściwe całka niewłaściwa a f()g() jest zbieżna. Łatwo sprawdzić, że funkcje g()=, f()=sin spełniają na przedziale[, ) założenia twierdzenia Dirichleta. Zatem rozważana całka jest zbieżna. Całki niewłaściwe drugiego rodzaju To oznacza, że badana całka nie jest zbieżna bezwzględnie. Uzasadnienie jej zbieżności jest bardziej skomplikowane. Wymaga zastosowania twierdzenia Dirichleta. Twierdzenietoorzeka,żejeżelifunkcjagmaciągłąpochodnąnaprzedziale[a, )orazmaleje do,gdy,afunkcjaciągłafmaograniczonąfunkcjępierwotnąna[a, ),to Przykład.5.Korzystajączdefnicjizbadaćzbieżnośćcałekniewłaściwychdrugiego rodzaju: (d) sin ; cos sin ; (b) (e) ; sin ; (c) (f) 4 ;. Rozwiązanie. Niech funkcja f określona na przedziale(a, b] będzie nieograniczona tylko na prawostronnym sąsiedztwie punktu a. Całkę funkcji f na przedziale(a, b] definiujemy wzorem: b b f() f(). A a + a A Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że całka jestzbieżna.jeżeligranicajestrówna lub,tomówimy,żecałkajestrozbieżna odpowiednio do lub. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. Analogicznie definiuje się całkę funkcji f określonej na przedziale[a, b) i nieograniczonej tylko na lewostronnym sąsiedztwie punktu b. Funkcjaf()=/sin jestnieograniczonatylkonaprawostronnymsąsiedztwie punktu, zatem sin A + A sin Badana całka jest rozbieżna do. A + [ ctg ] A (+ctga)=. A +
Przykłady 9 (b)funkcjaf()=/ jestnieograniczonatylkonalewostronnymsąsiedztwie punktu, zatem B B B B B B Badana całka jest zbieżna. [ ] całkowanieprzezpodstawienie t= ; dt= =,t=; =B,t= B dt t [ ] t dt B t ( ) ( B) B B =. (c)ponieważfunkcjapodcałkowaf()=/ ( ) jestnieograniczonanaprawostronnym sąsiedztwie punktu oraz na lewostronnym sąsiedztwie punktu, więc przyjmując w określeniu całki niewłaściwej za miejsce podziału a = otrzymamy = +. Zbadamy z definicji zbieżność każdej z całek po prawej stronie znaku równości. Mamy B B B B = lim B B ln rozkład na ułamki proste pierwszego ( rodzaju = ) + ( ) + Z parzystości funkcji podcałkowej wynika, że także [ ] B ln ln + B B+ = lim B ln B +B =. Zatem badana całka jest rozbieżna do. =. (d)ponieważfunkcjapodcałkowaf()=cos/ sinjestnieograniczonana obu jednostronnych sąsiedztwach punktu /6, więc rozważana całka niewłaściwa jest
Całki niewłaściwe określona wzorem cos sin = 6 cos sin + 6 cos sin. Zbadamy zbieżność każdej z całek po prawej stronie znaku równości. Najpierw jednak cos obliczymy całkę nioznaczoną.mamy sin całkowanie cos przez podstawienie sin t= sin; dt= cos = dt t = Zatem dla pierwszej całki oznaczonej mamy t +C= ( sint) +C. 4 6 cos B sin B 6 = 4 lim B 6 cos sin [ ] B ( sin) = [ 4 lim B 6 ] ( sinb) = 4. Dla drugiej całki oznaczonej mamy 6 cos sin A 6 + A = 4 lim A 6 + = 4 lim A 6 + cos sin Zatembadanacałkajestzbieżnado ( 4 + ) 4 [ ] ( sin) ] [ ( sina) = 4. (e)funkcjaf()= ( / ) sin(/)jestnieograniczonatylkonaprawostronnym sąsiedztwie punktu, zatem badaną całkę określamy wzorem sin A + A = A =. [ całkowanieprzezpodstawienie sin ( ] t=/; dt= / ) =A,t=/A; =/,t=/ [ sintdt cost A + ] A A = lim A + cos A.
Przykłady Ponieważ granica lim A +cos A nieistnieje,więcbadanacałkajestrozbieżna. (f)wprzedziale[,4)funkcjaf()=/ ( ) jestnieograniczonatylkona lewostronnym sąsiedztwie punktu 4. Zgodnie z definicją całki niewłaściwej mamy 4 B B 4 B 4 B 4 B B tdt t [ ] całkowanieprzezpodstawienie =t (t ); =tdt =,t=; =B,t= B ( t [ =lim ln t t B 4 ) dt ] B Zatem badana całka jest rozbieżna do. ( =lim ln B ) B+ =. B 4 Kryteria zbieżności całek niewłaściwych drugiego rodzaju Przykład.6.Korzystajączkryteriumporównawczegozbadaćzbieżnośćcałek niewłaściwych drugiego rodzaju: (+sin) ; (b) 4 + ; (c) e ( ) ; (d) 4 tg. Rozwiązanie. Niech funkcje f i g będą nieograniczone tylko na prawostronnym sąsiedztwiepunktuaorazniechdlakażdego (a,b]spełniająnierówności f() g(). Wówczas: [] jeżeli całka [] jeżeli całka do. b a b a g()jestzbieżna,totakżecałka f()jestrozbieżnado,totakżecałka Zauważmy,żedlakażdego>prawdziwesąnierówności b +sin + =. a f()jestzbieżna; b a g() jest rozbieżna Ponadto całka niewłaściwa jestzbieżna.zatemzkryteriumporównawczego
Całki niewłaściwe [] wynika, że badana całka jest także zbieżna. (b)zauważmy,żedla>prawdziwesąnierówności Ponieważ całka 4 + = +. jestzbieżna,więctakżebadanacałkajestzbieżna. (c)dlakażdego <prawdziwesąnierówności Ponadto, całka niewłaściwa e e ( ) = ( ) ( ). ( ) jestrozbieżnado.zatemzkryteriumporównawczego[] wynika, że badana całka jest także rozbieżna do. (d)zauważmy,żedla/4 </prawdziwesąnierówności 4 tg tg. Uzasadnimy teraz rozbieżność całki niewłaściwej / tg.mamy 4 tg B B 4 = lim B tg B 4 (cos) cos [ ] B = lim ln cos B 4 /4 B [ ln ] ln cosb =. Z kryterium porównawczego[] wynika rozbieżność badanej całki do. Przykład.7.Korzystajączkryteriumilorazowegozbadaćzbieżnośćcałekniewłaściwych drugiego rodzaju: sin ; (b) (e ) 4 ; (c) +cos. Rozwiązanie. Niech funkcje dodatnie(ujemne) f i g będą nieograniczone tylko na prawostronnym sąsiedztwie punktu a. Ponadto niech spełniają warunek lim a + f() g() =k,gdzie<k<.
Przykłady Wówczas całki niewłaściwe drugiego rodzaju funkcji f, g na przedziale(a, b] są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne do (). Prawdziwe są także analogiczne twierdzenia dla całek niewłaściwych na przedziale[a, b). sin Ponieważlim =,więcdla mamy g()= sin =sin =. Przyjmującwkryteriumilorazowymf()=/ otrzymamy Ponieważ całka zbieżna. f() k + g() + sin =. jestzbieżnaoraz<k<,więcbadanacałkatakżejest e (b)ponieważlim =,więcdla mamy g()= e 4 = e =. Przyjmującwkryteriumilorazowymf()=/ otrzymamy Ponieważ całka jest rozbieżna do. f() k + g() + e =. jestrozbieżnado oraz<k<,więcbadanacałkatakże (c) Najpierw przekształcimy całkę niewłaściwą w ten sposób, aby funkcja podcałkowabyłanieograniczonanasąsiedztwiepunktuzamiast.podstawiająct= otrzymamy +cos = dt cost. ZewzoruMaclaurinafunkcjicostin=dlat mamycost t.zatem przyjmując w kryterium ilorazowym otrzymamy f(t)= t oraz g(t)= cost, k t + f(t) g(t) t + cost t =.
4 Całki niewłaściwe Ponieważ całka jest rozbieżna do. dt t jestrozbieżnado oraz<k<,więcbadanacałkatakże Przykład.8. Obliczyćwartościgłównecałekniewłaściwych: (d) +(+) ; (b) sgn( ); (e) e ; (c) sin 4 ; (f) 9 4 ( sin ) ; 6. Rozwiązanie. Wartość główną całki niewłaściwej pierwszego rodzaju funkcji f na(, ) definiujemy wzorem v.p. f() T T f() Z kolei wartość główną całki niewłaściwej drugiego rodzaju z funkcji f określonej na [a, b]\{c} i nieograniczonej jedynie na obustronnym sąsiedztwie punktu c definiujemy wzorem: b c ε b v.p. f() f()+ f(). a ε + a Jeżeli granica po prawej stronie równości nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa niemawartościgłównej.jeżelicałkaniewłaściwana(, )jestzbieżnadow,to wartość główna całki także się równa w. Podobnie jest dla całki niewłaściwej drugiego rodzaju. Ponieważ lim T T +(+) [ arctg(+) ] T T więc wartością główną całki jest. (b) Ponieważ lim T T c+ε arctg[(t+) arctg( T)]= ( ) =, e [ = lim e ] T T ( e T e T) = ()=, więc wartością główną całki jest.
Przykłady 5 (c) Ponieważ granica lim T T ( sin ) [ ( = lim cos )] T 6 6 T = lim [ ( cos T ) cos 6 nie istnieje, więc wartość główna całki także nie istnieje. (d) Funkcja podcałkowa jest określona wzorem dla<, sgn( )= dla=, dla>. Ponieważ granica lim T T sgn( ) T> == T T T sgn( )+ T ( )+ { [ ] T +[ ] } T ( T+ )] 6 sint sgn( ) =lim[ T+T ]= 4 jest skończona, więc wartość główna całki równa się 4. Zauważmy, że wartość główna całki istnieje mimo, że całka niewłaściwa na przedziale(, ) nie istnieje. (e)funkcjaf()=(sin)/ 4 jestokreślonadla itylkonaobustronnym sąsiedztwie punktu jest nieograniczona. Zatem v.p. sin 4 ε + Z nieparzystości funkcji f wynika, że ε ε sin 4 = sin 4 + ε ε sin 4. sin 4 Stąd v.p. sin 4 ε + ε sin 4 + ε sin =. 4
6 Całki niewłaściwe (f)funkcjaf()=/ jestokreślonadla itylkonaobustronnymsąsiedztwie punktu jest nieograniczona. Zatem 9 ε v.p. 9 + 4 ε + =lim ε + 4 { [ ε ] ε 4 + [ ] 9 ε } =lim ε + [( ε+ ) + ( ε )] =. Zadania Odp. str. 87.. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) (g) (+) ; (b) +4 ; (e) e ; (h) ; (c) +5 ; (f) 6 + ; (i*) sin; 4+ ; ( arcctg)... Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) ; (b) ; (e) ( ) 4 ++ ; (c) 7 + ; (+sin) ; ( ) +cos (f)... Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) 5 ( e 5 ; (b) + ) e ; (c) sin ; (e) ( ) + ; (f) sin ; sin..4. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną całek niewłaściwych:
Zadania 7 (d) sin e + ; (b) cos + ; (e*) cos; (c) cos 4 +sin ; (f*) sin 4 + ; cos..5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 5 ; (b) sin ; (c) ( ) ; (d) e ln 5 ; (e) e 8 ; (f*) sinln..6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: (d) 4 arctg ; (b) + ; (e*) e ; (c) ; (f*) 6 4 cos ; 6 ( )..7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: sin ( e ) 4 ; (b) ; (c) 4 ; cos (d) (g*) (arcsin) ; (e*) ; (h*) e e ; e cos ; (f*) (i*).8. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych: (d) cos +4 ; (b) ( ) ; (e) e e + ; (c) sin ; (f) 7 8 sin ;. e +5 ;.