Kwntyzcj sklrn i wektorow. Metody zwnsowne
Pojęcie kwntyzcji Rys.. Podził zkresu dopuszczlnych wrtości zmiennej x n 8 przedziłów kwntyzcji określonych przez grnice decyzyjne b (9 grnic decyzyjnych) orz poziomy rekonstrukcji y. b M k Numery przedziłów kwntyzcji Kwntyzcj jest procesem redukcji zbioru możliwych wrtości jkie może przyjmowć zmienn reprezentując kwntyzowne źródło. W szczególności kwntyzcj może polegć n proksymcji zmiennej ciągłej przez zmienną dyskretną przyjmującą wrtości ze skończonego zbioru dopuszczlnych wrtości. Projektownie ukłdu kwntyztor poleg n określeniu sposobu podziłu przedziłu dopuszczlnych wrtości kwntyzownej zmiennej n określoną liczbę przedziłów kwntyzcji orz wyznczeniu w kżdym z tkich przedziłów wrtości reprezentującej dny przedził. Wrtości reprezentujące przedziły nzywne są poziommi rekonstrukcji. Przedziły kwntyzcji schrkteryzowne są przez tzw. grnice decyzyjne. Dziłnie kwntyztor sprowdz się do mpowni wrtości pojwijącej się n wejściu n określony poziom rekonstrukcji: Wejście kwntyztor, x c Rys.. Schemt prcy kwntyztor. Zkceptowny przedził kwntyzcji Kody przedziłów gdzie Q ozncz dziłnie kwntyztor, x jest jego wejściem, ntomist y i jest poziomem rekonstrukcji przedziłu kwntyzcji wyznczonego przez grnice decyzyjne b i- orz b i. Kwntyzcj jest podstwową techniką metod kompresji strtnej. Jest odwzorowniem typu wiele do jednego, przez to wprowdz nieodwrclną utrtę informcji. Metody kwntyzcji różnią się sposobem podziłu zbioru dopuszczlnych wrtości orz sposobem wyznczeni poziomów rekonstrukcji w dnym przedzile.
Kwntyzcj: postwienie problemu Zgdnienie kwntyzcji dnych obrzowych: dny jest przedził zmienności [,L-] funkcji obrzu (np. poziomy jsności). Podny przedził nleży podzielić n podprzedziły kwntyzcji w tki sposób, by zminimlizowć błąd kwntyzcji orz średnią bitową. Zgodnie z powyższym ogólnym sformułowniem problemu kwntyzcji grnice decyzyjne orz poziomy rekonstrukcji powinny być wybrne w tki sposób, by zminimlizowć znieksztłceni pojwijące się w obrzie wynikowym (po kwntyzcji). Jko mirę znieksztłceni możn przyjąć średniokwdrtowy błąd kwntyzcji MSQE, który dl zmiennej f(x) proksymującej funkcję obrzu opisny jest równniem: Biorąc pod uwgę, że wyjście kwntyztor jest dyskretne orz zleżne od wrtości x podnej n wejściu, powyższe równnie możn przepisć w równowżnej postci: W przypdku kodowni wyjść kwntyztor przy użyciu kodów stłej długości średni bitow jest zleżn od liczby możliwych wyjść kwntyztor: liczby przedziłów kwntyzcji. Zleżność tk pokzuje, że w tym przypdku jednoczesn minimlizcj dwóch wymienionych wielkości nie jest możliw (sprzeczność). Kwntyztory minimlizujące średniokwdrtowy błąd kwntyzcji nzywne są kwntyztormi optymlnymi.
Kwntyzcj równomiern b c 56 57 77 57 9 5 98 55 7 8 6 55 5 68 8 6 6 97 6 55 57 5 96 5 8 5 8 58 6 86 5 95 9 5 6 9 97 8 6 7 95 59 5 6 9 5 97 6 9 9 9 6 6 6 9 9 6 6 6 9 6 9 6 6 9 6 6 9 9 6 9 6 9 6 9 9 6 9 9 6 9 9 9 6 6 9 9 6 6 6 6 6 9 9 9 6 9 9 9 6 6 9 9 6 6 6 6 9 9 9 9 8 76 8 6 6 8 6 6 6 76 6 8 8 76 76 8 8 6 8 6 8 8 8 6 6 8 8 8 8 76 8 8 8 8 8 6 8 8 8 Njprostszą metodą kwntyzcji jest kwntyzcj równomiern sprowdzjąc się do równomiernego podziłu przedziłu zmienności nlizownej wielkości. Niech przedziłem zmienności wielkości wejściowej jest przedził [,L-] orz niech M określ zdną liczbę przedziłów kwntyzcji. W tkim przypdku zdny przedził [,L-] powinien być podzielony n M równych podprzedziłów, przy czym ich szerokość określon jest przez stosunek: W njprostszym przypdku, kwntyzcj równomiern może być relizown zgodnie z równniem: Rys.. Przykłd kwntyzcji równomiernej dl obrzu wejściowego przedstwionego w postci mcierzy n rysunku (). Rysunku (b) i (c) przedstwiją wynik kwntyzcji odpowiednio do M= orz M=8 przedziłów kwntyzcji, zgodnie z równniem podnym obok. Kwntyzcj do M= poziomów wprowdz oczywiście większe znieksztłcenie niż kwntyzcj do większej liczby poziomów. Kolorem czerwonym zznczon jest wrtość piksel w obrzie wejściowym orz w obrzie po kwntyzcji.
Przykłd: kwntyzcj równomiern dl źródł o rozkłdzie jednostjnym Jko przykłd rozptrzymy kwntyzcję równomierną do M poziomów dl źródł o rozkłdzie równomiernym (obrzy o płskim histogrmie). Niech przedziłem zmienności wrtości pikseli jest przedził [,L-] i kżd wrtość nie jest reprezentown w obrzie z częstością /L (zgodnie z złożeniem równomierności). W tkim przypdku długość kroku kwntyzcji wynosi: =L/M. Grnice decyzyjne: Poziomy rekonstrukcji: Błąd średniokwdrtowy kwntyzcji w tkim przypdku jest równy:
Kwntyzcj równomiern - przykłdy b MSE=7.67 c MSE=.9 d MSE=8.5 e MSE=.67 f MSE=7.9 Rys.. Ilustrcj procesu kwntyzcji spreprownego obrzu cyfrowego przedstwionego n rysunku (). Rysunki (b)- (f) przedstwiją wynik kwntyzcji do odpowiednio, 6, 8, orz poziomów kwntyzcji. Zmniejszjąc się liczb przedziłów (rosnąc długość kroku kwntyzcji) ujwni stopniowo corz brdziej widoczne znieksztłceni konturowe, szczególnie dobrze zznczone w obszrze testowym.
Binryzcj (płszczyzny bitowe) Płszczyzn b 7 (njstrszy bit) c d e Płszczyzn b (njmłodszy bit) b f g h Rys. Podził obrzu cyfrowego n płszczyzny bitowe: ) schemt podziłu, b) obrz oryginlny poddwny podziłowi, (c) płszczyzn 7 (bit njbrdziej znczący wrtości pikseli); (d) płszczyzn 6; (e) płszczyzn 5; (f) płszczyzn wrtości pikseli zostły wzmocnione x6; (g) płszczyzn wzmocnienie x; (h) płszczyzn wzmocnienie x6; (i) płszczyzn wzmocnienie x8; (j) płszczyzn (bit njmniej znczący) wzmocnienie x56; (k) obrz powstły przez zsumownie płszczyzn 7, 6, 5. i j k
Kwntyzcj dptcyjn Jednym ze sposobów n zmniejszenie znieksztłceń wprowdznych przez kwntyzcję równomierną jest dostosowywnie (dptcj) prmetrów kwntyztor do loklnej chrkterystyki obrzu. W kwntyzcji dptcyjnej obrz dzielony jest n bloki. Prmetry kwntyztor (grnice decyzyjne, poziomy rekonstrukcji, liczb przedziłów kwntyzcji) ustlne są dl kżdego bloku niezleżnie. Wdą tkiego rozwiązni jest konieczność dołączeni prmetrów kwntyzcji do strumieni bitowego, co powoduje wzrost objętości dnych po zkodowniu, tym smym zmniejszenie stopni kompresji w stosunku do rozwiązń trdycyjnych. Wyjście kżdego kwntyztor może być dodtkowo kodowne dl zwiększeni stopni kompresji. Cechą kwntyztor dptcyjnego jest mniejsz podtność n kompresję RLE niż kwntyztorów prcujących w schemcie kwntyzcji globlnej (trdycyjnej). Dlczego?
Kwntyzcj dptcyjn. Przykłd d MSE=7., bitrte=. b MSE=8., bitrte=.5 e MSE=.7, bitrte=. c MSE=.7, bitrte=.5 Rys. Rysunek () przedstwi obrz oryginlny (nie poddny kwntyzcji). N rysunkch (b) i (c) przedstwiony jest wynik kwntyzcji dptcyjnej do odpowiednio orz poziomów (odpowiednio orz bity n piksel). W tym przypdku obrz jest dzielony n rozdzielne bloki 8x8 pikseli. W kżdym bloku wyznczny jest zkres poziomów jsności, nstępnie zkres ten jest dzielony n zdną liczbę przedziłów kwntyzcji, zgodnie z regułą kwntyzcji równomiernej przedstwionej n poprzednich stronch. W tym przypdku, do kżdych 6 pikseli dołączn jest informcj dodtkow w postci minimlnej orz mksymlnej wrtości w bloku, co jest konieczne do poprwnego zdekodowni strumieni dnych. Wiąże się to ze wzrostem średniej bitowej z bit n piksel do.5 bit n piksel w przypdku (b) orz bitów n piksel do.5 bitów n piksel dl przypdku (c). Dl porównni, n rysunkch (d) i (e) przedstwiony jest wynik globlnej kwntyzcji równomiernej do odpowiednio orz poziomów.
Kwntyzcj blokow BTC (block trunction coding) Innym przykłdem metod kwntyzcji dptcyjnej wymgjącej wstępnego podziłu obrzu n bloki i niezleżnego przetwrzni tkich bloków jest metod dwupoziomowej kwntyzcji blokowej BTC. Ide metody BTC sprowdz się do dwupoziomowej kwntyzcji (binryzcj, kwntyztor dwupoziomowy, jednobitowy) obrzu w poszczególnych blokch tk, by zchowć sttystykę obrzu. W njprostszym przypdku sprowdz się to do zchowni średniej orz wrincji wrtości pikseli w dnym bloku obrzu. Wyznczmy prmetry kwntyzcji BTC zkłdjąc, że wrtości obrzu w bloku progowne są n podstwie wrtości średniej wyznczonej w bloku nxn pikseli, N=nxn. Średni wrtość pikseli w bloku orz średni kwdrtów wrtości pikseli w bloku przed kwntyzcją określone są równnimi: Poniewż metod kwntyzcji BTC w podstwowej wersji sprowdz się do binryzcji obrzu w bloku, to po wykonniu kwntyzcji w bloku występowć będą tylko dwie wrtości: wrtości reprezentntów dwóch przedziłów kwntyzcji. Niech wrtości te oznczone są jko y orz y. Przyjmijmy też, że liczby pikseli skwntownych do wrtości odpowiednio y orz y są równe: n orz n. Wówczs średni orz średni kwdrtów w bloku po kwntyzcji są równe: Przyrównując prwe strony powyższych równń otrzymuje się równni określjące wrtości poziomów rekonstrukcji wykorzystywnych w metodzie BTC: gdzie
Kwntyzcj blokow BTC Możliwe jest wykorzystnie innych metod określni wrtości poziomów rekonstrukcji niż przedstwion n poprzedniej stronie. Jedną z nich jest minimlizcj błędu średniokwdrtowego kwntyzcji: Wrunkiem koniecznym minimlizcji powyższego błędu, jk łtwo wykzć w bezpośrednim rchunku, jest: Stopień kompresji uzysknej przy użyciu metody kwntyzcji BTC możn opisć prostym równniem: gdzie n jest rozmirem bloku (liczbą pikseli w bloku) ntomist b określ liczbę bitów koniecznych do reprezentcji pojedynczego piksel w obrzie oryginlnym. Cechą chrkterystyczną jest nsycnie się wrtości stopni kompresji do wrtości b orz wzrost stopni kompresji przy ustlonym rozmirze okn wrz ze wzrostem średniej bitowej w obrzie oryginlnym. Rozmir bloku Stopień kompresji Rozmir bloku Stopień kompresji x x 7.88 8x8 6. 6x6 7.97 6x6 7.5 8 7 6 5 5 6 Rys.. Zleżność stopni kompresji przy użyciu kwntyzcji BTC od rozmiru bloku.
Kwntyzcj blokow BTC. Przykłd 5 5 55 5 5 55 5 5 55 5 5 55 y = y =75 6 65 5 55 6 treshold= 6 65 5 55 6 kodownie dekodownie (dekompresj) 75 75 75 75 75 75 Rys.. Prezentcj schemtu prcy lgorytmu BTC kwntyzcji obrzu: ) mcierz reprezentując blok x obrzu; b) segmenty bloku o wrtościch powyżej i poniżej wrtości progowej (tu: wrtość średni w bloku); c) mp bitow po kwntyzcji i kodowniu; d) reprezentcj bloku po dekompresji. Obrz oryginlny Kwntyzcj BTC Rys.. Przykłdowy obrz wejściowy i wyjściowy.
Kwntyzcj blokow BTC przykłd / b MSE=76.9 c MSE=.7 d MSE=.68 e MSE=.68 Rys. Przykłd kwntyzcji metodą BTC (z zchownie sttystyki w blokch). N rysunku () przedstwiony jest obrz oryginlny. Rysunki (b)- (e) przedstwiją wynik kwntyzcji z blokiem rozmiru odpowiednio 8x8, 6x6, x orz x pikseli. Widoczn jest degrdcj jkości obrzu towrzysząc wzrostowi rozmiru bloku. N rysunku (e) brdzo wyrźny jest efekt postrzępieni krwędzi n grnicy bloków. Efekt blokowni (blokowy) możn zmniejszyć stosując szereg metod: dithering, zmin ksztłtu okn (np. w postci krzyż), losownie położeni okn, etc.
Kwntyzcj blokow BTC przykłd / Obrz oryginlny Obrz kwntyzowny, BTC x Obrz kwntyzowny, BTC 8x8 b c d Obrz kwntyzowny, BTC 6 x6 Obrz kwntyzowny, BTC x e Kwntyzcj BTC: Zlety: zchownie ostrych krwędzi obrzu; szybkość i mł złożoność obliczeniow (wersj podstwow BTC), względnie duże wrtości stopni kompresji przy niewielkim poziomie znieksztłceni. W prktyce lgorytmy kompresji BTC nleżą do njbrdziej efektywnych w grupie lgorytmów gwrntujących średnią bitową n poziomie - bit n piksel. Istnieje wiele wricji opisnego lgorytmu BTC dodtkowo zwiększjących jego efektywność. Rys. Przykłd kwntyzcji obrzu kolorowego (RGB) metodą BTC (kżd skłdow kwntyzown niezleżnie). Wdy: efekt blokowni widoczne krwędzie poszczególnych bloków obrzu; strzępienie krwędzi obiektów obrzu.
Modyfikcje podstwowej wersji metody BTC Oprcownych zostło brdzo wiele modyfikcji podstwowej wersji blokowej kwntyzcji dwupoziomowej BTC. Jedną z metod jest metod wykorzystując korelcje pomiędzy sąsiednimi pikselmi bloku w którym wykonywn jest kwntyzcj. Istnienie korelcji pozwl przewidywć (interpolowć) wrtości niektórych pikseli n podstwie wrtości pikseli sąsiednich. Tym smym kodownie informcji o kżdym pikseli bloku może być ndmirowe. Jednym z rozwiązń wykorzystujących powyższą obserwcję jest technik zgodnie z którą kodownych jest połow pikseli bloku (zznczone kolorem zielonym n rysunku ()). N ich podstwie dekoder ustl wrtości brkujących pikseli, których wrtości nie zostły zkodowne w strumieniu. Interpolcj przebieg według poniższych reguł: - piksele B, E, L, O otrzymują wrtość wtedy i tylko wtedy, gdy co njmniej dw piksele z ich bezpośredniego sąsiedztw mją wrtość równą. Bezpośrednie sąsiedztwo wymienionych pikseli stnowią odpowiednio: {A,C,F}, {A,F,I}, {H,K,P} orz {N,K,P}. - D=C orz M=N - piksele G orz J otrzymują wrtość wtedy i tylko wtedy gdy co njmniej dw piksele z ich bezpośredniego sąsiedztw mją wrtość równą. Bezpośrednimi sąsidmi pikseli G orz J są odpowiednio piksele {C,F,H,K} orz {F,K,N,I}. A B C D MSE=.8 b c MSE=56. E F G H I J K L M N O P Rys. () - Mp bitow x piksele (wyjśnienie w tekście powyżej). Rysunki (b) i (c) przedstwiją wyniki kwntyzcji BTC w wersji odpowiednio: podstwowej orz wykorzystującej korelcje przestrzenne. Stopień kompresji dwóch metod wynosi odpowiednio:. orz 5..
Korekcj obrzu skwntyzownego. Dithering losowy Główną metodą korekcji obrzu skwntyzownego jest rozstrząsnie popełnionego błędu systemtycznego - dithering. Istnieją trzy podstwowe odminy tej techniki: dithering losowy lub pseudolosowy dithering systemtyczny dyfuzj błędu Dithering pseudolosowy poleg n dodniu do wrtości kżdego piksel obrzu oryginlnego liczby pochodzącej ze zbioru ustlonego n podstwie szerokości przedziłu kwntyzcji. Dopiero tk zmodyfikowny obrz poddwny jest włściwej kwntyzcji. Wrtość liczb tkiego zbioru zleżn jest od szerokości podprzedziłów kwntyzcji, Δ. Przykłdowymi zbiormi mogą być zbiory: D={-Δ/, -Δ/8,, Δ/8, Δ/} lub D={-Δ/8, -Δ/6, -Δ/,, Δ/, Δ/6, Δ/8}. Kontury obrzu zostją rozmyte n skutek dyfuzji pikseli pomiędzy obszrmi wrtości nleżącymi w oryginlnym obrzie do różnych podprzedziłów kwntyzcji.
Dithering losowy. Przykłd b c d Rys. Przykłd ditheringu pseudolosowego: ) obrz wyjściowy (bez ditheringu); (b) obrz powstły po przeprowdzeniu kwntyzcji równomiernej do poziomów; c) dithering przy użyciu zbioru D; d) dithering przy użyciu zbioru D. W przypdku (d) widoczne jest zmniejszenie promieni penetrcji pikseli do obszrów sąsiednich. W tym przypdku wykonn zostł kwntyzcj równomiern do czterech poziomów (kwntyztor z wyjściem dwubitowym).
Dithering systemtyczny Dithering systemtyczny sprowdz się do sumowni obrzu wejściowego z obrzem korygującym (tzw. sitk mikrowzorów, mcierz ditheringu). Systemtyczność metody poleg n korekcji bloków pikseli o rozmirze odpowidjącym wymirowi mcierzy korekcji. Korekcje pomiędzy pikselmi w bloku są ze sobą skorelowne, np. sum elementów mcierzowych jest zerow. Przykłdow mcierz może mieć postć: b W przypdku, gdy opercj wyprowdz wrtość piksel poz przedził [,L-], wrtości są obcinne do tego przedziłu. Rys. Przykłd ditheringu systemtycznego wykonnego przy użyciu mcierzy D przedstwionej wyżej.
Algorytm Floyd-Steinberg dyfuzji błędu (976) Metod dyfuzji błędu poleg n korekcji wrtości pikseli obrzu w zleżności od popełninego błędu kwntyzcji (!). Dziłnie poprzednich metod opier się n korekcji wrtości piksel liczbmi wybrnymi rbitrlnie, nie n podstwie błędu kwntyzcji. Popełniony błąd kwntyzcji, obliczny w kżdym kroku lgorytmu, jest dystrybuowny pomiędzy sąsiednimi pikselmi, które nie zostły jeszcze przetworzone (poddne kwntyzcji). Algorytm Floyd-Steinberg dyfuzji błędu kwntyzcji:. przygotuj obrz wejściowy (img) orz inicjlizuj obrz rekonstrukcji (imgq). Ustl grnice decyzyjne i poziomy rekonstrukcji. Rozpocznij przeglądnie cłego obrzu.. wybierz nowy piksel obrzu i porównj jego wrtość z progiem. Przydziel mu odpowiedniego reprezentnt.. wyzncz błąd kwntyzcji. przeprowdź dystrybucję błędu pomiędzy sąsidów piksel bieżącego 5. jeśli istnieją nieprzejrzne piksele, to przejdź do punktu, w przeciwnym przypdku ztrzymj lgorytm. Algorytm Floyd-Steinberg posid cechę przyczynowości, której pozbwione są dwie metody omówione wcześniej. b for i= to n for j= to m imgq[i,j]=(img[i,j] < 8)? : ; err=img[i,j] - imgq[i,j]*55; img[i+,j]+=err*(7/6); img[i-,j+]+=err*(/6); img[i,j+]+=err*(5/6); img[i+,j+]+=err*(/6); end for; end for; Rys. () schemt dystrybucji błędu kwntyzcji dl lgorytmu Floyd-Steinberg; (b) listing lgorytmu.
Algorytm Floyd-Steinberg dyfuzji błędu. Przykłd =, bitrte= b =, bitrte= c =, bitrte= d =, bitrte= e =8, bitrte= f =8, bitrte= Rys.. Porównnie wyników kwntyzcji równomiernej bez niwelowni błędu kwntyzcji (rysunki, c, e) orz kwntyzcji z dyfuzją błędu Floyd- Steinberg (rysunki b, d, f).
Modyfikcje lgorytmu Floyd-Steinberg b Dyfuzj błędów może powodowć pojwienie się znieksztłceń w postci geometrycznych wzorów (worms). Zproponowno wiele modyfikcji podstwowego lgorytmu dyfuzji. Modyfikcje sprowdzją się do zminy schemtu dystrybucji błędu orz zwiększeni liczby sąsidów wśród których błąd jest dystrybuowny. W drugim przypdku, wzrst koszt wykonywnych obliczeń. Rys.. Przykłd błędów (mikrowzorów) generownych przez lgorytmy dyfuzji błędu (w silnym pomniejszeniu). b b Rys.. Przykłd dyfuzji błędu w powiększeniu: ) wynik rzeczywisty; b) przypdek idelny. Rys.. Schemt dyfuzji błędu wg ) Jrvis, Judice nd Ninke (976); b) Stucki (995).
Kwntyzcj nierównomiern b MSE=6. c Histogrm ceznne.tif W przypdku obrzów o histogrmch nierównomiernych, kwntyzcj równomiern jest mło efektywn. Istnieje lepsze rozwiąznie: kwntyzcj nierównomiern. Kwntyzcj nierównomiern: przedziły kwntyzcji nie muszą mieć i njczęściej nie mją - jednkowej długości. Obszry większego prwdopodobieństw (większych wrtości histogrmu) otrzymują wyższą wgę i są dzielone przedziłmi o mniejszym kroku. Jednocześnie obszry mniejszego prwdopodobieństw (młe wrtości histogrmu) dzielone są przedziłmi o większej długości. Kwntyzcj nierównomiern uwzględni rozkłd prwdopodobieństw dnych wejściowych. Podził n przedziły kwntyzcji powinien być wykonny w tki sposób, by poziomy rekonstrukcji poszczególnych przedziłów reprezentowły w przybliżeniu identyczną liczbę pikseli. MSE=..% pikseli MSE=7.6 8% pikseli 6 8 9 56 Rys. Przykłd kwntyzcji równomiernej obrzu o nierównomiernym histogrmie. () - obrz oryginlny; (b) - wynik kwntyzcji równomiernej z krokiem Δ=6 wrz z nniesionym globlnym błędem MSE kwntyzcji; (c) histogrm obrzu oryginlnego z zznczonymi przedziłmi i poziommi kwntyzcji, błędem kwntyzcji orz udziłem pikseli w dwóch wybrnych przedziłch.
Kwntyzcj nierównomiern pdf-optymlizown Zgdnienie kwntyzcji nierównomiernej w przypdku, gdy znny jest rozkłd prwdopodobieństw dnych: wyznczyć podził pierwotnego przedziłu [,L) n M nowych przedziłów kwntyzcji z pomocą M+ grnic decyzyjnych {b i } i= M+ wrz z M poziommi rekonstrukcji, {y i } i=m tk, by zminimlizowć błąd kwntyzcji MSE q : Teoretyczne rozwiąznie tkiego zgdnieni uzyskuje się przez różniczkownie wyrżeni n MSE q względem prmetrów kwntyzcji grnic decyzyjnych i poziomów rekonstrukcji. W efekcie, otrzymujemy Twierdzenie o wrunkch optymlnej kwntyzcji Lloyd-Mx. Przedziły i reprezentnci optymlnej kwntyzcji spełniją nstępujące wrunki: Komentrz: powyższe równni są wzjemnie sprzężone, tzn. do wyznczeni poziomów rekonstrukcji wymgn jest znjomość grnic decyzyjnych, dl których z kolei wymg się znjomości poziomów rekonstrukcji. Równni tkie rozwiązuje się metodmi itercyjnymi, strtując od zdnego ustwieni początkowego (podził inicjlny) i stopniowo poszukując rozwiązń zmniejszjących błąd kwntyzcji. Rys. Funkcj rozkłdu prwdopodobieństw z zznczonymi grnicmi decyzyjnymi orz centroidmi przedziłów (czerwone kropki).
Kwntyzcj nierównomiern. Kwntyzcj Lloyd-Mx. Algorytm Lloyd-Mx:. Przyjęcie b =min(dne) orz b M =mx(dne); ustlenie progu tolerncji (wrunku ztrzymni lgorytmu); wybór wrtości y.. Dl i=..(m -) () n podstwie znjomości y i orz korzystjąc z równni () wyznczmy wrtość b i ; (b) znjąc wrtości b i orz y i orz korzystjąc z () wyznczmy wrtość y i+ : y i+ =b i -y i ; Proces ten jest kontynuowny ż do wyznczeni wrtości {y,,y M } orz {b,,b M- }. Obliczenie y =y M n podstwie równni (). Wyznczenie różnicy y orz y M uzysknego n wyjściu itercji M-. W przypdku, gdy różnic y M -y jest mniejsz od przyjętego progu - lgorytm jest ztrzymywny.. W przeciwnym wypdku wrtość y jest korygown n podstwie znku różnicy wyznczonej w punkcie i nstępuje przejście do kroku..5 y b y b Gdy wrunek ztrzymni lgorytmu nie jest spełniony () () y M- b M- Kwntyzcj nieró wnomiern opt. y M..5 Rys.. Schemt wyznczni prmetrów kwntyzcji przez lgorytm Lloyd-Mx...5 Rys.. Przykłd optymlnego podziłu zkresu wejści dl rozkłdu przybliżonego przez rozkłd normlny. 5 5 5
Amplitud zmiennej Kwntyzcj wektorow Kwntyzcj wektorow jest uogólnieniem kwntyzcji sklrnej. W tkim przypdku wielowymirowe przestrzenie (np. trójwymirow przestrzeń RGB) są dzielone n obszry decyzyjne (przedziły kwntyzcji), nstępnie w kżdym z tkich obszrów wyznczny jest jego reprezentnt (poziom rekonstrukcji). 5 5 b komórk/ klster R wzorzec/ reprezentnt Y funkcj rozkłdu 5 5 5 5 Amplitud zmiennej Rys. () histogrm dwuwymirowy przykłdowego obrzu cyfrowego (skłdowe R orz G). Przykłd pokzuje korelcje pomiędzy skłdowymi brwy. (b) - przykłd podziłu dwuwymirowej przestrzeni dnych n klstry grupujące się wokół swoich wzorców wektorów kodowych. Rysunek () przedstwi typową sytucję w której uzsdnione jest wykorzystnie kwntyzcji wektorowej.
Kwntyzcj wektorow b Dne wejściowe kwntyztor Podził obrzu n wektory (bloki) koder wektor dnych wektor dnych wektor dnych wektor dnych i wektor dnych K Porównnie wejści z wektormi słownik i generowni e indeksu wzorzec wzorzec wzorzec wzorzec p Czytnie dnych wejściowych (indeksu) dekoder Formownie obrzu strumień: ciąg indeksów Rys. Kwntyzcj wektorow. ) ogólny schemt prcy kwntyztor; b) porównywnie wektorów dnych z wektormi kodu książki kodowej (słownik) i generownie strumieni złożonego z indeksów słownik. Kwntyzcj wektorow jest procesem niesymetrycznym: dekodownie jest dużo prostsze od procesu kodowni. Etpy prcy kwntyztor wektorowego Formownie dnych wejściowych do postci N wektorów n-wymirowych (etp wstępny). Fz klsteryzcji: podził wszystkich wektorów wejściowych i konstrukcj książki kodowej (słownik) zwierjącej K njbrdziej reprezenttywnych wektorów cłego zbioru dnych, tzw. wektorów kodowych. Konstrukcj książki kodowej może być wykonn w fzie wstępnej n podstwie zbioru treningowego lub dynmicznie we włściwej fzie kwntyzcji. Fz klsteryzcji jest kluczowym etpem kwntyzcji wektorowej! Fz indeksowni: przyporządkownie kżdemu wektorowi wejściowemu jednego wektor ze słownik i reprezentownie wektor wejściowego indeksem słownik. Wektorowi wejściowemu zostje przyporządkowny ten wektor słownik, który spełni relcję: gdzie d(x,y) jest przyjętą funkcją odległości w przestrzeni wielowymirowej. Problemy: Wybór odpowiedniej funkcji odległości w przestrzeni wektorowej. Struktur książki kodowej (prost struktur w postci tblicy jest nieefektywn do przeglądni).
Przykłd: lgorytm populrności Prostym lgorytmem genercji książki kodowej jest lgorytm populrności (populrity lgorithm): wektormi kodowymi stje się ustlon liczb wektorów dnych występujących w obrzie njczęściej (konieczne jest ustlenie progu liczby wystąpień) lgorytm wyróżni się stosunkowo młą złożonością obliczeniową i prostotą implementcji Wdą podstwowej wersji lgorytmu populrności jest wprowdznie do książki kodowej podobnych brw (dominujących). Redukcję rozmiru książki uzyskć możn przez usunięcie bliskich (w sensie przyjętej metryki) wektorów i wprowdzenie kolejnego wektor pod względem liczby wystąpień. b c d Rys. Przykłd kwntyzcji wektorowej przeprowdzonej z książką kodową skonstruowną zgodnie z lgorytmem populrności. ) - obrz oryginlny 5x5 pikseli; b) d) efekt kwntyzcji wektorowej z książkmi kodowymi rozmiru odpowiednio: 6, orz 6. W tym przypdku, książki tworzone były przy użyciu nlizy częstości wystąpień wektorów koloru po wcześniejszej równomiernej kwntyzcji sklrnej cłego obrzu do 8 poziomów n kżdą skłdową.
Przykłd: lgorytm populrności Obrz oryginlny Obrz skwntowny, size. % Obrz skwntowny, size.8 % b c d Obrz skwntowny, size.56 % e 7 7 8 8 9 9 6 6 56 56 Rys. Przykłd kwntyzcji wektorowej przeprowdzonej z książką kodową skonstruowną zgodnie z lgorytmem populrności. () - obrz oryginlny 5x5 pikseli; (b) - wynik kwntyzcji z książką kodową o rozmirze 9, przedstwioną n rysunku (e); (c), (d) kwntyzcj z książką zwierjącą odpowiednio orz 6 wektory. W tym przypdku wejściowy obrz monochromtyczny zostł w fzie wstępnej podzielony n dwuelementowe bloki (wektory) zwierjące pry sąsidujących ze sobą w obrzie pikseli.
Wektorow kwntyzcj blokow (BTC) W przypdku podstwowej wersji metody BTC kżdy skwntowny blok obrzu reprezentowny jest w strumieniu bitowym przez mpę bitową zwierjącą n =n x n bitów orz dw bjty reprezentujące poziomy rekonstrukcji. W tkim przypdku:. liczb wszystkich możliwych mp bitowych jest równ n =6556,. nie wszystkie z nich występują w kżdym obrzie cyfrowym, np. ze względu n rozmir obrzu orz korelcje dnych obrzowych,. różne mpy bitowe mogą prowdzić do podobnego wrżeni wzrokowego. Jednym z możliwych sposobów wykorzystni powyższych obserwcji do kompresji obrzu jest kwntyzcj wektorow mp bitowych, tzn. reprezentcj zbioru wszystkich możliwych mp bitowych przez niewielki jego podzbiór (słownik). W fzie indekscji, kżd z mp bitowych stworzonych dl kolejnych bloków obrzu porównywn jest ze zbiorem mp w słowniku. Prostą mirą podobieństw mp jest liczb miejsc n których porównywne mpy różnią się. Mpą njbrdziej podobną do zdnej jest mp minimlizując tk zdefiniowną mirę. Wykorzystnie zbioru mp stnowiących słownik zwiększ stopień kompresji. Przykłd: w przypdku bloków x orz elementowego słownik 6 bitów reprezentujących elementy oryginlnej mpy możn zstąpić 5 bitowym indeksem słownik. Zwiększ to stopień kompresji z CR=. do CR=6.9. Rys. Bz mp bitowych służących do wygenerowni zbioru mp (Ammrunnishd, Govindn, Mthew, 7). W przypdku stosowni zbioru predefiniownych mp nie m konieczności ich włączni do strumieni bitowego poniewż koder i dekoder używją z góry określonego zbioru. W innych przypdkch (jk opisny n nstępnej stronie) słownik musi być włączony do strumieni bitowego, co zmniejsz efektywność metody.
Wektorow kwntyzcj blokow (BTC). Przykłd b MSE=9. c MSE=.8 d e Rys. Kwntyzcj wektorow BTC. W tym przypdku mpy bitowe stnowiące słownik zostły wybrne n podstwie kryterium częstości wystąpieni w obrzie (lgorytm populrności). Rysunek () przedstwi obrz oryginlny. Rysunki (b) i (c) przedstwiją wynik kwntyzcji wektorowej ze słownikiem rozmiru odpowiednio 8 orz. Słowniki przedstwione są n rysunkch (d) orz (e). Wykorzystnie lgorytmu populrności wiąże się z koniecznością włączeni do strumieni bitowego cłego słownik. Pod względem efektywności kompresji jest to rozwiąznie mniej efektywne od rozwiązni słownik stndryzownego (zwierjącego predefiniowne elementy).
Algorytm Lindego-Buz-Gry (LBG, 98) Algorytm Lindego-Buz-Gry (LBG, zmodyfikowny lgorytm Lloyd) genercji książki kodowej. Określ wektory dnych zbioru uczącego. Spośród wszystkich N wektorów wejściowych wybierz losowo K wektorów stnowiących wstępną wersję słownik.. Korzystjąc metryki euklidesowej, d(x,y), dokonj klsteryzcji wektorów dnych wokół słów kodowych bieżącej wersji słownik. Wyzncz globlny błąd kwntyzcji popełniony w bieżącej itercji. Sprwdź czy popełniny błąd spdł poniżej ustlonej grnicy. Jeśli tk to ztrzymj lgorytm. W przeciwnym wypdku przejdź do punktu 5. 5. Wyzncz centroidy kżdego regionu decyzyjnego i uczyń je wektormi kodowymi kolejnej itercji słownik. Przejdź do kroku. Problemy: wrżliwość lgorytmu n inicjlną postć książki kodowej (problem inicjlizcji); problem pustych podziłów.
Algorytm Lindego-Buz-Gry przykłd / Przykldowy obrz d 5 Przestrzeń wektorow obrzu e 5 b I (,) (,) 5 5 c I,,,,,,,,,,, Wektor dnych Wektor kodowy Rys. ) przykłdowy obrz cyfrowy x piksele; b) postć mcierzow obrzu; c) ciąg dwuwymirowych wektorów obrzu; d) wektory obrzu jko punkty dwuwymirowej przestrzeni wektorowej; e) przestrzeń wektorow z nniesionymi wektormi kodowymi.
Algorytm Lindego-Buz-Gry przykłd / error=8. 5 5 b c 5 error=8. Itercj : (.5;.75) (,) (,) Wyzncznie centroidów (,) d 5 5 error=8. e 5 5 error=6.7 f 5 5 error=6.7 Itercj : (.5;.75) (.67;).5 Wyzncznie centroidów (,) (.67;.) 5 Rys. Przykłd dziłni lgorytmu LGB.. 5 5
Algorytm Lindego-Buz-Gry przykłd / g 5 error=6.7 h 5 error=6. i 5 error=6. Itercj : (.67;) (.67;) (;.5) Wyzncznie centroidów (.67;.) (.67;.) (.75;.5) 5 5 5 j 5 error=6. k 5 error=6. STOP l 5 Itercj : (.75;.5) (;.5) 5 (.75;.5) (;.5) 5 Kolejne itercje nie wprowdzją żdnych zmin! Błąd ztrzymuje się n ustlonym poziomie: error=6.. 5 Rys. Zminy położeń wektorów kodowych w kolejnych itercjch lgorytmu LGB.
Książk kodów - przykłd Rys. Książk kodow zwierjąc 6x6=56 wektorów kodowych dl rzeczywistego obrzu cyfrowego, uzyskn dl przypdku podziłu obrzu n bloki o rozmirze x piksele.
Inicjlizcj słownik Rozwiązni n wektory kodowe znjdowne przez lgorytm LGB są wrżliwe n inicjlną postć książki kodowej podwnej n wejściu lgorytmu. Istnieją trzy podstwowe, różne metody inicjowni słownik (przygotowni wersji zerowej): Metod losowni. Sprowdz się do wylosowni w jednym kroku cłej ksiązki kodowej o zdnym rozmirze, K. Metod grupowni njbliższych sąsiądów (PNN pirwise nerest neighbour). Konstrukcj książki rozpoczyn się od książki o rozmirze K=N zwierjącej wszystkie wektory zbioru uczącego. Stopniowo redukuje się rozmir książki przez grupownie pr wektorów sąsiednich. Metod rozdzielni (splitting). Konstrukcj rozpoczyn się od pojedynczego wektor centroidu zbioru uczącego. W m-tym kroku dokonywny jest (w drodze dodwni zburzeni) podził kżdego z wektorów kodowych n dw wektory. Po tkim rozdzieleniu uzyskn konfigurcj regionów decyzyjnych jest optymlizown przez lgorytm LBG, po czym dokonywny jest kolejny rozdził, etc. b c d e Y Y- Y Y+ Rys. Konstrukcj słownik metodą rozdzilni. ) ide podziłu wektor kodowego; b), c), d), e) kolejne etpy konstrukcji wektorów kodowych (zznczone czerwonymi punktmi) n zbiorze uczącym (zznczony kolorem zielonym).