Uwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R X X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy:

Matematya dysretna - wyład 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produtu artezjańsiego X Y, tórego elementami są pary uporządowane (x, y), taie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R X X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy: (x, x) R symetryczną, gdy: antyzwrotną, gdy: x,y X x X (x, y) R (y, x) R x X (x, x) / R słabo antysymetryczną, gdy: ((x, y) R (y, x) R) x = y) x,y X antysymetryczną, gdy: przechodnią, gdy: spójną, gdy: x,y,z X x,y X (x, y) R (y, x) / R ((x, y) R (y, z) R) (x, z) R) x,y X (x, y) R (y, x) R Niech X = {x 1,..., x n } oraz R X X. Wówczas relacji R możemy przyporządować macierz n n zdefiniowaną w następujący sposób: { 0, gdy (xi, x M R = [r ij ], gdzie r ij = j ) / R 1, gdy (x i, x j ) R

Definicja 1.2 Grafem sierowanym prostym nazywamy parę (V, D), gdzie V jest zbiorem sończonym (zbiór wierzchołów), a D jest podzbiorem V V (zbiór rawędzi sierowanych i łuów) Definicja 1.3 Grafem niesierowanym nazywamy parę (V, E), gdzie V jest zbiorem sończonym (zbiór wierzchołów), a E P 2 (V ) (zbiór rawędzi niesierowanych). P 2 (V ) - rodzina dwuelementowych podzbiorów zbioru V. Niech R, S będą relacjami w zbiorze X X. Wówczas sumą relacji R, S jest zbiór R S, iloczynem (przerójem) relacji R, S jest zbiór R S. Dopełnieniem relacji R jest zbiór X \ R. Relacją odwrotną do relacji R oreślamy zbiór: R 1 = {(x, y) X X: (y, x) R} Uwaga 1.2 Relacja R X X jest symetryczna, wtedy i tylo wtedy, gdy R = R 1. Lemat 1.1 Jeżeli (R t ) t T jest rodziną relacji przechodnich w zbiorze X, to przerój wszystich relacji z tej rodziny też jest relacją przechodnią. Definicja 1.4 Przechodnim domnięciem relacji R w zbiorze X nazywamy przerój wszystich relacji przechodnich zawierających relację R. Przechodnie domnięcie oznaczamy symbolem R Ponadto zdefiniujmy ciąg relacji: R (1) = R, R (2) = R R, R (n+1) = R R (n).

Lemat 1.2 R = n=1 R (n) Dowód: Niech Z = {S X X: S jest przechodnia R S}. Zauważmy, że: (x, y) R (x, y) S (x, y) Z R Z S Z Wówczas: (x, y) R (n) (x, y) R (m) n=1 m N A więc istnieją w zbiorze X elementy v 1,..., v m 1 taie, że: (x, v 1 ) R (v 1, v 2 ) R... (v m 1, y) R Ponieważ R jest zawarte w ażdej relacji S ze zbioru Z, to: (x, v 1 ) S (v 1, v 2 ) S... (v m 1, y) S S Z Ponieważ ażda relacja S jest przechodnia, to: (x, y) S (x, y) Z S Z Ostatecznie: R (n) Z n=1 Zauważmy, że: R = R (1) R (n) n=1 Poażemy, że R jest relacją przechodnią. Niech (x, y), (y, z) R. Wówczas: (x, y) R (m) (y, z) R (p) m,p N Więc istnieją w zbiorze X elementy v 1,..., v m 1, u 1,..., u p 1 taie, że: (x, v 1 ) R... (v m 1, y) R (y, u 1 ) R... (u p 1, z) R Niech y = v m. Wtedy powyższa oniuncja oznacza, że element (x, z) należy do (m + p)-rotnego złożenia relacji R. A więc: (x, z) R (m+p) (x, z) R (n) n=1 co oznacza przechodniość relacji R. Soro R jest relacją przechodnią i zawiera relację R, to R Z oraz Z R, sąd wynia dowodzona równość.

Niech M R = [r ij ] oraz M S = [s ij ] będą macierzami relacji R, S w zbiorze sończonym X. Wówczas definiujemy następujące macierze: (a) M R S = [ r ij s ij ] (b) M R S = [ r ij s ij ] (c) M R 1 = [ r ji ] (d) M R = [ r ij ] (e) M R S = [ c ij ] gdzie: c ij = (r i1 s 1j ) (r i2 s 2j )... (r in s nj ). Definicja 1.5 Relacja R jest porządiem w zbiorze P, gdy jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Jeżeli relacja R jest spójna, to mówimy, że porząde R jest liniowy. Zbiór P, w tórym oreślona jest relacja porządująca R oznaczamy symbolem (P, R) lub (P, ). Definicja 1.6 Niech (P, ) będzie zbiorem uporządowanym. Przedziałem wyznaczonym przez elementy a, b P nazywamy podzbiór: [a, b] = {x P : a x b} Zauważmy następujące wyniania: [a, b] Ø x [a, b] a x b a b x P (a b) [a, b] = Ø (a b) a, b [a, b] Ponadto definiujemy jeszcze następujące przedziały: (a, b] = [a, b] \ {a} (, b] = {x P : x b} [a, ) = {x P : a x} Definicja 1.7 Niech a, b P i a b. Element a nazywamy poprzedniiem elementu b (element b nazywamy następniiem elementu a), jeśli [a, b] = 2, czyli gdy [a, b] = {a, b}. Definicja 1.8 Diagramem Hassego zbioru uporządowanego nazywamy graf relacji następnia.

Definicja 1.9 Niech (X, ) będzie zbiorem uporządowanym. Element a X nazywamy masymalnym jeśli nie poprzedza on żadnego elementu w zbiorze X: x X (a x a x) Element a X nazywamy najwięszym, jeśli spełniony jest warune: x X x a Element a X nazywamy minimalnym, jeśli nie poprzedza go żaden element zbioru X: (x a x a) x X Element a X nazywamy najmniejszym, jeśli spełniony jest warune: x X a x Definicja 1.10 Niech A X, będzie podzbiorem zbioru uporządowanego (X, ). Element a X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, jeśli zachodzi warune: x A x a Element a X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, jeśli zachodzi warune: a x x A Jeśli zbiór wszystich ograniczeń górnych zbioru A ma element najmniejszy, to nazywamy go resem górnym zbioru A i oznaczamy sup A. Jeśli zbiór wszystich ograniczeń dolnych zbioru A ma element najwięszy, to nazywamy go resem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A. Definicja 1.11 Zbiór uporządowany (P, ) nazywamy ratą, jeśli ażdy dwuelementowy podzbiór zbioru P ma res górny i res dolny w zbiorze P. Definujemy działania oraz w następujący sposód: a b = c sup{a, b} = c oraz a b = c inf{a, b} = c

Uwaga 1.3 Niech (P, ) będzie zbiorem uporządowanym i niech a, b, c P. Jeśli c jest resem dolnym zbioru {a, b}, to zachodzi warune: d P (d a d b) d c Jeśli c jest resem górnym zbioru {a, b}, to zachodzi warune: d P (a d b d) c d Twierdzenie 1.1 W zbiorze uporządowanym (P. ) działania oraz są przemienne, łączne i spełniają waruni pochłaniania, tzn.: a,b P (a b) a = a i a,b P (a b) b = b Twierdzenie 1.2 Niech (P, ) będzie zbiorem uporządowanym i niech a, b P. Wówczas: a b ((a b = b) (a b = a)) Twierdzenie 1.3 Każda rata sończona ma element najwięszy i element najmniejszy. Definicja 1.13 Jeśli rata ma element najwięszy i element najmniejszy, to element b nazywamy uzupełnieniem elementu a, jeśli a b = 1 oraz a b = 0 Definicja 1.14 Mówimy, że rata jest rozdzielna jeśli dla ażdych elementów a, b, c prawdziwe są równości: (a) a (b c) = (a b) (a c) (b) a (b c) = (a b) (a c) Definicja 1.15 Algebrą Boole a nazywamy ratę rozdzielną zawierającą element najwięszy i element najmniejszy, w tórej ażdy element ma swoje uzupełnienie.

Definicja 1.16 Niech (P, 1 ) i (Q, 2 ) będą zbiorami uporządowanymi. Izomorfizmem zbiorów uporządowanych nazywamy ażde odwzorowanie odwracalne ψ: P Q taie, że: (a 1 b ψ(a) 2 ψ(b)) a,b P Definicja 1.17 Niech 1 i 2 będą porządami w zbiorze P. Mówimy, że 2 jest rozszerzeniem 1, gdy: (a 1 b a 2 b a,b P Przyład 1.1 Zwyły porząde w zbiorze liczb naturalnych jest rozszerzeniem porządu wyznaczonego przez relację podzielności. a,b N (a b a b) Definicja 1.18 Niech (P 1, 1 ),..., (P n, n ) będą zbiorami uporządowanymi. Utwórzmy zbiór P = P 1... P n i zdefiniujmy nowy porząde w zbiorze P. Niech (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) P, wówczas: (a 1,..., a n ) (b 1,..., b n ) a 1 1 b 1... a n n b n Ta oreślony porząde nazywamy produtowym. Definicja 1.19 Niech (P 1, 1 ),..., (P n, n ) będą zbiorami liniowo uporządowanymi. Niech P = P 1... P n. Niech (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) P. Oreślmy następujący porząde: (a 1,..., a n ) (b 1,..., b n ) { (a1,..., a n ) = (b 1,..., b n ) a i b i, gdzie: i = min{t: a t b t } Ta zdefiniowany porząde nazywamy lesyograficznym.

2. Rozmieszczanie przedmiotów w pudełach Niech danych będzie n pudełe i przedmiotów. Załóżmy, że w ażdym pudełu mieści się co najwyżej jeden przedmiot. 1 Załóżmy, że pudeła są rozróżnialne i przedmioty są rozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest funcja różnowartościowa ze zbioru przedmiotów w zbiór pudełe (wariacja bez powtórzeń). Liczba rozmieszczeń wynosi: n! (n )! 2 Załóżmy, że pudeła są nierozróżnialne a przedmioty są rozróżnialne. Wówczas istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie. 3 Załóżmy, że pudeła są rozróżnialne a przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest -elementowy podzbiór zbioru pudełe (ombinacje bez powtórzeń). Liczba rozmieszczeń wynosi: n!!(n )! 4 Załóżmy, że pudeła są nierozróżnialne i przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie. Niech teraz w ażdym pudełu można umieścić dowolną ilość przedmiotów. 1 Załóżmy, że pudeła są rozróżnialne i przedmioty są rozróżnialne. Wówczas jest to wariacja z powtórzeniami. Ilość rozmieszczeń wynosi: n. 2 Załóżmy, że pudeła są nierozróżnialne a przedmioty są rozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest podział zbioru pudełe. 3 Załóżmy, że pudeła są rozróżnialne a przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest multizbiór pudełe. 4 Załóżmy, że pudeła są nierozróżnialne i przedmioty są nierozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest podział liczby na co najwyżej n sładniów. Taie podziały nazywamy partycjami liczby.

3. Kombinacje Definicja 3.1 Niech dany będzie zbiór X, tai że X = n. Każdy -elementowy podzbiór zbioru X nazywamy -elementową ombinacją zbioru X. Liczbę -elementowych ombinacji zbioru n-elementowego oznaczamy: ( ) n Twierdzenie 3.1 Prawdziwe są następujące równości: (c) (a) ( ) n = n =0 ( ) n = 2 n (b) ( ) n 1 + 1 ( ) n 1 (d) ( ) ( ) n n = n ( ) n = n ( ) n 1 1 Dowód: (b) Niech P (X) oznacza rodzinę wszystich -elementowych podzbiorów zbioru X, a P n (X) - rodzinę wszystich (n )-elementowych podzbiorów zbioru X. Zdefinujemy bijecję P (X) P n (X) w ten sposób, że jeśli A P (X) to podzbiorowi A przyporządujemy zbiór X \ A P n (X). Ta zdefiniowana funcja jest różnowartościowa i przeształca zbiór P (X) na zbiór P n (X). A więc P (X) = P n (X). Ponieważ P (X) = ( ) n oraz P n (X) = ( ( ) ( ) n n ), stąd n = n n. (c) Niech X = {1,..., n} i niech P (X) będzie rodziną -elementowych podzbiorów zbioru X. Przedstawmy zbiór P (X) w postaci sumy rozłącznych zbiorów A i B. Niech A będzie rodziną wszystich -elementowych podzbiorów zawierających element n i niech B = P (X) \ A. Utwórzmy bijecję A P 1 (Y ), gdzie Y = {1,..., n 1}, w ten sposób, że dowolnemu zbiorowi Z A przyporządujemy zbiór Z \ {n}. Taa funcja jest 1 1 i na co oznacza, że rodzina A jest równoliczna ze zbiorem P 1 (Y ). Rozpatrzmy teraz zbiór B = P (Y ) (bo podzbiory zbioru B są -elementowe i nie zawierają elementu n). Mamy więc: ( ) n = P (X) = A + B = P 1 (Y ) + P (Y ) = ( ) n 1 + 1 ( ) n 1

(d) Rozpatrzmy zbiór par Z = {(A, x): A P (X) x A}. Elementy zbioru Z mogą być dobrane na dwa sposoby. Możemy najpierw wybrać -elementowy podzbiór A X i potem ze zbioru A wybrać element x A. Otrzymujemy, że: Z = ( ) n. Możemy odwrócić ten proces i najpierw wybrać element x X i do niego dobrać tai podzbiór A X, że x A. Otrzymujemy: Z = n (n 1 ) 1, gdyż podzbiór A możemy tratować jao ( 1)-elementowy podzbiór zbioru (n 1)-elementowego. Z powyższych rozważań wynia równość (d). Uwaga 3.1 ( ) n = n!!(n )! Definicja 3.2 Silnią dolną nazywamy wielomian: [x] = x(x 1)... (x + 1) Silnią górną nazywamy wielomian: [x] = x(x + 1)... (x + 1) 4. Multizbiory (ombinacje z powtórzeniami) 1 Niech ϕ n (X) będzie rodziną wszystich n-elementowych ciągów elementów zbioru X. Zdefiniujmy w tym zbiorze relację róznoważności w następujący sposób: (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ), gdy istnieje permutacja σ zbioru wszystich wsaźniów {1,..., n}, taa że y i = x σ(i), i = 1,..., n Ta zdefiniowana relacja dzieli zbiór ϕ n (X) na lasy abstracji. Każdą taą lasę abstracji nazywamy multizbiorem. 2 Niech dana będzie funcja charaterystyczna χ: X N 0, taa że jeśli x X, to χ(x) oznacza liczbę wystąpień elementu x w multizbiorze wyznaczonym przez funcję χ. Liczba wszystich elementów wyznaczonych przez χ wynosi: x X χ(x) 3 Niech X = {1,..., n}. Wówczas ażdy -elementowy podzbiór zbioru X można utożsamiać z ciągiem silnie rosnącym elementów tego zbioru. Każdy - elementowy multizbiór można utożsamiać z ciągiem niemalejącym o długości utworzonym z elementów zbioru X.

Twierdzenie 4.1 Liczba -elementowych multizbiorów utworzonych ze zbioru n-elementowego jest równa ( ) n+ 1 Dowód: Niech X = {1,..., n} i niech M (X) oznacza rodzinę wszystich -elementowych multizbiorów utworzonych ze zbioru X. Załóżmy, że {x 1,..., x } M (X), przy czym x 1... x. Utwórzmy z tego ciągu nowy ciąg {x 1, x 2 + 1..., x + 1} = {y 1,..., y }, gdzie y i = x i + i 1. Zauważmy, że ciąg {y 1,..., y } jest ciągiem rosnącym: y i+1 y i = (x i+1 + i) (x i + i 1) = x i+1 x i + 1 > 0 Ponadto gdyby x = n, to y = n+ 1, niech zatem Y = {1,..., n+ 1}. Zatem ażdy ciąg niemalejący {x 1,..., x } można rozszerzyć do ciągu rosnącego {y 1,..., y }, gdzie y 1 <... < y. Postępowanie odwrotne jest taże możliwe. Z ażdego ciągu {y 1,..., y } można utworzyć ciąg niemalejący {y 1, y 2 1,..., y + 1} = {x 1,..., x }, gdzie x i = y i i + 1. Zdefiniowaliśmy więc bijecję M (X) P (Y ), a więc oba te zbiory są równoliczne, czyli: M (X) = P (Y ) = ( ) n+ 1 Uwaga 4.1 ( ) n + 1 = [n]! 5. Liczby Stirlinga I rodzaju Definicja 5.1 Liczby Stirlinga I rodzaju to współczynnii wielomianu, tóry powstaje przez rozwinięcie silni dolnej: n [x] n = x(x 1)... (x n+1) = s(n, 0)+s(n, 1)x+...+s(n, n)x n = s(n, )x =0

Twierdzenie 5.1 Liczby Stirlinga I rodzaju spełniają następujące własności: (a) s(n, n) = 1, n 0 (b) s(n, 0) = s(0, ) = 0, n, > 0 (c) s(n, ) = s(n 1, 1) (n 1)s(n 1, ) Dowód: (c) n s(n, )x = x(x 1)... (x n + 2)(x n + 1) = [x] n 1 (x n + 1) = =0 = = n 1 =0 n =1 = ( n 1 =0 s(n 1, )x ) (x (n 1)) = s(n 1, )x +1 s(n 1, 1)x = s(n 1, n 1)x n + n 1 =0 n 1 =0 n 1 =1 (n 1)s(n 1, )x ) = (n 1)s(n 1, )x ) = s(n 1, 1)x n 1 (n 1)s(n 1, )x ) (n 1)s(n 1, 0)x 0 = =1 = s(n, n)x n + n 1 =1 Ostatecznie otrzymujemy, że: (s(n 1, 1) (n 1)s(n 1, ))x s(n, ) = s(n 1, 1) (n 1)s(n 1, ), 1 n 1 (0 < < n) gdyż równość wielomianów jest równoważna równości ciągów ich współczynniów. 6. Podziały zbioru Definicja 6.1 Podziałem zbioru X nazywamy rodzinę podzbiorów π = {B 1,..., B } tego zbioru spełniającą waruni: (a) B i Ø, i = 1,..., (b) B i B j = Ø, gdy i j (c) B 1... B = X Zbiory B i, i = 1,..., nazywamy bloami podziału.

Definicja 6.2 Jeżeli π = {B 1,..., B } oraz π = {B 1,..., B m} są podziałami zbioru X, to mówimy, że podział π jest drobniejszy od podziału π (co zapisujemy π π ), gdy B i B j i {1,...,} j {1,...,m} Relacja zdefiniowana w zbiorze podziałów zbioru X jest relacją porządującą. Zbiór wszystich podziałów zbioru X oznaczamy symbolem Π(X). A więc zbiór (Π(X), ) jest zbiorem uporządowanym. Uwaga 6.1 Niech X = {x 1,..., x n }. Podziałem najdrobniejszym zbioru X jest podział π = {{x 1 },..., {x n }}. Podziałem najgrubszym jest podział π = {X}. Niech dana będzie relacja równoważności. Wówczas zbiór wszystich las abstracji oznaczamy symbolem X/. Zauważmy, że dla las abstracji zachodzą waruni: (a) dla ażdego x X: x [x] (b) ([x] [y] Ø) ([x] = [y]) a więc zbiór las abstracji relacji jest podziałem zbioru X. Uwaga 6.2 Podział π = {B 1,..., B } zbioru X wyznacza relację równoważności. Relację tę definiujemy: x y i {1,...,} x, y B i

Twierdzenie 6.1 Jeśli R, R są relacjami równoważności wyznaczonymi przez podziały π, π, to π π R R. Dowód: ( ) Załóżmy, że π π, π = {B 1,..., B }, π = {B 1,..., B m }. Należy poazać, że R R. (x, y) R i {1,...,} x, y B i j {1,...,m} Dowód impliacji w przeciwną stronę przebiega podobnie. x, y B i B j (x, y) R Uwaga 6.3 Niech π, π będą podziałami zbioru X. Zdefiniujmy podział π następująco: π = {B i B j: B i π B j π } \ {Ø} Ta zdefiniowany podział jest drobniejszy od podziałów π i π. Ponadto π jest resem dolnym pary (π, π ). Niech teraz relacje R, R będą relacjami równoważności wyznaczonymi przez podziały π, π i niech R będzie przechodnim domnięciem relacji R R. Wówczas resem górnym pary (π, π ) jest podział odpowiadający relacji R. 7. Liczby Stirlinga II rodzaju Definicja 7.1 Liczby podziałów zbioru n-elementowego na bloów nazywamy liczbami Stirlinga II rodzaju i oznaczamy symbole S(n, ) Defincja 7.2 Niech dany będzie zbiór uporządowany (P, ). Rangą elementu a P nazywamy najwięszą długość łańcucha zawartego w zbiorze {x P : x a} Uwaga 7.1 Niech Π(X) oznacza zbiór wszystich podziałów zbioru X. Wówczas S(n, ) jest liczbą elementów rangi n w zbiorze Π(X).

Twierdzenie 7.1 Liczby Stirlinga drugiego rodzaju spełniają następujące zależności: (a) S(n, n) = 1, dla n 0 (b) S(n, 0) = S(0, ) = 0, dla n, > 0 (c) S(n, ) = S(n 1, 1) + S(n 1, ), dla 0 < < n Dowód: Niech X = {x 1,..., x n }. (a) S(n, n) oznacza podział n-elementowego zbioru X na n bloów. Jest jeden tai podział: π = {{x 1 },..., {x n }}. (b) S(n, 0) oznacza liczbę podziałów zbioru n-elemetowego na 0 bloów, zaś S(0, ) - liczbę podziałów zbioru pustego na bloów. (c) Niech Π (X) będzie rodziną podziałów zbioru X na bloów oraz niech X = {1,..., n} oraz Y = {1,..., n 1}. Przedstawmy zbiór Π (X) w postaci sumy zbiorów A B. Niech A będzie rodziną wszystich podziałów na bloów, taich że liczba n tworzy oddzielny blo i niech B = Π (X) \ A. Jeśli podział π = {B 1,..., B 1, n} A to przyporządujemy mu podział π = {B 1,..., B 1 } Π 1 (Y ). Ten proces jest odwracalny, gdyż jeśli π = {B 1,..., B 1 } Π 1 (Y ), to podziałowi π przyporządujemy podział π = {B 1,..., B 1, n} A. Stąd A = Π 1 (Y ). Rozpatrzmy teraz zbiór B. Załóżmy, że π B, a więc π = {B 1,..., B }. Załóżmy, że n B. Podziałowi π przyporządujemy podział π = {B 1,..., B 1, B \ {n}}. A więc π jest podziałem na bloów zbioru (n 1)-elementowego, czyli π Π (Y ). Spróbujmy odrócić to postępowanie. Niech π Π (Y ). Podziałowi π przyporządujemy podział postaci π i = {B 1,..., B i {n},..., B }. Taiego przyporządowania można doonać na sposobów. A więc B = Π (Y ). Ostatecznie S(n, ) = Π (X) = A + B = Π 1 (Y ) + Π (Y ) = = S(n 1, 1) + S(n 1, )

Twierdzenie 7.2 Niech X = n, Y = m, n m. Liczba wszystich funcji odwzorowujących zbiór X na zbiór Y jest równa m!s(n, m). Dowód: Rozważmy dowolną funcję f: X Y. Zdefinujmy zbiory D y = f 1 ({y}) = {x X: f(x) = y}. Ponieważ funcja f jest na, to ażdy zbiór D y jest niepusty. Ponadto: (D y D z Ø) D y = D z czyli D y = X Dochodzimy do wniosu, że zbiory D y są podziałem zbioru X na m bloów. Niech teraz X = {B 1,..., B m } i Y = {y 1,..., y m }. Zdefiniujmy funcję g: X Y w następujący sposób: jeśli istnieje taie i {1,..., m}, że x B i, to g(x) = y i. Konstrucja funcji g pozwala wniosować, że wszystich funcji odwzorowujących zbiór X na zbiór Y jest m!s(n, m). Definicja 7.2 Liczbą Bella nazywamy liczbę wszystich podziałów zbioru n-elementowego: B(n) = n =0 S(n, ) y Y 8. Podziały liczb Definicja 8.1 Podziałem liczby naturalnej n nazywamy uład n 1,..., n, tai że: n = n 1 +... + n. Podział liczby nazywamy partycją. Twierdzenie 8.1 Ilość podziałów liczby n na sładnii nie przeraczające r jest równa ilości podziałów tej liczby na co najwyżej r sładniów. Twierdzenie 8.2 Niech P (n) oznacza ilość wszystich podziałów liczby n. Wówczas: P (n) = ( ) 1 4 3 + Θ(1) exp(π 2n/3) n gdzie Θ(1) oznacza ciąg zbieżny do zera, gdy n.