J. Szantyr Wykład nr 7 Przepływy w kanałac otwartyc Przepływy w kanałac otwartyc najczęściej wymuszane są działaniem siły grawitacji. Jako wstępny uproszczony przypadek przeanalizujemy spływ warstwy cieczy nielepkiej o grubości i jednostkowej szerokości po nacylonej płaszczyźnie, pomijając wpływ ścian bocznyc kanału. Jest to możliwe przy zaniedbaniu sił tarcia cieczy o powierzcnię kanału. Wprowadzamy dwa układy współrzędnyc, układ O x z jest związany z nacyloną płaszczyzną.
W tym przypadku równanie zacowania pędu ma postać: p ρg cosα z du ρu ρgsinα dp w kierunku w kierunku Z pierwszego otrzymujemy: ρ ( ) α p 0 z x p p 0 + g z gdzie: - ciśnienie na swobodnej powierzcni du Po wstawieniu do drugiego mamy: ρq ρgsin q u cos α d ρgcosα gdzie: - objętościowe natężenie przepływu w warstwie co prowadzi do: q d d gsinα g cosα
Można to przekształcić do postaci: Widać, że istnieje osobliwość przy wartości krytycznej równej: q kr g cosα d g sinα q cosα cosα Wyrażenie w mianowniku można zapisać w innej formie: Czyli: q u g cos α g cos α d sinα I Fr cosα Fr u g cos α ( ) ( ) cosα Fr gdzie I spadek niwelacyjny Dla Fr mamy prędkość krytyczną: u kr g kr cosα Możliwe przypadki spływu warstwy cieczy można podzielić na podkrytyczne (Fr<) czyli ruc spokojny i nadkrytyczne (Fr>) czyli ruc rwący.
W zależności od rodzaju przepływu inaczej zmienia się grubość warstwy cieczy wzdłuż pocylonej płaszczyzny: Spadek dna Ruc spokojny Ruc rwący Fr < Fr > Pocylenie zstępujące Pocylenie wstępujące α > 0 α < 0 Wzrost d > 0 Spadek d < 0 Spadek d < 0 Wzrost d > 0
Analiza równania energii dla przypadku spływu warstwy cieczy o jednostkowej szerokości po nacylonej płaszczyźnie prowadzi do następującej zależności dla tzw. energii właściwej: u q E w + gcosα + gcosα Warunek zacowania energii właściwej: de w g sinα Z postaci tej zależności wynika, że dla przepływu o nacyleniu zstępującym energia właściwa zawsze rośnie, a dla przepływu o nacyleniu wstępującym zawsze maleje. Energia właściwa osiąga minimum przy krytycznej grubości warstwy cieczy odpowiadającej Fr.
Laminarny przepływ cieczy rzeczywistej (lepkiej) W takim przypadku możliwe jest uzyskanie rozwiązania analitycznego równania zacowania pędu, które ma postać: u 0 g sinα + υ Warunki brzegowe: u 0 dla: z 0 u z 0 dla: z Rozwiązanie prowadzi do następującyc zależności: g Profil prędkości: u z sinα z z υ ~ g sinα Prędkość średnia: u u( z ) dz υ Prędkość maksymalna: 0 ( ) ( ) g sinα u u~ max > υ z
Wniosek: prędkość przepływu jest proporcjonalna do kwadratu grubości warstwy cieczy, czyli: prędkość przepływu w kanale otwartym rośnie ze wzrostem stopnia napełnienia kanału. Ważność rozwiązania dla przepływu laminarnego jest ograniczona do zakresu wartości liczby Reynoldsa poniżej około 000, czyli: u υ max g sinα < υ 000 < 0,74 0 sinα Z powyższego wzoru wynika, że przepływ laminarny w warstwie spływającej po ścianie pionowej wystąpi przy grubościac warstwy mniejszyc od 0,74 [mm], a na ścianie prawie poziomej (nacylonej pod kątem stopnia) przy grubościac mniejszyc od,85 [mm]. W rzeczywistyc ciekac z reguły występują przepływy turbulentne o w pełni rozwiniętym profilu prędkości.
Turbulentny przepływ cieczy rzeczywistej (lepkiej) W przypadku w pełni rozwiniętego przepływu turbulentnego w kanale o stałym nacyleniu parametry przepływu nie zmieniają się wzdłuż strumienia. Energia potencjalna cieczy jest zamieniana na energię wewnętrzną (cieplną) cieczy na skutek działania sił tarcia cieczy o ścianki kanału. Nie ma natomiast zamiany energii potencjalnej na energię kinetyczną płynącej cieczy. 0 ρ gs sin α p τ C e e e gdzie: l długość odcinka pomiędzy przekrojami i p τ - naprężenia lepkościowe na ściance kanału R H S C - promień ydrauliczny kanału W takiej sytuacji istnieje związek pomiędzy spadkiem niwelacyjnym (który jest równy w I I H tym przypadku spadkowi ydraulicznemu) a naprężeniami lepkościowymi: pτ l ρ R R H pτ ρgr H
Wyznaczanie oporów tarcia w kanałac Z analizy przepływu w kanale o cropowatyc ściankac można wyprowadzić przybliżoną zależność na średnią prędkość przepływu: u~ C I R H [ ] gdzie: C m s - wymiarowy współczynnik, określony np. według zależności: 6 C R H n n0,009 dla powierzcni gładkic (glazura) n0,0 dla rur czystyc i wygładzonego betonu n0,04 dla ściany z betonu n0,08 dla kanału ziemnego z warstwą ilastą n0,04 dla kanału ziemnego bardzo źle utrzymanego
Przykład Objętościowe natężenie przepływu w prostokątnym kanale betonowym (n0,04) o szerokości B4,0 [m] wynosi Q5,0 [m**/s]. Obliczyć krytyczne parametry przepływu w tym kanale Warunek przepływu krytycznego ma postać: g kr q cosα 0 A B Q g kr Q B g 5,0 4,0 9,8 0,54 [ m] gdzie A pole przekroju przepływu: Q B A 5,0 B Prędkość krytyczna: u, [ m s] Krytyczny spadek ydrauliczny: u kr C I kr R H kr kr kr 4,0 0,54 n R 6 H I kr R H I kr u kr ( R ) H n 4 0,00
Przepływy niestacjonarne w kanałac otwartyc W przepływac w kanałac otwartyc często występują zjawiska niestacjonarne, przede wszystkim związane z układami falowymi tworzącymi się na swobodnej powierzcni cieczy. Najprostszy przypadek dotyczy rozprzestrzeniania się t. zw. małyc zaburzeń na swobodnej powierzcni. Można wtedy pominąć siły lepkości i zlinearyzować równania rucu cieczy. Do dyspozycji mamy równanie zacowania masy: u + u + 0 t x x oraz równanie zacowania pędu: u t + u u x + g x 0 W przypadku małyc zaburzeń grubości warstwy i prędkości: u u + u ( t, x) ( t x) +, 0 0 << 0 u << u 0
można po ic podstawieniu zlinearyzować równania do postaci: u u u + u0 + 0 0 + u0 + g 0 t x x t x x Rozwiązanie tego układu równań ma postać: [ x ( u ± g ) t] 0 u u [ x ( u ± g ) t] 0 0 0 Z postaci rozwiązania wynika, że małe zaburzenia rozcodzą się z prędkością carakterystyczną g 0 w dodatnim i ujemnym kierunku osi x bez zmiany kształtu początkowego określonego w warunkac początkowyc 0, x oraz u ( 0, x) ( ) W przypadku zaburzeń o znacznej, skończonej amplitudzie linearyzacja równań rucu cieczy nie jest możliwa. Rozwiązanie układu równań nieliniowyc prowadzi do bardziej złożonyc zależności opisującyc rozprzestrzenianie się takic zaburzeń.
x g 0 t 0 Powyższy wzór opisuje rozprzestrzenianie się zaburzenia w dodatnim kierunku osi x. Należy zauważyć, że w tym przypadku prędkość rozcodzenia się zaburzenia jest proporcjonalna do pierwiastka z jego amplitudy. Prowadzi to deformowania się zaburzenia jak na rysunku. Czoło fali staje się coraz bardziej strome, a tył coraz bardziej rozmyty. W efekcie docodzi do załamania fali, które w przepływie w kanale ma postać tzw. odskoku ydraulicznego. Należy pamiętać, że w prostym modelu przepływu jednowymiarowego pomijamy efekty dyssypacji związane z tarciem wewnętrznym cieczy i efekty dyspersji, związane z bezwładnością cieczy w rucu falowym.
Odskok ydrauliczny Odskok ydrauliczny jest złożonym zjawiskiem niestacjonarnym występującym w przepływac nadkrytycznyc. Odskok ydrauliczny polega na nagłym zwiększeniu grubości warstwy płynącej cieczy. Można go łatwo wytworzyć w każdej umywalce.
Przykłady odskoków ydraulicznyc
Prosta analiza teoretyczna odskoku ydraulicznego Równanie zacowania masy: ρ u u ρ m p p m p0 + ρg p 0 + ρg ( z) ( z) ( u ) + u pdz pdz 0 0 Równanie zacowania pędu: w kierunku pionowym p 0 dz w kierunku poziomym Po podstawieniu ciśnień i wykonaniu całkowania otrzymujemy: u + g u + g Jeśli podstawimy: u u u Fr g
to otrzymamy: + Fr 0 Równanie to ma trzy rozwiązania, ale fizycznie realne jest tylko jedno: Rozwiązanie to oznacza, że: Fr jest dla: Fr jest > dla: > Fr jest < dla: < + 8 Fr oraz Fr < Wynika z tego, że odskok ydrauliczny jest możliwy tylko w przepływie nadkrytycznym. Analiza równania energii prowadzi do wniosku, że w odskoku następuje wyraźne zwiększenie energii wewnętrznej cieczy na skutek bardzo silnyc procesów dyssypacyjnyc.
Wielkość straty energii cieczy na skutek dyssypacji w odskoku ydraulicznym można wyznaczyć według następującej zależności: ( ) + 8 Fr ( )( ) + 8 Fr Fr E E 8 + Odskoki ydrauliczne mogą być wywoływane celowo, dla następującyc powodów: - rozpraszanie energii mecanicznej strumienia - podniesienie poziomu cieczy - wymieszanie dodatków do cieczy - napowietrzanie cieczy
Postać odskoku zależy od wartości liczby Froude a E E < 0,05, E E 0,05 0,5, 5,9 E E 0,5 0,45 5,9 E E 0,45 0,70
Przykład W kanale o głębokości,0 [m] wywołano przepływ o prędkości średniej u5,0 [m/s]. Czy wystąpi w tym przepływie odskok ydrauliczny? Jeżeli tak, to jaka będzie głębokość wody za odskokiem? Jak będzie tam prędkość przepływu? u 5,0 Fr,6 > g 9,8,0 Rozwiązanie Wystąpi odskok zafalowany + 8 Fr,0 + 8,6,0,0, 6,0 u u 5,0,68 /,6 [ m s] [ m]