Wykład 7 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) światła odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjaśnienie dyfrakcji w oparciu o zasadę Huyghensa - Fresnela jest następująca. a) P B C Fala ze źródła pada na szczelinę B i przechodzące przez otwór pada na ekran C. Natężenie w punkcie P można obliczyć dodając do siebie wszystkie wektory falowe pochodzące od wszystkich punktów szczeliny. Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i fazy ponieważ: a) elementarne oscylatory Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych odległościach od punktu P; b) światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami. ytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są falami płaskimi pojawia się gdy źródło fal i ekran C, na którym powstaje obraz znajdują się w skończonej odległości od ekranu ze szczeliną B. Taki przypadek nosi nazwę dyfrakcji Fresnela. Obliczenia natężeń światła są w tej sytuacji są trudniejsze. b) z bardzo odległęgo źródła do bardzo odległego ekranu B 348
Całość upraszcza się, gdy źródło i ekran C odsuniemy na bardzo duże odległości od otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy dyfrakcją Fraunhofera. Czoła fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak to widać na rysunku (b). Wszystkie promienie oświetlające punkt P opuszczają otwór równolegle do linii przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki). Warunki dyfrakcji Fraunhofera były z założenia spełnione w doświadczeniu Younga. Dyfrakcja Fraunhofera na pojedynczej szczelinie Rozważmy falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości a. Rozpatrzmy punkt środkowy P ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego punktu te same drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą ilość długości fal (rozważane soczewki są cienkie). a P B f C Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fazie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie. Dlatego w środkowym punkcie P będzie maksimum. Rozpatrzmy teraz inny punkt P na ekranie (rysunek obok). Promienie docierające do P wychodzą ze szczeliny pod kątem. Jeden promień ma początek u góry szczeliny, a drugi w jej środku. (Promień xp przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchylany). / Jeżeli wybierzemy punkt P tak, żeby różnica dróg bb wynosiła λ /, to promienie zgodne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P fazy przeciwne i wygaszą się. Podobnie każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości a / poniżej. Punkt P 349
będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisujący to minimum ma następującą postać a sin = λ, czyli a sin = λ. Gdyby szerokość szczeliny była równa λ wtedy pierwsze minimum pojawiłoby się dla = 9 czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę rozszerzania szczeliny środkowe maksimum staje się węższe. Podobne rozważania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci P b a b P x λ/ a sin = mλ, m =,,3, (minimum) (7.) Mniej więcej w połowie między każdą para sąsiednich minimów występują oczywiście maksima natężenia. 35
Całka dyfrakcyjna Fresnela-Kirchhoffa w przybliżeniu Fraunhofera formułowanie podstaw koncepcyjnych potrzebnych do rozpatrywania zjawisk dyfrakcji na pojedynczych otworach o różnych kształtach zawdzięczamy Huyghensowi, Fresnelowi i Kirchhoffowi. Rozważymy, dla uproszczenia, przypadek pojedynczego otworu o dowolnym kształcie, pokazany na rysunku. Fala świetlna dochodząca do punktu P będzie superpozycją wtórnych fal emitowanych przez fikcyjne oscylatory Huyghensa rozłożone w otworze i wzbudzane przez falę pierwotną emitowaną przez źródło. Zakładamy, że spełniony jest warunek Fraunhofera, zatem dwa promienie dochodzące z do otworu są do siebie równoległe (czyli że fala wychodząca z jest w przybliżeniu falą płaską). Przyjmijmy, że monochromatyczna fala płaska dochodząca do otworu może być opisana w środku otworu wzorem: ( t ) = exp[ i( kr ω )]. (7.) Do punktu x otworu, znajdującego się wyżej środka otworu, fala płaska dochodzi wcześniej i ma zatem fazę ( kr kx sin ωt ): ( t x, t) = exp[ i( kr kx sin ω )]. (7.3) Dla fali dochodzącej do punktu otworu o współrzędnych ( x, y) możemy zapisać ( t x, y, t) = exp[ ik( R x sin y sinφ ) iω ]. (7.4) Ze wzoru (7.4) wynika, że oscylatory Huyghensa rozłożone wzdłuż osi x i y w otworze będą wzbudzane z różnymi fazami i, w związku z tym, wypromieniują fale wtórne, które także 35
będzie miały odpowiednio przesunięte fazy. Za otworem wypromieniowana w kierunku określonym kątami ( φ, ) fala wynosi ( x, y, t) = ( x, y, t) exp[ ik( R x sin y sinφ )] =, (7.5) = exp[ ik( R + R x sin x sin y sinφ y sinφ ) iωt] gdzie kąty φ i φ odgrywają podobną rolę jak kąty i ; mianowicie ustalają położenia kątowe źródła i punktu obserwacyjnego P (patrz rysunek). Wypromieniowane elementem powierzchni wypadkową amplitudę Całkowite pole fali świetlnej w punkcie P będzie dane całką d = dxdy otworu fali będą mieli d ( x, y, t) = ( x, y, t) d. (7.6) ( P) = d ( x, y, t) = ( x, y, t) d (7.7) po całej powierzchni otworu, która jest często nazywana całką dyfrakcyjną (wzorem dyfrakcyjnym) Fresnela-Kirchhoffa. Wprowadźmy funkcję: 35
, dla x, y wewn. otworu T ( x, y) =, (7.8), dla x, y poza otwor. całkę dyfrakcyjną Fresnela- Kirchhoffa możemy zapisać w postaci i[ k ( R + R ) ωt ] ik[ x ( sin+ sin ) + y(sinφ + sinφ )] ( P) = e e T ( x, y) dxdy. (7.9) Warto zwrócić uwagę na specjalny punkt P, taki że = i φ = φ. Punkt P będzie leżał na prostej przechodzącej przez i początek układu O, który znajduje się w płaszczyźnie otworu. Dla punktu P ze wzoru (7.9) mamy i[ k ( R + R ) ωt ] ( P ) e T ( x, y) = dxdy. (7.) Biorąc pod uwagę (7.), wzór (7.9) możemy zapisać w postaci gdzie ( P) = ( P ) G ( P), (7.) G ( P) = T ( x, y) e ik[ x(sin+ sin ) + y(sinφ + sinφ ] T ( x, y) dxdy dxdy. Najbardziej interesuje nas natężenie światła w punkcie P, które, po uwzględnieniu (7.) na pole fali świetlnej wyrazi się następującym wzorem: I ) G ( ) ( P) = I ( P P, (7.) gdzie I P ) = ( P ) ( ). wymiarach ( P Dyfrakcja Fraunhofera na otworze prostokątnym Jako przykład wyliczenia całki Fresnela-Kirchhoffa rozpatrzymy otwór prostokątny o a b, pokazany na rysunku niżej. Oznaczmy: 353
α = a (sin + sin ), λ β = b (sinφ + sinφ ). λ Wówczas podwójna całka G (P) przyjmuje postać: G ( P) = ab a / e a / iπα ( x / a) dx b / e b / iπβ ( y / b) dy. (7.3) Każda z pojedynczych całek daje się łatwo scałkować; zrobimy to dla jednej z nich: a / iπα ( x / a) e a / a dx = e iπα iπα ( x / a) a / a / sin = a ( πα ) πα. Podobnie będzie z drugą całką, a zatem ostatecznie mamy: ( ) sin πα sin( πβ ) G ( P) =. πα πβ Natężenie światła w punkcie obserwacji P będzie równe: I ( ) sin πα sin ( πβ ) ( P ) = I ( P ) ( πα) ( πβ ). (7.4) Jedna z dwóch funkcji typu sin x / x występujących w powyższym wzorze jest pokazana na rysunku. Wszystkie zera pokazanej funkcji odpowiadają zerom funkcji sin x, a zatem ciemne miejsca na ekranie odpowiadają wartości parametru α (dla drugiej funkcji będzie to parametr β ) równej ±, ±, itd. 354
Maksymalną wartość funkcji sin πα /( πα) otrzymujemy w punkcie α =. Natężenie w każdym punkcie ekranu, zgodnie z (7.4) jest iloczynem dwóch takich funkcji, obraz nie będzie się zatem składał z prążków, tylko z plam występujących w punktach przecięciach jasnych prążków odpowiadających kolejnym maksimom obu omawianych funkcji. Największe natężenia wystąpią zatem w tych plamach dla których oba parametry α i β będą równe zero (zobaczymy zatem charakterystyczny krzyż). W przypadku wąskiej szczeliny ( b << a ) ze wzoru (7.4) przy β otrzymujemy I ( πα ) sin sin ( πa sin / λ) ( P) = I ( P ) = I ( P ). (7.4) ( πα) ( πa sin / λ) Tu założyliśmy, że = czyli czoło fali padającej jest równoległe do płaszczyzny xoy i. Graficzna konstrukcja Fresnela Wyliczenie całki dyfrakcyjnej Fresnela- Kirchhoffa nie zawsze jest tak łatwe. Rozważmy inną graficzną metodę, zaproponowaną przez Fresnela. Ta metoda czasami daje możliwość łatwo znaleźć dyfrakcyjny albo interferencyjny obraz. Metodę Fresnela zilustrujemy najpierw rozważając doświadczenie Younga dotyczące interferencji fal pochodzących od dwóch szczelin. Aby wyliczyć wypadkowe natężenie światła w doświadczeniu Younga dodawaliśmy dwa zaburzenia falowe postaci = sinωt, = sin( ωt + ), które miały tę samą ϕ częstość i amplitudę, a różniły się fazą o ϕ. 355
ω t ϕ ω t Wynik uzyskany został algebraicznie na podstawie prostych wzorów trygonometrycznych. Jednak metody analityczne stają się znacznie trudniejsze gdy dodajemy więcej zaburzeń falowych (funkcji typu prostą metodę graficzną. sin x, cos x ) i dlatego Fresnel wprowadził następującą ϕ ωt Harmoniczne (sinusoidalne albo cosinusoidalne) zaburzenie falowe może być przedstawione graficznie jako obracający się z prędkością kątową ω wektor, którego długość reprezentuje amplitudę. Taki wektor będziemy nazywać strzałką fazową (wskazem). Zmienne w czasie zaburzenie falowe = sinωt w chwili t przedstawione jest wtedy przez rzut tej strzałki na oś pionową (odpowiada to oczywiście pomnożeniu przez sin ωt ). Drugie zaburzenie falowe = sin( ωt + ϕ), o tej samej amplitudzie, różni się od fazą ϕ. Znajdujemy je podobnie jako rzut strzałki na oś pionową. Teraz 356
wystarczy dodać i żeby otrzymać wypadkowe zaburzenie. Widać to jeszcze lepiej gdy umieści się początek jednej strzałki na końcu poprzedniej zachowując różnicę faz (rysunek obok). Jako przykład zastosowania metody graficznej Fresnela rozważmy dyfrakcję na wąskiej szczelinie. Podzielmy szczelinę o szerokości a na N pasków o małej szerokości x. Każdy pasek jest źródłem fal kulistych Huyghensa, które wytwarzają na ekranie określone zaburzenie falowe. Różnica dróg między sąsiednimi paskami wynosi pomiędzy falami pochodzącymi z sąsiednich pasków wynosi r x sin stąd różnica faz ϕ ϕ = k r = k x sin, czyli π ϕ = xsin. (7.5) λ x sin P a P B C Zakładamy, że paski są tak wąskie, że wszystkie punkty na danym pasku mają tę samą drogę optyczną do punktu P. Dla małych kątów amplitudy zaburzeń falowych w punkcie P pochodzące od różnych pasków przyjmujemy za jednakowe. Zatem w puncie P dodaje się N pól elektrycznych o tej samej amplitudzie częstości i tej samej różnicy faz φ między kolejnymi wektorami., tej samej Na rysunku niżej przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku różnych miejsc na ekranie. Rys.(a) przedstawia warunki dla maksimum środkowego ( ϕ = ). Rys.(b) przed 357
stawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum środkowego( ϕ = 5 ). Rys.(c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum ( ϕ = 3 ). Rys.(d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza środkowym) ( ϕ = 4 ). Zwróćmy uwagę, że długość łuku jest zawsze równa M ale amplituda jest różna. Wektory na rysunku odpowiadają amplitudom (a nie natężeniom). Żeby otrzymać natężenia trzeba je podnieść do kwadratu. = M a) c) = d) b) Na rysunku niżej jest przedstawiona konstrukcja służąca do obliczenia natężenia światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. ytuacja odpowiada tej pokazanej na poprzednim rysunku (b). α α ϕ R R m ϕ m 358
Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele małych pasków o szerokości dx to łuk strzałek będzie łukiem koła o promieniu R. Długość łuku wynosi m czyli równa jest amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek). Kąt ϕ w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w łuku tzn. ϕ jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeliny. Jak widać z rysunku sin( ϕ / ) = ( / ) / R, czyli ϕ = R sin (7.6) m W mierze łukowej ϕ =. Podstawiając R = do równania (7.6) otrzymujemy R ϕ gdzie α = ϕ /. m sinα = m, (7.7) α Przypomnijmy, że kąt ϕ jest różnicą faz dla promieni wychodzących z krańców szczeliny. Ponieważ różnica dróg dla tych promieni wynosi ( a sin ), gdzie a - szerokość szczeliny, posługując się znanym związkiem różnica faz / π = różnica dróg / λ πa otrzymujemy ϕ = sin. kąd λ ϕ πa α = = sin (7.8) λ Biorąc pod uwagę wzory (7.7) i (7.8) znajdujemy następujący wzór na natężenie światła dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie w kierunku określonym przez kąt : I ( α ) sin sin ( πasin / λ) ( P) = I m = I m. (7.9) ( α) ( πasin / λ) Jest to wynik całkowicie zgodny z uzyskanym poprzednio rozważaniem ilościowym (patrz (7.4)). 359
Interferencja Fraunhofera na N jednakowych, równoodległych otworach (szczelinach) Na rysunku niżej jest pokazany układ, składający się z 6 otworów (szczelin) oświetlonych wiązką światła padającego prostopadle do ekranu (wiązki padającej nie pokazano). Ponieważ fala padająca dociera do wszystkich otworów w tej samej chwili czasu, różnica dróg dla fal rozchodzących się z sąsiednich otworów w stronę punktu P leżącego daleko na ekranie obserwacyjnym, pokazana na rysunku niżej dla otworów i, będzie równa ( a sin ). A zatem, jeżeli falę świetlną w punkcie P, pochodzącą od otworu, przedstawimy w postaci: = exp[ i( kr ωt)], (7.) to falę świetlną w punkcie P, pochodzącą od otworu można zapisać w następujący sposób: = exp[ i( kr + ka sin ωt)]. (7.) Zatem falę świetlną w punkcie P, pochodzącą od n -tego otworu można przedstawić w następujący sposób: 36
n = exp[ i( kr + ka ( n ) sin ωt)] = n exp( ika sin ), (7.) a całkowitą, wypadkową falę świetlną w punkcie P od N otworów będzie reprezentować następująca suma: N N ( P) = = exp[ ika( n ) sin ] n= n n=. (7.3) Korzystając ze wzoru N N n N b b = + b + b + + b =. b n= wzór (7.3) możemy zapisać w postaci (tu b = exp( ika sin ) exp( iπ δ ) ; δ = a sin / λ ): N ( P) = exp[ iπ ( n ) δ ] = n= = iπnδ iπnδ iπnδ iπnδ e e e e iπ ( N ) δ = πδ = πδ πδ πδ e i i i i e e e e sin sin ( πnδ ) ( πδ ). (7.4) Natężenie fali świetlnej w punkcie P będzie zatem równe: I( P) ( P) = F sin ( πδ ) sin ( πnδ ) ( ) I ( P), (7.5) gdzie funkcja I ( ) opisuje rozkład natężenia światła (punkt P jest punktem bieżącym na P ekranie obserwacyjnym), a zatem będzie zawierać efekty dyfrakcyjne, natomiast drugi czynnik, F, to czynnik interferencyjny, związany z nakładaniem się światła ugiętego na wszystkich otworach. Na rysunku (a) niżej są przedstawione dwie funkcje sin ( πn δ ) i sin ( πδ ) tworzące czynnik interferencyjny dla układu równoodległych i jednakowych otworów rozmieszczonych na osi Ox. Na rysunku (b) przedstawiono ich iloraz. b), będzie także okresowa z okresem zmiennej δ równym jeden. Dla δ całkowitych ( δ = m ; m =, ±, ±, itd.) wyrażenie 36
sin ( πnδ ) F =, (7.6) sin ( πδ ) jest nieoznaczone (typu / ). Przy δ ze wzoru (7.6) otrzymujemy: ( πnδ ) ( πδ ) sin ( πnδ ) F = = sin ( πδ ) N. (7.7) Łatwo wykazać, że dla innych δ całkowitych, ze względu na okresowość funkcji, wartości F muszą być takie same i równe N. Będą to wartości maksymalne, a odpowiadające im prążki jasne będziemy nazywali prążkami głównymi. Inne lokalne maksima funkcji F odpowiadać będą maksimom funkcji sin ( πn δ ) (a nie jej zerom, jak w przypadku maksimów głównych), a ich wartości będą znacznie mniejsze. Będą one odpowiadały tak zwanym jasnym prążkom bocznym albo wtórnym, a będzie ich, pomiędzy prążkami głównymi, N. Prążki jasne rozdzielone są prążkami ciemnymi, których będzie, pomiędzy dwoma kolejnymi prążkami głównymi, N. iatki dyfrakcyjne Własności układu wielu równoległych i równoodległych szczelin zostały wykorzystane w tzw siatkach dyfrakcyjnych, które umożliwiają jeden z najdokładniejszych pomiarów (długości fali światła) rutynowo wykonywanych przez fizyków pracujących w wielu różnych działach fizyki. Pierwsze siatki dyfrakcyjne zostały wykonane przez Fraunhofera już w 8 roku. Podstawowy rodzaj siatki dyfrakcyjnej, to tzw. siatka odbiciowa pokazana na rysunku 36
niżej. Ponieważ wiązka światła ze źródła nie pada na siatkę prostopadle (tylko pod kątem ) różnica faz dla fal ugiętych na sąsiednich otworach będzie składała się z dwóch podobnych wyrazów. Zatem maksima główne siatki dyfrakcyjnej tego typu muszą spełniać następujący warunek (patrz wzór (7.6)): ϕ k r a = = = π π λ a λ ( sin + ) = Φ = m δ sin, (7.8) Φ sin i m =, ±, ±,. Dla ustalonego kąta padania, dla każdego gdzie = ( sin + ) rzędu siatki m będziemy mieli wobec tego wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie pomiędzy kątem i długością fali λ. A zatem pomiar długości fali można sprowadzić do pomiaru położenia odpowiedniego prążka, który może być wykonany bardzo dokładnie. W praktyce robi to się najczęściej nieco inaczej; przy ustalonych kierunkach do punktów P i (których rolę grają szczeliny wyjściowa i wejściowa spektrometru), obracamy całą siatką i mierzymy jej kąt obrotu. Przyrządy takie często nazywa się monochromatorami. Kryterium Rayleigha Bardzo ważną sprawą w przypadku przyrządów takich jakich monochromatory czy spektrografy jest ich rozdzielczość spektralna, tzn zdolność rozróżnienia dwóch bliskich długości fali. Rozważmy ten problem na przykładzie omawianej wyżej odbiciowej siatki dyfrakcyjnej. Zgodnie z kryterium Rayleigha, dwa prążki główne, odpowiadające różnym 363
długościom fali λ i λ można rozróżnić, gdy maksimum pierwszego przypada nie bliżej niż na pierwszy minimum drugiego. Na rysunku pokazano rozkład natężeń dla którego, zgodnie z tzw kryterium Rayleigha, można jeszcze rozróżnić dwie bliskie długości fali, λ i λ. Kryterium to jest oczywiście trochę arbitralne, ale jest to w tej sytuacji nieuniknione. Pierwsze, najbliższe do głównego maksimum (7.8), minima dla długości fali λ wypadają, zgodnie z (7.6), dla δ = m ±/ N, a zatem: a δ min = Φ = m ±. (7.9) λ N Ze wzorów (7.8) i (7.9) znajdujemy a a δ ( ) max δ min = Φ Φ = Φ =. (7.3) λ λ N Tu zgodnie z (7.8) δ = a Φ / λ = m max. Z drugiej zaś strony, ze wzoru (7.8) otrzymujemy następujący ogólny związek pomiędzy długością fali λ i wielkością Φ : λ = a Φ / m. kąd a λ = Φ. (7.3) m Zestawiając razem wzory (7.3) i (7.3) otrzymujemy ostatecznie wyrażenie na najmniejszą możliwą różnicę długości fali: 364
a a λ λ λ = Φ = = (7.3) m m an mn lub też, w innej, bardziej przyjętej postaci: λ = R λ = m N, (7.33) gdzie R nazywa się zdolnością rozdzielczą. 365