Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk
Krzywa wieża w Pizie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 4,9642 4,9644 4,9656 4,9667 4,9673 4,9688 4,9696 4,9698 4,9713 4,9717 4,9725 4,9742 4,9757 Szeregiem czasowym nazywamy zbiór warości cechy w uporządkowanych chronologicznie różnych momenach (przedziałach) czasu. Oznaczając przez 1,..., n momeny (przedziały) czasu, w kórych obserwowano warości pewnej zmiennej, a przez y wyniki obserwacji, szereg czasowy zapisujemy jako zbiór {y ; =1,...n}
laa Ekspor 1995 78 233,9 1996 94 239,7 1997 120 634,7 1998 156 122,1 1999 161 040,1 2000 201 907,8 2001 210 919,1 2002 231 535,0 2003 280 887,6 2004 346 630,8 2005 364 657,6 2006 427 145,5 Ekspor owarów i usług w Polsce w mln zł w laach 1995-2006 450 000,0 400 000,0 350 000,0 300 000,0 250 000,0 200 000,0 150 000,0 Ekspor w Polsce w laach 1995-2006 (mln zł) 100 000,0 50 000,0 0,0 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Ekspor
SKŁADNIKI SZEREGU CZASOWEGO endencja rozwojowa (rend) - ogólny kierunek zmian zjawiska w czasie będący wynikiem sysemaycznych, jednokierunkowych zmian (spadek lub wzros) poziomu badanego zjawiska wahania okresowe - rymiczne wahania poziomu badanego zjawiska o określonym cyklu (okresie przebiegu) (regularne odchylenia warości cechy od rendu) wahania koniunkuralne - sysemowe wahania poziomu badanego zjawiska obserwowane w dłuższych od roku okresach wahania przypadkowe - nieregularne, nieprzewidywalne zarówno co do kierunku jak i siły zmiany poziomu badanego zjawiska
METODA ANALITYCZNA Modele endencji rozwojowej sosujemy do prognozowania na podsawie szeregów czasowych, w kórych wysępują rend oraz wahania przypadkowe. Rolę zmiennej objaśniającej odgrywa zmienna czasowa. Nie jes ona bezpośrednią przyczyną zmian zachodzących w warościach zmiennej prognozowanej, ale syneyzuje wpływ bliżej nie znanych czynników, swarza możliwość opisu ych zmian w sposób ilościowy.
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW METODA ANALITYCZNA Posać liniowego modelu endencji rozwojowej 0 ), ( ), cov( ) ( 0 ) ( 2 2 s s E D E Y ) 1,2,..., ( n s dla
MNK Zakładając, że do opisu endencji rozwojowej (rendu) sosujemy funkcję liniową dobieramy ak warości współczynników równania linii prosej, aby jej wykres możliwie dobrze "pasował" do punków reprezenujących na wykresie poszczególne obserwacje z próby: S ˆ ˆ n 1 0 n n y y 2 y ˆ y 2 2 min 1 n n 1
450 000,0 Ekspor w Polsce w laach 1995-2006 (w mln zł) 400 000,0 350 000,0 300 000,0 250 000,0 200 000,0 150 000,0 100 000,0 50 000,0 0,0 MNK 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 30412, 88 25145, 74 Ekspor R² = 0,9629 Liniowy (Ekspor)
Prognoza (predykcja) Żeby użyć modelu do budowy prognoz rzeba założyć: a) sabilność relacji srukuralnych w czasie = posać analiyczna modelu i warość ocen jego paramerów nie ulegną zmianie w przedziale czasu, dla kórego wyznacza się prognozę, b) sabilność rozkładu składnika losowego (umożliwia ocenę błędu ex ane prognozy).
Predykcja dla 2009 (=15) ˆ p y 30412,88 15 25145,74 481339 Średni błąd predykcji S ˆ 1 Y S 1 n p e n i1 p i 2 2 19176 1 1 12 (15 143 6,5) 2 24169
1 )) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ( 2, 2, p n p p p n p Y S Y Y Y S Y P Predykcja na podsawie rendu Przedział ufności dla 2009 (=15) sopnie swobody v = n 2 => v=10, współczynnik ufności 1-α=0,90 437532,94 < < 525144,94 p Y
WYODRĘBNIANIE SKŁADNIKÓW SZEREGU CZASOWEGO TREND 1. FUNKCJA TRENDU METODA ANALITYCZNA 2. ŚREDNIE RUCHOME METODA WYRÓWNYWANIA MECHANICZNEGO średnie ruchome zwykłe średnie ruchome scenrowane
średnie ruchome zwykłe - oblicza się z nieparzysej liczby sąsiadujących ze sobą wyrazów szeregu, ak aby uzyskany wynik móc przyporządkować całkowiej warości znajdującej się w środku uwzględnionego w obliczeniach przedziału czasowego:
Ekspor Ekspor w Polsce w w Polsce laach w 1995-2006 laach 1995-2006 (mln zł) 450 000,0 400 000,0 350 000,0 300 000,0 250 000,0 200 000,0 150 000,0 100 000,0 50 000,0 0,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ekspor średnie Ekspor ruchome 3-okresowe
średnie ruchome scenrowane - oblicza się z parzysej liczby sąsiadujących ze sobą wyrazów szeregu, uwzględniając połowę warości pierwszego wyrazu z danego cyklu wahań, nasępnie wszyskie pozosałe wyrazy składające się na pełny cykl wahań oraz połowy warości pierwszego wyrazu z nasępnego cyklu wahań:
310,0 Produk krajowy bruo w Polsce w laach 2000-2006 (mln zł) 290,0 270,0 250,0 230,0 210,0 190,0 170,0 150,0 PKB średnie ruchome
WSKAŹNIKI WAHAŃ OKRESOWYCH DLA SZEREGU CZASOWEGO Z TRENDEM dla sezonowości addyywnej: ampliuda wahań w kolejnych okresach nie będzie rosła wraz ze wzrosem średniego poziomu (nie będzie z nim dodanio skorelowana) dla sezonowości muliplikaywnej: ampliuda wahań w kolejnych okresach będzie rosła wraz ze wzrosem średniego poziomu (będzie z nim dodanio skorelowana) y = T + S + e y = T O e
WSKAŹNIKI WAHAŃ OKRESOWYCH DLA SZEREGU CZASOWEGO Z TRENDEM WAHANIA OKRESOWE ADDYTYWNE d i1 S i 0
kwarały S' i S i I -11,992-11,903 II -4,132-4,044 III -3,449-3,360 IV 19,219 19,307 suma -0,354 0,000 d i1 S i 0 Skorygowane wahania okresowe (suma odchyleń okresowych w obrębie cyklu wahań równa zeru) k 1 d d i1 ' ' Si i 1,2,..., d S S k i 1,2,..., i i d
kwarały O' i O i I 0,527 0,530 II 1,210 1,217 III 1,503 1,512 IV 0,737 0,742 suma 3,977 4,000 d 0 i1 i d k d d 0 i1 i - wskaźnik korygujący 0 i 0 i k
2000-I 2000-II 2000-III 2000-IV 2001-I 2001-II 2001-III 2001-IV 2002-I 2002-II 2002-III 2002-IV 2003-I 2003-II 2003-III 2003-IV 2004-I 2004-II 2004-III 2004-IV 2005-I 2005-II 2005-III 2005-IV 2006-I 2006-II 2006-III 2006-IV ELIMINACJA WAHAŃ SEZONOWYCH Z SZEREGU CZASOWEGO Wahania okresowe addyywne ~ y y S ; N i i 310,00 PKB w Polsce w laach 2001-2006 (w mln zł) 290,00 270,00 250,00 230,00 210,00 190,00 170,00 150,00 PKB szereg oczyszczony z z wahań okresowych
ELIMINACJA WAHAŃ SEZONOWYCH Z SZEREGU CZASOWEGO Wahania okresowe muliplikaywne ~ y y / 0 ; N i i 300000 Turyści zagraniczni w Krakowie w laach 2001-2006 250000 200000 150000 100000 50000 0 uryści zagraniczni szereg oczyszczony z wahań Szereg oczyszczony z wahań okresowych
ADDYTYWNY, LINIOWY MODEL TENDENCJI ROZWOJOWEJ PRZY UWZGLĘDNIENIU WAHAŃ OKRESOWYCH Y X X X X 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 n,,...,, gdzie X i i 1 4,..., są zmiennymi zero-jedynkowymi reprezenującymi poszczególne podokresy cyklu: X i 1, dla obserwacji doyczących i-ego kwarału, 0, dla obserwacji doyczących pozosałych kwarałów.
ANALIZA WAHAŃ OKRESOWYCH WSKAŹNIKI WAHAŃ OKRESOWYCH DLA SZEREGU CZASOWEGO BEZ TRENDU Turyści krajowi w Krakowie w laach 2001-2004 (w ys) 140 130 120 110 100 y 90 80 70 60 2001-I 2001-II 2001-III 2001-IV 2002-I 2002-II 2002-III 2002-IV 2003-I 2003-II 2003-III 2003-IV 2004-I 2004-II 2004-III 2004-IV uryści krajowi Średnia liczba urysów na kwarał Liniowy (uryści krajowi) w laach 2001-2004
=100,9 ys. kwarały średnie I 81 II 126,5 III 103,5 IV 92,5 ogólna 100,9 średnia liczba urysów krajowych w Krakowie na kwarał w laach 2001-2004
względny wskaźnik wahań okresowych: y i 0i ; i 1, 2,..., d y 0 1 100% Warość wyrażenia i mówi, o ile procen warości zjawiska obserwowane w i-ym podokresie cyklu są, na skuek wahań okresowych, przecięnie wyższe (znak +) lub niższe (znak -) od średniego zjawiska określonego przez rend. O i kwarały I 0,803 II 1,254 III 1,026 IV 0,917 suma 4,000 absoluny wskaźnik wahań okresowych Si yi y i 1,2,..., d S i kwarały I -19,875 II 25,625 III 2,625 IV -8,375 suma 0,000