Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2006/07
Splot Jedna z najważniejszych własności transformaty Fouriera jest to, że transformata splotu jest iloczynem transformat. Chcielibyśmy zachować tę własność także po dyskretyzacji (próbkowaniu) sygnału. Najpierw jednak trzeba zdefiniować dyskretny splot sygnałów o skończonym czasie trwania: (r s) j = M/2 k= M/2+1 s j k r k. (1) 2. Splot. Widmo mocy. 2
Jeśli splatam dwa sygnały o czasach trwania M 1, M 2, w powyższym równaniu M = max(m 1, M2) krótszy sygnał uzupełnia się zerami do długości M, przy czym należy pamiętać o założeniu, że sygnały sa okresowe! W praktyce jeden z sygnałów będzie funkcja odpowiedzi (zwana też funkcja przejścia) pewnego układu liniowego i jego czas trwania będzie znacznie mniejszy od czasu trwania sygnału wejściowego. Wówczas na wyjściu dostaniemy splot sygnału wejściowego i funkcji odpowiedzi. 2. Splot. Widmo mocy. 3
Funkcja przejścia pewnego filtru 2. Splot. Widmo mocy. 4
Wejście Wyjście 011111 0000 00000 0 001111 1000 00000 0.125 000111 1100 00000 0.625 000011 1110 00000 1.625 000001 1111 00000 1.75 000000 1111 10000 1.75 000000 0111 11000 1.625 000000 0011 11100 1.125 000000 0001 11110 0.125 000000 0000 11111 0 0.125A + 0.5B + C + 0.125D 2. Splot. Widmo mocy. 5
Impuls prostokatny spleciony z funkcja przejścia we t wy 2. Splot. Widmo mocy. 6
Splot sygnału i funkcji przejścia original convolution response 0 0 Końce sa popsute! 2. Splot. Widmo mocy. 7
Splot sygnału i funkcji przejścia original convolution response 0 0 Końce naprawione dzięki uzupełnianiu zerami 2. Splot. Widmo mocy. 8
Sposób postępowania 1. Uzupełniam sygnał wejściowy tyloma zerami, ile potrzeba do wypełnienia dłuższego ogona funkcji przejścia (niekiedy, dla zapewnienia szybkości obliczeń, najpierw muszę sygnał obciać). 2. Liczę FFT dwu sygnałów (sygnału wejściowego i funkcji odpowiedzi) jednocześnie. 3. Mnożę transformaty. 4. Dokonuję odwrotnej FFT. Całkowity koszt operacji O(2N log N) 2. Splot. Widmo mocy. 9
Nienumeryczne (?) wykorzystanie splotu Dane sa dwa wielomiany A(z), B(z) stopnia co najwyżej n: A(z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, (2a) B(z) = b n z n + b n 1 z n 1 + + b 1 z + b 0. (2b) Ile wynosza współczynniki ich iloczynu, C(z) = A(z) B(z)? Mamy c 2n = a n b n (3a) c 2n 1 = a n b n 1 + a n 1 b n (3b) c 2n 2 = a n b n 2 + a n 1 b n 1 + a n 2 b n (3c)... c 0 = a 0 b 0 (3d) Suma indeksów w każdym iloczynie po prawej równa jest indeksowi po lewej. 2. Splot. Widmo mocy. 10
Ogólnie gdzie c l = ã s, b s = n k=0 ã k b l k, l = 0, 1,..., 2n, (4a) a s, b s s = 0, 1,..., n 0 s = n + 1, n + 2,..., 2n (4b) oraz używam okresowości (sic!) sygnałów do wyliczania współczynników z u- jemnymi indeksami: b j = b 2n j+1 = 0 dla j = 1, 2,..., n. Współczynniki iloczynu sa splotem współczynników obu wielomianów. Można je zatem znaleźć w czasie O(2n log 2n), nie O(n 2 ), jak by się wydawało. (Rozszerzenie {a s, b s } {ã s, b s } od razu załatwia problem wypełniania zerami.) 2. Splot. Widmo mocy. 11
Zastosowanie mnożenie dużych liczb w reprezentacji binarnej x = y = n j=0 n j=0 a j 2 j, b j 2 j, (5a) (5b) gdzie a j, b j = {0, 1}. Prawe strony sa wielomianami postaci (2) obliczanymi w z = 2. Iloczyn xy jest także wielomianem, którego współczynniki sa dane odpowiednim splotem. Dla odpowiednio dużego n czas obliczenia iloczynu przez FFT będzie mniejszy od czasu liczenia wprost! 2. Splot. Widmo mocy. 12
Widmo mocy Ciagłe widmo mocy: P (f) gęstość mocy zawartej w przedziale częstotliwości (f, f + df). Dyskretne widmo mocy: P (f n ) estymator gęstości mocy zawartej w przedziale częstotliwości (f n 1/(2N ), f n + 1/(2N )). 2. Splot. Widmo mocy. 13
Widmo dyskretne jest przybliżeniem widma prawdziwego prawdziwe widmo widmo dyskretne kanał n kanał n-1 kanał n+1 f n 2. Splot. Widmo mocy. 14
Periodogram Zgodnie z twierdzeniem Wienera-Chinczyna, widmo mocy sygnału stacjonarnego jest transformata Fouriera funkcji autokorelacji, a zatem jest równe kwadratowi modułu transformaty Fouriera. Teraz trzymanie ujemnych częstotliwości jest niewskazane sin 2πft i cos 2πft maja tę sama częstość, a mówiac nieco bardziej ściśle, widmo mocy nie niesie żadnej informacji o fazie. Estymatorem dyskretnego widma mocy jest zatem periodogram: P (0) = G(0) 2, (6a) P (f n ) = [ G(f n ) 2 + G(f n ) 2], n = 1, 2, N 2 1 (6b) P (f N/2 ) = G(f N/2 ) 2. (6c) Przy obliczaniu dyskretnego widma mocy, trzeba szczególnie uważać na stosowana konwencję odnośnie normalizacji i kolejności zapisu składowych fourierowskich! 2. Splot. Widmo mocy. 15
Zaszumiony sygnał 4 3 2 1 0 s(t) -1-2 -3-4 -5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 t 2. Splot. Widmo mocy. 16
10 3 Widmo mocy prezentowanego sygnału 10 2 10 1 P(f) 10 0 10-1 10-2 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 f 2. Splot. Widmo mocy. 17
Widmo mocy uśrednione po 64 realizacjach szumu 10 3 10 2 10 1 P(f) 10 0 10-1 10-2 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 16 f 2. Splot. Widmo mocy. 18
Wyciekanie widma (leakage) Okazuje się przy tym, iż widmo mocy zawarte w pewnym kanale przecieka do innych kanałów odległych o s zgodnie ze wzorem P (k s) = 1 N 2 [ sin(πs) sin(πs/n) ] 2. (7) 2. Splot. Widmo mocy. 19
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 s 2. Splot. Widmo mocy. 20
Funkcje okna Często aby wygładzić widmo oraz aby zmniejszyć wyciekanie mocy do sasied- nich kanałów, stosuje się funkcje okna: Szereg domnażamy przez funkcję, która zanika na poczatku i końcu szeregu i jest bliska jedności w środku, a następnie obliczamy transformatę tak zmodyfikowanego szeregu: D n = 1 N 1 N k=0 g k w k e 2πink/N. (8) 2. Splot. Widmo mocy. 21
Periodogram ma postać: P (0) = 1 W D 0 2, (9a) P (f n ) = 1 W P ( ) 1 f Nyq = W D N/2 2, W = N 1 k=0 [ Dn 2 + D n 2], (9b) w 2 k. (9c) (9d) 2. Splot. Widmo mocy. 22
Najczęściej stosowanymi funkcjami okna sa: Okno Barletta: w k = 1 k N/2 N/2. (10) Okno Hanna: w k = 1 2 [ 1 cos ( 2πk N )]. (11) Okno Welcha: w k = 1 ( ) 2 k N/2. (12) N/2 2. Splot. Widmo mocy. 23
1.0 0.9 Funkcje okna Hann Barlett Welch 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 N/2 N 2. Splot. Widmo mocy. 24
10 3 Widmo uśrednione, okno prostokatne 10 2 10 1 P(f) 10 0 10-1 10-2 1.00 1.25 1.50 f 2. Splot. Widmo mocy. 25
10 3 Widmo uśrednione, okno Barletta 10 2 10 1 P(f) 10 0 10-1 10-2 1.00 1.25 1.50 f 2. Splot. Widmo mocy. 26
10 3 Widmo uśrednione, okno Hanna 10 2 10 1 P(f) 10 0 10-1 10-2 1.00 1.25 1.50 f 2. Splot. Widmo mocy. 27
10 3 Widmo uśrednione, okno Welcha 10 2 10 1 P(f) 10 0 10-1 10-2 1.00 1.25 1.50 f 2. Splot. Widmo mocy. 28
10 3 okno prostokatne 10 3 okno Barletta 10 2 10 2 10 1 10 1 P(f) P(f) 10 0 10 0 10-1 10-1 10-2 1.00 1.25 1.50 10 3 f okno Hanna 10 2 10-2 1.00 1.25 1.50 10 3 f okno Welcha 10 2 10 1 10 1 P(f) P(f) 10 0 10 0 10-1 10-1 10-2 1.00 1.25 1.50 f 10-2 1.00 1.25 1.50 f 2. Splot. Widmo mocy. 29
Widmo mocy sygnałów niestacjonarnych Twierdzenie Wienera-Chinczyna pozwala wiazać periodogram tylko z widmem mocy sygnałów stacjonarnych. Co robić z sygnałami niestacjonarnymi? Dzielimy cały sygnał na zachodzace na siebie segmenty, w których sygnał jest w przybliżeniu stacjonarny, następnie obliczamy periodogram dla każdego segmentu. W ten sposób dostajemy widmo zależne od czasu. 2. Splot. Widmo mocy. 30
1.0 0.5 P(f) 32 g(t) 0.0 24-0.5 0 1 f 2 3 4 0 8 16 t 0 4 8 12 16 20 24 28 32 t Po lewej sygnał niestacjonarny. Po prawej jego zależne od czasu widmo. 2. Splot. Widmo mocy. 31
Inny przykład sygnału niestacjonarnego 80 Dzienne urodziny w Kalifornii w 1959 70 60 urodziny 50 40 30 20 10 0 64 128 192 256 320 dzień 2. Splot. Widmo mocy. 32
Zależne od czasu widmo P(t,f) 32 64 96 128 160192 t 224 256288-4 2 2-5 -2 2 2-3 f 2-1 2. Splot. Widmo mocy. 33
Zależne od czasu widmo (okno Welcha) P(t,f) 32 64 96 128 160192 t 224 256288-4 2 2-5 -2 2 2-3 f 2-1 2. Splot. Widmo mocy. 34