Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp 1.1. Prawdopodobieństwo klasyczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska
Definicja Zadaliśmy pytanie. Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Dla każdego z nich z osobna, jaka jest szansa na to, że wygra?
Definicja Spójrzmy najpierw okiem z XVIII wieku. W 1711 roku de Moivre zaproponował prawdopodobieństwo klasyczne, które zakłada, że wszystkie możliwe wyniki są równo prawdopodobne. Zbiór możliwych wyników: Ω = {0, 1, 2,..., 36} (37 możliwych wyników) Każdy z możliwych wyników zachodzi z prawdopodobieństwem 1 37
Definicja Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola zagrali w ruletkę. (A) Bolek postawił na czerwone ; (B) Lolek położył żeton na 0 ; (C) a Tola na pierwsze 12. Jaka jest szansa na to, że B/L/T wygra? Prawdopodobieństwo klasyczne Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich możliwych wyników eksperymentu. Jeśli każdy wynik jest równo prawdopodobny, wtedy prawdopodobieństwo, że wynik należy do zbioru A Ω P (A) = A Ω
Wariacje z powtórzeniami Często, aby określić, ile jest możliwych wyników eksperymentu, musimy wykorzystać kombinatoryczne metody przeliczania. Przykład 2 Ile jest możliwych wyników 3 rzutów kostką?
Wariacje z powtórzeniami Często, aby określić, ile jest możliwych wyników eksperymentu, musimy wykorzystać kombinatoryczne metody przeliczania. Przykład 2 Ile jest możliwych wyników 3 rzutów kostką? Przykład 3 W urnie znajduje się 6 kul ponumerowanych od 1 do 6. Losujemy 3 razy kolejno ze zwracaniem po jednej kuli. Ile jest możliwych wyników eksperymentu?
Wariacje z powtórzeniami Często, aby określić, ile jest możliwych wyników eksperymentu, musimy wykorzystać kombinatoryczne metody przeliczania. Przykład 2 Ile jest możliwych wyników 3 rzutów kostką? Przykład 3 W urnie znajduje się 6 kul ponumerowanych od 1 do 6. Losujemy 3 razy kolejno ze zwracaniem po jednej kuli. Ile jest możliwych wyników eksperymentu? Przykład 4 W urnie znajduje się n kul ponumerowanych od 1 do n. Losujemy k razy kolejno ze zwracaniem po jednej kuli. Ile jest możliwych wyników eksperymentu?
Wariacje z powtórzeniami Wariacje z powtórzeniami n k : tyle jest k elementowych ciągów o wyrazach ze zbioru n elementowego (elementy mogą się powtarzać w ciągu); na tyle sposobów możemy wybrać kolejno ze zwracaniem k elementów ze zbioru n elementowego; na tyle sposobów możemy wybrać kolejno ze zwracaniem k razy jeden element ze zbioru n elementowego;
Wariacje bez powtórzeń Przykład 6 W urnie znajduje się 6 kul ponumerowanych od 1 do 6. Losujemy kolejno bez zwracania 3 z nich. Ile jest możliwych wyników eksperymentu?
Wariacje bez powtórzeń Przykład 6 W urnie znajduje się 6 kul ponumerowanych od 1 do 6. Losujemy kolejno bez zwracania 3 z nich. Ile jest możliwych wyników eksperymentu? Przykład 7 W urnie znajduje się n kul ponumerowanych od 1 do n. Losujemy kolejno bez zwracania k z nich (k n). Ile jest możliwych wyników eksperymentu?
Wariacje bez powtórzeń Wariacje bez powtórzeń (n) k = n (n 1)... (n k + 1) = n! (n k)! : tyle jest k elementowych ciągów o wyrazach ze zbioru n elementowego, w których elementy nie mogą się powtarzać; na tyle sposobów możemy wybrać kolejno bez zwracania k elementów ze zbioru n elementowego; na tyle sposobów możemy wybrać kolejno bez zwracania k razy jeden element ze zbioru n elementowego; na tyle sposobów możemy wybrać kolejno k różnych elementów ze zbioru n elementowego;
Permutacje Przykład 9 Na ile sposobów możemy potasować talię 24 kart?
Permutacje Przykład 9 Na ile sposobów możemy potasować talię 24 kart? Permutacje n! = n (n 1)... 2 1: na tyle sposobów możemy ustawić n elementów w rzędzie.
Kombinacje bez powtórzeń Przykład 10 W urnie znajduje się 6 kul ponumerowanych od 1 do 6. Losujemy jednocześnie/na raz 3 z nich. Ile jest możliwych wyników eksperymentu? Przykład 10 bis W urnie znajduje się 6 kul ponumerowanych od 1 do 6. Losujemy 3 z nich. Ile jest możliwych wyników eksperymentu, jeśli kolejność kul nie jest istotna?
Kombinacje bez powtórzeń Przykład 10 W urnie znajduje się 6 kul ponumerowanych od 1 do 6. Losujemy jednocześnie/na raz 3 z nich. Ile jest możliwych wyników eksperymentu? Przykład 10 bis W urnie znajduje się 6 kul ponumerowanych od 1 do 6. Losujemy 3 z nich. Ile jest możliwych wyników eksperymentu, jeśli kolejność kul nie jest istotna? Przykład 11 W urnie znajduje się n kul ponumerowanych od 1 do n. Losujemy k z nich. Ile jest możliwych wyników eksperymentu jeśli losujemy jednocześnie lub kolejność wylosowania kul nie jest istotna?
Kombinacje bez powtórzeń Kombinacje bez powtórzeń ( n ) k = (n) k k! = n! (n k)!k! : tyle jest k elementowych zbiorów o wyrazach ze zbioru n elementowego; na tyle sposobów możemy wybrać jednocześnie/na raz k elementów ze zbioru n elementowego; na tyle sposobów możemy wybrać k elementów ze zbioru n elementowego jeśli kolejność wyborów nie jest istotna;
Kombinacje bez powtórzeń Przykład 5 Rzucamy 100 razy uczciwą kostką. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że nie wypadnie ani jedna 6? Przykład 8 W rozdaniu w pokera z talii 24 dostajemy kolejno 5 różnych kart. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane karty to piki?
Literatura Dobra rada Polecamy lekturę: