Struktury zgrubne indukowane przez działanie grupy

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Radosław Burny Nr albumu: 277508 Struktury zgrubne indukowane przez działanie grupy Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA specjalność ZASTOSOWANIA MATEMATYKI Praca wykonana pod kierunkiem dra Tadeusza Koźniewskiego Instytut Matematyki Czerwiec 2011

Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy

Streszczenie W poniższej pracy badam działania grup na przestrzeniach zgrubnych. Rozważam sytuacje, w których działanie grupy indukuje strukturę zgrubną na zbiorze. Następnie dowodzę tw. Gromowa, charakteryzującego zgrubną równoważność przestrzeni poprzez zgrubne działania przemienne grup, spełniające pewne dodatkowe założenia naturalne dla geometrii wielkiej skali. Słowa kluczowe przestrzeń zgrubna, działanie zgrubne grupy, struktura zgrubna indukowana, kwazi-izometria grup, lemat Švarca-Milnora 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) Klasyfikacja tematyczna 54. General topology 54C. Maps and general types of spaces defined by maps 54C55. Absolute neighborhood extensor, absolute extensor, absolute neighborhood retract (ANR), absolute retract spaces (general properties) Coarse structures induced by group action Tytuł pracy w języku angielskim

Spis treści Wprowadzenie....................................... 5 1. Podstawowe pojęcia.................................. 7 2. Struktury zgrubne na grupach........................... 9 3. Struktury zgrubne indukowane przez działanie grupy............ 11 4. Działania jednostajnie bornologiczne....................... 15 5. Działania zgrubnie właściwe i koograniczone.................. 17 6. Działania zgrubne................................... 19 7. Działania topologiczne................................ 21 Bibliografia......................................... 25 3

Wprowadzenie W [BDM] autorzy rozważają działania grup na przestrzeniach zgrubnych oraz sytuacje, w których działanie grupy indukuje strukturę zgrubną na zbiorze. Badają także jedyność indukowanych struktur. Autorzy korzystają równolegle z dwóch równoważnych (ale różniących się pod względem technicznym) definicji struktury zgrubnej: 1. standardowej, według [Roe], opartej o podzbiory kontrolowane X X. 2. wprowadzonej w [DH], opartej o rodziny jednostajnie ograniczone w X. Głównymi wynikami pracy są dowody następujących faktów: Stwierdzenie 0.1. Grupa G działająca na przestrzeni zgrubnej (X, C) indukuje zgrubną równoważność g gx 0 z G do X dla każdego x 0 X. Twierdzenie 0.2. Grupy G i H są zgrubnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją przemienne, topologiczne działania G i H na pewnej lokalnie zwartej przestrzeni X. Uogólniają one następujące klasyczne wyniki geometrii zgrubnej: Stwierdzenie 0.3. (Lemat Švarca-Milnora). Grupa G działająca właściwie i kozwarcie przez izometrie na przestrzeni z długością X jest skończenie generowana i indukuje kwazi-izometryczną równoważność g gx 0 z G do X dla każdego x 0 X. Twierdzenie 0.4. [Gromov, str. 6]. Skończenie generowane grupy G i H są kwazi-izometryczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją przemienne, topologiczne działania G i H na pewnej przestrzeni lokalnie zwartej X. Celem niniejszej pracy jest zreferowanie [BDM] w standardowej terminologii geometrii zgrubnej oraz poprawienie licznych luk i nieścisłości. 5

Rozdział 1 Podstawowe pojęcia Oznaczenie. Jeśli funkcja f działa na zbiorze X, to przez zastosowanie jej do elementu X n będę rozumiał działanie po współrzędnych. Przykładowo, x,y X f(x, y) = (f(x), f(y)) oraz f 1 (x, y) = f 1 (x) f 1 (y). Definicja 1.1. Jeśli (X, C X ) jest przestrzenią zgrubną, to U X jest ograniczony, gdy U U jest kontrolowany (równoważnie: {x} U jest kontrolowany dla pewnego x X). Funkcja f : (X, C X ) (Y, C Y ) jest właściwa, jeśli f 1 (U) jest ograniczony dla każdego ograniczonego podzbioru U w Y. f jest bornologiczna (jednostajna wielkiej skali), jeżeli f(e) C Y dla każdego E C X. f jest zgrubna, jeśli jest właściwa i bornologiczna. Definicja 1.2. Funkcje f, g : S (X, C X ) są bliskie, jeśli zbiór {(f(s), g(s))} s S jest kontrolowany. Funkcja zgrubna f : (X, C X ) (Y, C Y ) jest zgrubną równoważnością, jeżeli istnieje funkcja zgrubna g : (Y, C Y ) (X, C X ) taka, że f g jest bliskie id Y oraz g f jest bliskie id X. Oto proste kryterium sprawdzania zgrubnej równoważności: Lemat 1.3. Surjektywna, bornologiczna funkcja f : (X, C X ) (Y, C Y ) jest zgrubną równoważnością wtedy i tylko wtedy, gdy f 1 (E Y ) C X dla każdego E Y C Y. Dowód. Niech g : Y X będzie funkcją wyboru y f 1 (y) oraz E X = f 1 ( Y ). ( ) Weźmy h : (Y, C Y ) (X, C X ) bornologiczną i taką, że h f jest E 1 -bliskie id X dla pewnego E 1 C X. Wówczas E 1 {(h f(x), x)} x X = y Y {h(y)} f 1 (y). Stąd E X E1 1 E 1 C X. Ponadto h = h f g jest E 1 -bliskie id X g = g, zatem g jest także bornologiczna. Stąd g(e Y ) C X. Wystarczy pokazać, że f 1 (E Y ) E X g(e Y ) EX 1. Istotnie, jeśli (y 1, y 2 ) E Y, to f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) = (f 1 (y 1 ) {g(y 1 )}) {(g(y 1 ), g(y 2 ))} ({g(y 2 )} f 1 (y 2 )). ( ) Jeśli B Y ograniczony, to E = B B C Y, więc f 1 (E) = f 1 (B) f 1 (B) C X. Stąd f 1 (B) ograniczony, zatem f jest właściwa. Ponadto, EY C Y g(e Y ) f 1 (E Y ) C X, więc g bornologiczna. Dla każdego U ograniczonego w X, g 1 (U) f(u), co jest ograniczone w X (z bornologiczności f). Stąd g jest także właściwa. Wreszcie f g = id Y oraz g f jest E X -bliskie id X (E X jest kontrolowany wprost z założenia). Funkcja g dowodzi więc, że f jest zgrubną równoważnością. Wniosek 1.4. Jeśli f : (X, C X ) (Y, C Y ) jest zgrubną równoważnością, to f 1 (E Y ) C X dla każdego E Y C Y. 7

Dowód. Zauważmy, że f jest zgrubną równoważnością na swój obraz. Istotnie, niech g będzie funkcją z definicji 1.2. Niech f : X Im(f) działa zgodnie z f, oraz g = g Im(f). Zbiory kontrolowane/ograniczone w Im(f) z indukowaną strukturą strukturą zgrubną są odpowiednio kontrolowane/ograniczone w Y. Stąd natychmiast wynika zgrubność f oraz bornologiczność g. Jeśli B X ograniczony, to g 1 (B) g 1 (B). Ponieważ to jest zbiór ograniczony, to g jest właściwa. Ponadto g f = g f, co jest bliskie id X. Jeśli y Im(f), to f g (y) = f g(y), więc {(y, f g (y))} y Im(f) {(y, f g(y)} y Y C Y, skąd f g jest bliskie id Im(f). Jako że f jest surjekcją, to z 1.3 zachodzi f 1 (E) C X dla każdego E C Im(f). Gdy E Y C Y, to f 1 (E Y ) = f 1 (E) C Im(f) C Y, gdzie E Im(f) Im(f) jest zbiorem kontrolowanym w C Im(f) indukowanym przez E Y. Wniosek 1.5. Niech f : X Y będzie surjekcją, a C 1, C 2 strukturami zgrubnymi na Y. Jeśli C X jest taką strukturą zgrubną na X, że oba f : (X, C X ) (Y, C i ), i = 1, 2, są zgrubnymi równoważnościami, to C 1 = C 2. Dowód. Weźmy E C 1. Ponieważ f 1 (E) C X na mocy 1.4 oraz f : (X, C X ) (Y, C 2 ) jest bornologiczna, to f(f 1 (E)) C 2. Ale z surjektywności f, E = f(f 1 (E)). Stąd C 1 C 2 i podobnie C 2 C 1. 8

Rozdział 2 Struktury zgrubne na grupach Mając daną grupę G, możemy zdefiniować na niej lewą strukturę zgrubną C l (G) bądź prawą strukturę zgrubną C r (G). E C l (G) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony podzbiór F zbioru G taki, że (x,y) E x 1 y F. Podobnie, E C r (G) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony F G taki, że (x,y) E xy 1 F. Zauważmy, że wszystkie funkcje x gx (gdzie g G ustalone) są zgrubnymi równoważnościami (G, C l (G)) w siebie, zaś funkcje x xg są zgrubnymi równoważnościami (G, C r (G)) w siebie. Będziemy zajmować się głównie strukturą C l (G) (zauważmy, że x x 1 indukuje izomorfizm C l (G) i C r (G)). Najpierw jednak scharakteryzujmy przypadki, gdy obie struktury są równoważne. Stwierdzenie 2.1. Następujące warunki są równoważne dla dowolnej grupy G: 1. C l (G) = C r (G) 2. C l (G) C r (G) 3. C r (G) C l (G) 4. G jest F C-grupą (klasy sprzężoności elementów są skończone) Dowód. (3) (4). Ustalmy a G i rozważmy zbiór {(x, ax)} x G. Jest on kontrolowany w C r (G), więc musi być kontrolowany w C l (G). To oznacza, że zbiór {x 1 ax} jest skończony, tzn. klasa sprzężoności a jest skończona. Tak samo (2) (4). (4) (1). Jeśli E jest kontrolowany w C l (G), to istnieje skończony F G taki, że u 1 v F dla każdego (u, v) E. Niech ˆF będzie sumą klas sprzężoności elementów F. Jeśli (u, v) E, to istnieje f F takie, że u 1 v = f. Przeto v = uf i vu 1 = ufu 1 ˆF. Ponieważ ˆF jest skończony, to E jest kontrolowany w C r (G). Ten sam argument pokazuje, że C r (G) C l (G). Stwierdzenie 2.2. Mnożenie m : (G G, C l (G) C l (G)) (G, C l (G)) jest bornologiczne wtedy i tylko wtedy, gdy C l (G) = C r (G). Dowód. ( ) Niech E r C r (G). Zauważmy, że wówczas E r x G (F x {x}) dla pewnego skończonego F G (tego samego, co w definicji C r (G)). Weźmy E = x G ((F {x}) {(e, x)}) (G G)2. E jest kontrolowany w C l (G) C l (G), ponieważ (u,v) E u 1 v F 1 {e}. Jako że m(f {x}) = F x, to m(e) = x G (F x {x}) i z bornologiczności m jest to zbiór kontrolowany w C l (G). Zatem E r C l (G), stąd C r (G) C l (G) i na mocy 2.1 C l (G) = C r (G). ( ) Na mocy 2.1, klasy sprzężoności elementów G są skończone. 9

Podobnie jak poprzednio, dowolny zbiór kontrolowany w (G G, C l (G) C l (G)) zawiera się w E = x,y G ((xf yf ) {(x, y)}) dla pewnego skończonego F G. Wówczas m(e) = x,y G (xf yf {xy}). Niech F 1 będzie sumą klas sprzężoności elementów F. Wtedy y G yf y 1 F 1, więc yf F 1 y. Podobnie, niech F 2 będzie sumą klas sprzężoności elementów F F 1, wówczas y G F F 1 y yf 2. Wobec tego xf yf xf F 1 y xyf 2, więc m(e) x,y G (xyf 2 {xy}) C l (G) ze skończoności F 2. 10

Rozdział 3 Struktury zgrubne indukowane przez działanie grupy Będziemy dalej badać działania grupy G na zbiorze X. Na G przyjmujemy lewą strukturą zgrubną. Oznaczenie. Dla ustalonego x X, definiujemy φ x : G X, ψ x : G Gx poprzez φ x (g) = ψ x (g) = gx. Proszę zwrócić uwagę na różne przeciwdziedziny będziemy o nich przypominali tam, gdzie będzie to istotne. Naszym pierwszym zadaniem jest opisanie działań grupy G na zbiorze X indukujących na X taką strukturę zgrubną C X, że φ x0 jest zgrubną równoważnością z (G, C l (G)) w (X, C X ) dla każdego x 0 X. Stwierdzenie 3.1. Niech grupa G działa na zbiorze X. 1. Jeśli istnieje struktura zgrubna C X na X taka, że φ x0 jest właściwa, to stabilizator x 0 jest skończony. 2. Załóżmy, że stabilizator x 0 jest skończony oraz działanie G jest przechodnie (tzn. ma dokładnie jedną orbitę). Wówczas istnieje jedyna struktura zgrubna C φ na X taka, że φ x0 jest zgrubną równoważnością z (G, C l (G)) w (X, C φ ). Dowód. (1). Skoro φ x0 jest właściwa, to φ 1 x 0 (x 0 ) musi być ograniczony w G, a więc skończony. Ale φ 1 x 0 (x 0 ) = {g G gx 0 = x 0 } jest stabilizatorem x 0. (2). Za C φ obierzemy zbiór {φ x0 (E)} E Cl (G) domknięty na podzbiory. Sprawdźmy, że jest to struktura zgrubna. Skoro G działa na X przechodnio, to φ x0 jest surjekcją. Wobec tego X = φ x0 ( G ) C φ. Domkniętość na podzbiory założyliśmy wprost, pozostałe aksjomaty struktury zgrubnej dla C φ przeciągają się trywialnie z C l (G). Ponadto, wprost z definicji C φ, φ x0 jest bornologiczna. Pokażemy, że EX C φ φ 1 x 0 (E X ) C l (G). Rozważmy zbiór E 0 = g G φ 1 x 0 φ x0 (g) {g}. Jeśli (g, h) E 0, to φ x0 (g) = φ x0 (h), czyli gx 0 = hx 0. Zatem g 1 h G x0 - a to jest zbiór skończony, więc E 0 C l (G). Łatwo zauważyć, że EG C l (G) φ 1 x 0 φ x0 (E G ) E 0 E G E0 1 C l (G). Każdy E X C φ jest zawarty w pewnym φ x0 (E G ) (gdzie E G C l (G)), więc φ 1 x 0 (E X ) φ 1 x 0 φ x0 (E G ) C l (G). Stąd na mocy 1.3 φ x0 jest zgrubną równoważnością. Natomiast z 1.5 otrzymujemy jedyność C φ. 11

Lemat 3.2. Jeśli grupa G działa na przestrzeni (X, C X ), X = GU dla pewnego ograniczonego U X oraz E U = g G g(u U) jest kontrolowany, to inkluzja Gx 0 X jest zgrubną równoważnością dla każdego x 0 X 1. Dowód. Załóżmy dla ustalenia uwagi, że x 0 U (w przeciwnym wypadku możemy U zastąpić przez pewne gu, które także z założenia o E U będzie ograniczone). Zauważmy, że wówczas każdy x X można zapisać (być może na wiele sposobów) jako x = g x u x, gdzie g x G, u x U. Ustalmy dla każdego x jeden taki zapis; przy tym niech u x = x 0 dla x Gx 0. Definiujemy r : X Gx 0, r(x) = r(g x u x ) = g x x 0. Zauważmy, że r Gx0 jest identycznością. Niech E X kontrolowany w X. Wówczas r(e X ) E U E X E U C Gx0, bo jeśli (x, y) = (g x u x, g y u y ) E X, to r(x, y) = (g x x 0, g y x 0 ) = (g x x 0, g x u x ) (g x u x, g y u y ) (g y u y, g y y 0 ). Stąd r jest bornologiczne. Analogicznie dowodzimy, że jeśli E C Gx0, to r 1 (E) C X. Skoro r spełnia założenia prawej strony lematu 1.3, to jest zgrubną równoważnością i jest nią także i, jako funkcja wyboru dla x r 1 (x) (wniosek z dowodu lematu). Stwierdzenie 3.3. Jeśli grupa G działa na X oraz istnieje U X taki, że X = GU i stabilizator U: S U = {g G U (gu) } jest zgrubną równoważno- jest skończony, to istnieje struktura zgrubna C φ na X taka, że φ x0 ścią z (G, C l (G)) w (X, C φ ) dla każdego x 0 X. Dowód. Najpierw zdefiniujemy zbiory ograniczone w C φ. Będą nimi podzbiory zbiorów postaci F U, dla skończonych F G. Zauważmy, że stabilizatory zbiorów ograniczonych są skończone. Istotnie, niech V = F U. Jeśli V gv, to istnieją f 1, f 2 F takie, że (f 1 U) (gf 2 U). Wówczas f1 1 2 gf2 S V, czyli g F S U F 1 - a to jest zbiór skończony. Stąd także S V skończony. Jako kontrolowane określamy podzbiory zbiorów g G g(v V ), gdzie V ograniczone. Wówczas X g G g(u U), bo GU = X. Jedyny nieoczywisty jeszcze aksjomat struktury zgrubnej to domkniętość na złożenia. Dla E 1, E 2 C φ, wystarczy sprawdzić, że dla E = E 1 E 2 zachodzi E E C φ. Niech V będzie zbiorem ograniczonym, dla którego E g G g(v V ). Jeśli (x, y) E E, to musi być postaci: (x, y) = (g 1v 1, g 1 v 2 ) (g 2 v 3, g 2 v 4 ) przy czym g i G, v i V, oraz g 1 v 2 = g 2 v 3. Wówczas jednak g1 1 g 2 S V, więc (x, y) = g 1 (v 1, g1 1 g 2v 2 ) g 1 (V S V V ). To oznacza, że E E g G g(s V V S V V ) C X (bo skoro V ograniczony, to S V skończony, więc S V V także ograniczony). Ustalmy x 0 X i pokażmy, że ψ x0 jest zgrubną równoważnością z G w Gx 0. Przez C Gx0 będziemy oznaczać strukturę zgrubną na Gx 0 indukowaną przez C φ. Sprawdzamy założenia prawej strony lematu 1.3. ψ x0 jest surjekcją. Ze skończoności S U, U (Gx 0 ) jest skończone (ale niepuste). Stąd i z definicji C G wnioskujemy, że struktura zgrubna na Gx 0 składa się z podzbiorów zbiorów g G g(f X F X ), gdzie F X Gx 0 skończone. Każdy E G C l (G) zawiera się w pewnym g G g({e} F G) (F G G skończony), więc ψ x0 (E G ) g G g({x 0} F G x 0 ) C Gx0. Zatem ψ x0 jest bornologiczna. Weźmy E X C Gx0, wówczas E X g G g(f X F X ), dla pewnego F X X skończonego, zawierającego x 0. Jeśli (g 1, g 2 ) ψx 1 0 (E X ), to g i x 0 = gf i dla pewnych f i F X, i = 1, 2. Ale wówczas g 1 g i S FX, zatem g1 1 g 2 SF 1 X S FX. Ten zbiór jest skończony, więc ψx 1 0 (E X ) kontrolowany. 1 Ogólniej: niech X = s S Us i zbiór Us Us będzie kontrolowany. Wówczas dla każdego Y X s S przecinającego wszystkie U s, inkluzja Y X jest zgrubną równoważnością. Nie dowodzę jednak tej postaci, bo jest ona mało przydatna ze względu na skomplikowane założenia. 12

Zatem ψ x0 jest zgrubną równoważnością. Na mocy lematu 3.2, inkluzja i : Gx 0 X jest zgrubną równoważnością. To dowodzi, że φ x0 = i ψ x0 jest zgrubną równoważnością między (G, C l (G)) a (X, C φ ). 13

Rozdział 4 Działania jednostajnie bornologiczne Chcemy uogólnić pojęcie działania grupy na zbiorze przez izometrie w terminach geometrii zgrubnej. Będziemy wymagać nie tylko, żeby każda funkcja g gx 0 była bornologiczna, ale także, aby działanie grupy było w pewnym sensie jednostajne: Definicja 4.1. Powiemy, że grupa G działa na przestrzeni (X, C X ): jednostajnie, jeśli dla każdego E X kontrolowanego w X, zbiór ÊX także kontrolowany, = g G ge X jest bornologicznie, jeśli dla każdego x 0 X, φ x0 : G X jest bornologiczne, jednostajnie bornologicznie, jeśli spełnione są oba powyższe warunki. Stwierdzenie 4.2. Niech G będzie grupą, a (X, C X ) - przestrzenią zgrubną. Jeśli działanie G na X jest bornologiczne jako funkcja φ : (G X, C l (G) C X ) (X, C X ), to działanie to jest jednostajnie bornologiczne. Dowód. Niech E G C l (G), E X C X, zaś E = {((g, x), (h, y))} (g,h) EG,(x,y) E X - zbiór powstały jako ich iloczyn kartezjański po współrzędnych. Wówczas E należy do struktury iloczynowej (C l (G) C X ) z samej jej definicji. Ale E G E X = {(gx, hy)} (g,h) EG,(x,y) E X = φ(e) C X (z bornologiczności φ). Ustalając E G = G otrzymujemy jednostajność, natomiast biorąc E X = {(x 0, x 0 )} (dla dowolnego x 0 X) bornologiczność działania. 15

Rozdział 5 Działania zgrubnie właściwe i koograniczone Definicja 5.1. Działanie φ grupy G na przestrzeni zgrubnej (X, C X ) jest właściwe (albo zgrubnie właściwe), jeśli φ x : G X (równoważnie ψ x : G Gx) jest właściwe dla każdego x X. Lemat 5.2. Działanie φ grupy G na przestrzeni zgrubnej (X, C X ) jest właściwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ograniczonego U X rodzina {gu} g G jest punktowo skończona (tzn. każdy x X należy tylko do skończenie wielu jej elementów). Dowód. Odpowiednie strony lematu są równoważne skończoności odpowiednich stron równości φ 1 x (U) = {g G x g 1 U} dla wszystkich x X i ograniczonych U X. Wniosek 5.3. Jeśli działanie grupy G na przestrzeni zgrubnej (X, C X ) jest właściwe i przez funkcje jednostajnie bornologiczne, to ψ x : G Gx jest zgrubną równoważnością dla każdego x X 1. Dowód. Ustalmy x X, niech E X C X. Jeśli (g, h) ψx 1 (E X ), to (gx, hx) E X, zatem Ê X g 1 (gx, hx) = (x, g 1 hx). Niech B = {g 1 h (g, h) ψx 1 (E X )}. Otrzymaliśmy, że {x} Bx ÊX C X (z jednostajności), więc Bx jest ograniczony. Z właściwości ψ x, ψx 1 (Bx) = B musi też być ograniczony (czyli skończony). Stąd ψx 1 (E X ) jest kontrolowany w C l (G). ψ x jest bornologiczne z założenia. Oczywiście G działa na orbicie Gx 0 przechodnio, więc ψ x jest surjekcją. Z 1.3 otrzymujemy tezę. Lemat 5.4. Niech φ będzie jednostajnie bornologicznym działaniem grupy G na przestrzeni zgrubnej (X, C X ). Wówczas jest ono właściwe wtedy i tylko wtedy, gdy stabilizator S U = {g G U (gu) } każdego ograniczonego U X jest skończony. Dowód. ( ) Ze skończoności S U, każdy punkt U może należeć tylko do skończenie wielu zbiorów gu. Podobnie dla pozostałych gu (bo S gu = gs U g 1 zbiór skończony). Stąd rodzina {gu} g G jest punktowo skończona, więc (na mocy 5.2) działanie jest zwarte. ( ) Niech U X ograniczony. Ponieważ kontrolowany jest (U U) g G (gu gu) = U g S U gu = U S U U, to V = S U U jest ograniczony. Niech x U; ponieważ S U x V, to S U φ 1 x (V ). To (z właściwości) jest zbiór ograniczony w C l (G), więc skończony. 1 Na każdej orbicie istnieje jedyna struktura zgrubna (obcięcie C X), dla której odpowiednie ψ x są zgrubnymi równoważnościami (co wynika z 3.1.2). Natomiast globalnie C X nie musi być jedyna. Np. dla działania grupy trywialnej na zbiorze dwuelementowym, można obrać C X równe C min lub C max. 17

Definicja 5.5. Działanie grupy G na przestrzeni (X, C X ) jest koograniczone, jeśli X = GU dla pewnego ograniczonego U X. Stwierdzenie 5.6. Jeśli działanie grupy G na przestrzeni (X, C X ) jest koograniczone i jednostajnie bornologiczne, to każdy zbiór kontrolowany zawiera się w pewnym zbiorze postaci g(u U) = G(U U) dla ograniczonego U X. g G Dowód. Niech V będzie zbiorem ograniczonym, dla którego GV = X. Wybierzmy E X C X zawierający przekątną i zdefiniujmy E = ÊX (V V ) Ê 1 X C X. Pokażemy, że zbiór U = (x,y) E {x, y} jest ograniczony, gdyż U U E. Istotnie, niech x 1, x 2 U. Wówczas (z definicji E), musiały istnieć v i V (i = 1, 2) takie, że (x i, v i ) ÊX. Przeto (x 1, x 2 ) = (x 1, v 1 ) (v 1, v 2 ) (v 2, x 2 ) E E. Pokażmy, że E X G(U U). Niech (x, y) E X. Ponieważ y X = GV, to istnieją g G, v V takie, że y = g 1 v. Wówczas (gx, gy) = (gx, gy) (v, v) (gy, gy) E. Skoro tak, to gx, gy U, więc (gx, gy) U U. Zatem (x, y) = g 1 (gx, gy) G(U U). Wniosek 5.7. Jeśli działanie φ grupy G na zbiorze X jest koograniczone i jednostajnie bornologiczne przy dwóch strukturach zgrubnych C 1 i C 2 na X, to C 1 = C 2 wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory ograniczone w obu strukturach są identyczne. Dowód. Na mocy 5.6, obie struktury są generowane przez G(U U), gdzie U - ograniczone. 18

Rozdział 6 Działania zgrubne Definicja 6.1. Działanie grupy G na niepustej przestrzeni (X, C X ) jest zgrubne, jeśli jest właściwe, koograniczone i jednostajnie bornologiczne. Stwierdzenie 6.2. Jeśli działanie grupy G na przestrzeni (X, C X ) jest zgrubne, to φ x : (G, C l (G)) (X, C X ) jest zgrubną równoważnością dla każdego x X. Dowód. Na mocy 5.3, ψ x0 jest zgrubną równoważnością z G w Gx 0. Natomiast inkluzja i : Gx 0 X jest zgrubną równoważnością na mocy lematu 3.2 (założenia lematu wynikają z koograniczoności i jednostajności działania). Twierdzenie 6.3. Załóżmy, że grupy G i H działają przemiennymi lewymi działaniami na zbiorze X. Jeśli na X istnieją struktury zgrubne C G, C H o tych samych zbiorach ograniczonych i takie, że działania G, H są zgrubne względem odpowiednio C G, C H, to: a. G i H są zgrubnie równoważne, b. (X, C G ) i (X, C H ) są zgrubnie równoważne. Dowód. Mówiąc o zbiorze ograniczonym, mam na myśli ograniczoność w obu strukturach (są w nich ograniczone te same zbiory). Pokażmy, że istnieje zbiór ograniczony U X taki, że GU = HU = X. Weźmy ograniczone U G, U H X takie, by GU G = HU H = X i niech U = U G U H. Można założyć U G U H (w przeciwnym wypadku U G zastąpimy przez pewne gu G, g G). Niech E = (U G U G ) (U H U H ) (kontrolowany w obu strukturach). Łatwo widzieć, że U U E E, stąd U ograniczony. Obierzmy x 0 U. Zdefiniujmy ψ : H G tak, aby h H h 1 x 0 ψ(h)u (można tak zrobić, bo GU = X). Pokażemy bornologiczność ψ. Niech F H skończony, zawierający 1 H. Weźmy zbiór ograniczony V = F 1 U. Niech h = h 1 1 h 2 F oraz g i = ψ(h i ). Oznaczmy y = g1 1 (h 1 2 x 0). Z definicji ψ, h 1 2 x 0 g 2 U, zatem y g1 1 g 2U g1 1 g 2V. Teraz, skoro hh 1 2 = h 1 1 oraz działania grup są przemienne, to hy = h(g1 1 (h 1 2 x 0)) = g1 1 (hh 1 2 x 0) = g1 1 (h 1 1 x 0) U. Zatem y h 1 U F 1 U = V. To oznacza, że przecięcie V g1 1 g 2V jest niepuste (zawiera y), więc g1 1 g 2 S V (stabilizator V przy działaniu G). Ale to (na mocy 5.4) jest zbiór skończony, co kończy dowód. Teraz dowiedźmy właściwości. Niech B G ograniczony (skończony). Ustalmy na chwilę b B. Z definicji ψ, ψ 1 (b)x 0 bu. Stąd (ponieważ x 0 U) b 1 ψ 1 (b) S U. Ponieważ S U jest skończony, to także ψ 1 (b) jest skończony. Ze skończoności B, także ψ 1 (B) jest skończony, więc ograniczony w H. 19

Podobnie możemy obrać φ : G H tak, aby g G g 1 x 0 φ(g)u, i również będzie to funkcja zgrubna. Niech E = g G g(u U). Z definicji φ i przemienności działań grup, φ(g) 1 x 0 gu, a z definicji ψ, φ(g) 1 x 0 ψ(φ(g))u. Zatem x = φ(g) 1 x 0 gu ψ(φ(g))u. Stąd (gx 0, ψ(φ(g))x 0 ) = (gx 0, x) (x, ψ(φ(g))x 0 ) E E, czyli E G = {(gx 0, ((ψ φ)g)x 0 )} g G C Gx0 C G. Na mocy 5.3, funkcja φ x0 : G Gx 0 jest zgrubną równoważnością. Zatem (lemat 1.4), φ 1 x 0 (E G ) jest kontrolowany. Ale {(g, (ψ φ)g)} g G φ 1 x 0 (E G ), więc ψ φ jest bliskie id G. Analogicznie φ ψ jest bliskie id H. To kończy dowód punktu (a). Na mocy 6.2, G jest zgrubnie równoważne (X, C G ), zaś H (X, C H ). Stąd wynika punkt (b). 20

Rozdział 7 Działania topologiczne Definicja 7.1. Działanie grupy G na niepustej, lokalnie zwartej 1 przestrzeni topologicznej X jest: topologicznie właściwe, jeśli stabilizatory zbiorów zwartych są skończone, kozwarte, jeśli istnieje zwarty K X taki, że GK = X, topologiczne, jeśli jest topologicznie właściwe, kozwarte i przez homeomorfizmy. Stwierdzenie 7.2. Niech X będzie lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną, φ topologicznym działaniem G na X, a K zbiorem zwartym z definicji kozwartości działania φ. Wówczas istnieje jedyna struktura zgrubna C φ na X taka, że działanie φ jest względem niej zgrubne, a zbiory ograniczone C φ to dokładnie zbiory relatywnie zwarte w X. C φ jest złożona z podzbiorów zbiorów postaci g G g(f K F K), dla skończonych F G. Dowód. Niech K będzie zbiorem zwartym, dla którego GK = X. Z topologicznej właściwości, stabilizator K jest skończony. C φ będzie strukturą opisaną w dowodzie 3.3, dla U = K. Zbadajmy zbiory ograniczone w C φ. Jeśli V jest ograniczony w C φ, to zawiera się w pewnym F K dla skończonego F G. Ponieważ G działa przez homeomorfizmy, to fk jest zwarty dla każdego f G. Stąd F K zwarty, więc V relatywnie zwarty. Odwrotnie, wystarczy zbadać L X zwarte. Z kozwartości, rodzina GK pokrywa L. Ale z topologicznej właściwości K L, tylko skończenie wiele gk, g G ma niepuste przecięcie z L. Zatem L F K, dla pewnego skończonego F G. Ponieważ F K ograniczony, to L też. Pozostaje sprawdzić zgrubność działania. Koograniczoność wynika z kozwartości, właściwość z topologicznej właściwości, jednostajność z postaci C φ. Bornologiczność działania wynika z 3.3 (wszystkie φ x0 są zgrubnymi równoważnościami z G w (X, C φ )). Ponadto, zbiory ograniczone są ustalone niezależnie od struktury, więc jedyność wynika z 5.7. Twierdzenie 0.2 ( ). Niech φ : G X X oraz ψ : H X X będą topologicznymi działaniami grupy G na przestrzeni lokalnie zwartej X. Jeśli φ i ψ komutują, to G i H, a także (X, C φ ) i (X, C ψ ), są zgrubnie równoważne. 1 W dowodach zawartych w tej pracy nie będziemy korzystać z lokalnej zwartości przestrzeni. Mimo to przyjmujemy za Gromowem, że działania topologiczne rozważa się tylko w takim kontekście. Gwarantuje to porządność działania, m. in. zapewnia, że X jest nakryciem X/G. 21

Dowód. Na mocy 7.2, działania są zgrubne. W obu strukturach są te same zbiory ograniczone (zbiory relatywnie zwarte w X). Zatem z 6.3 mamy tezę. Twierdzenie 0.2 ( ). Jeśli G i H są zgrubnie równoważnymi grupami, to istnieje lokalnie zwarta przestrzeń topologiczna X i przemienne, topologiczne działaniami φ : G X X i ψ : H X X. Dowód. Obierzmy parę zgrubnych równoważności α : G H, ω : H G, spełniających warunki definicji 1.2. Dla skończonego F G, E = {(u, v) u 1 v F } jest kontrolowany, więc (z bornologiczności) kontrolowany jest także α(e) = {(α(u), α(v)) u 1 v F } Stąd zbiór c(f ) := {α(u) 1 α(v) u 1 v F } jest skończony. Ogólnie, niech dla skończonego F G, c(f ) będzie skończonym podzbiorem H takim, że u 1 v F implikuje α(u) 1 α(v) c(f ). Przy tym niech c({1 G }) = {1 G }. Podobnie, niech dla skończonego F H, d(f ) będzie skończonym podzbiorem G takim, że α(u) 1 α(v) F implikuje u 1 v d(f ). Dowód, że jest to możliwe, przebiega jak powyżej, z tym że w miejsce bornologiczności używamy tezy lematu 1.4. Wskażemy skończone E H, dla którego H = α(g)e. Ponieważ α ω jest bliskie id H, to zbiór {(α ω(h), h)} h H jest kontrolowany. Stąd E = {(α ω(h)) 1 h} h H jest skończony. Ale z samej definicji E, α(g)e = H. Definiujemy X jako podprzestrzeń przestrzeni H G, złożoną z funkcji β : G H spełniających następujące warunki: 1. u 1 v F implikuje β(u) 1 β(v) c(f ) dla skończonych F G, 2. β(u) 1 β(v) F implikuje u 1 v d(f ) dla skończonych F H, 3. H = β(g)e. Oczywiście α X, więc X jest niepusta. Przyjąwszy topologie dyskretne na G oraz H, rozważamy na H G topologią zwarto-otwartą, tzn. generowaną przez zbiory B(F, I) = {β : G H β(f ) I}, dla skończonych F G i dowolnych I H. W szczególności, otwarte są zbiory f F B({f}, {β(f)}) funkcji zgodnych z danym β na skończonym F G. Zauważmy, że X jest domknięta w H G. Istotnie, niech β nie spełnia warunku (1). To oznacza, że istnieje skończony F G, oraz u, v G takie, że u 1 v F, ale β(u) 1 β(v) c(f ). Wówczas zbiór funkcji zgodnych z β na u i v jest otwartym otoczeniem β złożonym z funkcji o tej samej własności. Zatem zaprzeczenie warunku (1) zadaje zbiór otwarty, czyli warunek (1) zadaje zbiór domknięty, analogicznie warunek (2). Podobnie, niech β nie spełnia (3). Wówczas istnieje h H takie, że h β(g)e. Niech F = β(1 G ) 1 he 1. Rozważmy otoczenie B, złożone z funkcji zgodnych z β na d(f ) {1 G }. Dla γ B, załóżmy nie wprost, że γ X. Wówczas h = γ(g 1 )e dla pewnych g 1 G, e E. Jako że γ(1 G ) 1 γ(g 1 ) = β(1 G ) 1 he 1 F, to g 1 = 1 1 G g 1 d(f ) z warunku (2). Stąd γ(g 1 ) = β(g 1 ), czyli h = β(g 1 )e β(g)e. Sprzeczność. Zatem funkcje z B nie należą do X, co kończy dowód (uwaga: nie twierdzimy, że sam warunek (3) zadaje zbiór domknięty, po prostu oddzielamy funkcje nie spełniające go zbiorami otwartymi od X). Sklasyfikujemy teraz zbiory zwarte w X. Niech K {h} = B({1 G }, {h}). Jest to zbiór otwarty w X, równy X K, gdzie K H G jest zbiorem wszystkich funkcji γ spełniających g G γ(g) hc({g}). Istotnie, jeśli γ K {h}, to z warunku (1) dla u = 1 G, v = g, F = {g}, wynika γ(1 G ) 1 γ(g) = h 1 γ(g) c({g}). Odwrotnie, jeśli γ X K, to wstawiając g = 1 G do definicji K otrzymujemy γ(1 G ) hc({1 G }) = {h}. Pokażmy, że K jest zwarty. W topologii Tichonowa na H G, zbiór K = g G hc({g}) jest produktem zbiorów skończonych, czyli 22

zwartych. Stąd, na mocy twierdzenia Tichonowa, K jest zwarty w tej topologii. Ale skoro G jest dyskretna, topologia zwarto-otwarta na H G jest tożsama z topologią Tichonowa. Zatem K jest zwarty w topologii zwarto-otwartej, podobnie K {h} = X K (z domkniętości X w H G ). Stąd także K F = f F K {f} = B({1 G }, F ), dla skończonych F H, są zwarte. Z drugiej strony, weźmy dowolny zbiór zwarty K. Niech F = {β(1 G ) β K}, wówczas K K F. Ponieważ {K {f} } f F jest minimalnym w sensie inkluzji, rozłącznym pokryciem otwartym K, to F musi być skończony. Podsumowując, zbiory zwarte w X to podzbiory domknięte zbiorów K F, po skończonych F H. Stąd natychmiast wynika lokalna zwartość X dla danego β X, jego zwartym otoczeniem jest K {β(1g )}. Działanie G na X zadajemy przez (gβ)(x) := β(gx). Działanie H będzie dane przez (hβ)(x) := h(β(x)). Łatwo sprawdzić, że są one dobrze zdefiniowane (obraz x X leży w X). Oczywiście są też przemienne. Aby sprawdzić, że G i H działają na X przez homeomorfizmy, wystarczy sprawdzić ich działanie na zbiorach podbazy (bijektywność wynika z istnienia odwrotności w grupie). Istotnie, gb(f, I) = B(g 1 F, I) oraz hb(f, I) = B(F, hi), więc obrazy zbiorów otwartych są otwarte. Tak samo jest dla przeciwobrazów, bo funkcja odwrotna odpowiada działaniu elementu odwrotnego. Działanie H jest kozwarte: niech K = K {1G } Wówczas X = HK, bo dla β X, β(1 G ) 1 β K. Działanie G na X jest kozwarte: niech L = K E 1. Dla γ X, istnieją (warunek (3)) e E, g 1 G takie, że 1 H = γ(g 1 )e. Dla β(x) = γ(g 1 x) zachodzi wtedy β(1 G ) = γ(g 1 ) = e 1 E 1, więc β L i γ = g 1 β GL. Sprawdźmy topologiczną właściwość działań; wystarczy to zrobić dla zbiorów zwartych postaci K F. Dla działania H: jeśli λ K F (hk F ), to λ(1 G ) F i λ(1 G ) hf. Stąd hf F, czyli h F F 1. Wobec tego S KF F F 1 jest skończony. Dla działania G: jeśli λ K F (gk F ), to λ(1 G ) F i λ(g 1 ) F. Stąd λ(g 1 ) 1 λ(1 G ) F 1 F, czyli (warunek (2)) g d(f 1 F ). Znowu S KF d(f 1 F ) jest skończony. Twierdzenie 0.4. Skończenie generowane grupy G i H są kwazi-izometryczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją przemienne, topologiczne działania G i H na pewnej przestrzeni lokalnie zwartej X. Dowód. To twierdzenie jest szczególnym przypadkiem tw. 0.2. Jeśli G i H są skończenie generowane, to struktury zgrubne na tych grupach są indukowane przez ich standardowe metryki, zaś pojęcie kwazi-izometrii staje się tożsame z pojęciem zgrubnej równoważności 2. 2 Jest to prosty i znany fakt geometrii zgrubnej, dlatego nie przytaczam jego dowodu. Własność ta jest prawdziwa także dla przestrzeni z długością. Stanowi to uogólnienie użytego tu przypadku, ponieważ grupa skończenie generowana jest kwazi-izometryczna i zgrubnie równoważna ze swoim diagramem Cayleya, który (wyposażony w metrykę grafową) jest przestrzenią z długością. 23

Bibliografia [BDM] [Roe] [DH] [Gromov] N. Brodskiy, J. Dydak, A. Mitra, Coarse Structures and group actions, preprint math.mg/0607568. John Roe, Lectures on coarse geometry, University Lecture Series 31. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003 J. Dydak, C.S. Hoffland, An alternative definition of coarse structures, Elsevier, Topology and its applications 155 (2008), 1013-1021 M. Gromov, Asymptotic invariants for infinite groups, in Geometric Group Theory, vol.2, 1-295, G. Niblo and M. Roller, eds., Cambridge University Press, 1993 25