65120/ / / /200

Podobne dokumenty
) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji

Nieparametryczne Testy Istotności

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Estymacja parametrów rozkładu cechy

0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4

Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku dla łańcucha Markowa jest postaci

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych.

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 11 i 12 - Weryfikacja hipotez statystycznych

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. Strona 1

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych

IID = 2. i i i i. x nx nx nx

Egzamin ze statystyki/ Studia Licencjackie Stacjonarne/ Termin I /czerwiec 2010

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

Testowanie hipotez statystycznych.

Mikroekonometria 10. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Statystyka Inżynierska

0. Oszacowanie kilku prostych regresji, interpretacja oszacować parametrów

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności

Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym

Mikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 11

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer

Weryfikacja hipotez statystycznych

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Testowanie hipotez statystycznych.

Badanie zgodności z określonym rozkładem. F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa. Test chi kwadrat zgodności. F jest rozkładem ciągłym

Parametry zmiennej losowej

Proces narodzin i śmierci

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Analiza danych. Analiza danych wielowymiarowych. Regresja liniowa. Dyskryminacja liniowa. PARA ZMIENNYCH LOSOWYCH

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.

Weryfikacja hipotez statystycznych

LABORATORIUM 9 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10

. Wtedy E V U jest równa

Statystyka. Zmienne losowe

Pattern Classification

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

Trzecie laboratoria komputerowe ze Staty Testy

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności

Wykład 11 Testowanie jednorodności

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

NIEZALEŻNOŚĆ i ZALEŻNOŚĆ między cechami Test chi-kwadrat, OR, RR

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3

Regresja liniowa i nieliniowa

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Porównanie wielu rozkładów normalnych

Statystyka matematyczna dla leśników

dy dx stąd w przybliżeniu: y

Dobór zmiennych objaśniających

Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji

Badania sondażowe. Braki danych Konstrukcja wag. Agnieszka Zięba. Zakład Badań Marketingowych Instytut Statystyki i Demografii Szkoła Główna Handlowa

Transkrypt:

. W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę A 45 Wolę B 6 5 Ne wdzę różncy 4 Na pozome stotnośc. zweryfkować hpotezę mówącą, że preferencje klentów ne zależą od płc. Wyznaczamy tabelę kontyngencj: Odpowedź Kobety Mężczyźn rozkład Wolę A 45 65 Wolę B 6 5 75 Ne wdzę różncy rozkład ) Statystyka testowa 4 6 8 suma = r s Nj N N j / n) 65/ ) 45 65 8/) 6 75 /) 5 75 8/) = j= N N j / n 65/ 65 8/ 75/ 75 8/ χ = = + + + 4 6 / ) 6 8/ ) + 6/ + 6 8/ = 36, 75 ) Wartość krytyczna: χ,99;3 ) ) = χ,99; = 9, Obszar krytyczny: W = [9,; ) 3) W odrzucamy hpotezę zerową czyl preferencje zależą od płc respondenta). Na przebadanych szczurów u 6 stwerdzono objawy obnżonego refleksu. Wśród chorych szczurów tylko dostawało pewen preparat P, a wszystkch szczurów karmonych tym preparatem było 8. Czy można uznać, że karmene preparatem P ne wpływa na obnżene refleksu u szczurów? Przyjąć pozom stotnośc.5. Wyznaczamy tabelę kontyngencj: nekarmony preparatem karmony preparatem rozkład ) Statystyka testowa obnżony refleks neobnżony refleks rozkład 4 8 6 8 6 4 suma = r s Nj N N j / n) 4 6 /) 8 4/) 8 6/ ) 6 8 4/ ) = j= N N j / n 6 / 4/ 8 6/ 8 4/ χ = = + + +,59 ) Wartość krytyczna: χ Obszar krytyczny: W = [3,84; ),95; ) ) = χ,95; = 3,84

3) χ W brak podstaw do odrzucena hpotezy zerowej czyl karmene preparatem ne wpływa na pozom refleksu).3 W czterech mastach badano znajomość angelskego wśród lcealstów. W dwóch perwszych mastach wylosowano po 3 lcealstów, a w dwóch pozostałych po. Ucznów deklarujących znajomość angelskego było odpowedno: K = 5, K =, K3 = 5, K4 = 9. Na pozome stotnośc.5 zweryfkować hpotezę mówącą, że odsetek lcealstów znających angelsk jest tak sam we wszystkch czterech mastach. 5 + + 5 + 9 pˆ = =,6 ) Statystyka testowa r K ˆ ) 5 3,6) 3,6) 5,6) 9,6) n p χ = n pˆ pˆ ) 3,6,4 3,6,4,6,4 3,6,4 ) Wartość krytyczna: χ =,95;4 χ =,95;3 7,85 = = + + + = 6,5 Obszar krytyczny: W = [7,85; ) 3) χ W brak podstaw do odrzucena hpotezy zerowej czyl odsetek lcealstów znających angelsk jest tak sam we wszystkch czterech mastach).4 Producent rękawczek podejrzewa, że bałe rękawczk są kupowane dwa razy rzadzej nż brązowe trzy razy rzadzej nż czarne. Czy można uznać, że producent ma rację, jeśl na 3 sprzedawanych par rękawczek 65 było czarnych, a 95 brązowych? Przyjmj pozom stotnośc.. p prawdopodobeństwo kupena bałych rękawczek; p prawdopodobeństwo kupena brązowych rękawczek; 3p prawdopodobeństwo kupena czarnych rękawczek; p + p + 3p = p = / 6 Testujemy węc hpotezę zerową, że częstotlwość zakupów rękawczek o określonych kolorach opsane jest następującym rozkładem: Bałe brązowe czarne /6 /3 / ) Statystyka testowa k n np ) 4 3 6) 95 3 3) 65 3 ) χ = = + + 3,75 = np 3 3 3 ) Wartość krytyczna: χ,99; = 9, Obszar krytyczny: W = [9,; ) 6 3 3) χ W brak podstaw do odrzucena hpotezy zerowej czyl częstotlwość kupowana rękawczek można opsać za pomocą podanego rozkładu).5 Przez 3 dn obserwowano pracę pewnej maszyny, rejestrując lczbę uszkodzeń w cągu dna. Otrzymano ponższy empryczny rozkład lczby uszkodzeń tej maszyny w cągu dna. Lczba uszkodzeń Lczba dn 4 3 3 4 Na pozome stotnośc.5 zweryfkować hpotezę, że lczba uszkodzeń ma rozkład Possona.

) Estymujemy neznany parametr w rozkładze Possona za pomocą Metody Najwększej Warogodnośc. Było pokazane na ćwczenach, że tym estymatorem jest średna z próby: ˆ λ = = 4 + + 3 + 3 + 4) / 3 =,8 ) Wyznaczamy prawdopodobeństwa dla rozkładu Possona ˆ,8,8 p = p λ) = e, 449! ˆ,8,8 p = p λ ) = e,359! ˆ,8,8 p = p λ ) = e,44! 3 ˆ,8,8 p3 = p3 λ ) = e, 38 3! 4 ˆ,8,8 p4 = p4 λ ) = e, 4! 3) Statystyka testowa k n np ) 4 3, 449) 3,359) 3 3,44) 3, 38) χ = = + + + + = np 3, 449 3,359 3,44 3,38 3, ) 3,, 796 4) Wartość krytyczna Statystyka testowa ma asymptotyczny rozkład ch-kwadrat o k d stopnach swobody, gdze k oznacza lczbę pozomów dyskretnej zmennej losowej, a d to lość estymowanych parametrów za pomocą MNW, czyl: k d = 5 = 3 χ =,95;3 7,85 Obszar krytyczny: W = [7,85; ) 5) W odrzucamy hpotezę zerową czyl rozkładu uszkodzeń ne można opsać za pomocą rozkładu Possona).6 Panuje przekonane, że lczba T całych) lat bezawaryjnej pracy sprzedanej pralk ma rozkład t geometryczny: P T = t) = θ θ ), gdze t =,,... Obserwowano przez dwa lata próbkę 4 pralek wynk były następujące: Czas bezawaryjnej pracy Lczba pralek lat 3 rok 4 lub węcej 4 Przeprowadzć test hpotezy mówącej, że czas bezawaryjnej pracy pralk ma rozkład geometryczny, przecw alternatywe, że ma nny rozkład przyjmując pozom stotnośc równy.5. ) Estymacja neznanego parametru w rozkładze geometrycznym za pomocą MNW P T = ) = θ θ ) = θ P T = ) = ) = ) θ θ θ θ [ ] P T ) = θ + θ θ) = θ 4 4 ) ) [ ] ) ) 4 4 3 36 L θ ) = P T = t,..., T = t = θ θ θ ) θ = θ θ 3

) ) l θ ) = 36ln θ + ln θ 36 ˆ l θ) = θ θ + θ = = 4 ) Wyznaczamy prawdopodobeństwa dla rozkładu geometrycznego p = p ˆ θ = ˆ θ = / 4 = 3 / 4 ) ˆ) ˆ ˆ) ) 3 ˆ) ˆ p = p θ = θ θ = = 4 4 6 p = p θ = θ = 6 3) Statystyka testowa 3 3 k n np ) 3 4 4) 4 4 6) 4 4 6) χ = = + + 6,66 = 3 3 np 4 4 4 4 6 6 4) Wartość krytyczna Statystyka testowa ma asymptotyczny rozkład ch-kwadrat o k d stopnach swobody, gdze k oznacza lczbę pozomów dyskretnej zmennej losowej, a d to lość estymowanych parametrów za pomocą MNW, czyl: k d = 3 = χ =,95; 3,84 Obszar krytyczny: W = [3,84; ) 5) W odrzucamy hpotezę zerową czyl rozkładu bezawaryjnej pracy pralk ne można opsać za pomocą rozkładu geometrycznego).7 Przypuszczano, że sposób zapewnena sobe posłków w pracy przez pracownków zależy od płc. W tym celu wylosowano grupę 4 pracownków uzyskano wynk: Śnadane z domu Obad na meśce Zamówene do pracy Kobeta 6 7 Mężczyzna 9 4 3 Podać wartość statystyk testowej wartość krytyczną testu dla weryfkacj hpotezy o nezależnośc obu cech przyjąć pozom stotnośc,5). Czy sposób zapewnena sobe posłków w pracy przez pracownków zależy od płc? Śnadane z domu Obad na meśce Zamówene do pracy Rozkład Kobeta 6 7 4 Mężczyzna 9 4 3 6 Rozkład ) Statystyka testowa r s Nj N N j / n) 4 / 4) 6 4 / 4) 7 4 / 4) 9 6 / 4) = j= N N j / n 4 /4 4 / 4 4 / 4 6 /4 χ = = + + + 4 6 / 4) 3 6 / 4) 6/ 4 = + + ) Wartość krytyczna: χ 6 /4 6, 5 Obszar krytyczny: W = [5,99; ) χ,95;3 ) ) =,95; = 5,99 4

3) W odrzucamy hpotezę zerową czyl sposób zapewnena sobe posłków w pracy przez pracownków zależy od płc).8 Zakładamy, że lczby wypadków w kolejnych tygodnach są nezależnym zmennym losowym o jednakowym rozkładze o możlwych wartoścach,, ). Chcemy zweryfkować hpotezę H, mówącą, że te zmenne losowe mają rozkład postac: P = ) =,8 P = ) =,5 P = ) =, 5. Dane dotyczące tygodn opsuje następująca tabelka: lczba wypadków w tygodnu lczba tygodn 7 Wartość statystyk testowej testu zgodnośc χ dla weryfkacj hpotezy H jest równa... Poneważ obszar krytyczny tego testu na pozome stotnośc,5 jest równy..., zatem hpotezę H ODRZUCAM / NIE ODRZUCAM. ) Statystyka testowa k n np ) 7,8),5), 5) χ = = + + = 7 = np,8,5,5 ) Wartość krytyczna: χ =,95; 5,99 Obszar krytyczny: W = [5,99; ) 3) W odrzucamy hpotezę zerową.9 Badano zwązek pomędzy wykształcenem a tolerancją. Przeprowadzono badane na 3 osobach otrzymano wynk: tolerancja brak tolerancj razem wykształcene wyższe 7 3 wykształcene średne 5 5 brak wykształcena średnego 3 7 Razem 5 5 3 Podać wartość statystyk testowej χ dla weryfkacj hpotezy o nezależnośc obu cech. χ =... Poneważ wartość krytyczna testu na pozome stotnośc,5 jest równa..., węc ODRZUCAM / NIE ODRZUCAM H. ) Statystyka testowa r s Nj N N j / n) 7 5/3) 5 5/3) 3 5/3) 3 5/3) = j= N N j / n 5/3 5/3 5/3 5/3 χ = = + + + + 5 5/3) 7 5/3) 5/3 + 5/3 = 3 ) Wartość krytyczna: χ =,95; 5,99 Obszar krytyczny: W = [5,99; ) 3) W odrzucamy hpotezę zerową czyl tolerancja zależy od pozomu wykształcena) 5

Zadane Zanotowano czasy wykonana detalu przez 5 nezależne wybranych pracownków przed szkolenem po szkolenu. Otrzymano następujące wynk: pracownk A B C D E czas przed szkolenem 9,6 8, 9 8 czas po szkolenu 8, 7, 7 9 Zakładamy, że obserwowane zmenne losowe mają rozkład normalny. Należy zweryfkować hpotezę H, że przecętny czas wykonywana detalu ne ulega zmane po przeprowadzenu szkolena, przy alternatywe, że po szkolenu jest on krótszy, testem na pozome stotnośc,5. Przyjmujemy oznaczena: czas wykonywana detalu przed szkolenem Y czas wykonywana detalu po szkolenu Z Y N µ σ = ~, ) Trzeba zweryfkować hpotezę H : µ = wobec H : µ >. Wyznaczamy wartośc zmennej Z: pracownk A B C D E czas przed szkolenem 9,6 8, 9 8 czas po szkolenu 8, 7, 7 9 Z= - Y,5 - ) Oblczamy średną warancję z próby: = =,7 S,5+ + + 5,5,7) +,5 ) +,5 ) +,5 ) +,5+ ) = =,4 ) Statystyka testowa: T = n = 5, µ,7 S,4 3) Obszar krytyczny t α 4 [ ) W = [, ) =,3; 4) T W brak podstaw do odrzucena H Test lorazu warogodnośc 6

Nech populacja ma rozkład cągły określony funkcją gęstośc f x, θ ) lub rozkład skokowy określony funkcją prawdopodobeństwa p x, θ ). Z populacj tej wylosowano n-elementową próbę prostą celem weryfkacj hpotezy H : θ = θ wobec hpotezy alternatywnej H : θ θ. Nech L x, θ ) będze warygodnoścą próby nech ˆ θ będze estymatorem najwększej warygodnośc parametru θ. Warygodność próby wyznaczona przy założenu prawdzwośc hpotezy H oznaczamy przez L x, θ ). Jeżel populacja ma rozkład zależny od r-wymarowego wektora parametrów θ oraz H : θ = θ jeżel to statystyka L x θ γ = L x, ˆ θ ), ), χ = lnγ ma przy n asymptotyczny rozkład χ o r stopnach swobody. Obszar krytyczny testu lorazu warygodnośc: W = { χ = γ χ α ; r} ln. Zadane Nech,,..., będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze Possona z neznanym parametrem θ >. Wemy, że średna w analzowanej próbe wynos 5. Zweryfkować na pozome stotnośc,5 hpotezę H : θ = 4 przecw alternatywe H : 4 θ wykorzystując test asymptotyczny oparty na loraze warygodnośc. ) Funkcja warygodnośc: θ n θ θ = e θ e L, θ) = =!! ) ) = = ) Estymator MNW parametru θ : ˆ θ = 3) Iloraz warygodnośc: θ L x, θ) θ e e γ = = / = θ ˆ L x, θ )!! 4) Statystyka testowa: ) ) = = e θ ) χ = ln γ = 4 lnθ + 4 ln 4 θ) = 4 5 ln4) + 4 5 ln5) 45 4) 46, 9 5) Obszar krytyczny: ) χ ) [ ) W = χ α ; r ; =,95;; = 3,84; 6) Decyzja: W odrzucamy hpotezę zerową Zadane 3 7

k Zmenna losowa ma rozkład geometryczny o funkcj prawdopodobeństwa P = k) = θ θ), dla k =,,,..., gdze θ,) jest neznanym parametrem. Z rozkładu wylosowano próbę o lczebnośc 5 otrzymano średną równą 3. Przyjmując pozom stotnośc, zweryfkować hpotezę H : θ =, 4 przecw alternatywe H :, 4 θ stosując asymptotyczny test oparty na loraze warogodnośc. ) Funkcja warygodnośc: 5 5, ) = ) L θ θ θ = ) Estymator MNW parametru θ : ˆ θ = = 4 + 3) Iloraz warygodnośc: 5 5 5 5 5 5 L x, θ ) θ θ ) θ θ γ = = = L x, ˆ) ˆ ˆ θ θ θ ) ˆ θ ˆ θ 4) Statystyka testowa: θ θ,4,4 χ = ln γ = ln ln ln,5 ) 3 ln,5 ) 9,94 ˆ = θ ˆ θ 5) Obszar krytyczny: ) χ ) [ ) W = χ α ; r; =,9;; =,76; 6) Decyzja: W odrzucamy hpotezę zerową 8