Metody detekcji krwędzi w orzch
Zgdnienie detekcji krwędzi w orzie Detekcj krwędzi w orzie njczęściej sprowdz się do poszukiwni w orzie loklnych nieciągłości funkcji jsności lu koloru. Wystąpienie tkich nieciągłości stnowi kryterium występowni krwędzi jko grnicy orzownych oiektów. c Rys. 1. Przyczyny nieciągłości funkcji jsności orzu. Krwędzie w orzie reprezentują grnice i kontury oiektów. Inne niepożądne zjwisk prowdzące do nieciągłości funkcji orzu to: cień, refleksy świetlne, zminy koloru (jsności) w rmch jednego oiektu, tekstur Rys. 1. Niszczący wpływ kwntyzcji n proces detekcji krwędzi. Przykłd pokzuje, że skutkiem kwntyzcji jest wprowdzenie dodtkowych nieciągłości funkcji orzu prowdzących do powstni fłszywych krwędzi. Wniosek: orzy poddne kompresji (kwntyzcji) prowdzą do powżnych przekłmń krwędzi. () orz oryginlny; () orz po kwntyzcji do 4 poziomów; (c) mp krwędzi.
Dlczego detekcj krwędzi? Dl kogo/czego? Metody detekcji krwędzi do pewnego stopni korzystją z nrzędzi znnych z wyostrzni orzu. Cele tych dwóch procesów są jednk inne. Celem wyostrzeni orzu jest poprw jkości wizulnej: zwiększenie ostrości, wyrzistości, kontrstu, z teoretycznego punktu widzeni również zwiększenie entropii czyli ilości informcji przenoszonej przez orz. Odiorcą orzu wyostrzonego jest njczęściej człowiek. Celem detekcji krwędzi jest ntomist ekstrkcj krwędzi orz usunięcie pozostłych frgmentów orzu. Orz po detekcji jest często etpem procesu utomtycznej nlizy orzu.
Metody grdientowe Metody grdientowe stnowią grupę njprostszych metod wykrywni krwędzi w orzie. Podstwą metod grdientowych jest wyzncznie pierwszej pochodnej w dwóch ortogonlnych kierunkch (niekoniecznie w pionie i poziomie). Grdient jest wektorem, którego kierunek wskzuje n kierunek njwiększego wzrostu wrtości funkcji (orzu) w punkcie (x,y). W przypdku orzu kierunek grdientu jest prostopdły do krwędzi. Grdient orz jego kierunek (x,y) w punkcie (x,y) dne są przez równni: 10 8 6 4 Wrtość (moduł) grdientu jest proporcjonln do szykości wzrostu funkcji orzu w dnym punkcie i jest równowżn wyrzistości, mocy krwędzi. Mł wrtość grdientu odpowid krwędziom słym i mło wyrzistym (powoln zmin wrtości jsności). Duż wrtość grdientu reprezentuje krwędzie silne i wyrziste. Piksele dl których wrtość modułu przekrcz określoną wrtość progową są interpretowne jko piksele krwędzi. Moduł grdientu wyznczny jest njczęściej n podstwie równni 2 0 0 2 4 6 8 10 Rys. 1. Przykłdowy frgment orzu zwierjący krwędź. Krwędź tworzą piksele leżące n odcinku zznczonym kolorem czerwonym. Kierunek grdientu, równowżny kierunkowy njwiększej zminy jest do krwędzi prostopdły. Moduł M orz kierunek grdientu dl określonego orzu są orzmi o rozmirze odpowidjącym rozmirowi orzu dl którego zostły wyznczone. Pochodne orzu relizowne są poprzez filtrcję orzu z mskmi określonego rozmiru. Wyznczenie grdientu wymg niezleżnej filtrcji w dwóch różnych kierunkch (z dwom różnymi mskmi). Rozwiąznie tkie jest mniej efektywne od metod wykorzystujących ezkierunkowy lplsjn (jedn msk). orz opertor grdientu moduł grdientu progownie mp krwędzi Rys. 2. Schemt metod grdientowych detekcji krwędzi. W prostych metodch detekcji krwędzi informcje o kierunku krwędzi są pomijne, uwzględnin jest jedynie wrtość grdientu. N pierwszym z zznczonych etpów kżdemu pikselowi orzu przyporządkowny zostje wektor!
Opertory Roerts Zproponown wiele przyliżonych metod wyznczni grdientu dyskretnej funkcji dwuwymirowej (orzu). Większość z nich wykorzystuje uogólnieni pochodnej jednowymirowej: Njprostsze jądr (mski) przeksztłceni odpowidjącego wyznczeniu grdientu w kierunkch poziomym i pionowym mją postć uogólnieni dwóch powyższych równń i są postci, odpowiednio: gdzie elementy pogruione odpowidją centrum okn (mski. Prolem: przejście przez zero pomiędzy elementmi -1 orz 1 msek x orz y wypd w innym punkcie. Może to powodowć niedoszcownie pikseli w których znjduje się krwędź poziom i pionow. Powyższej wdy pozwione są opertory Roerts (1965) postci: Podstwową wdą grdientu wyzncznego n podstwie powyższych msek jest rdzo duż wrżliwość n zkłóceni, co jest spowodowne młą liczą pikseli n podstwie których ustln jest wrtość pochodnych. Do zlet nleży mł złożoność oliczeniow.
Opertory Roerts - ilustrcj orz wejściowy 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 5 10 10 7 10 10 10 10 2 5 5 5 10 10 8 10 10 10 10 5 5 5 5 10 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 7 5 5 5 5 5 5 10 10 10 5 5 5 8 5 5 5 5 10 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 5 5 5 5 5 5 2 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 pochodn w kierunku 1 pochodn w kierunku 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 8 0 0 0 3 2 0 0 0 8 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 3 0 0 0 0 8 5 5 0 0 2 3 0 0 0 5 3 0 0 0 0 2 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 3 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 2 3 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 0 3 3 0 0 5 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 3.0 3.0 0 0 0 8.0 9.4 5.0 0 0 3.6 3.6 0 0 0 9.4 3.0 0 0 0 2.0 2.0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 0 3.0 5.4 0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.4 2.0 3.0 3.0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 3.0 3.0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 3.0 4.24 3.0 0 5.0 0 0 0 0 0 3.0 4.2 3.0 0 progownie z progiem T>=5 wrtość grdientu progownie z progiem T>=3 Rys. 1. Ilustrcj filtrcji orzu z pomocą digonlnych opertorów Roerts. Wdą opertorów Roerts jest generownie stosunkowo podonych odpowiedzi dl krwędzi jk i dl zkłóceń. 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0
Opertory Roerts - ilustrcj c d Rys. 1. Mp krwędzi orzu oryginlnego () uzyskn przy zstosowniu przeksztłceni z mskmi Roerts. (), (c) i (d) zostły uzyskne przy zstosowniu progów równych odpowiednio: T=10, T=20 orz T=30. Mksymln wrtość w orzie po filtrcji (przed progowniem) jest równ 325. Widocznym efektem jest zmniejsznie liczy fłszywych krwędzi wynikjących z oecności szumu wrz ze zwiększniem wrtości progu. Niestety jednocześnie usuwne są słsze piksele prwdziwych krwędzi (efekt niepożądny).
Opertory Prewitt (1) Prolemu opertorów 2x2 pozwione są opertory relizujące opercję wyznczni pochodnych względem punktu centrlnego. Njmniejsze opertory tego typu mją są reprezentowne mskmi 3x3. Zmniejszenie wrżliwości n szum możn uzyskć w drodze uśrednini (wygłdzni) orzu w kierunku ortogonlnym do kierunku w którym wyznczn jest pochodn. 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 2 4 4 9 9 2 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 2 0 2 5 5 7 0 7 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 c 12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 12 12 10 12 12 27 27 20 27 27 27 12 12 10 12 12 27 27 20 27 27 27 12 12 10 12 12 27 27 20 27 27 27 12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 d 0 0 0 15 15 0 0 0 0 2 0 2 15 15 7 0 7 0 2 0 2 15 15 7 0 7 0 2 0 2 15 15 7 0 7 0 0 0 0 15 15 0 0 0 0 0 0 0 15 15 0 0 0 0 0 0 0 15 15 0 0 0 0 0 0 0 15 15 0 0 0 0 0 0 0 15 15 0 0 0 0 Rys. 1. () orz oryginlny 11x11 pikseli. Zznczone są dw piksele o zkłóconych wrtościch, Orz zwier pionową krwędź reprezentowną przez przejście 4->9; () orz 11x9 po filtrcji z jądrem jednowymirowym postci [-1 0 1], co odpowid wyznczeniu pochodnej względem punktu centrlnego w kierunku osi x. W tym przypdku wkłd od zkłóceni wynosi 2/5 orz 7/5 w stosunku do wyjści z oszru krwędzi. N rysunku () wyjście filtru w oszrze zkłóceni (7) przekrcz wrtość odpowiedzi w oszrze rzeczywistej krwędzi (5)!. Filtrcj Roerts dje wyniki rdzo podone. (c) orz () po filtrcji wygłdzjącej w kierunku pionowym z jądrem przeksztłceni [1 1 1] T. Efektem jest orz 9x11 pikseli; (d) wynik filtrcji orzu (c) z mską [-1 0 1] (identyczną jk w przypdku ()). Odpowiedź filtru n zkłóceni jest wyrźnie mniejsz niż w przypdku ().
Opertory Prewitt (2) Dwuetpowy proces filtrcji przedstwiony n poprzedniej stronie możn zrelizowć jko przeksztłcenie z pojedynczym jądrem w postci iloczynu tensorowego jąder dwóch zstosownych przeksztłceń. W tym przypdku otrzymujemy: Powyższe równnie stnowi postć opertor grdientu w kierunku osi x. Opertor grdientu w kierunku osi y uzyskuje się przez orót o /2: Powyższe opertory stnowią prę tzw. opertorów Prewitt. Opertory te jednocześnie relizują proces różniczkowni w określonym kierunku orz odszumini w kierunku ortogonlnym poprzez loklne uśredninie. Sum wg opertor jest równ 0 dzięki czemu filtr w oszrch o stłej wrtości funkcji orzu generuje wyjście równe 0. Opertory Prewitt są przykłdem opertorów seprowlnych: możn je przedstwić jko iloczyn tensorowy dwóch wektorów. W ogólności, seprowlne są filtry dl których rząd mcierz jest równy 1 (rząd mcierzy jest równy liczie liniowo niezleżnych wierszy lu kolumn). Oczywiście opertory Prewitt mją rząd równy 1. Cech seprowlności jest istotn z punktu widzeni złożoności oliczeniowej (i czsowej). Dl przeksztłceni z jądrem 2n+1 wymirowym koniecznych jest (2n+1) 2 mnożeń orz (2n+1) 2-1 dodwń dl kżdego piksel orzu. W przypdku, gdy filtr jest seprowlny złożoność możn oniżyć do: 2(2n+1) mnożeń orz 2(2n+1)-2 dodwń przypdjących n jeden piksel orzu. Opertory Prewitt 3x3 są mniej wrżliwe n zkłóceni niż opertory Roerts 2x2. Opertory Prewitt wykorzystują jednowymirowy prosty filtr uśrednijący o identycznych wgch równych 1. W ogólności wykorzystć możn filtr uśrednijący innej postci. Wykorzystnie filtru postci [1 2 1] generuje tzw. opertory Soel.
Opertory Soel i Frei -Chen Filtry Soel relizowne są jko przeksztłceni z jądrem postci: odpowiednio dl grdientu w kierunku osi x orz y. Współczynniki +-2 wzmcniją njliższe otoczenie piksel centrlnego. W ogólności filtry Soel posidją lepsze włsności odszumini w stosunku do filtrów Prewitt (wygłdznie z większą wgą dl elementu centrlnego) orz opertorów Roerts. Ze względu n współczynniki +-2 opertor Soel generuje zwykle większe wrtości n wyjściu niż opertory Roerts orz Prewitt. Opertory Roerts, Prewitt orz Soel są opertormi kierunkowymi: sygnł generowny w odpowiedzi n krwędzie poziomie i pionowe jest różny od sygnłu generownego dl krwędzi digonlnych. W przypdku filtrów Prewitt sygnł dl krwędzi digonlnych jest mniejszy od sygnłu dl krwędzi pionowych i poziomych. W przypdku filtrów Soel sytucj jest odwrotn. Sytucj tk jest niepożądn, poniewż wkłd sygnłu od krwędzi powinien yć niezleżny od ich kierunku (przykłdem jest lplsjn). Prolem kierunkowości opertorów grdientu próuje niwelowć podejście Frei orz Chen, którzy zproponowli mski 3x3 postci:
Opertory Soel i Frei -Chen 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 10 0 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 10 0 0 0 10 10 10 10 10 0 0 10 10 10 10 10 10 0 10 10 10 10 10 10 10 0 40. 40. 0 0 0 40. 40. 0 0 0 40. 40. 0 0 0 40. 40. 0 0 0 40. 40. 0 0 42.4 42. 14. 0 0 14. 42. 42. 14. 0 0 14. 42. 42. 14. 0 0 14. 42. 42. 0 0 0 14. 42. c 0 34. 34. 0 0 0 34. 34. 0 0 0 34. 34. 0 0 0 34. 34. 0 0 0 34. 34. 0 0 34.1 34. 14. 0 0 14. 34. 34. 14. 0 0 14. 34. 34. 14. 0 0 14. 34. 34. 0 0 0 14. 34. Rys. 1. () przykłd krwędzi pionowej orz digonlnej w orzie. Rysunki () i (c) przedstwiją wyniki filtrcji przy użyciu msek odpowiednio Soel i Frei -Chen dl odpowiednich orzów.
Opertory Soel - ilustrcj c d Rys. 1. Mp krwędzi orzu oryginlnego () uzyskn przy zstosowniu przeksztłceni z mskmi Soel. (), (c) i (d) zostły uzyskne przy zstosowniu progów równych odpowiednio: T=60, T=100 orz T=140. Mksymln wrtość w orzie po filtrcji (przed progowniem) jest równ 748. Przykłd pokzuje, że wyjście filtru Soel jest większe niż filtru Roerts lu Prewitt.
Opertory Soel - kierunkowość c Rys. 1. Filtrcj orzu oryginlnego () z pomocą poziomego filtru Soel x () orz filtru pionowego y (). Filtr poziomy generuje sygnł zerowy dl krwędzi poziomej orz sygnł niezerowy w pozostłych przypdkch (mksymlny dl krwędzi pionowej). Filtr pionowy zchowuje się w sposó odwrotny.
Opertory grdientowe - porównnie 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 5 10 10 7 10 10 10 10 10 5 5 5 10 10 10 10 10 10 10 5 5 5 5 10 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 5 5 5 5 5 5 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 c 0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 3.0 3.0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 3.0 3.0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 0 5.0 0 0 0 0 3.0 3.0 0 0 4.2 3.0 4.2 0 0 0 7.1 14. 14. 3.0 0 3.0 0 0 7.1 14. 14. 7.1 4.2 3.0 4.2 0 7.1 14. 14. 7.1 0 0 0 0 7.1 14. 14. 7.1 0 0 0 0 7.1 14. 14. 7.1 0 0 0 0 7.1 14. 14. 7.1 0 0 0 0 7.1 14. 14. 7.1 0 0 0 0 0 14. 14. 7.1 0 0 4.2 3.0 4.2 0 14. 7.1 0 0 0 3.0 0 3.0 0 Rys. 1. Porównnie metod grdientowych detekcji krwędzi. () orz oryginlny poddwny detekcji; (), (c) i (d) odpowiednio wyniki filtrcji z mskmi Roerts, Prewitt orz Soel. Widć, że stosunek sygnłu do szumu pozostje njmniejszy dl wyniku filtrcji Roerts, njwiększy dl filtrcji Soel. Osttnim etpem detekcji krwędzi przy wykorzystniu metod grdientowych jest progownie tu zostło pominięte. d 4.2 6.0 4.2 0 0 0 7.1 21. 21. 6.0 0 6.0 0 0 7.1 21. 21. 7.1 4.2 6.0 4.2 0 7.1 21. 21. 7.1 0 0 0 0 7.1 21. 21. 7.1 0 0 0 0 7.1 21. 21. 7.1 0 0 0 0 7.1 21. 21. 7.1 0 0 0 0 7.1 21. 21. 7.1 0 0 0 0 0 21. 21. 7.1 0 0 4.2 6.0 4.2 0 21. 7.1 0 0 0 6.0 0 6.0 0
Metody grdientowe - podsumownie Metody grdientowe - wdy Konieczność filtrcji w dwóch ortogonlnych kierunkch Duż wrżliwość n zkłóceni i szumy w orzie Generownie gruych krwędzi (w przypdku idelnym pierwsz pochodn przyjmuje wrtość niezerową w prwie cłym oszrze krwędzi) Rozwiązni dotychczs przedstwione nie wykorzystują informcji n temt kierunku krwędzi Metody grdientowe - zlety Koncepcyjn prostot Łtwo zimplementowć mski wykrywjące nrożniki (lu inne struktury geometryczne) Młe mski przeksztłceni; w większości filtry seprowlne - rdzo mł złożoność oliczeniow i czsow
Metody detekcji wykorzystujące lplsjn Detektory krwędzi wykorzystujące drugą pochodną korzystją z włsności polegjącej n zminie znku drugiej pochodnej dl punktu środkowego krwędzi. Wystąpienie przejści przez zero (przejści przez zero, nie przyjęci przez funkcję wrtości zerowej!) dje kryterium wystąpieni krwędzi w orzie. orz lplsjn przejście przez zero progownie (opcjonlnie) mp krwędzi Rys. 1. Schemt detektor krwędzi wykorzystującego opertor drugiej pochodnej orzu (lplsjn) Prolemem detekcji krwędzi w tkim przypdku jest rdzo siln wrżliwość drugiej pochodnej n szum oecny w orzie: rzeczywiste zkłócenie lu fluktucje wrtości funkcji orzu. W prktyce okzło się, że rdzo efektywnym sposoem rdzeni soie z tym prolemem jest wcześniejsze wygłdzenie orzu (filtrcj dolnoprzepustow). Dvid Mrr orz Eleen Hildreth wykzli, że rdzo dore rezultty osiąg się dl filtrcji przy pomocy opertor Guss. W ogólności propozycję Mrr i Hildreth detekcji krwędzi możn sformułowć w nstępujący sposó: 1. wygłdzenie orzu oryginlnego przy pomocy opertor Guss odpowiedniego rozmiru (odchylenie stndrdowe) 2. wyznczenie drugiej pochodnej dl orzu wygłdzonego, np. przy użyciu lplsjnu z elementem centrlnym -8 (korzystn włsność: ezkierunkowość), 3. identyfikcj przejść przez zero w orzie uzysknym w punkcie (2) Powyższe trzy etpy możn zredukowć do dwóch korzystjąc z pewnych włsności gussinu orz lplsjnu (ptrz nstępn stron).
Opertor LoG Procedurę wygłdzni orzu filtrem gussowskim orz nstępnie wyznczni drugiej pochodnej możn formlnie zpisć w postci równni: gdzie symol ozncz dyskretny splot orzu orz funkcji Guss. Korzystjąc z włsności liniowości splotu orz lplsjnu równnie to możn przepisć w nowej postci: 0.1 0.05 0-0.05-10 c -5 0 5 10-10 -5 0 1 2 4 4 4 2 1 0 1 4 1 8 2 8 1 4 1 2 1 9 2 2 2 9 1 2 4 8 2 18 28 18 2 8 4 4 2 2 28 44 28 2 2 4 4 8 2 18 28 18 2 8 4 2 1 9 2 2 2 9 1 2 1 4 1 8 2 8 1 4 1 0 1 2 4 4 4 2 1 0 Rys. 1. () wykres funkcji LoG; () wykres funkcji LoG; (c) msk 2D stnowiąc dyskretną proksymcję funkcji +LoG (minimum w elemencie centrlnym). 0 5 10 Powyższ równość wskzuje, że wstępne wygłdzenie gussowskie orzu wejściowego, nstępnie wyznczenie dl tk powstłego orzu drugiej pochodnej (są to etpy 1 orz 2 wymienione n poprzedniej stronie) możn zstąpić pojedynczym etpem filtrcji orzu wejściowego z pomocą opertor 2 G(x,y, ) nzywnego opertorem LoG lplsjnem funkcji gussowskiej (lplcin of gussin). Jest to rdzo istotn cech redukującą złożoność oliczeniową lgorytmu: pochodn z funkcji Guss G(x,y, ) jest niezleżn od orzu, ztem może yć wyznczon niezleżnie w fzie przetwrzni wstępnego (stlicown). Dl celów przetwrzni orzów konieczne jest dysponownie dyskretną wersją funkcji LoG (równnie powyżej). Mski proksymujące tę funkcję możn otrzymć przez ezpośrednie prókownie lu poprzez prókownie funkcji Guss G(x,y), nstępnie filtrcję lplsjnem. Drugie rozwiąznie jest korzystniejsze ze względu n to, że gwrntuje sumownie współczynników tk uzysknego filtru do zer (dlczego jest to istotne?). Filtrcj opertorem LoG relizuje jednocześnie dw zdni: 1. loklne wygłdznie w dużym otoczeniu piksel centrlnego (przewg n metodmi grdientowymi) orz 2. wyzncznie drugiej pochodnej.
Algorytm Mrr -Hildreth Wykorzystując włsności wygłdzni gussowskiego orz filtrcji lplsjnem lgorytm Mrr i Hildreth możn zrelizowć w dwóch etpch: 1. Filtrcj orzu z pomocą opertor LoG, 2. Identyfikcj przejść przez zero w orzie uzysknym w punkcie (1) (orzie LoG) Istnieje wiele podejść relizcji drugiego etpy powyższego lgorytmu. Dl przykłdu: 1. Przeglądnie orzu LoG z oknem 2x2. W tkim przypdku wyrny punkt centrlny ojęty oknem (w tym przypdku nie jest to jednoznczne może to yć dowolny z 4 punktów) jest klsyfikowny jko punkt krwędzi jeśli w otoczeniu wyznczonym przez okno wykryte zostną wrtości zrówno dodtnie jk i ujemne. 2. Inne z podejść rozszerz proces identyfikcji przejści przez zero o nlizę wrtości pierwszej pochodnej w nlizownym punkcie. Piksel jest klsyfikowny jko reprezentujący krwędź, gdy odpowid przejściu przez zero drugiej pochodnej orz jednocześnie pierwsz pochodn wyznczon w tym punkcie przyjmuje wrtość przekrczjącą ustlony próg. Zdniem progowni jest zmniejszenie liczy fłszywych krwędzi identyfikownych w orzie. 3. Identyfikcj przejść przez zero jest łtwe do relizcji w przypdku przeglądni orzu LoG z oknem 3x3. Anlizowny piksel pokrywjący się z centrum okn klsyfikuje się jko piksel krwędzi jeśli w dowolnym z ośmiu kierunków przechodzących przez ten piksel wykryt zostnie zmin znku funkcji orzu LoG. Proces ten możn dodtkowo rozszerzyć o etp progowni.
Algorytm Mrr -Hildreth filtrcj LoG z mską 17x17 Rys. 1. Ilustrcj lgorytmu Mrr -Hildreth. () orz oryginlny; () orz uzyskny po filtrcji przy użyciu opertor LoG rozmiru 17x17 orz po przesklowniu do zkresu [0,255]. Oszry ciemne odpowidją wrtościom ujemnym w orzie LoG, oszry jsne wrtościom dodtnim. Widoczny jest efekt hlo złożony z oszrów jsny/ciemny wzdłuż rzeczywistych krwędzi orzu. Ciąg dlszy n nstępnej stronie
Algorytm Mrr -Hildreth filtrcj LoG z mską 17x17 c e d f c.d. Rys.1. Wynik identyfikcji przejść przez zero orzu LoG orz progowni. Próg zstosowny do uzyskni orzów (c), (d), (e) i (f) wyniósł odpowiednio: T=0 (ez progowni), T=5% wrtości mksymlnej, T=10% wrtości mksymlnej orz T=20% wrtości mksymlnej w orzie LoG. N rysunku (c) wyrźnie widoczny jest chrkterystyczny efekt tzw. tlerz spghetti: punkty przejści przez zero tworzą zmknięte pętle. Jkie jest źródło tego efektu?
Algorytm Mrr -Hildreth filtrcj LoG z mską 29x29 Rys. 2. () orz oryginlny; () przesklowny orz LoG uzyskny po filtrcji orzu () przy użyciu opertor LoG o rozmirze 29x29. Ciąg dlszy n nstępnej stronie
Algorytm Mrr -Hildreth filtrcj LoG z mską 29x29 c d c.d. Rys.2. Wynik identyfikcji przejść przez zero orzu LoG orz progowni. Próg zstosowny do uzyskni orzów (c), (d), (e) i (f) wyniósł odpowiednio: T=0 (ez progowni), T=5% wrtości mksymlnej, T=10% wrtości mksymlnej orz T=20% wrtości mksymlnej w orzie LoG. e f
Algorytm Mrr -Hildreth filtrcj LoG z mską 35x35 Rys. 3. () orz oryginlny; () przesklowny orz LoG uzyskny po filtrcji orzu () przy użyciu opertor LoG o rozmirze 35x35. Ciąg dlszy n nstępnej stronie
Algorytm Mrr -Hildreth filtrcj LoG z mską 35x35 c d c.d. Rys.3. Wynik identyfikcji przejść przez zero orzu LoG orz progowni. Próg zstosowny do uzyskni orzów (c), (d) wyniósł odpowiednio: T=0 (ez progowni), T=5% wrtości mksymlnej. Zstosownie większej wrtości progi prowdzi w tym przypdku do ndmiernego usunięci istotnych krwędzi w orzie.
Algorytm Mrr -Hildreth - podsumownie Zlety: Algorytm dje dore rezultty w postci ciągłych, zmkniętych i cienkich krwędzi (do pewnego stopni) Możliwość nlizy orzu dl n różnych sklch prmetryzownych przez wrtość odchyleni stndrdowego. Wrtość dl przykłdów przedstwionych n poprzednich rysunkch wynosi odpowiednio: 2.2, 4.3 orz 5.2. Zwiększenie wrtości odchyleni stndrdowego prowdzi do silniejszego wygłdzeni orzu, tym smym eliminowni corz to silniejszych krwędzi w orzie. Algorytm może yć rozszerzony do postci w której detekcj prowdzon jest dl różnych wrtości prmetru, kceptowne są jedynie te krwędzie występujące w orzch dl kżdej wrtości prmetru. Proces filtrcji LoG jest do pewnego stopni podony do zjwisk neurofizjologicznych zchodzących w ludzkim oku (zlet?) Wdy Zmiękczenie (zokrąglenie) krwędzi. Efekt ten jest szczególnie widoczny n krwędzi nrożnych. c Rys. 1. (), (), (c) mpy krwędzi dl filtrcji odpowiednio: Roerts, Soel, Mrr -Hildreth.
Algorytm Cnny ego (1986) Metod detekcji krwędzi zproponown przez John Cnny ego w 1986 powstł jko metod mjąc spełnić trzy podstwowe cele: 1. minimlizowć liczę łędnych detekcji, przy czym łędem detekcji jest zrówno detekcj krwędzi fłszywych (łędn odpowiedź pozytywn, flse-positive detection), jk i pomijnie rzeczywistych krwędzi w orzie (łędn odpowiedź negtywn, flse-negtive detection), 2. zpewnić dokłdną loklizcję krwędzi punkt sklsyfikowny jko punkt krwędzi powinien yć jk njliższy środkowemu punktowi rzeczywistej krwędzi, 3. generowć pojedynczą odpowiedź dl kżdej rzeczywistej krwędzi w orzie jest to równowżne generowniu krwędzi o gruości jednego piksel. Algorytm relizujący powyższe cele (nie jest to lgorytm optymlny) skłd się z kilku etpów: 1. Filtrcj orzu oryginlnego z pomocą seprowlnego filtru Guss G(x,y, ) prmetryzownego przez odchylenie stndrdowe. Odchylenie stndrdowe odpowid z rozmir mski użytej do filtrcji i steruje stopniem elimincji szumów (niestety, również i krwędzi) w orzie. Istotne jest dornie odpowiedniego rozmiru filtru. 2. Wyznczenie grdientu dl kżdego piksel orzu wygłdzonego w poprzednim etpie. Oliczenie grdientu możn zrelizowć poprzez filtrcję dowolnym z filtrów grdientowych: Soel, Roerts, Prewitt, etc. N tym etpie kżdemu pikselowi orzu przyporządkowny zostje wektor: 3. Wyznczenie w kżdym punkcie orzu wrtości orz kierunku grdientu (kąt nchyleni) 4. Tłumienie niemksymlne (non-mximl suppression). 5. Progownie orzu z histerezą. Zdniem tego etpu jest usunięcie z orzu słych krwędzi (o wrtościch pikseli poniżej dolnego progu), le jednocześnie generownie krwędzi pozwionych luk i przerw.
Kierunek grdientu (1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 5 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 5 7 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 5 7 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 1 3 5 7 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 1 3 5 7 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 1 3 5 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 1 3 5 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 5 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 c Rys. 1. (), () frgment orzu, (c) orz przedstwiony jko pole wektorowe. Rysunek (c) wskzuje jk w oszrze krwędzi zmieni się kierunek orz długość grdientu.
Kierunek grdientu (2) 250 250 200 200 150 150 100 100 50 50 50 100 150 200 250 0 0 50 100 150 200 250 c d Rys. 1. () orz oryginlny, () orz którego wrtościmi jest kąt nchyleni wektor grdientu do osi x. Oszry jednorodne tego orzu odpowidją oszrom orzu oryginlnego w którym kierunek grdientu zmieni się w sposó nieznczny (fluktucje). (c) i (d) przedstwiją oszr zznczony n rysunku () odpowiednio górnym i dolnym prostokątem.
Tłumienie niemksymlne c Rys. 1. Ilustrcj procesu tłumieni niemksymlnego. () orz oryginlny zwierjący poziomą krwędź szerokości kilku pikseli; () grdient orzu (), oszry jsne reprezentują oszry o niezerowej wrtości grdientu; (c) wynik progowni glolnego orzu (); (d) orz () po wykonniu procesu tłumieni niemksymlnego. Cechą krwędzi wykrytej przez progownie glolne jest jej duż gruość. Krwędź wykryt po wykonniu tłumieni m gruość jednego piksel. d Zdniem etpu tłumieni niemksymlnego jest relizcj trzeciego z celów stwinych przed lgorytmem detekcji generowniu przez detektor pojedynczej odpowiedzi dl kżdej rzeczywistej krwędzi w orzie. Tłumienie niemksymlne zpewni, że pikselem krwędzi jest piksel, dl którego wrtość grdientu jest mksymln w kierunku wyznczonym przez grdient. Zchownie pikseli o niemksymlnej wrtości grdientu powoduje pogruinie krwędzi. Piksele tkie mogą yć stopniowo eliminowne przez progownie ze zwiększjącą się wrtością progu. Algorytm tłumieni niemksymlnego jest nstępujący: 1. Przeglądj orz grdientu M(x,y) piksel po pikselu. Dl kżdego piksel o niezerowej wrtości wyzncz kierunek grdientu, 2. Dl piksel ktulnie przeglądnego sprwdź dwóch njliższych sąsidów leżących w kierunku zgodnym z kierunkiem grdientu, 3. W przypdku, gdy wrtość piksel ktulnego jest większ od ou sąsidów zchowj ją, w przeciwnym przypdku przypisz pikselowi wrtość zerową (lu inną, któr reprezentuje rk krwędzi) i przejdź do nstępnego piksel. W oknie 3x3 reprezentowć możn jedynie 4 różne kierunki krwędzi: poziomy, pionowy orz dw kierunki digonlne. Poniewż oliczony kierunek grdientu w poszczególnych pikselch orzu reprezentowny przez kąt nchyleni wektor do osi ukłdu może przyjmowć dowolną wrtość z przedziłu 0, 2 ] to konieczn jest kwntyzcj tkiego kierunku do jednego z możliwych kierunków w loku.
Algorytm Cnny ego ilustrcj 1 c d Rys. 1. Detekcj krwędzi wykonn lgorytmem Cnny ego. () orz oryginlny, () grdient orzu (); (c) wynik tłumieni niemksymlnego wykonnego n orzie (); (d) końcowy efekt dziłni lgorytmu. W tym przypdku orz wynikowy zwier dużą liczę fłszywych krwędzi n ścinie udynku. Efekt ten jest spowodowny użyciem zyt młego filtru gussowskiego (3x3) n etpie wygłdzni orzu.
Algorytm Cnny ego ilustrcj 2 c d Rys. 1. Detekcj krwędzi zgodnie z lgorytmem Cnny ego dl różnych wrtości odchyleni stndrdowego filtru gussowskiego wykorzystnego do wstępnego odszumieni orzu. Wrtość dl orzów (), (), (c) i (d) wynosi odpowiednio: 0.5, 1.0, 1.5 orz 2.0 co odpowid mskom rozmiru 3x3, 5x5, 9x9 orz 11x11. We wszystkich przypdkch wrtości progu górnego i dolnego dl progowni z histerezą wynoszą odpowiednio 10% i 5% wrtości mksymlnej orzu grdientu M.
Algorytm Cnny ego ilustrcj 3 c d Rys. 1. Etp progowni z histerezą lgorytmu Cnny ego. () wynik progowni z progiem górnym równym 20% wrtości mksymlnej w orzie przed progowniem; () wynik progowni z progiem równym 5% wspomninej wrtości mksymlnej. Progi te stnowią odpowiednio próg górny i dolny progowni z histerezą. N rysunku (c) przedstwion jest różnic orzów () i (); (d) ostteczny wynik progowni z histerezą.
Detekcj krwędzi w orzch rwnych Metody detekcji krwędzi w orzch rwnych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: klsę metod sklrnych orz klsę metod wektorowych. Metody sklrne. W njprostszym przypdku krwędź w orzie rwnym możn zdefiniowć jko zminę wrtości funkcji jsności. Podejście to wymg konwersji orzu rwnego do orzu w odcienich szrości (pomij się zminy odcieni orz nsyceni rwy). Metody wektorowe. Rys. 1. () orz rwny RGB; () monochromtyczn wersj orzu ().