Algorytmy graficzne. Przestrzenna filtracja obrazów. Metody wygładzania i wyostrzania obrazu.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Algorytmy graficzne. Przestrzenna filtracja obrazów. Metody wygładzania i wyostrzania obrazu."

Transkrypt

1 Algorytmy grfizne Przestrzenn filtrj orzów. Metody wygłdzni i wyostrzni orzu.

2 Kontekstow filtrj orzu. Filtry liniowe Filtrj orzu jest operją kontekstową w której wrtość piksel orzu wynikowego wyznzn jest jko kominj wrtośi pikseli z sąsiedztw. Filtrj wykonywn jest w elu: usuwni zkłóeń i szumu w orzie, wzmnini niektóryh elementów orzu (np. krwędzi), poprwy jkośi wizulnej orzu, rekonstrukji orzu. Filtrj liniow relizown jest jko operj dwuwymirowego splotu dyskretnego: gdzie f(x,y) jest orzem wejśiowym, g(x,y) orzem wyjśiowym, współzynniki w określją rodzj i postć przeksztłeni i stnowią rzem mskę (jądro) przeksztłeni. Nleży zwróić uwgę n spejlną osługę pikseli leżąyh ezpośrednio n rzegu orzu (istnieje kilk sposó osługi tkiej sytuji). Msk w przeksztłeni deyduje o sposoie dziłni filtru. f(x-1,y-1) f(x-1,y) w(-1,-1) w(-1,0) w-1,1) w(0,-1) w(0,0) w(0,1) w(1,-1) w(1,0) w(1,1) f(x-1,y+1) f(x,y-1) f(x,y) f(x,y+1) Msk przeksztłeni f(x+1,y-1) f(x+1,y) f(x+1,y+1) g(x,y) Orz oryginlny Orz wyjśiowy Rys.1. Shemt liniowej filtrji orzu.

3 Filtry wygłdzjąe Zdniem filtrów wygłdzjąyh jest przestrzenne uśrednienie wrtośi orzu, prowdząe do redukji szumów, zkłóeń o odpowiedniej hrkterystye orz niewielkih fluktuji wrtośi pikseli w oszrh porównywlnyh z rozmirem jądr przeksztłeni. Niepożądnym efektem uoznym filtrji tego typu jest osłienie (rozmyie) konturów oiektów w orzie i zmniejszenie ostrośi orzu. d Dziłnie filtrów uśrednijąyh jest równowżne z tłumieniem skłdowyh orzu o dużyh zęstotliwośih, przy jednozesnym pozostwieniu w orzie skłdowyh o młyh zęstotliwośih. Filtry te dziłją wię jk typowe filtry dolnoprzepustowe. Filtry wygłdzjąe relizowne są jko przeksztłeni z mskmi określonego ksztłtu i rozmiru. Njzęśiej wykorzystywną mską jest msk kwdrtow. Njprostszym przykłdem filtru tego typu jest filtr uśrednijąy reprezentowny przez mskę 3x3: 1 i y j z k 1 1 1{ e f Wynik filtrji zleży od wrtośi współzynników (wg) filtru orz jego rozmiru i ksztłtu. W ogólnośi zwiększnie rozmiru mski filtru powoduje silniejsze rozmyie (zmniejszenie ostrośi) orzu, ze względu n uśredninie w większym oszrze. Jednoześnie zwiększ się złożoność olizeniow przeksztłeni Efekt wygłdzeni możn zmniejszyć przez zwiększenie wgi punktu entrlnego, n którym entrown jest msk przeksztłeni. Rys. 1. Wynik filtrji dolnoprzepustowej orzu oryginlnego przedstwionego n rysunku (). (), () i (d) przedstwiją orzy po filtrji z mską, opowiednio 3x3, 7x7 orz 17x17. Wszystkie współzynniki filtrów są równe 1. Rysunki (e) i (f) przedstwiją wiersz 230 orzu oryginlnego orz orzu przedstwionego n rysunku (d).

4 Przestrzenne uśredninie orzu przykłd Orz oryginlny 300 Orz po filtrji H5x5L Orz po filtrji H23x23 L Orz progowny H48. % mx L Orz progowny H48. % mx L d 300 e 300 f 300 Orz po filtrji H11x11 L Stosownie filtrów uśrednijąyh o różnyh rozmirh msek dje efekt eliminji oiektów orzu o rozmirh odpowidjąyh rozmirowi filtru. Proes ten może yć wykorzystny do eliminji nieistotnyh szzegółów orzu. Niepożądnym efektem w innyh zstosownih jest rozmyie konturów oiektów. 300 g Rys.1. Przykłd zstosowni przestrzennej filtrji uśrednijąej: ) orz oryginlny; ) e) przykłd filtrji filtrem o wielkośi odpowiednio 5x5, 11x11 orz 23x23 piksele; e) f) efekt dodtkowego progowni orzów, odpowiednio, ) orz d) z progiem ustlonym n 48% mksymlnego poziomu jsnośi kżdego z orzów. Rysunek (g) przedstwi wynik mskowni (logizne AND) orzu oryginlnego przez orz (f).

5 Filtry gussowskie i y j z k 1 4 1{ Szzególną klsą filtrów dolnoprzepustowyh są filtry gussowskie, któryh współzynniki stnowią proksymję dwuwymirowej funkji Guss: i y j z k { i y j z k { Filtry gussowskie są filtrmi symetryznymi w któryh njwiększą wgę otrzymuje współzynnik odpowidjąy elementowi entrlnemu, współzynniki mją tym mniejszą wrtość im większ jest ih odległość od elementu entrlnego. Rozmir mski filtru gussowskiego powinien yć dorny zleżnie od wrtośi prmetru σ (wrinji) funkji Guss. Zwykle przyjmuje się mskę o rozmirze 6σ x 6σ. Przykłdy msek dl filtrów gussowskih podne są ook. Rys.1. Przykłdy jąder (msek) przeksztłeń gussowskih dl różnyh wrtośi odhyleni stndrdowego σ.

6 Filtr gussowski przykłd Rys.1. Porównnie dziłni filtru Guss orz prostego filtru uśrednijąego dl identyznyh rozmirów msek, w tym przypdku równyh 11x11 pikseli. () orz oryginlny; () wynik filtrji Guss; () wynik filtrji prostym filtrem uśrednijąym. Widozn jest silniejsz degrdj orzu () w stosunku do orzu ().

7 Usuwnie zkłóeń Usuwnie zkłóeń z pomoą filtrów liniowyh, np.. filtru Guss, nie oznz fizyznego wyeliminowni zkłóeni. Znznie lepsze efekty osiągją w tkim przypdku filtry nieliniowe, m. in. różne wrinty filtrów medinowyh. Filtry wygłdzjąe dokonują osłieni i rozproszeni zkłóeni n piksele sąsiednie orz wprowdzją do orzu nowe wrtośi jsnośi (ptrz Rys. 2) Rys.1. Rysunek przedstwi przekrój przez wiersz odpowiednio: orzu oryginlnego (krzyw zerwon), zkłóonego szumem o rozkłdzie normlnym ze średnią 0 i wrinją 20.0 (krzyw zrn) orz orzu odszumionego filtrem Guss z mską 5x5 (krzyw nieiesk). Orzy przedstwione są n nstępnym sljdzie i y j z k { i y j z k { i y j z k { Rys.2. Shemt proesu usuwni zkłóeń dl filtru gussowskiego (2) orz prostego uśrednijąego (2). Oryginlny orz poddwny filtrji jest przedstwiony n rysunku (2). Zstosowny filtr gussowski m mskę: {{1,4,1},{4,32,4},{1,4,1}}

8 Usuwnie zkłóeń. Przykłd Rys.1. Przykłd zstosowni filtru Guss do filtrji orzu zkłóonego szumem Guss. - orz oryginlny (ez szumu). () - orz oryginlny po dodniu szumu o rozkłdzie gussowskim o zerowej średniej i odhyleniu stndrdowym równym 10.0; () orz () po filtrji filtrem Guss z mską 5x5; Orzy (d) i (e) to odpowiednio orz zkłóony szumem Guss o średniej zerowej i odhyleniu równym 20.0 orz orz po filtrji z mską 5x5. d e

9 Usuwnie zkłóeń. Przykłd zkłóeń impulsowyh Rys.1. Orz () orz zkłóony 2% szumem typu slt nd pepper; () wynik usuwni zkłóeni przez filtrję gussowską z jądrem przeksztłeni 5x5. Przykłd wskzuje, że użyie tego typu filtrji do zkłóeń impulsowyh (sól i pieprz) jest nieuzsdnione. Włśiwym rozwiązniem może yć w tym przypdku filtrj medinow.

10 Filtry górnoprzepustowe

11 Opertory pierwszej i drugiej pohodnej (1D) Większość proedur wyostrzni orzu orz detekji krwędzi wykorzystuje opertory pierwszej orz drugiej pohodnej orzu, przy zym w tkim przypdku orz jest dyskretną funkją dwuwymirową. Dl uproszzeni zpiszmy opertory w przypdku jednowymirowym. Opertory, odpowiednio, pierwszej i drugiej pohodnej mją postć: Włsnośi pierwszej i drugiej pohodnej: 2 oie generują zero w oszrh o ustlonej wrtośi, dl punktów krwędzi pierwsz pohodn przyjmuje wrtośi niezerowe (dodtnie lu ujemne w zleżnośi od rodzju przejśi) w łym oszrze krwędzi z pominięiem osttniego punktu. Efektem są stosunkowo rozległe oszry o niezerowyh wrtośih (grue krwędzie), punkty krwędzi w orzie mogą yć rozpoznne n podstwie śledzeni wrtośi pierwszej pohodnej: piksele dl któryh wrtość pierwszej pohodnej przekrz ustlony próg są interpretowne jko piksele krwędzi, drug pohodn generuje dwie wrtośi: ujemną orz dodtnią dl krwędzi o dowolnej gruośi. Jest to eh niepożądn, odpowiedziln z zjwisko podwójnego konturu w orzh po filtrji opertorem drugiej pohodnej, korzystją z drugiej pohodnej krwędź może yć rozpoznn n podstwie śledzeni przejść przez zero (ptrz rysunek ()) -4 Rys. 1. Ilustrj włsnośi pierwszej i drugiej pohodnej sygnłu dyskretnego. () sygnł wejśiowy. Możn przyjąć, że jest to frgment wiersz pewnego orzu; (), () odpowiednio pierwsz i drug pohodn sygnłu.

12 Wrżliwość pohodnyh n zkłóeni Prolemem związnym ze stosowniem pierwszej i drugiej pohodnej jko nrzędzi detekji oszrów o dużej zmiennośi wrtośi pikseli - w szzególnośi jko nrzędzi detekji krwędzi -jest ih wrżliwość n zkłóeni i rtefkty oene w orzie. W przypdku idelnym, niejednorodnośi wrtośi pikseli powinny występowć jedynie w oszrh odpowidjąyh rzezywistym, fizyznym krwędziom oiektów przedstwionyh w orzie. Ze względu m. in. n występownie zkłóeń (szumów), niejednorodnośi oświetleni, zy fktury tł orzu wiern (ezłędn) detekj krwędzi w orzie jest rdzo trudn do osiągnięi (niemożliw?). Możliwe jest łędne wykryie krwędzi w oszrze rku krwędzi (łędn odpowiedź pozytywn) lu pominięie istniejąej krwędzi (łędn odpowiedź negtywn). Sm proes detekji njzęśiej jest rozszerzny o dodtkowe etpy redukji zkłóeń, progowni orz rzdziej - uzupełnini przerwnyh (dziurwyh) krwędzi. W prktye, nwet zkłóeni, które nie powodują wyrźnego pogorszeni wizulnej jkośi orzu prowdzą do znieksztłeni sygnłu generownego przez pierwszą i drugą pohodną. Tk sytuj uniemożliwi poprwną identyfikję oszrów zwierjąyh krwędzie. Rys. 1. Ilustrj wrżliwośi pierwszej orz drugiej pohodnej n zkłóenie szumem Guss. () orz oryginlny, jego pierwsz orz drug pohodn; () orz () przedstwi orzy zkłóone szumem Guss o zerowej średniej orz odhyleniu stndrdowym równym odpowiednio 1.0 orz Przykłd wskzuje ogólną zsdę zgodnie z którą drug pohodn jest dużo rdziej wrżliw n zkłóeni oene w orzie.

13 Uśredninie orzu (filtrj dolnoprzepustow) d g h f Istotnym etpem detekji krwędzi jest wstępn filtrj orzu filtrem wygłdzjąym (dolnoprzepustowym) w elu redukji wpływu zkłóeń n efekt detekji. Przykłd wpływu filtru dolnoprzepustowego n rezultt detekji krwędzi pokzny jest n rysunku. j i y j z k { e i Rys. 1. () orz oryginlny; () orz zszumiony szumem Guss o średniej 0 orz wrinji 10.0; () przekrój przez wyrny wiersz orzu zszumionego (widozne zszumienie); (d) i (e) - odpowiednio pierwsz i drug pohodn dl wyrnego wiersz orzu zszumionego. (f) orz po zstosowniu filtru Guss z mską przedstwioną n rysunku (j); (g) przekrój przez wiersz orzu uśrednionego; (h) i (i) odpowiednio pierwsz i drug pohodn dl wiersz orzu wygłdzonego. W tym przypdku pozytywny efekt filtrji dolnoprzepustowej jest ezdyskusyjny. Zkłóeni o innej hrkterystye powinny yć usuwne przez filtrję innego rodzju.

14 Lplsjn nrzędzie wyostrzni orzów Lplsjn (drug pohodn) dl dyskretnej funkji dwuwymirowej m postć: i jest njzęśiej relizowny jko przeksztłenie z mskmi 3x3 posti: Lplsjn z mską pierwszej posti jest izotropowy jedynie dl krwędzi poziomyh i pionowyh. Włązenie również kierunków digonlnyh wymg stosowni mski drugiej posti. W tkim przypdku lplsjn jest opertorem ezkierunkowym. Ceh tk jest niewątpliwą zletą, poniewż zstosownie jednej mski odpowid detekji krwędzi o dowolnym kierunku. Jest to rozwiąznie o mniejszej złożonośi olizeniowej i zsowej w stosunku do rozwiązń wykorzystująyh pierwszą pohodną (metody grdientowe). Anliz lplsjnu niesie informję o znku krwędzi, tzn. zy krwędź reprezentuje przejśie od wrtośi mniejszej do większej zy też przeiwnie. Możliwe jest stosownie msek ze zmienionymi znkmi współzynników w stosunku do podnyh wyżej. Sum wg msek Lple jest równ zero, dzięki zemu w oszrh stłej wrtośi pikseli przeksztłenie generuje odpowiedź zerową. W ogólnośi zstosownie lplsjnu powoduje pojwinie się w orzie wynikowym wrtośi ujemnyh.

15 Lplsjn. Przykłd i y j z k { i y j z k { d Rys. 1. Przykłd filtrji orzu z mską lplsjnu z elementem entrlnym równym -8. (), () mierz orzu orz orz; (), (d) mierz orzu przetworzonego orz orz przetworzony. N rysunkh () i (d) widozny jest efekt podwójnego konturu.

16 Wykorzystnie lplsjnu - przykłd Rys. 1. () orz oryginlny; () wynik przetwrzni z mską Lple z elementem entrlnym -4; () wynik przesklowni orzu () do przedziłu [0,255]. Rysunek () przedstwi orz w którym wrtośi orzu po zstosowniu przeksztłeni Lple zostły oięte do przedziłu [0,255]. Wrtość minimln i mksymln jkie pojwiją się w orzie wynikowym to odpowiednio -299 orz 303.

17 Wykorzystnie lplsjnu - przykłd Rys. 1. () orz oryginlny; () wynik przetwrzni z mską Lple z elementem entrlnym -8; () wynik przesklowni orzu () do przedziłu [0,255]. W tym przypdku poprwnie odwzorown zostł znznie większ liz krwędzi (uwzględnione kierunki digonlne).

18 Lplsjn - wyostrznie orzu Lplsjn jest wżnym nrzędziem wyostrzni orzów. Dysponują orzem wejśiowym f(x,y) jest wyostrzoną postć możn otrzymć przez odjęie (lu dodnie) do orzu wejśiowego orzu ędąego wynikiem przetwrzni z mską Lple : gdzie znk, + lu -, zleży od posti msek użytyh do przetwrzni. W przypdku msek przedstwionyh n poprzednih rysunkh stosuje się odejmownie (znk -). W przypdku zminy znku wg w mskh nleży zstosowć dodwnie (znk +) Operj dodni do orzu wejśiowego wyniku wyznzeni drugiej pohodnej (lplsjnu) powoduje zwiększenie kontrstu n krwędzih. Efekt wyostrzeni krwędzi możn dodtkowo wzmonić poprzez wprowdzenie zynnik sklująego k, zwiększjąego wgę orzu ędąego wynikiem wyznzeni drugiej pohodnej: Rys. 1. Wyostrznie sygnłu jednowymirowego poprzez sumownie (odejmownie) sygnłu z przesuniętym lplsjnem. () sygnł wejśiowy, () drug pohodn sygnłu, () wynik odjęi drugiej pohodnej od sygnłu. Widozne jest wzmonienie kontrstu n grnih krwędzi. Proes ten jest podony do fizjologiznego tłumieni ooznego zhodząego w ludzkim oku i odpowiedzilnego m. in. z powstwnie tzw. msm Mh. Proes tki jest nzywny podijniem zęstośi wysokih: highoost filtering. Uwg: orz f (x,y) nie powinien yć dodtkowo sklowny do dopuszzlnego przedziłu wrtośi! Dlzego?

19 Lplsjn wyostrznie orzu. Przykłd d Rys. 1. Wyostrznie orzu przy wykorzystniu opertor Lple. () orz oryginlny; (), () i (d) przedstwiją orzy wyostrzone (highoost filtering) dl współzynnik k równego odpowiednio: 0.5, 1.0 orz 1.5.

20 Lplsjn wyostrznie orzu. Przykłd e 600 d Rys. 1. Przykłd niewłśiwego przetwrzni orzu wyostrzonego. () orz oryginlny z zznzonym wierszem ; () przekrój przez wiersz orzu oryginlnego; () przekrój przez wiersz w orzie wyostrzonym z prmetrem k=1.5. Widozne jest przekrozenie przedziłu wrtośi [0,255]; (d) przekrój przez wiersz po dodtkowym przesklowniu przedziłu wrtośi przyjmownyh przez piksele do przedziłu [0,255]. Efektem tego jest glolne zmniejszenie kontrstu przedstwione n rysunku (e).

21 Mskownie nieostrośi (unshrp msking) Przykłdem rdziej ogólnej metody wyostrzni jest metod mskowni nieostrośi. Metod t wykorzystuje podone zjwisk jk poprzednio opisn, le jest rdziej elstyzn. Proedur mskowni nieostrośi przeieg w nstępująy sposó: 1. przeprowdź filtrję dolnoprzepustową orzu oryginlnego (prosty filtr uśrednijąy lu filtr Guss), 2. odejmij orz wygłdzony od orzu oryginlnego. Wynik odejmowni jest nzywny mską, 3. dodj mskę do orzu oryginlnego Większ elstyzność metody mskowni nieostrośi poleg n możliwośi sterowni nie tylko głęokośią wyostrzeni le również szerokośią d e f Rys. 1. Przykłd mskowni nieostrośi w przypdku wykorzystni dwóh różnyh filtrów wygłdzjąyh. (), () i () zstosownie filtru Guss 3x3 piksele; (d), (e) i (f) zstosownie filtru Guss 15x15 pikseli.

22 Mskownie nieostrośi - przykłd Rys. 1. () orz oryginlny; () i () wynik wyostrzni dwom metodmi opisnymi n poprzedniej stronie.

Algorytmy graficzne. Operacje punktowe i kontekstowe. Przestrzenna filtracja obrazów.

Algorytmy graficzne. Operacje punktowe i kontekstowe. Przestrzenna filtracja obrazów. Algorytmy grfizne Operje punktowe i kontekstowe. Przestrzenn filtrj orzów. Rodzje przeksztłeń n orzh Metody przeksztłni orzów, zrówno monohromtyznyh jk i rwnyh możn podzielić n kilk grup: przeksztłeni

Bardziej szczegółowo

Metody detekcji krawędzi w obrazach

Metody detekcji krawędzi w obrazach Metody detekcji krwędzi w orzch Zgdnienie detekcji krwędzi w orzie Detekcj krwędzi w orzie njczęściej sprowdz się do poszukiwni w orzie loklnych nieciągłości funkcji jsności lu koloru. Wystąpienie tkich

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp. Pojęcie grafu przepływowego. Niech pewien system liniowy będzie opisany układem liniowych równań algebraicznych

1. Wstęp. Pojęcie grafu przepływowego. Niech pewien system liniowy będzie opisany układem liniowych równań algebraicznych Owody i Ukłdy Anliz ukłdów z pomoą grfów przepływowy Mteriły Pomonize. Wstęp. Pojęie grfu przepływowego. Nie pewien system liniowy ędzie opisny ukłdem liniowy równń lgerizny x + x x + x gdzie: x, x - zmienne

Bardziej szczegółowo

G i m n a z j a l i s t ó w

G i m n a z j a l i s t ó w Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

Z INFORMATYKI RAPORT

Z INFORMATYKI RAPORT OKRĘGOWA KOMISJA EGZAMINACYJNA W POZNANIU WYNIKI EGZAMINU MATURALNEGO Z INFORMATYKI RAPORT WOJEWÓDZTWA LUBUSKIE*WIELKOPOLSKIE*ZACHODNIOPOMORSKIE 2 Egzmin mturlny z informtyki zostł przeprowdzony w łym

Bardziej szczegółowo

Rys Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych jednakowo dokładnych C. KRAKOWIANY

Rys Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych jednakowo dokładnych C. KRAKOWIANY Rys. 9.. Wyrównnie spostrzeżeń zwrunkownyh jednkowo dokłdnyh C. KRAKOWIANY 9.9. Informje wstępne o krkowinh Krkowin jest zespołem liz rozmieszzonyh w prostokątnej teli o k kolumnh i w wierszh, dl którego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów

Bardziej szczegółowo

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia: XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn. 1.1. Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

T W O R Z Y M Y. 15 godzin w cyklu 3-godzinnym

T W O R Z Y M Y. 15 godzin w cyklu 3-godzinnym T W O R Z Y M Y 5 godzin -godzinnym Szzegółowe ele ksztłeni i wyhowni: doskonlenie umiejętnośi pry z edytorem grfiznym poznnie zsd poprwnego tworzeni prezentji multimedilnyh nyie umiejętnośi smodzielnego

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk OZWIĄZYWANIE MAŁYCH TÓJKĄTÓW SFEYCZNYCH rezentowne metody rozwiązywni młyh trójkątów sferyznyh

Bardziej szczegółowo

wersja podstawowa (gradient)

wersja podstawowa (gradient) księg znku wersj podstwow (grdient) Logo RAKU FILM w wersji podstwowej może występowć w dwóch wrintch, n jsnym (domyślnie - biłe tło) orz n ciemnym (domyślnie - czrne tło). Nleży unikć stosowni logo n

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium Dziłni n ułmkh, krotki i rekory Cz. I. Dziłni n ułmkh Prolem. Oprowć zestw funkji o ziłń rytmetyznyh n ułmkh zwykłyh posti q, gzie, są lizmi łkowitymi i 0. Rozwiąznie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje

Bardziej szczegółowo

Dla danego czynnika termodynamicznego i dla określonej przemiany ciepło właściwe w ogólności zależy od dwóch niezależnych

Dla danego czynnika termodynamicznego i dla określonej przemiany ciepło właściwe w ogólności zależy od dwóch niezależnych Ciepło włśiwe Nieh zynnik ermodynmizny m sn określony przez emperurę orz iśnienie p. Dl dowolnej elemenrnej przeminy zzynjąej się od ego snu możemy npisć dq [J/kg] ( Równnie ( wiąże pohłninie lub oddwnie

Bardziej szczegółowo

Połączenie (1) Optymalizacja poleceń SQL Część 3. Algorytm nested loops. Połączenie (2)

Połączenie (1) Optymalizacja poleceń SQL Część 3. Algorytm nested loops. Połączenie (2) Połązenie () Optymlizj poleeń SQL zęść. Metody połązeń, metody sortowni, wskzówki Operj inrn zwsze udził iorą dwie tele, jedn zostje nzwn telą zewnętrzną, drug telą wewnętrzną. W przypdku poleeni łąząego

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

KSIĘGA ZNAKU. Znak posiada swój obszar ochronny i w jego obrębie nie mogą się znajdować żadne elementy, nie związane ze znakiem.

KSIĘGA ZNAKU. Znak posiada swój obszar ochronny i w jego obrębie nie mogą się znajdować żadne elementy, nie związane ze znakiem. KSIĘGA ZNAKU KSIĘGA ZNAKU Poniżej przedstwion jest chrkterystyk znku 7 lt Uniwersytetu Łódzkiego. Wszystkie proporcje i sposób rozmieszczeni poszczególnych elementów są ściśle określone. Wprowdznie jkichkolwiek

Bardziej szczegółowo

Szkice rozwiązań zadań zawody rejonowe 2019

Szkice rozwiązań zadań zawody rejonowe 2019 XVI Śląski Konkurs Mtemtyzny Szkie rozwiązń zdń zwody rejonowe 9 Zdnie. Znjdź wszystkie lizy pierwsze p, dl któryh liz pp+ + też jest lizą pierwszą. Rozwiąznie Jeżeli p, to pp+ + 3 + i jest to liz złożon.

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Wykªad 8. Pochodna kierunkowa.

Wykªad 8. Pochodna kierunkowa. Wykªd jest prowdzony w opriu o podr znik Anliz mtemtyzn 2. enije, twierdzeni, wzory M. Gewert i Z. Skozyls. Wykªd 8. ohodn kierunkow. enij Nieh funkj f b dzie okre±lon przynjmniej n otozeniu punktu (x

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

System identyfikacji Doradców Podatkowych

System identyfikacji Doradców Podatkowych System identyfikcji Dordców Podtkowych Spis treści Spis treści Stron 2. Podstwow wersj logo Krjowej Izby Dordców Podtkowych Stron 3. Kolory podstwowe Stron 4. Wersje negtywowe Stron 5. Wymirownie i pole

Bardziej szczegółowo

H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania

H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7 Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium 7 Weryfikj twierdzeń logiznyh Cel. Celem ćwizeni jest zpoznnie się z metodą utomtyznego dowodzeni twierdzeń, tzn. weryfikji, zy dne twierdzenie jest tutologią (twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Przechadzka Bajtusia - omówienie zadania

Przechadzka Bajtusia - omówienie zadania Wprowdzenie Rozwiąznie Rozwiąznie wzorcowe Przechdzk Bjtusi - omówienie zdni Komisj Regulminow XVI Olimpidy Informtycznej 1 UMK Toruń 11 luty 2009 1 Niniejsz prezentcj zwier mteriły dostrczone przez Komitet

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Łańcuchy Markowa

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Łańcuchy Markowa Projekt pn. Wzmonienie potenjłu dydktyznego UMK w Toruniu w dziedzinh mtemtyzno-przyrodnizyh relizowny w rmh Poddziłni 4.1.1 Progrmu Operyjnego Kpitł Ludzki Wprowdzenie do Siei Neuronowyh Łńuhy Mrkow Mj

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy

a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy 04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki

Bardziej szczegółowo

Regulamin współpracy z pasażem www.zakupy.poradnikzdrowie.pl

Regulamin współpracy z pasażem www.zakupy.poradnikzdrowie.pl Regulmin współpry z psżem www.zkupy.pordnikzdrowie.pl 1 Definije 1 Murtor MURATOR Spółk Akyjn z siedzią w Wrszwie, 00-570 Wrszw, l. Wyzwoleni 14, NIP 526-00-08-745, wpisn do Krjowego Rejestru Sądowego

Bardziej szczegółowo

1 Definicja całki oznaczonej

1 Definicja całki oznaczonej Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, al. Niepodległości 208, 00-925 Warszawa DS-50 I OCHRONA ZDROWIA W GOSPODARSTWACH DOMOWYCH, Kwestionariusz indywidualny

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, al. Niepodległości 208, 00-925 Warszawa DS-50 I OCHRONA ZDROWIA W GOSPODARSTWACH DOMOWYCH, Kwestionariusz indywidualny GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, l. Niepodległośi 08, 00-95 Wrszw www.stt.gov.pl Dził 1. CHARAKTERYSTYKA OSOBY 1. Symol województw gospodrstw domowego. Nr gospodrstw domowego. Nr kolejny osoy ojętej dniem w

Bardziej szczegółowo

3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych

3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: +

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI Cłki oznzone wkłd z MATEMATYKI Budownitwo, studi niestjonrne sem. I, rok k. 28/29 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politehnik Biłostok 1 Podstwowe pojęi 1.1 Podził P przedziłu, Nieh f ędzie funkją ogrnizoną

Bardziej szczegółowo

Metoda List łańcuchowych

Metoda List łańcuchowych Metod List łńuhowyh Zkłdnie krtoteki wyszukiwwzej: Zkłdmy iż znny jest system wyszukiwni S wię zbiór obiektów X trybutów A wrtośi tyh trybutów V orz funkj informji : X A V. Obiekty opisne są ilozynem odpowiednih

Bardziej szczegółowo

Księga Znaku. kampanii informacyjno - promocyjnej projektu Warszawski Węzeł Wodno - Rowerowy Pedałuj i Płyń (bike&sail)

Księga Znaku. kampanii informacyjno - promocyjnej projektu Warszawski Węzeł Wodno - Rowerowy Pedałuj i Płyń (bike&sail) Księg Znku kmpnii informcyjno - promocyjnej projektu Wrszwski Węzeł Wodno - Rowerowy Pedłuj i Płyń (bike&sil) Księg Znku A STANDARYZACJA ZNAKU 1 ZNAK KAMPANII - WERSJA PODSTAWOWA I JEJ ODMIANY 1.1 Znk

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

ULTRADŹWIĘKOWE BADANIE ODLEWÓW STALIWNYCH WYMAGANIA NORMY EN 12680-1

ULTRADŹWIĘKOWE BADANIE ODLEWÓW STALIWNYCH WYMAGANIA NORMY EN 12680-1 Dr inż. MAREK ŚLIWOWSKI NDTEST Sp. z o.o. Wrszw WSTĘP W rmch prc Komitetu Technicznego CEN/TC 190 Wyroy odlewne we współprcy z CEN/TC 190/WG4.10 Wdy wewnętrzne oprcowywne są nstępujące normy wyrou: EN

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH

ZASTOSOWANIE RÓWNANIA NASGRO DO OPISU KRZYWYCH PROPAGACYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOWYCH Sylwester KŁYSZ *, **, nn BIEŃ **, Pweł SZBRCKI ** ** Instytut Techniczny ojsk Lotniczych, rszw * Uniwersytet rmińsko-mzurski, Olsztyn ZSTOSONIE RÓNNI NSGRO DO OPISU KRZYYCH PROPGCYJI PĘKNIĘĆ ZMĘCZENIOYCH

Bardziej szczegółowo

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.

Bardziej szczegółowo

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi.

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Księga Identyfikacji Wizualnej. Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A.

Księga Identyfikacji Wizualnej. Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A. Księg Identyfikcji Wizulnej Polskie Sieci Elektroenergetyczne S.A. 1. Elementy bzowe 1.1. KONSTRUKCJA OPIS ZNAKU PSE 3 1.2. WERSJA PODSTAWOWA ZNAKU 4 1.3. WERSJE UZUPEŁNIAJĄCE 5 1.4. OPIS KOLORYSTYKI ZNAKU

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Regulamin świadczenia usług przez Ten Square Games sp. z o.o. (dalej również: Regulamin ) 1. Przedmiot Regulaminu, Usługodawca

Regulamin świadczenia usług przez Ten Square Games sp. z o.o. (dalej również: Regulamin ) 1. Przedmiot Regulaminu, Usługodawca Regulmin świdzeni usług przez Ten Squre Gmes sp. z o.o. (dlej również: Regulmin ) 1. Przedmiot Regulminu, Usługodw 1 Regulmin określ zsdy korzystni z gry pod nzwą Let s fish, dostępnej on-line w szzególnośi

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx& LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.

Bardziej szczegółowo

ph ROZTWORÓW WODNYCH

ph ROZTWORÓW WODNYCH ph ROZTWORÓW WODNYCH ph roztworów monyh kwsów i zsd H O H O A α 00 % MeOH Me OH MeOH α 00 % np.: HCl, r, HI, HNO, HClO i HClO NOH, OH, CsOH i ROH [H O [OH MeOH ph - log poh - log MeOH Mone kwsy dwuprotonowe,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak DNIE UKŁDÓW LOKD UTOMTYCZNYCH uor: Zigniew Tuzimek Oprcownie wersji elekronicznej: Tomsz Wdowik 1. Cel i zkres ćwiczeni Celem ćwiczeni jes zpoznnie sudenów z udową orz dziłniem zezpieczeń i lokd sosownych

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY . LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)

TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) 1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 1 1. 1. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) Płyt jest to ukłd ogrniczony dwom płszczyznmi o młej krzywiźnie. Odległość między powierzchnimi ogrniczjącymi tę wysokość płyty

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Metody detekcji krawędzi w obrazach

Algorytmy graficzne. Metody detekcji krawędzi w obrazach Algorytmy grficne Metody detekci krwędi w orch Zgdnienie detekci krwędi w orie Detekc krwędi w orie ncęście sprowd się do posukiwni w orie loklnych nieciągłości funkci sności lu koloru. Wystąpienie tkich

Bardziej szczegółowo

1. Zestaw do oznaczania BZT i ChZT

1. Zestaw do oznaczania BZT i ChZT Sprw Nr RAP.272. 85. 2014 złąznik nr 6.1 do SIWZ PARAMETRY TECHNICZNE PRZEDMIOTU ZAMÓWIENIA Nzw i dres Wykonwy:... Nzw i typ (produent) oferownego urządzeni:... Nzw przedmiotu zmówieni : 1. Zestw do oznzni

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Parada nierówności. Marcin Fryz. 15 czerwca a + b 2. ab 2. a + b + c. 3 abc. (2)

Parada nierówności. Marcin Fryz. 15 czerwca a + b 2. ab 2. a + b + c. 3 abc. (2) Prd nierównośi Mrin Fryz 5 zerw 0 Rozgrzewk Udowodnić, że dl dowolnyh nieujemnyh liz,,, d zhodzą:, () () Dowód Pierwszą nierówność w () możemy podnieść równowżnie do kwdrtu i zstosowć wzór skróonego mnożeni:

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. best in training PRE TEST

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. best in training PRE TEST Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rmh Europejskiego Funuszu Społeznego est in trining E-Pr@ownik ojrzłe kry społezeństw informyjnego n Mzowszu Numer Projektu: POKL.08.01.01-14-217/09 PRE TEST

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

4.6. Gramatyki regularne

4.6. Gramatyki regularne 4.6. Grmtyki regulrne G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i) U xv x T * U,V N ( ii) U x G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie regulrną, jeśli jej produkcje

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo