ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja jest kratownicą to w węzłach są przeguby, nawet jeśli są nie zaznaczone kółkiem. Rysowanie przegubów jest konieczne jeśli kratownica ma pręty krzyżujące się ze sobą, w celu odróżnienia punktu skrzyżowania od przegubu.
Warunek konieczny i wystarczający geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności dla kratownicy o oczkach trójkątnych. 2w = p + r gdzie: w liczba węzłów p liczba prętów r liczba reakcji podporowych
SIŁY PRZEKROJOWE W PRĘTACH KRATOWNICY M ( x) = ax + b ( ) M 0 a 0 b 0 b 0 = + = = M ( L) = a L + b = 0 a = 0 M ( x) 0 ( ) dm x dx ( ) = a = 0 Q x 0 ( ) constans N x = Ni j = N j i
Pręt i-j. węzły i, j układy prętowe rozciąganie N > 0 ściskanie N < 0 i j i j układy węzłowe rozciąganie N > 0 ściskanie N < 0 i j UWAGA: ma kratownicy rysujemy siły odnoszące się do układów węzłowych (umowa) i j
TWIERDZENIA O PRĘTACH ZEROWYCH a) słownie: jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się dwa nierównoległe pręty, to obydwa pręty są zerowe b) słownie: jeśli w węźle schodzą się dwa nierównoległe pręty i węzeł jest obciążony siłą równoległa do jednego z nich, to drugi pręt jest zerowy.
c) słownie: jeśli w węźle nieobciążonym schodzą się trzy pręty, z czego dwa są równoległe, to trzeci pręt jest zerowy.
Pręty zerowe nie pracują w statyce, więc zanim przystąpimy do rozwiązywania kratownicy należy te pręty usunąć ( tzn. przerysować kratownicę bez tych prętów). Kolejność: - szukamy węzłów, w których schodzą się dwa pręty i stosuje się twierdzenie a). - usuwamy wyszukane pręty zerowe, przerysowujemy kratownicę i powtarzamy szukanie - jeśli nie ma już takich węzłów, do których stosuje się twierdzenie a), to szukamy węzłów o trzech prętach z zastosowaniem twierdzenia b) lub c). - usuwamy te pręty i ponawiamy poszukiwanie aż do wyczerpania możliwości usunięcia prętów. Uwaga: o tym czy pręt jest zerowy rozstrzyga twierdzenie zastosowane do jednego węzła i to wystarczy (dla drugiego twierdzenie nie musi się stosować)
PRZYKŁADY 1)
2)
1. METODA RÓWNOWAŻENIA WĘZŁÓW Zastosowanie: dla kratownic, które posiadają przynajmniej jeden węzeł, w którym zbiegają się dwa pręty gdy rozwiązujemy całą kratownicę do napisania oprogramowania PRZYKŁAD Numerujemy węzły (lub oznaczamy literami) H 1 = 10, V 1 = 5, V 2 = 10
Znajdujemy węzeł w którym zbiegają się dwa pręty, wycinamy z konstrukcji wraz z działającym na niego obciążeniem i zapisujemy równania równowagi. Równania te, to suma rzutów na dwa różne kierunki na płaszczyźnie. 2 Z = 0 N1 3 + 5 = 0 N1 3 = 5 2 kn 2 2 X = 0 N1 2 + N1 3 + 10 = 0 N1 2 = 5 kn 2 Otrzymane siły mają ujemny znak (są ściskające) stąd ich zwroty są przeciwne do zaznaczonych na rysunku.
Na końcowym rysunku będącym graficzną ilustracją rozwiązania zaznaczamy działanie sił na węzeł i zaznaczamy odpowiednie zwroty N Do kolejnych węzłów obliczone siły 1 2 1 3 traktujemy jako znane i teraz poszukujemy następnych węzłów o tylko dwóch niewiadomych siłach., N
Wycinamy węzeł 2, gdyż spełnia powyższy warunek i zapisujemy równania równowagi: Z = 0 N 10 = 0 N = 10 kn 2 3 2 3 X = 0 N + 5 10 = 0 N = 5 kn 2 4 2 4
Podobnie wycinamy węzeł 4 i otrzymujemy: 2 Z = 0 N4 3 + 5 = 0 N4 3 = 5 2 kn 2 Można sprawdzić, że dla X = 0 jest spełniony dla powyższego rozwiązania.
Uwaga: na kratownicy zaznaczamy siły działające na węzłowe układy własne!!! i-j Ni j 1-3 -5 1-2 -5 2 2-3 +10 2-4 +5 3-4 -5 2
Zadanie. Zadaniem jest wyznaczenie sił podłużnych w prętach kratownicy pokazanej na rysunku, wykorzystując metodę Rittera oraz metodę równoważenia węzłów.
Metoda Rittera Pierwszym krokiem jest wybór odpowiedniego rozcięcia kratownicy na dwie części, przecinającego co najwyżej trzy pręty, których kierunki nie zbiegają się w jednym punkcie. Drugi krok: równania równowagi wybranej części. Równania te najkorzystniej zapisać jako równania zerowania momentów względem punktów przecięcia kierunków dwóch niewiadomych sił. (w przypadku gdy te siły są równoległe zamiast równania momentów zapisujemy warunek zerowania się sił na kierunku prostopadłym do rozważanych dwóch niewiadomych sił w prętach. Tak zapisane warunki równowagi pozwalają uzyskać układ trzech równań rozdzielonych ze względu na niewiadome siły podłużne w przeciętych prętach.
Dla podanej kratownicy dokonujemy przecięcia i wyboru rozważanej części jak na rysunku. i zapisujemy następujące równania: I M ( C) = 0 40 3+ r N = 0 = N = 50 kn y D H D H 3 r gdzie ramię siły wyznaczyliśmy z podobieństwa trójkątów: = r = 2.4 m 5 4 I M ( H ) = 0 40 3 + 3 N 40 6 = 0 N = + 40 kn I y C E C E M ( D) = 0 4 N 40 3 = 0 N = + 30 kn y C G C G
W celu wyznaczenia siły podłużnej w pręcie G-H oraz pręcie H-F dokonujemy wycięcia węzła H. Zapisujemy warunki równowagi wyciętego węzła: X = 0 N + 50 cosα = 0 N = 40 kn F H F H Z = 0 N 50 sinα = 0 N = 30 kn G H G H Graficzne przedstawienie rozwiązania zadania
Drugi sposób: jeśli ramię jest kłopotliwe do wyznaczenia to przecinamy kratownicę tuż przy węźle nieskończenie blisko (ale nigdy w samym węźle). Rozkładamy siłę na składowe wzdłuż osi x oraz y i wyznaczamy ramiona prostopadłe tzn. na kierunku osi x oraz y dla tych składowych ND H, x = ND H cosα = 0.8 ND H r y = 0 ND H, y = ND H sinα = 0.6 ND H r x = 4.0 I M ( C) = 0 40 3 + r N + r N = 0 N = 30 kn y y D H, x x D H, y D H, y N D H ND H, y 30 = = = 50 0.6 0.6
Kartkówka Uwaga: Jeśli przy przecięciu metodą Rittera przecina się dwa pręty równoległe to siłę w trzecim pręcie oblicza się z sumy rzutów na kierunek prostopadły do kierunku tych prętów ( gdyż pręty równoległe nie mają punktu przecięcia)
3 cosα = = 0.894 Y = 0 11.25 N3 9 61.875 35 0.894 = 0
N3 9 = 30.084