Materały do laboratorum Projektowane w systemach CAD-CAM-CAE Opracowane: dr nŝ. Jolanta Zmmerman 1. Wprowadzene do metody elementów skończonych Przebeg zjawsk fzycznych, dzałane rzeczywstych obektów, procesów technologcznych sprawdza sę często na modelach tych zjawsk lub procesów. Pozwala to unknąć kosztownych, a czasam trudnych lub nemoŝlwych do przeprowadzena prób eksperymentalnych znaczne przyspesza dochodzene do ostatecznych rozwązań. Gdy chcemy otrzymać zagadnena loścowe, tworzymy matematyczny ops dla modelowanego problemu. Wynkem matematycznego modelowana jest zazwyczaj układ równań (najczęścej róŝnczkowych) opsujących dane zjawsko lub proces. Równana te oparte są na podstawowych prawach zasadach zachowana (energ, pędu, masy). W wększośc realnych technczne zagadneń brak jest ścsłych, analtycznych rozwązań tych równań. Powodem jest koneczność uwzględnena welu czynnków: złoŝonego kształtu badanych obektów, złoŝonych właścwośc (nelnowość materału, anzotropa), złoŝonośc obcąŝena. W tych przypadkach moŝlwe jest jedyne uzyskane równań przyblŝonych. Rozwązana numeryczne, dzęk wykorzystanu szybko rozwjających sę technk komputerowych, umoŝlwają rozwązywane z duŝą dokładnoścą złoŝonych problemów. Metoda elementów skończonych jest jedną z metod numerycznych często wykorzystywanych do rozwązań róŝnorodnych zagadneń nŝynerskch. Metoda ta pozwala na określene pewnych welkośc fzycznych takch jak: pól napręŝeń w elementach wywołanych przyłoŝonym obcąŝenem, ampltudy drgań, prędkośc przepływu płynu, zman temperatury w czase nagrzewana materału, tp. Metoda elementów skończonych wykorzystuje koncepcję dyskretyzacj fzycznej ośrodka cągłego. Polega ona na podzale rozwaŝanego kontnuum o objętośc (V) brzegu (S) na skończoną lczbę częśc (elementów), połączonych w punktach zwanych węzłam (Rys.1). Proces dyskretyzacj (utworzena satk elementów rozpętych na węzłach) umoŝlwa na przejśce od problemu zawerającego neskończoną lczbę stopn swobody do problemu zawerającego skończoną lczbę stopn swobody, co daje moŝlwość uzyskana rozwązana w rozpatrywanym obszarze. Rys. 1 Dyskretyzacja ośrodka cągłego Rozpatrujemy n.p. cało o skończonym kształce objętośc V, podparte na brzegu S u, poddane obcąŝenu cśnenem na brzegu S p. W odpowedz na dzałane tych czynnków w materale powstają reakcje: przemeszczena, odkształcena, napręŝena. Stosowane MES w mechance konstrukcj obejmuje następujące etapy w warunkach pól przemeszczeń:
a) zbudowane modelu geometrycznego utworzenu satk elementów, b) przyjęce funkcj nterpolacyjnej, (zwanej funkcją kształtu zwykle w postac welomanu), która aproksymuje rozkład poszukwanych przemeszczeń w obrębe elementu skończonego poprzez wartośc przemeszczeń w węzłach tego elementu, c) zdefnowane zaleŝnośc mędzy akcjam reakcjam, * sformułowane równań równowag, * określene zwązków geometrycznych mędzy odkształcenam przemeszczenam, zapewnających, Ŝe sąsedne częśc cała ne zachodzą na sebe ne rozchodzą sę), *sformułowane równań konstytutywnych określających zwązk medzy odkształcenam napręŝenam, które opsują teŝ właścwośc materałowe ośrodka, d) ustalene warunków brzegowych przemeszczenowych (podparce) napręŝenowych (obcąŝene zewnętrzne) dla rozwaŝanego zagadnena, e) rozwązane układu równań dla elementów. Podstawową metodą stosowaną w MES do rozwązana elementu jest metoda Raylegh- Rtza, wykorzystująca metodę energetyczną (waracyjną) do mnmalzacj funkcjonału względem poszukwanego w rozwaŝanym przypadku przemeszczena. Funkcjonał dla analzowanego zadana przedstawa energę potencjalną cała będącego w równowadze. Metoda ta prowadz do uzyskana równań elementu w postac: gdze: K - macerz sztywnośc elementu [ ee] { } u - wektor przemeszczeń w węzłach P - wektor sł węzłowych elementu { } e [ ]{ u} { } K = (1.1) ee P e f) złoŝene równań sztywnośc dla całej struktury, gdze: M [ K] = [ K ee ] 1 [ ]{ u} { F} - globalna macerz sztywnośc struktury M - całkowta lczba elementów w strukturze { F } - wektor globalny obcąŝeń węzłowych K = (1.) g) wyznaczene poszukwanych welkośc; Formuła (1.) przedstawa układ równań algebracznych, w których lczba równań jest równa lczbe poszukwanych przemeszczeń. Do wyznaczena przemeszczeń stosowana jest n.p. metoda nwersj macerzy: 1 { u} [ K] { F} = (1.3) Odkształcena uzyskamy przez podstawene oblczonych przemeszczeń do równań geometrycznych (.), a napręŝena przez podstawene wyznaczonych odkształceń do zwązków konstytutywnych (.3). h) nterpretację wynków; Wynk otrzymane z oblczeń MES są dostępne z reguły postac lczb, którym są poszukwane welkośc w węzłach elementach. Oblczena mogą być przedstawane w postac grafcznej n.p. w postac pasm reprezentujących lne stałego napręŝena. Są one bardzo przydatne w analze oblczeń, wskazują n.p. obszary koncentracj napręŝeń.
Posługując sę profesjonalnym programam MES naleŝy: określć rodzaj zadana jako: płaske, osowo-symetryczne, przestrzenne, zdefnować model geometryczny (przy skomplkowanej geometr moŝlwy jest transport geometr z programów CAD), wykonać podzał na elementy skończone (waŝne jest zagęszczene satk w obszarach, gdze spodzewana jest koncentracja napręŝeń), zdefnować właścwośc mechanczne fzyczne materałów, z których wykonana jest konstrukcja, podać warunk brzegowe (mejsce podparca obcąŝena), ustalć parametry oblczeń (n.p. lość kroków oblczenowych, gdy rozpatrywane zagadnene jest nelnowe), dokonać analzy wynków oblczeń. Pozostałe etapy oblczeń wykonywane są automatyczne przez program komputerowy. Przykładowe profesjonalne programy MES: ANSYS, ADINA, CATIA, COSMOS uŝywane do oblczeń wytrzymałoścowych elementów konstrukcj, zagadneń ceplnych, przepływów oraz: AUTODYNA, LSDYNA - uŝywane w przypadku duŝych odkształceń przemeszczeń n.p. symulacj zderzeń (crash testów), procesów obróbk plastycznej. Dostępne są przykłady rozwązań n.p. na strone http://www.adna.com/. Oblczane pól napręŝeń odkształceń w połączenu spawanym.1 Model fzyczny Celem ćwczena jest oblczene rozkładów pól napręŝeń odkształceń w spone łączącej wysęgnk z płytą. Konstrukcja obcąŝona jest słą F= 4000 (3800; 3500 )N, geometrę połączena przedstawono na Rys..1. Rys..1 Geometra połączena spawanego. Modelowane matematyczne 3
Dla modelowanego zagadnena wychodzmy z: równań równowag, które z pomnęcem sł masowych mają postać (zaps w konwencj sumacyjnej) σ j, j = 0 (.1) gdze:, j = x, y, z Równana (1) mówą, Ŝe wszystke dzałające sły wewnętrzne (napręŝena) zewnętrzne (obcąŝena) są w równowadze. Układ równań (1) moŝna zapsać w postac: xx xy xz yy yx yz (.1a) zz σ zx zy warunków zgodnośc o charakterze geometrycznym: ε = 1 u + u ) (.) j (, j j, Równana () wąŝą stan odkształcena ze stanem przemeszczeń w sposób zapewnający zgodność, tzn. zapewnają, Ŝe sąsedne częśc cała ne rozchodzą sę ne zachodzą na sebe. zwązków konstytutywnych (zaleŝnośc pomędzy odkształcenam napręŝenam dla materałów spręŝysto-plastycznych ): e p ε = C C σ (.3) gdze: j [ jkl jkl] kl e Cjkl - tensor spręŝystych podatnośc materałowych, C p jkl SjSkl = - funkcja tensorowa 4 σ H 9 3 plastycznych podatnośc materałowych, zaleŝna równeŝ od stanu napręŝena, σ = SjSj, dσ S j, Skl - dewator napręŝena, H = - moduł plastycznośc przy lnowym wzmocnenu, p dε Warunk brzegowe dla tego zagadnena: F = F X ; P1 F Y P u 0 F = zadane obcąŝene (.4) = u zx = C u u YZ = 0 B = warunk utwerdzena (.5) Rozwązane układu równań opsanych zwązkam (.1.3) z warunkam brzegowym (.4.6) będze przeprowadzone metodą numeryczną z wykorzystanem programu metody elementów skończonych system ADINA8.3.1 4
.3 Model MES Rys.. Satka MES z zaznaczonym warunkam brzegowym Zadane jest rozwązywane jako przestrzenne. Geometrę modelu naleŝy wykreować w programe SoldWorks, zapsując w formace parasold. Na przetransportowanej geometr rozpnamy satkę MES zbudowaną z elementów czterowęzłowych 3D..4 Model materału Przyjęto spręŝysto- plastyczny model materału, ponewaŝ w końcowych kraterach spony moŝe zostać przekroczona granca plastycznośc. Przyjęty do oblczeń model materału opracowano na podstawe próby rozcągana dla stal St3S (Rys..3). Rys..3 Przyjęta do oblczeń krzywa rozcągana dla St3S.5 Wynk oblczeń W sprawozdanu naleŝy zameścć dane o modelu numerycznym oraz wynk oblczeń : wykres napręŝeń zredukowanych wzdłuŝ długośc spony, na podstawe oblczeń numerycznych oraz porównać je z oblczenam nŝynerskm, zameścć rozkłady napręŝeń zredukowanych w spone w wysęgnku w postac pasm. 5