Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść pierwsza Anna Romanowska 26 marca 2014 1 Pó lgrupy i monoidy 1.1 W lasności podstawowe Definicja 1.11. Pó lgrupa nazywamy pare (P, ), gdzie P jest zbiorem, a : P P P ; (a, b) a b jest określonym w P dzia laniem l acznym, tzn. a, b, c P, (a b) c = a (b c). Definicja 1.12. Monoidem nazywamy trójke (P,, 1), gdzie (P, ) jest pó lgrupa a 1 jest elementem neutralnym (jednościa monoidu), tzn. a P, a 1 = 1 a = a. W dalszym ciagu zarówno pó lgrupe (P, ) (monoid (P,, 1)), jak i zbiór P oznaczać bedziemy czasem tym samym symbolem P. Jedność monoidu P oznaczać bedziemy czasem symbolem 1 P. Pó lgrupa (monoid) P jest przemienna (przemienny), jeśli dzia lanie jest przemienne, tj. 1.13. Przyk lady pó lgrup a, b P, a b = b a. (a) Dla niepustego zbioru X, zbiór wszystkich funkcji X X := {f : X X} wraz ze sk ladaniem funkcji. (b) Zbiór wszystkich macierzy wymiaru n k o elementach w pierścieniu R wraz z dodawaniem macierzy. (c) Zbiór wszystkich macierzy wymiaru n n o elementach w pierścieniu R wraz z mnożeniem macierzy. 1

PÓ LGRUPY I MONOIDY 2 (d) Rodzina zbiorów zamkni eta na przeci ecia z przeci eciem zbiorów. (e) Każdy ze zbiorów N, Z, Q, R, C ze zwyk lym dodawaniem. (f) Każdy ze zbiorów N, Z, Q, R, C ze zwyk lym mnożeniem. Każdy z wyżej wymienionych przyk ladów jest również przyk ladem monoidu. (Czym sa jedności?) Definicja 1.14. Podpó lgrupa (podmonoidem) pó lgrupy (P, ) (monoidu (P,, 1)) nazywamy podzbiór R P taki, że a, b R, a b R (w przypadku monoidu, również 1 R), z mnożeniem określonym, jak w P. Jeśli R jest podpó lgrupa (podmonoidem) pó lgrupy (monoidu) P, to piszemy R P. Stwierdzenie 1.15. Jeśli P i, gdzie i I, jest rodzina podpó lgrup (podmonoidów) pó lgrupy (monoidu) P, to i I P i jest również podpó lgrupa (podmonoidem). Jeśli A P, to {P i P i P i A P i } =: A i I jest najmniejsza podpó lgrupa (podmonoidem) P zawierajac a A. Mówimy, że A generuje A. W przypadku, gdy P = A, mówimy, że A generuje P. Jeśli A = {a} i P = a := {a}, to P jest pó lgrupa (monoidem) cyklicznym. W przypadku, gdy P jest skończona, najmniejsza liczbe q, dla której istnieje takie r N, że a q = a q+r nazywamy indeksem P i oznaczamy symbolem i. Jeśli a i = a i+r, to dla każdego j i, mamy a j = a j+r. Najmniejsza liczbe q taka, że a i = a i+q nazywamy okresem P i oznaczamy przez p. Zauważmy, że j N, a i = a i+pj. Ponadto, k = i + jp + q, gdzie j 0, 0 q p 1, mamy a k = a i+jp+q = a i+jp+q = a i a q = a i+q.

PÓ LGRUPY I MONOIDY 3 Stad a w przypadku monoidu, a = {a, a 2,..., a i+p 1 }, a = {1, a, a 2,..., a i+p 1 }. Definicja 1.16. Produktem (lub iloczynem) prostym pó lgrup (monoidów) P i, gdzie i I, nazywamy pó lgrup e (monoid) ( i I P i, )(( i I P i,, 1)), gdzie dla wszystkich f, g i I P i a w przypadku monoidów, ponadto (f g)(i) := f(i) g(i), 1 P i (j) := 1 Pj Definicja 1.17. Niech P i R bed a pó lgrupami (monoidami). Przekszta lcenie h : P R nazywamy homomorfizmem pó lgrup (monoidów), jeśli a, b P, h(a b) = h(a) h(b), a w przypadku monoidów, dodatkowo h(1 P ) = 1 R. Zauważmy, że obraz homomorficzny h(p ) jest podpó lgrupa (podmonoidem) pó lgrupy (monoidu) P. Jeśli h jest bijekcja, homomorfizm h nazywa sie izomorfizmem, a o pó lgrupach P i R mówimy, że sa izomorficzne, co zapisujemy symbolem P = R. Jeśli przekszta lcenie h jest różnowartościowe, homomorfizm h nazywa sie monomorfizmem lub zanurzeniem. Automorfizm P jest to izomorfizm P na P. Endomorfizm P jest to homomorfizm P w P. Stwierdzenie 1.18. Niech (P,, 1) b edzie monoidem cyklicznym. Jeśli zbiór P jest nieskończony, to (P,, 1) = (N, +, 0). Jeśli zbiór P jest skończony, to monoid (P,, 1) jest wyznaczony jednoznacznie przez swój indeks i okres. Definicja 1.19. Niech P bedzie pó lgrupa (monoidem). Relacje równoważności α EqP na zbiorze P nazywamy kongruencja pó lgrupy (monoidu) P, jeśli α P P.

PÓ LGRUPY I MONOIDY 4 Niech CgP oznacza zbiór wszystkich kongruencji pó lgrupy P. Niech α EqP. Wtedy (α CgP ) ( a, b, a, b P, a α a, b α b ab α a b ). W zbiorze ilorazowym P/α określamy dzia lanie a/α b/α := (ab)/α. Zauważmy, że dzia lanie jest dobrze określone, ponadto (P/α, ) jest pó lgrupa. (A w przypadku, gdy P jest monoidem również (P/α,, 1 P/α ), gdzie 1 P/α := 1/α, jest monoidem.) Stwierdzenie 1.110. Niech P i R bed a pó lgrupami (monoidami). (a) Jeśli α CgP, to nat α : P P/α; a a/α jest homomorfizmem pó lgrup (monoidów). (b) Jeśli h : P R jest homomorfizmem pó lgrup (monoidów), to relacja ker h określona nastepuj aco (a, b) ker h : h(a) = h(b), jest kongruencja pó lgrupy (monoidu)p. Twierdzenie 1.111. (o izomorfizmie) Niech h : P R b edzie homomorfizmem pó lgrup (monoidów). Istnieje wtedy izomorfizm i : P/ ker h h(p ) taki, że i (nat ker h) = h. Inaczej mówiac diagram poniżej jest przemienny. P nat ker h h R P/ker h i h(p ) Niech P bedzie pó lgrupa (monoidem) i niech x P. Przekszta lcenia R x : P P ; a ax, L x : P P ; a xa nazywamy odpowiednio prawym i lewym mnożeniem P przez x.

PÓ LGRUPY I MONOIDY 5 Twierdzenie 1.112. (o reprezentacji dla monoidów)niech P b edzie monoidem. Wtedy przekszta lcenie R : P P P ; x R x jest zanurzeniem monoidu P w monoid przekszta lceń zbioru P w siebie. Twierdzenie to pozostaje prawdziwe, jeśli przekszta lcenie R zastapić przekszta lceniem L : P P P ; x L x. Niech P be dzie pó lgrupa i niech 1 bedzie elementem nie należa cym do zbioru P. Wtedy zbiór P := P {1}, w którym dodatkowo określamy x 1 = 1 x = x dla każdego x P, tworzy monoid. Twierdzenie 1.113. (o reprezentacji dla pó lgrup)niech P b edzie pó lgrupa. Wtedy przekszta lcenie R : P (P ) P ; x R x : P P jest zanurzeniem pó lgrupy P w pó lgrupe przekszta lceń zbioru P w siebie. Wniosek 1.114. Każdy monoid jest izomorficzny z pewnym monoidem przekszta lceń. Podobnie, każda pó lgrupa jest izomorficzna z pewna pó lgrupa przekszta lceń. 1.2 Wolne monoidy i kody Definicja 1.21. Pó lgrupe (monoid) P nazywamy wolna w klasie wszystkich pó lgrup (wolnym w klasie wszystkich monoidów), jeśli istnieje taki zbiór X generatorów P (tzw. zbiór generatorów wolnych), że każde przekszta lcenie h : X R, gdzie R jest zbiorem elementów dowolnej pó lgrupy (monoidu), może być rozszerzone do homomorfizmu pó lgrup (monoidów) h : P R. Pó lgrupe wolna o zbiorze generatorów wolnych X w klasie wszystkich pó lgrup nazywamy też krótko pó lgrupa wolna nad X, a monoid wolny o zbiorze generatorów wolnych X w klasie wszystkich monoidów nazywamy monoidem wolnym nad X. Twierdzenie 1.22. Jeśli P i P sa dwiema pó lgrupami wolnymi, a ich zbiory X i X wolnych generatorów sa równoliczne, to pó lgrupy P i P sa izomorficzne.

PÓ LGRUPY I MONOIDY 6 Analogiczne twierdzenie zachodzi dla monoidów. Pó lgrupe wolna nad X oznaczamy czasem symbolem F P (X), a monoid wolny nad X symbolem F M (X). Konstrukcja wolnej pó lgrupy Niech X bedzie zbiorem. Niech X + := {x 1... x n x 1,..., x n X}, przy czym elementy ciagu x 1... x n moga sie powtarzać. W zbiorze X + określamy dzia lanie binarne nastepuj aco x 1... x m y 1... y n := x 1... x m y 1... y n. Takie dzia lanie nazywamy konkatenacja. Stwierdzenie 1.23. Zbiór X + z określonym wyżej dzia laniem jest pó lgrupa. Twierdzenie 1.24. Pó lgrupa (X +, ) jest wolna w klasie wszystkich pó lgrup. Elementy zbioru X tworza zbiór generatorów wolnych. W szczególności, pó lgrupy X + i F P (X) sa izomorficzne. Niech teraz Λ bedzie ciagiem pustym, niech X := X + {Λ}. Rozszerzymy dzia lanie na ca ly zbiór X przyjmujac Λ x 1... x n = x 1... x n Λ = x 1... x n, Λ Λ = Λ. Twierdzenie 1.25. Monoid (X,, Λ) jest wolny w klasie wszystkich monoidów. Elementy zbioru X tworza zbiór generatorów wolnych. A zatem, monoidy F M (X) oraz M sa izomorficzne. Przyk lad 1.26. Wolny monoid nad zbiorem X = {0, 1} sk lada sie z Λ i wszystkich skończonych ciagów zero-jedynkowych. Zbiór X nazywamy czasem również alfabetem, a elementy pó lgrupy X + i monoidu X s lowami w alfabecie X. Przyk lad 1.27. Przyk ladami bed acych w użyciu alfabetów sa: alfabet binarny {0, 1}, alfabet Morse a {,, }, alfabet RNA {U, C, A, E} używany w genetyce, alfabet laciński {A, B,..., U, W, Z} itp. (Niepustymi) s lowami w tych alfabetach sa elementy pó lgrup wolnych nad tymi alfabetami, np. 011010001 {0, 1} +, {,, } +, S LOWO {A, B,..., U, W, Z} +.

PÓ LGRUPY I MONOIDY 7 Definicja 1.28. Podzbiór C zbioru A nazywamy kodem nad alfabetem A, jeśli m,n Z +, c 1,..., c m, d 1,..., d n C, c 1... c m = d 1... d m m = n, c 1 = d 1,..., c m = d m. Jeśli C jest kodem nad A, to każde s lowo w C + może być jednoznacznie odczytane jako konkatencja c 1... c n s lów kodowych c 1,..., c n ze zbioru C. 1.29. Przyk lady i ćwiczenia (a) Zbiór {0, 01, 10} nie jest kodem nad alfabetem {0, 1}, bo 010 = 01 0 = 0 10. (b) Dla każdego n Z +, A n jest kodem nad alfabetem A, zwanym kodem jednorodnym d lugości n nad A. W biologii molekularnej duża role odgrywaja kody jednorodne d lugości 3 nad alfabetem RNA. (c) Wyróżnijmy pewien element alfabetu A (np. element ) i nazwijmy go przecinkiem. Kodem przecinkowym C nad A nazywamy podzbiór A z lożony ze s lów, w których przecinek wystepuje dok ladnie raz, na końcu s lowa. Wykazać, że C jest kodem. (d) S lowo v A nazywamy w laściwym przyrostkiem w s lowie w, jeśli istnieje s lowo u A + takie, że w = uv. Podzbiór C zbioru A nazywamy kodem przyrostkowym, jeśli żaden element C nie jest w laściwym przyrostkiem w innym s lowie C. Wykazać, że kod przyrostkowy jest kodem. Stwierdzenie 1.210. Podzbiór C zbioru A jest kodem wtedy i tylko wtedy, gdy zanurzenie e : C A ; c c rozszerza si e do izomorfizmu e : (C,, 1) ( C,, 1) z wolnego monoidu C nad C na podmonoid C monoidu A generowany przez C. Inaczej mówia c, podzbiór C zbioru A jest kodem, gdy podmonoid generowany przez C jest monoidem wolnym nad C. Wniosek 1.211. Niech C A. Jeśli istnieje alfabet B i taki monomorfizm k : (B,, 1) (A,, 1), że k(b) = C, to C jest kodem. Homomorfizm k nazywamy homomorfizmem kodujacym. Przyk lad 1.212. Homomorfizm koduj acy k z alfabetu angielskiego do alfabetu Morse a ma wartości: k(a) =, k(b) =,, k(z) =, k( ) =.

PÓ LGRUPY I MONOIDY 8 1.3 Monoidy cykliczne i uk lady dynamiczne Uk ladem dynamicznym nazywamy pare (X, T ), gdzie X jest zbiorem, zwanym zbiorem stanów, a T : X X przekszta lceniem zbioru X w zbiór X, zwanym funkcja zmiany stanów. Każdy x X przedstawia stan uk ladu. Przekszta lcenie T opisuje rozwój uk ladu w czasie. Jeśli uk lad znajduje sie w pewnej chwili w stanie x, to w chwili o jednostke czasu późniejszej znajduje sie w stanie T (x). Element T generuje monoid cykliczny T = {T } = {T n n N}. Latwo zauważyć, że przekszta lcenie R : T X X ; T n (T n : X X; x T n (x) = T (... (T (x))...) jest homomorfizmem monoidu T w monoid X X. Obraz R( T ) =: T N jest oczywiście podmonoidem monoidu X X i jest również monoidem cyklicznym (generowanym przez funkcje T : X X). Definicja 1.31. Dzia laniem monoidu M na zbiorze X nazywamy homomorfizm monoidów h : M X X ; m (h m : X X; x h m (x)). W szczególności, prawym dzia laniem M na X nazywamy homomorfizm zapisywany nastepuj aco: R : (M,, 1) (X X,, 1 X ); m (R m : X X; x R m (x) =: xm), a lewym dzia laniem M na X nazywamy homomorfizm zapisany jako: L : (M,, 1) (X X,, 1 X ); m (L m : X X; x L m (x) =: mx). Zauważmy, że monoid T jest monoidem wolnym {T } nad {T }. A zatem uk lad dynamiczny (X, T ) wyznacza dzia lanie wolnego monoidu {T } nad {T } na zbiorze X. Podobnie określamy dzia lanie pó lgrupy M na zbiorze X. Na dzia lanie h monoidu M na zbiorze X można również patrzeć jako na pare (X, M) z lożona ze zbioru X i rodziny M operacji unarnych (tzn. jednoargumentowych) h m : X X dla m M. Otrzymujemy w ten sposób tzw. algebre unarna. W podobny sposób, jak to zrobiliśmy dla pó lgrup, można określić w algebrze unarnej pojecia podalgebry, produktu prostego, homomorfizmu i kongruencji (ćwiczenie!).

PÓ LGRUPY I MONOIDY 9 Jeśli (X, M) jest dzia laniem M na X, to (X, M) nazywamy czasem również M-zbiorem. Orbita elementu x X w M-zbiorze (X, M) nazywamy zbiór Orbx := {h m (x) m M}. W przypadku dzia lania lewego piszemy również a w przypadku dzia lania prawego Mx := {mx = L m (x) m M}, xm := {xm = R m (x) m M}. Dla uk ladu dynamicznego (X, T ) i x X, orbita x X jest zbiór T N (x) := {T n (x) n N}. Każda orbita wyznacza uk lad dynamiczny (T N (x), T T N (x)). Orbity uk ladu (X, T ) sa uporza dkowane wzgle dem relacji inkluzji. Maksymalne elementy tego zbioru uporza dkowanego nazywamy orbitami maksymalnymi. Strukture uk ladu dynamicznego (X, T ) można analizować wyznaczajac jego maksymalne orbity i badajac ich wzajemne zależności. Przyk lad 1.32. Orbitami uk ladu dynamicznego (N, T ), gdzie T : N N; n 2n sa zbiory T N (k) = {k, 2k, 2 2 k,..., 2 n k,...} dla k 0 i T N (0) = {0}. Orbity maksymalne maja postać T N (2i + 1) dla i = 0, 1,... lub {0}. Każda z orbit jest podalgebra algebry (N, T ). Zbiór N jest roz l aczn a suma zbiorów T N (2i + 1) oraz {0}. Przyk lad 1.33. Element x X jest punktem sta lym dzia lania M na X, jeśli {x} jest podalgebra algebry (X, M). Zbiór F ix(x, M) wszystkich punktów sta lych (X, M) jest podalgebra (X, M). 1.4 Pó lgrupy i automaty Rozważać bedziemy matematyczne modele skończonych maszyn sekwencyjnych. Sa to maszyny akceptujace skończone ciagi symboli wejściowych. W określonej jednostce czasu maszyna taka znajdować sie może w jednym ze skończonej ilości stanów. Istnieje również skończony zbiór symboli wyjściowych. Stan maszyny, jak i symbol wyjściowy zależa od wprowadzonego symbolu wejściowego i stanu, w jakim by la maszyna poprzednio. Maszyny cyfrowe, i ich cześci sa takimi skończonymi maszynami sekwencyjnymi. Dla uproszczenia rozważymy najpierw jedynie maszyny ze skończonym zbiorem symboli wejściowych i skończonym zbiorem stanów, i pominiemy symbole wyjściowe.

PÓ LGRUPY I MONOIDY 10 Definicja 1.41. Automatem nazywamy trójke (S, X, δ), gdzie S = {s 1,..., s n } jest skończonym zbiorem niepustym, zwanym zbiorem stanów, X = {x 1,..., x k } jest skończonym zbiorem niepustym zwanym zbiorem symboli wejściowych, a δ : S X S jest funkcja zwana funkcja zmiany stanów. Przyk lad 1.42. (Pu lapka na myszy). Niech X = {x 1, x 2 } oraz S = {s 1, s 2 }. Symbol x 1 oznacza mysz w zasi egu pu lapki, natomiast x 2 oznacza brak myszy w zasi egu pu lapki. Pu lapka jest w stanie s 1, jeśli jest nastawiona, a w stanie s 2, jeśli nie jest nastawiona. Funkcj e zmiany stanów przedstawia poniższa tabelka. δ x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 2 s 2 Definicja 1.43. Algebra automatu (S, X, δ) nazywamy (unarna) algebre (S, (f x ) x X ), gdzie x X, f x : S S; s δ(s, x). Algebre automatu można uważać za uogólnienie systemu dynamicznego. Zamiast jednej operacji unarnej T, mamy tu rodzine operacji unarnych (f x ) x X. Podobnie, jak system dynamiczny (X, T ) wyznacza {T } -zbiór (X, {T } ), tak algebra automatu (S, (f x ) x X ) wyznacza X -zbiór (S, X ). Przypomnijmy, że X = F M (X) jest wolnym monoidem nad X. Dzia lanie X na S określone jest nastepuj aco. Przekszta lcenie f : X S S, x (f x : S S; s f x (s) =: sx) rozszerza si e jednoznacznie do homomorfizmu monoidów f : X S S ; x 1... x n (f x1...x n : S S; s f x1...x n (s) = sf x1 f x2... f xn =: sx 1 x 2... x n ). Homomorfizm f jest dzia laniem X na zbiorze S. (Uwaga: f(λ) = id.) Funkcje f x, dla x X, nazywamy operatorami elementarnymi, funkcje postaci f x1...x n operatorami z lożonymi. Definicja 1.44. Monoidem automatu (S, X, δ) nazywamy obraz homomorficzny f(x ), gdzie f : X S S jest (jednoznacznym) rozszerzeniem przekszta lcenia f : X S S do homomorfizmu f z wolnego monoidu X nad X w monoid S S.

PÓ LGRUPY I MONOIDY 11 Twierdzenie 1.45. Dla każdego skończonego monoidu M istnieje automat, którego monoid jest izomorficzny z M. Uwaga. Dowolny monoid może być monoidem wi ecej niż jednego automatu. W tzw. algebraicznej teorii automatów dowodzi sie, że wiele podstawowych w lasności automatów znajduja swój obraz w odpowiednich w lasnościach monoidów. Niżej podane sa przyk lady takich odpowiedniości. Definicja 1.46. (a) Automat A = (S, X, δ ) nazywany podautomatem automatu A = (S, X, δ) i piszemy A A, jeśli S S i δ = δ S X, tzn. jeśli (S, (f x ) x X ) (S, (f x ) x X ). (b) Przekszta lcenie h : S S nazywa si e homomorfizmem automatu (S, X, δ) w automat (S, X, δ ), jeśli h : (S, (f x ) x X ) (S, (f x ) x X ) jest homomorfizmem. (c) Automat (S, X, δ) nazywamy iloczynem prostym automatów (S, X, δ ) i (S, X, δ ), jeśli S = S S, X = X X i δ : S S X X S S ; (s, s, x, x ) (δ (s, x ), δ (s, x )) = (f x (s ), f x (s )) =: f (x,x )(s, s ). Uwaga. W teorii automatów rozważa sie również pojecie homomorfizmu ogólniejsze od wyżej zdefiniowanego. Niech (S, X, δ) i (S, X, δ ) bed a automatami i ϕ : S S, ψ : X X funkcjami. Pare (ϕ, ψ) nazywamy homomorfizmem, jeśli x X, s S, ϕ(δ(s, x)) = δ (ϕ(s), ψ(x)) lub równoważnie, jeśli ϕ(f x (s)) = f ψ(x) (ϕ(s)). Twierdzenie 1.47. Jeśli (S, X, δ) (S, X, δ ), to monoid (S, X, δ) jest obrazem homomorficznym monoidu (S, X, δ ). Uwaga. Iloczyn dwóch automatów nazywa sie również ich uk ladem równoleg lym. W teorii automatów rozważa sie również automaty zwane uk ladami szeregowymi automatów. Maja one jednak znacznie naturalniejsza interpretacje po do la czeniu zbioru symboli wyjściowych.

PÓ LGRUPY I MONOIDY 12 Uzupe lniajac trójke (S, X, δ) o zbiór Y symboli wyjściowych otrzymamy piatk e (S, X, δ, Y, λ), gdzie Y jest niepustym, skończonym zbiorem, zwanym zbiorem symboli wyjściowych, a λ : S X Y jest funkcja, zwana funkcja wyjścia. Uk lad szeregowy automatów A 1 i A 2 definiuje sie wtedy jako automat oraz (S 1 S 2, X 1, Y 2, δ, λ), gdzie X 2 = Y 1 δ((s 1, s 2 ), x 1 ) := (δ 1 (s 1, x 1 ), δ 2 (s 2, λ 1 (s 1, x 1 ))), λ((s 1, s 2 ), x 1 ) := λ 2 (s 2, λ 1 (s 1, x 1 )). W algebraicznej teorii automatów istnieja metody konstruowania automatów z uk ladów równoleg lych i szeregowych automatów o szczególnie prostej postaci. Z drugiej strony, istnieje twierdzenie (Krohna Rodesa) mówiace o tym, że każdy automat można roz lożyć używajac tych dwóch konstrukcji na automaty takiej prostej postaci. W wymienionych konstrukcjach i rozk ladach duża role odgrywaja pewne metody rozk ladu pó lgrup na pó lgrupy prostszej postaci. Wprowadzone wyżej pojecia i w lasności dotyczace trójek (S, X, δ) daje sie na ogó l przenieść na pia tki (S, X, δ, Y, λ). Istotna role odgrywa pojecie równoważności automatu. (Te same wejścia określaja w obu automatach te same wyjścia). Jedno z ważnych twierdzeń teorii automatów mówi, że dla każdego automatu istnieje dok ladnie jeden (z dok ladnościa do izomorfizmu) równoważny mu automat minimalny (tzn. z minimalna liczba stanów).