Wykład 5: Dynaika dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/
Przyczyny ruchu - zasady dynaiki dla punktu aterialnego Jeśli ciało znajduje się we właściwy iejscu, to jego ruch jest ożliwy jedynie pod wpływe działania sił zewnętrznych. Z wyjątkie ciał niebieskich stane noralny jest stan spoczynku. Każde ciało trwa w swy stanie: spoczynku lub ruchu prostoliniowego i jednostajnego, jeśli siły przyłożone nie zuszają ciała do ziany tego stanu. 1642-1727 2
Principia Matheatica Philosophiae Naturalis 1687 zasady dynaiki Istnieje układ inercjalny tzn. układ odniesienia, w który ciało, na które nic nie działa, spoczywa lub porusza się bez przyspieszenia. Zasada bezwładności Newtona jest postulate istnienia układu inercjalnego. Jeśli istnieje jeden układ inercjalny, to każdy inny układ poruszający się względe niego z prędkością V = const jest też układe inercjalny; istnieje więc nieskończenie wiele układów inercjalnych 3
Druga zasada dynaiki Niezerowa wypadkowa sił zewnętrznych działających na ciało nadaje ciału przyspieszenie o kierunku i zwrocie zgodny z kierunkie i zwrote siły wypadkowej oraz wartości wprost proporcjonalnej do wartości tej siły a odwrotnie proporcjonalnej do asy ciała. stąd w 2 d r 2 a wyp Czyli jeśli znay rozkład sił i asę ciała oraz warunki początkowe dla położenia i prędkości, to rozwiązując równanie ruchu otrzyay układ trzech równań skalarnych, opisujących zachowanie ciała w czasie: x x(t) y y(t) z z(t) 4
Przykłady równań Newtona: d 2 2 d r 2 d r r 2 2 2 dr q qe g B Ruch ładunku w polu agnetyczny Ruch ładunku w polu elektryczny Ruch asy w polu grawitacyjny Uogólniona II zasada dynaiki: dv Jeżeli = const to w dv dp 5
Trzecia zasada dynaiki Newtona Każdeu działaniu (akcji) towarzyszy przeciwdziałanie (reakcja) BA AB Siła działająca na ciało A ze strony ciała B ( AB ) jest równa sile działającej na ciało B ze strony ciała A ( BA ). Siły te występują parai. Czy one się równoważą? Nie! Każda siła działa na inne ciało! 6
Przykład: Z wysokości h nad zieią spada swobodnie kula z gliny. Na wysokości h/2 trafił ją w środek, poruszający pozioo się z prędkością V pocisk, który utkwił w kuli. Masa pocisku jest k = 5 razy niejsza od asy kuli. Oblicz szybkość kuli w oencie upadku na zieię. Dane g. 7
Przykłady istotnych sił rzeczywistych Siła grawitacji (ciężkości) Siła nacisku/reakcji Siła naprężenia Siła tarcia (oporu) T Siła reakcji podłoża R Q Siła dośrodkowa Siła grawitacji działająca na pudło Siła nacisku działająca na podłogę 8
Tarcie Źródłe siły tarcia jest oddziaływanie poiędzy ciałe a powierzchnią, po której jest wprawiane w ruch. Tarcie jest powodowane przez oddziaływanie elektroagnetyczne iędzy cząstkai/atoai stykających się ciał. Siła tarcia jest suą wektorową sił działających iędzy atoai na powierzchni jednego i drugiego ciała. Powierzchnia rzeczywistego kontaktu ikroskopowego obu ciał oże być nawet 1 razy niejsza od powierzchni pozornego akroskopowego kontaktu. 9
Tarcie zewnętrzne wewnętrzne poślizgowe toczne statyczne kinetyczne 1
Właściwości siły tarcia 1. Jeśli ciało się nie porusza, to siła tarcia statycznego równoważy składową siły równoległą do powierzchni. Siła tarcia statycznego dopasowuje się do siły usiłującej wprawić ciało w ruch. 2. Maksyalna wartość siły tarcia statycznego dana jest wzore T Sax = μ s N, gdzie μ s jest współczynnikie tarcia statycznego, N jest wartością siły nacisku - prostopadłej do powierzchni, równej sile reakcji działającej na ciało. 3. Jeżeli wartość składowej siły, równoległej do powierzchni przekracza wartość T Sax to ciało zaczyna się ślizgać. Wartość siły tarcia gwałtownie wówczas aleje do T k = μ k N, gdzie jest μ k jest współczynnikie tarcia kinetycznego 11
Przykładowe współczynniki tarcia: Materiał Wsp. tarcia statycznego s Wsp. tarcia kinetycznego k stal / stal.6.4 po dodaniu saru do stali.1.5 etal / lód.22.2 opona / sucha nawierzchnia opona / okra nawierzchnia.9.8.8.7 HWR,1 Rys.6.1 12
Tarcie toczne wynika ono z braku syetrii oddziaływań w obszarze styku, siła reakcji podłoża nie przypada w iejscu działania nacisku lecz jest przesunięta w kierunku toczenia i jest odchylona od pionu, przy toczeniu tworzą się i rozrywają połączenia ostkowe (adhezyjne) iędzy ciałai (ważne w 1!), następuje deforacja plastyczna w iejscu styku ciał. opona z większą zawartością siarki niejsze opory toczenia! wpływ ugięcia ścian opony - szersze ają niejsze ugięcie - niejsze opory gruba rzeźba bieżnika większy opór większy roziar koła niejszy opór ciśnienie w oponie większe, to niejszy opór ale straty energii przy przeskoku nad nierównościai 13
Tarcie wewnętrzne lepkość Re Lepkość to opór, powstający poiędzy warstwai (strugai) cieczy lub gazu przeieszczającyi się względe siebie. Rodzaj przepływu określa liczba Reynoldsa: v ρl v L η - wspł. lepkości (dynaiczny) V prędkość; - gęstość - wspł. lepkości (kineatyczny) L charakterystyczny roziar ciała Pa s 2 s przepływ lainarny Re << 1 przepływ turbulentny Re > 2 14
Prędkość graniczna V gr 2 C S C wspł. oporu - gęstość ośrodka S - pole przekroju V gr k p 6r g g prędkość graniczna kulki Siła Stokes a Kulka o proieniu r porusza się w ośrodku lepki (ała liczba Reynoldsa) o = 6rV w = p g g = k g gdzie: p - asa płynu wypartego przez kulkę k - asa kulki o -Siła oporu Równanie ruchu kulki: k dv k g p g 6r V w - Siła wyporu g - Siła grawitacji 15
Przykład: Kostka o asie M = 1 g spoczywa na płaskiej pozioej powierzchni. Do kostki przyłożono pozioą siłę, której wartość z każdą sekundą rośnie liniowo o 2 N. Przyjąć g = 1 /s 2, współczynnik tarcia statycznego s =,4 a współczynnik tarcia kineatycznego K =,2. a) Narysuj wykresy: siły i wypadkowej siły działającej na kostkę w funkcji czasu, z zaznaczenie aksyalnej wartości tarcia statycznego oraz tarcia kinetycznego. b) Oblicz czas, po jaki kostka ruszy z iejsca. c) Napisać równania przyspieszenia i prędkości kostki w funkcji czasu wynikające z praw Newtona. 16
Dynaika w układach nieinercjalnych ZASADY DYNAMIKI NEWTONA OBOWIĄZUJĄ W UKŁADACH INERCJALNYCH!! Co ożna zrobić aby óc stosować te zasady w układach nieinercjalnych? Siły pozorne, Siły bezwładności b a u przyspieszenie układu II zasada dynaiki: w rz b a 17
Przykład ciężar pozorny Winda rusza w górę ze stały przyspieszenie a. Jaki ciężar wskaże waga sprężynowa? R g = a u a u R waga wskazuje siłę N g ale R = N więc N = g + a u N 18
Dynaika w ruchu po okręgu Rotor Obserwator w układzie inercjalny wskaże siły Siły rzeczywiste: Obserwator w układzie nieinercjalny Siła pozorna: siła grawitacji siła reakcji na nacisk siła tarcia siła odśrodkowa bezwładności Dla obserwatora w układzie inercjalny siła reakcji na nacisk pełni rolę siły dośrodkowej Dla obserwatora w układzie nieinercjalny wszystkie siły: rzeczywiste i siła odśrodkowa (bezwładności) się równoważą 19
Czy Zieia jest układe inercjalny? Rotacja Ziei wokół własnej osi a Z 3 1 2 /s 2 Obieg wokół Słońca a O 6 1 3 /s 2 Obieg Słońca w Galaktyce a S 3 1 1 /s 2 Z czy porównać oszacowane wartości przyspieszeń? g = 9,81/s 2 Wniosek? 2
Wahadło ateatyczne Układ inercjalny Układ nieinercjalny N N g = g g = g d N g czyli d = N - g b wyp N g b V r 2 N g N V 2 2 g czyli N = g + b 2 V N g r 21
Przyspieszenie i siła Coriolisa Mrówka na płycie graofonowej Płyta obraca się ze stałą prędkością kątową. Mrówka porusza się względe płyty ruche jednostajny, prosto- =const r A V V S A V liniowy - wzdłuż proienia, r+r V S1 z punktu A do punktu A w czasie t z prędkością V. Prędkość styczna V S rośnie wraz z odległością od środka płyty. W ty czasie płyta obraca się o kąt Δφ 22
Skoro jest ałe to V= V czyli dv V V t d V dla t ożna zapisać: t czyli a 1 =V V V V Prędkość V S zienia się od: V S = r do wartości V S1 = (r + r) a więc V S = (r + r) - r czyli V S = r :t V otrzyujey S r dv dla Δt S dr czyli a 2 =V t t a 1 i a 2 to wartości wektorów o ty say kierunku-wzrastającego φ Całkowite przyspieszenie a C = a 1 + a 2 =2V przyspieszenie Coriolisa W układzie nieinercjalny rówka jest w stanie równowagi 23
Tarcie działające na rówkę a dwie składowe: radialną równoważona przez siłę odśrodkową oraz styczną (zgodną z kierunkie obrotu płyty) równoważoną przez siłę działającą stycznie, przeciwnie do kierunku obrotu płyty siłę Coriolisa jest to SIŁA POZORNA działa w obracający się układzie odniesienia! Ciało wyrzucone w punkcie X, na półkuli północnej, pionowo w górę z prędkością V, doznaje przyspieszenia Coriolisa stycznego do równoleżnika przechodzącego przez punkt X. Z kolei ciało poruszające się z prędkością styczną do równoleżnika przechodzącego przez punkt Y doznaje przyspieszenia Coriolisa skierowanego do środka Ziei. V C 2 X 2V Y 2V V V 24
Siła Coriolisa - wnioski Opisując ruch w układzie inercjalny: 2V a i a r = + + V ) ( r przysp. w ukł. przysp. w ukł. przyspieszenie przyspieszenie inercjalny obracający się Coriolisa dośrodkowe Przykładowe zadania na siłę Coriolisa Dwaj yśliwi strzelali do szyszek. A strzelał do szyszki znajdującej się na zachód od niego, B do szyszki znajdującej się w kierunku południowy. Obydwaj spudłowali i tłuaczyli swoje niepowodzenia istnienie siły Coriolisa. Który z nich iał większe prawo tak się tłuaczyć? Jak jest wielkość odchylenia pocisku, jeżeli średnia prędkość v = 3/s, czas lotu t = 1s a szerokość geograficzna = 49. ODP.: Δx A 2,2 c Δx B 1,7 c 25
Podsuowanie Błędny jest przekonanie, że do porzyania ruchu potrzebna jest siła (patrz zasada bezwładności I zasada dynaiki Newtona) Pojęcia: ruch i spoczynek ają sens jedynie względe konkretnego układu odniesienia Zasady dynaiki obowiązują w układzie inercjalny. W układach nieinercjalnych wprowadza się siły pozorne, aby óc nadal stosować zasady dynaiki Zieia oże być traktowana jak układ inercjalny, lecz są zjawiska, które ogą być wyjaśnione jedynie przy uwzględnieniu sił pozornych: odśrodkowej i Coriolisa 26
Dynaika układów o ziennej asie Ruch pod wpływe stałej siły pojazdu o rosnącej asie. ( - asa początkowa) =const stały przyrost asy d const dp d (v) t d dv dv v v t dv v ( t) rozdzielay zienne: 27
28 po scałkowaniu: t v dv dv t v ) ( t v v t t v t v dv ) ln( ) ln( ) ln( ln ln ) ln( ln ) ln( t v t v podstawiając granice: t v t v t t v stąd ostatecznie: v t li V Vax V ax t
Ruch pod wpływe stałej siły, ciała o alejącej asie dp v siła odrzutu v d( v) d( t) v v dv więc otrzyujey podobnie jak w poprzedni przypadku dv ( t) dv V ostatecznie: v ln t t / 29
Przykład Rakieta o asie początkowej M poruszając się w przestrzeni kosicznej wyrzuca spalone paliwo w stałej ilości d s / = r [kg/s], nadając u względe rakiety prędkość U. a) Zapisz zasadę zachowania pędu w nieruchoy układzie odniesienia (porusza się w ni rakieta), paiętając, że w porównaniu z asą M rakiety w dowolnej chwili ilość wyrzuconych gazów d jest do zaniedbania. b) Oblicz przyspieszenie początkowe rakiety. c) Napisz równanie różniczkowe wiążące prędkość rakiety z jej zienną asą i znajdź jego rozwiązanie. 3