Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem: Rozważmy wyrażenie złożone ze zmiennej zdaniowej lub jej zaprzeczenia, nawiasowane od lewej strony. W ciągu wolno nam używać tylko jednego spójnika logicznego. Nasze rozważania ograniczymy do spójników dwuargumentowych (oraz negacji występującej w zaprzeczeniu zmiennej zdaniowej). Okazuje się, że takie wyrażenie w pewnych przypadkach jest tautologią. W drugim rozdziale tego referatu zdefiniowany został schemat piramidy dla spójnika F i. Schematy dołączone do referatu są reprezentacją graficzną takich wyrażeń, a ich konstrukcja została przedstawiona w rozdziale drugim. Słowa kluczowe logika schematy piramid logicznych rachunek zdań algebra 1
1. Wprowadzenie Ogólne pojęcia używane w referacie: 1. Język rachunku zdań: (a) Alfabet: i. ϕ 1, ϕ 2... zmienne zdaniowe; ii. F 1, F 2... spójniki, fałsz; iii. (, ), ; symbole pomocnicze; (b) Wyrażenia: Wyrażeniem języka rachunku zdań nazywamy dowolny ale skończony ciąg symboli; (c) PROP jest to najmniejszy zbiór wyrażeń języka rachunku zdań spełniający następujące warunki: 1. ϕ 1 ϕ 2... należą do PROP; 2. Jeżeli ψ 1, ψ 2...ψ in należą do PROP to F in (ψ 1, ψ 2...ψ in ) należą do PROP; Wówczas elementy PROP nazywamy formułami języka rachunku zdań. 2. Odwzorowanie ν : P ROP {0, 1} takie, że: { 1 gdy Fin (ψ ν(f in (ψ 1, ψ 2...φ in )) = 1, ψ 2...ψ in ) prawda 0 gdy F in (ψ 1, ψ 2...ψ in ) fałsz nazywamy wartościowaniem. 3. Jeżeli dla dowolnego wartościowania ν, ν(ψ) = 1 to ψ nazywamy tautologią i zapisujemy = ψ, gdzie ψ PROP. 4. Wprowadźmy oznaczenia spójników logicznych: ϕ 0 ϕ 1 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2
2. Konstrukcja schematu piramidy Zdefiniujmy: ϕ 0 = ϕ, ϕ 1 = ϕ. Rozważmy wyrażenie postaci: gdzie ι I gdzie I := {1, 2,..., 16}. Ustalmy ι I. Dla pewnych ciągów: F ι (...F ι (F ι (ϕ i 0, ϕ i 1 ), ϕ i 2 )..., ϕ i n 1 ), (1) (i 0, i 1,..., i n 1 ), (2) wyrażenie (1) jest tuatologią albo nie istnieje taki ciąg (2) aby wyrażenie (1) było tautologią. Rozmieśćmy ciągi postaci (2) według schematu 1 (schemat ten rozciąga się w dół w nieskończoność, a umieszczone tu liczby należy przekształcić na system binarny). 0 1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Oznaczmy przez x miejsce położenia ciągu który reprezentuje tautologię w schemacie 1, natomiast brakiem x miejsce położenia ciągu który nie reprezentuje tautologii w schemacie 1. Tak zdefiniowany schemat nazywać dalej będziemy schematem piramidy dla F ι. W dalszej części referatu linie oddzielające w schemacie będziemy opuszczać, zaznaczając tylko miejsce położenia ciągów reprezentujących tautologię. Wprowadźmy oznaczenie: Γ : F ι (...F ι (F ι (ϕ i 0, ϕ i 1 ), ϕ i 2 )..., ϕ i n 2 ). (3) 3
3. Analiza spójników logicznych 1. F 1 Wyrażenie (1) nigdy nie jest tautologią. Wynika to z określenia spójnika F 1. Wyrażenie (1) przyjmuje wartość logiczną 0 dla dowolnego ciągu (2). 2. F 2 Rozważmy ciąg (2). Wystarczy aby w ciąugu tym co najmniej raz pojawiła się wartość logiczna 0 oraz 1. Wówczas ciąg nie jest tautologią, gdyż z określenia F 2 mamy, że jeśli ciąg (2) posiada równocześnie 0 i 1 wyrażenie (1) przyjmuje wartość logiczną 0. Rozważmy ciąg pstaci (0, 0,..., 0). (4) Taki ciąg oczywiście nie reprezentuje tautologii gdyż w wyrażeniu (1) występuje wtedy tylko ϕ 0, które mogą przyjmować obie wartości logiczne. Podobne rozumowanie przeprowadzamy dla ciągu (1, 1,..., 1). (5) Zatem wyrażenie (1) nie jest tautologią dla dowolnego ciągu (2). 3. F 3 Niech ostatnim wyrazem wyrażenia (1) będzie ϕ i n 1. Zauważmy, że ϕ i n 1 może przyjmować obie wartości logiczne. Gdy ν(ϕ i n 1 ) = 1, to dla dowolnej formuły Γ mamy ν(f 3 (Γ, ϕ i n 1 )) = 0. Zatem wyrażenie (1) nie może być tautologią. 4. F 4 Zauważmy, że w wyrażeniu (1) wyraz pierwszy ϕ i 0 może przyjmować obie wartości logiczne. Jeśli ν(ϕ i 0 ) = 0, to z określenia F 4 wynika, że (1) przyjmuje wartość logiczną 0. Zatem nie otrzymujemy żadnej tautologii. 5. F 5 Przypadek analogiczny do F 3. Wystarczy aby ostatni wyraz (1) tzn. ϕ i n 1 spełniał własność ν(ϕ i n 1 ) = 0, a wtedy ν(f 5 (Γ, ϕ i n 1 )) = 0. Zatem wyrażenie (1) nie jest tautologią w żadnym przypadku. 4
6. F 6 Przypadek podobny do F 3. Wystarczy aby ϕ i n 1 spełniał własność ν(ϕ i n 1 ) = 0. Wtedy ν(f 6 (Γ, ϕ i n 1 )) = 0. Brak tautologii. 7. F 7 Zauważmy, że = F 7 (ϕ 1, ϕ 2 ) F 7 (ϕ 2, ϕ 1 ), (6) = F 7 (F 7 (ϕ 1, ϕ 2 )ϕ 3 ) F 7 (ϕ 1, F 7 (ϕ 2, ϕ 3 )), (7) Zatem wyrażenie (1) jest równoważne następującemu: F 7 ((F 7 (...F 7 (ϕ 0, ϕ 0 ),..., ϕ 0 )), (F 7 (...F 7 (ϕ 1, ϕ 1 ),...ϕ 1 ))), (8) gdzie ϕ 0 występuje k 0 razy, a ϕ 1 występuje k 1 razy. Rozważmy przypadki: (a) gdy k 0 parzyste, k 1 parzyste Wówczaswyrażenie (8) przyjmuje wartość logiczną 0; (b) gdy k 0 nieparzyste, k 1 parzyste Wówczas jeśli tylko ν(ϕ 0 ) = 0 wtedy wyrażenie (8) przyjmuje wartość logiczną 0; (c) gdy k 0 parzyste, k 1 nieparzyste analogicznie jak wyżej; (d) gdy k 0 nieparzyste, k 1 nieparzyste dla dowolnych ϕ 0, ϕ 1 wyrażenie (8) jest tautologią. Rysunek 1. Schemat piramidy dla F 7. 8. F 8 Gdy ciąg (2) jest postaci (4) lub (5) wyrażenie (1) nie jest tautologią. Łatwo widać, że we wszystkich pozostałych przypadkach wyrażenie (1) jest tautologią. 5
9. F 9 Z określenia F 9 łatwo widać, że aby (1) przyjmowało wartość logiczną 1 wszystkie wyrazy muszą być takie, aby ν(ϕ i ) = 0. Zatem (1) nigdy nie jest tautologią. 10. F 10 Zauważmy, że dla F 1 0 zachodzą wzory analogiczne do (6), (7). Zatem (1) można przedstawić w postaci: F 10 ((F 10 (...F 10 (ϕ 0, ϕ 0 ),..., ϕ 0 )), (F 10 (...F 10 (ϕ 1, ϕ 1 ),...ϕ 1 ))), (9) gdzie ϕ 0 występuje k 0 razy, a ϕ 1 występuje k 1 razy. Rozumując analogicznie jak w przypadku F 7 mamy, że tylko dla k 0 parzystego i k 1 parzystego wyrażenie (1) jest tautologią. Rysunek 2. Schemat piramidy dla F 10. 11. F 11 Rozumując podobnie jak w przypadku F 3, łatwo widzimy, że jeśli ostatni wyraz (1) ma własność ν(ϕ i n 1 ) = 0 to ν(f 1 1(Γ, (ϕ i n 1 ))) = 0. Brak tautologii. 12. F 12 Z określenia F 12 łatwo widać, że aby wyrażenie (1) nie było tautologią musi ono być postaci: lub F 12 (...F 12 (F 12 (ϕ 0, ϕ 1 ), ϕ 1 )...ϕ 1 ), (10) F 12 (...F 12 (F 12 (ϕ 1, ϕ 0 ), ϕ 0 )...ϕ 0 ), (11) Zatem takie wyrażenia są reprezentowane odpowiednio przez ciągi (0, 1, 1,..., 1) oraz (1, 0, 0,..., 0). W pozostałych przypadkach wyrażenie (1) jest tautologią. 6
Rysunek 3. Schemat piramidy dla F 12. 13. F 13 Rozumowanie analogiczne jak w przypadku F 4. Żadne wyrażenie postaci (1) nie jest tautologią. Wystarczy aby ϕ i 0 spełniał własność ν(ϕ i 0 ) = 1. 14. F 14 Przyporządkujmy wartości logicznej 1 liczbę naturalną 0, natomiast wartości logicznej 0 liczbę naturalną 1. Zauważmy, że oraz i dalej mamy ν(f 14 (ϕ 1, ϕ 2 )) = (1 ν(ϕ 1 )) ν(ϕ 2 ), (12) (1 ν(ϕ 1 )) ν(ϕ 2 ) = ν(ϕ 2 ) ν(ϕ 2 ) ν(ϕ 1 ) (13) ν(f 14 (F 14 (ϕ 1, ϕ 2 ), ϕ 3 )) = ν(ϕ 3 ) ν(ϕ 3 ) ν(ϕ 2 ) + ν(ϕ 3 ) ν(ϕ 2 ) ν(ϕ 1 ), (14)... ν(f 14 (...F 14 (ϕ 1, ϕ 2 )...ϕ n )) = ν(ϕ n ) ν(ϕ n ) ν(ϕ n 1 ) +... + ( 1) n+1 ν(ϕ n )...ν(ϕ 1 ), (15) Ostatecznie wyrażeniu (1) odpowiada wzór (15). Z postaci wzoru (15) widać, że aby wyrażenie (1) przyjmowało wartość logiczną 1 (więc wzór (15) powinien przyjmować wartość 0) liczba takich samych ν(ϕ i ) liczonych od końca aż do zmiany wartości (z 1 na 0 lub odwrotnie) musi być parzysta. Zatem aby ciąg (2) reprezentował tautologię, powiniem (licząc od końca, aż do zmiany wartości) przyjmować parzystą liczbą takich samych wyrazów. 7
Rysunek 4. Schemat piramidy dla F 14. 15. F 15 Zauważmy, że aby wyrażenie (1) nie było tautologią, ciąg (2) reprezentujący to wyrażenie musi być następującej postaci: lub (... 0 1...1 }{{} 1 1 1...1 1 1), (16) k+1 (... 1 0...0 }{{} 0 0 0...0 0 0), (17) k+1 gdzie przez oznaczono miejsce gdzie można wstawić dowolną, ale tylko jedną z wartości 0 lub 1, k naturalna liczba parzysta. 16. F 16 Wyrażenie (1) zawsze jest tautologią. Wynika to z określenia F 16 (rozumowanie analogiczne do F 1 ). Dla dowolnego ciągu (2) wyrażenie przyjmuje wartość logiczną 1. 8
4. Własności schematów piramid dla F i W tym paragrafie zostaną omówione podstawowe własności schematów piramid dla F i. Niektóre z nich odnoszą sę wdo wszystkich spójników, natomiast niektóre zachowania są charakterystyczne dla konkretnego spójnika. Informacja o tym, czy dana własność jest prawdziwa zawsze czy tylko w konkretnym przypadku wynikać będzie z kontekstu. Twierdzenie 1 (o symetrii) Schemat piramidy dla F ι gdzie ι {1, 2,..., 16} jest symetryczny względem osi tzn. jest symetryczny względem prostej pionowej oddzielającej w pierwszym jej wierszu wartości 0 oraz 1. Dowód Ustalmy spójnik F ι, ι {1, 2,..., 16}. Ustalmy dowolnie ciąg (i 0, i 1,..., i n 1 ), (18) Ten ciąg jednoznacznie wskazuje miejsce M w schemacie piramidy dla F ι. Miejsce symetryczne względem osi M reprezentuje ciąg (i 0, i 1,..., i n 1), (19) gdzie i s = i s + 2 1, dla s {1, 2,..., n 1}. Bez straty ogólności możemy założyć że ciąg (18) odpowiadający reprezentuje tautologię. Rozważmy ciąg F ι (...F ι (ϕ i 0, ϕ i 1 )..., ϕ i n 1 ), (20) (ν(ϕ i 0 ), ν(ϕ i 1 ),..., ν(ϕ i n 1 )), (21) Zauważmy, że dla ν(ϕ) = 0 lub ν(ϕ) = 1 ciąg (21) pokrywa się z ciągiem (18). Załużmy np. że taka sytuacja ma miejsce dla ν(ϕ) = 0. Wówczas dla ν(ϕ) = 1 ciąg (21) pokrywa się z (19). Zatem ciągi (18) i (19) traktowane jako układy wartościowań reprezentują tautologię. Zauważmy, że wtedy na miejscu M dla ν(ϕ) = 0 ciąg (21) pokrywa się z (19), natomiast dla ν(ϕ) = 1 pokrywa się z (18). Jak wcześniej pokazano oba te ciągi tworzą układ reprezentujący tautologię. Zatem dla dowolnego ν(ϕ) formuła (20) na miejscu M jest tautologią. Dowód w pozostałych przypadkach jest podobny. 9