GAZ ELEKTRONÓW SWOBODNYCH POWYŻEJ ZERA BEZWZGLĘDNEGO. Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca T=0K T>0K 1 f ( E ) = 0 dla dla E E F E > EF f ( E, T ) 1 = E E F kt e + 1 1
T>0K Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca 1 0 K E F /k B = 10000 K FERMI FUNCTION f(e) 0.8 0.6 0.4 0. 300 K 3000 K 1 f ( E = E F ) = = exp[0] + 1 1 0 0 4000 8000 1000 16000 E/k B (KELVIN) 1 f( E = EF + kt) = 7% 1 e + 1 1 f ( E = EF + 3kT) = 5 % 3 e + 1 1 f ( E = EF + 5kT ) = 1% 5 e + 1 Temperatura powoduje zmianę obsadzenia stanów w przedziale kilku kt wokół energii Fermiego Gaz elektronów swobodnych T>0K Elektron może przejść do wyższych stanów energetycznych w temperaturze T, jeżeli istnieją stany nieobsadzone. Oznacza to, że tylko niewielka liczba elektronów w metalu może zostać wzbudzona (D(E F )kt) http://www.physicsforidiots.com/condensedmatter.html
3 Energia Fermiego bardzo słabo zależy od temperatury = 1 1 F F E kt E π µ E el E F 5 3 = Średnia energia elektronu w paśmie przewodnictwa: + = 1 5 1 5 3 F F el E kt E E π Pasmo energetyczne: zespół mało różniących się od siebie poziomów energetycznych elektronów. PASMA ENERGETYCZNE
Przybliżenie elektronów swobodnych Przybliżenie elektronów swobodnych ignoruje sieć krystaliczną: nie uwzględnia periodyczności sieci; nie uwzględnia istnienia różnych atomów. Nie wyjaśnia istnienia pasm energetycznych, ani różnic pomiędzy ciałami stałymi. Przybliżenie elektronów prawie swobodnych W ramach tego przybliżenia zakłada się, że elektron może się ę poruszać w sieci krystalicznej.ciało stałe jest studnią potencjału o modulowanym dnie. Modulacja jest zgodna z periodycznością sieci krystalicznej. http://www.globalspec.com/reference/6495/0379/10--nearly-free-electron-model-of-solids-andthe-bloch-theorem 4
Dyfrakcja Bragga Gdy fala rozchodzi się w periodycznym ośrodku, może ona ulec odbiciu (dyfrakcji) Bragga. Odbicie zachodzi, jeśli długość fali spełnia warunek: λ = dsinθ; Jakiemu pędowi elektronu odpowiada ta długość fali? Notabene: co oznacza k=±π/a? 5
Co oznacza k=±π/a? Sieć rzeczywista Sieć odwrotna a c b r π r a* = i a r r r r r r r π r v π r a = ai, b = aj, c = ak b* = j, c* = k a a Co oznacza k=±π/a? Granice I strefy Brillouina 6
Przybliżenie elektronów prawie swobodnych Ponieważ dno studni potencjału jest modulowane periodycznie (stała sieci = a), to elektron o wektorze falowym k=±π/a musi ulec dyfrakcji Bragga. To znaczy, że fali o k=π/a musi towarzyszyć k=-π/a (i odwrotnie): powstaje fala stojąca. Ściśle mówiąc są dwie możliwości: Ψ = A (sin( ω t kx ) ± sin( ω t + kx )) Ψ ± http://usersphys.au.dk/philip/pictures/physi csfigures/physicsfigures.html Przybliżenie elektronów prawie swobodnych Możliwość 1: = A (sin( ωt kx) + sin( ωt + kx)) Ψ + Ψ + ωt kx + ωt + kx ωt kx ωt kx) = A(sin( )cos( ) = A(sin( ωt)cos( kx) Ψ + Strzałki: kx=0, π itd. http://usersphys.au.dk/philip/pictures/physi csfigures/physicsfigures.html 7
Przybliżenie elektronów prawie swobodnych Możliwość : = A (sin( ωt kx) sin( ωt + kx)) Ψ Ψ + ωt kx ωt kx ωt kx + ωt + kx) = A(sin( )cos( ) Ψ + = A(cos( ωt) sin( kx) Strzałki: kx=1/ π, 3/ π itd. http://usersphys.au.dk/philip/pictures/physi csfigures/physicsfigures.html Przybliżenie elektronów prawie swobodnych W zależności od tego gdzie są węzły i strzałki fali stojącej, mamy wyższą i niższą energię elektronu. 8
Przybliżenie elektronów prawie swobodnych W zależności od tego gdzie są węzły i strzałki fali stojącej, mamy wyższą i niższą energię elektronu. Przybliżenie elektronów prawie swobodnych Oznacza to, że na granicy strefy Brillouina powstają pasma energii wzbronionych. 9
Nie wszystkie elektrony są prawie swobodne Tylko elektrony znajdujące się daleko od jądra mogą być prawie swobodne. Elektrony z wewnętrznych poziomów są zlokalizowane a ich energie różnią się niewiele od energii w izolowanym atomie. http://web.utk.edu/~cnattras/phys50fall01/modules/module%04/conduction_in_solids.htm Przybliżenie elektronów silnie związanych W ramach tego przybliżenia, elektron uważamy za związany z atomem - nie może swobodnie poruszać się w krysztale. Energia elektronu w krysztale jest równa sumie energii potencjalnej, takiej jak w atomie swobodnym i małego, zaburzenia. 10
Przybliżenie elektronów silnie związanych W tym przybliżeniu "wyobrażamy sobie" jak funkcje falowe atomów lub jonów oddziałują ze sobą gdy zbliżamy je do siebie. Np. w cząsteczce wodoru z dwóch identycznych poziomów atomowych powstają dwa poziomy energetyczne przesunięte względem siebie. Przybliżenie elektronów silnie związanych N atomów w ciele stałym (10 3 cm 3 ) daje N poziomów energetycznych w paśmie atomy 6 atomów N atomów 11
Przybliżenie elektronów silnie związanych Zatem: wskutek rozszczepienia atomowych poziomów energetycznych powstają pasma energetyczne. Teoria pasmowa Oba przybliżenia prowadzą do tego samego wniosku: stany energetyczne elektronów w ciele stałym tworzą pasma energetyczne. Pasmo energetyczne: zespół mało różniących się od siebie poziomów energetycznych elektronów. 1
Teoria pasmowa PASMOWA TEORIA CIAŁA STAŁEGO, teoria tłumacząca właściwości elektronowe ciał stałych; opiera się na założeniu, że podczas powstawania struktury krystalicznej ciała stałego dozwolone dla elektronów poziomy energetyczne swobodnych atomów rozszczepiają się tworząc pasma poziomów blisko leżących; Teoria pasmowa Poszczególne pasma mogą być od siebie oddzielone pasmem wzbronionym (przerwą energetyczną); najwyższe, całkowicie lub częściowo wypełnione elektronami pasmo jest nazywane pasmem walencyjnym, a kolejne wyższe, całkowicie lub prawie całkowicie puste pasmem przewodnictwa. 13
Teoria pasmowa W niecałkowicie zapełnionym paśmie pole elektryczne może spowodować przeniesienie elektronu na sąsiedni poziom energetyczny, tj. wywołać przepływ prądu, w całkowicie zapełnionym paśmie nie może ono zmieniać pędu elektronu, a więc nie wywołuje przepływu prądu. Konfiguracja elektronowa Si 1s s p 6 3s 3p Pasma? Przykład: krzem 14
Przykład: krzem masa efektywna dziury dodatnie KONSEKWENCJE ISTNIENIA PASM ENERGETYCZNYCH 15
Masa efektywna Przybliżenie masy efektywnej jest to pewien sposób uwzględnienia oddziaływania elektronów z siecią krystaliczną. Prędkość grupowa fali, prędkość cząstki: d 1 de v = ω = dk h dk Druga zasada dynamiki Newtona: F = ma = dp dt = h dk dt przyspieszenie Masa efektywna dv 1 E a = = dt h k t a = 1 h E k t dk dk = 1 E dk dk h k dt ma = h dt a ( m*) 1 1 = h E k 16
Masa efektywna Masa efektywna elektronu w paśmie o danym związku dyspersyjnym E(k). * h m = d E / dk Dla elektronów swobodnych: 1 1 p h E y m m = mv = = k m * = m Zależność E, v i m od k: rysunki Masa efektywna Masa efektywna zależy od krzywizny pasma; Elektrony na wierzchołku pasma walencyjnego mają ujemne masy efektywne; W ogólności, m * zależy od kierunku: jest tensorem; 17
Masa efektywna: z.d. Uzasadnić, w których pasmach (6 pasm oznaczonych kolejnymi 6 4 numerami) będzie większa, a w których 3 mniejsza masa efektywna. 1 5 Pojęcie dziury Rozważmy pasmo walencyjne całkowicie zapełnione Całkowity prąd N elektronów w całkowicie wypełnionym paśmie: N J = ( q) v i = 0 i 18
Pojęcie dziury Pasmo walencyjne, całkowicie zapełnione. Pokazane są stany elektronowe j ty z wektorem falowym k j i j z przeciwnie skierowanym wektorem falowym -k j. Gdy usuniemy elektron j ty wówczas ruch elektronu j nie jest skompensowany. Pojęcie dziury Zatem, całkowity prąd, gdy brakuje j tego elektronu N J = ( q) v i ( q)v j = qv j i WYNIK: ŁADUNEK DODATNI PORUSZA SIĘ Z PRĘDKOŚCIĄ v j 19
Pojęcie dziury Zamiast rozważać dużą liczbę elektronów w niecałkowicie wypełnionym paśmie walencyjnym (cząstek o ujemnym ładunku i ujemnej masie efektywnej), rozważamy małą liczbę dziur (cząstek o dodatnim ładunku i dodatniej masie efektywnej). Poziomy energetyczne w atomie sodu 0
Poziomy energetyczne w hipotetycznej cząsteczce Nɑ 4 Poziomy energetyczne czterech elektronów 3s są nieco względem siebie przesunięte. Pasma energetyczne w stałym sodzie Też pasma, tylko wąskie 1
STRUKTURY PASMOWE: PRZYKŁADY Metale, półprzewodniki, izolatory a) Metale mają swobodne elektrony i częściowo zapełnione najwyższe pasmo (lub nakładające się pasma).
Metale, półprzewodniki, izolatory b i c) Półprzewodniki i izolatory mają zapełnione pasmo walencyjne i puste pasmo przewodnictwa rozdzielone przerwą energetyczną Metale, półprzewodniki, izolatory Pół t l j j ż ł i T kł d i Półmetale mają najwyższe pasmo zapełnione. To pasmo nakłada się na następne, wyższe pasmo tak, że koncentracja swobodnych elektronów jest mała, ale różna od zera również w 0K. Jednocześnie obecne są dziury. 3
Metale, półprzewodniki, izolatory Inny sposób wyrażenia tego samego: Pierwiastki jednowartościowe Sferyczne y powierzchnie izoenergetyczne 4
Pierwiastki dwuwartościowe Magnez ma elektrony 3s Można by się spodziewać, że pasmo 3s będzie całkowicie zapełnione, a 3p całkowicie puste. Mg powinien być izolatorem? 3p Ale magnez, Ca, Sr itp. Są metalami 3s Pasma 3s i 3p nakładają się i razem tworzą częściowo zapełnione pasmo. 3p 3s Metale dwuwartościowe: np. Mg Pasmo przewodnictwa Nie ma przerwy Pasmo walencyjne 59 5
Metale przejściowe: np. Cu Nakładają się na siebie pasma elektronów 4s i 3d. Prawie sferyczne powierzchnie izoenergetyczne. Półmetale Cięższe pierwiastki kolumny V układu okresowego: As, Sb i Bi są półmetalami. Przez półmetal rozumiemy metal o bardzo małej (w porównaniu z typowymi metalami) gęstości stanów na powierzchni Fermiego. Spośród pierwiastków układu okresowego półmetalem jest ponadto grafit, najpowszechniejsza j odmiana węgla. Półmetaliczne przewodnictwo warunkuje szereg zastosowań tego materiału (oporniki węglowe, elektrody do baterii galwanicznych i pieców łukowych, szczotki do silników i prądnic). 6