Modelowanie ryzyka kredytowego: MODEL BLACK-COX A

Modelowanie ryzyka kredytowego: MODEL BLACK-COX A Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014 Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 1 / 41

Model Blacka-Cox a - opis 1 Proces wartości firmy spełnia SDE dv t = V t r κdt + σ V dw t. 2 Klauzle bezpieczeństwa safety covenants. W B-C jest modelowane przez wprowadzenie bariery vt := Ke γt t dla t [[0, T [[ gdzie K > 0 stała. Jeżeli V uderzy w vt to posiadacze obligacji przejmuja firmę. 3 Bankructwo pojawia się także w T jeżeli V T < L. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 2 / 41

1 Moment default u jest zdefiniowany τ := inf {t [[0, T ]] : V T v t }. gdzie v t = { vt, dlat < T, L, dla t = T. 2 Proces odzysku Z i wpłata zastępcza X sa proporcjonalne do procesu wartości Z = β 2 V, X = β1 V T, dla β 1, β 2 [[0, 1]]. Stałe β 1, β 2 modeluja koszty bankructwa lub restrukturyzacji. 3 dla każdego t [[0, T ]] zakładamy vt LBt, T Ke γt t Le rt t, Bez tego założenia mogłaby zajść sytuacja że wypłata w momencie default u mogłaby przekroczyć wartość zdyskontowanego nominału!! Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 3 / 41

1 Podsumowujac w modelu Blacka-Cox a obligacja jest dana jako wypłata narażona na ryzyko kredytowe postaci X = L, A = 0, X = β1 V T, Z = β 2 V, τ = τ τ, 2 gdzie τ jest momentem wcześniejszego default u τ := inf {t [[0, T [[: V T vt} 3 natomiast τ jest momentem default u z modelu Mertona tzn. τ := T 1 {VT <L} + 1 {VT L}. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 4 / 41

1 Na zbiorze {t < τ} = {t < τ} mamy Dt, T =E Q Le rt t 1 { τ T,VT L} F t + β 1 E Q V T e rt t 1 { τ T,VT <L} F t + β 2 K E Q e γt τ e r τ t 1 {t< τ<t } F t 2 Pierwsze dwie warunkowe wartości oczekiwane można policzyć korzystajac z 3 Trzecia natomiast z QV s x, τ s F t Q τ s F t Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 5 / 41

Momenty pierwszego przejścia Niech V będzie rozwiazaniem SDE dv t = V t r κdt + σ V dw t, Dla każdego 0 t < s T, na zdarzeniu {t < τ} mamy ln vt V Q τ s F t = N t νs t σ V s t vt 2ã ln vt V + N t + νs t σ V s t V t gdzie ν = r κ γ 1 2 σ2 V, ã = ν σ 2 V Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 6 / 41

Dla t < s T i x vs na zbiorze {t < τ} lnvt /x + νs t QV s x, τ s F t = N σ V s t vt 2ã ln v 2 t lnxv t + νs t N σ V s t gdzie V t ν = r κ 1 2 σ2 V, ã = r κ γ 1 2 σ2 V σ 2 V Obydwa wzory wynikaja z dobrze znanej zasady odbicia dla procesu Wienera.. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 7 / 41

Pomocniczy lemat 1 Niech gdzie σ > 0, ν R. Lemma Dla każdego x > 0 mamy Q Y t := y 0 + X t, gdzie X t := νt + σw t sup X u x 0 u s x νs = N σ s e 2νx σ 2 N x νs σ s a dla każdego x < 0 mamy x + νs Q inf X u x = N 0 u s σ e 2νx x + νs σ 2 N s σ s Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 8 / 41

Dowód Pokazemy pierwszy wzór korzystajac z tw. Girsanov a i zasady odbicia dla procesu Wienera. Załóżmy że σ = 1. Niech P będzie miara na Ω, F s dana Wt dp dq = e νws ν 2 2 s := X t = W t + νt, t [0, s] jest standardowym procesem Wienera przy P. Ponadto możemy napisać Dla x > 0 Q sup X u x, X s x 0 u s dq dp = eνw s ν 2 2 s = E P e νw s ν2 2 s 1 {sup0 u s Wu x,ws x} Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 9 / 41

Dowód Niech τ x = inf {t 0 : W t = x}, zdefiniujmy pomocniczy proces W t := W t 1 {τx t} + 2x W t 1 {τx <t} Na mocy zasady odbicia W jest ruchem Browna. Ponadto Dla x > 0 mamy { sup W u x, W s x} = {Ws x} {τ s s} 0 u s J := Q sup X u x 0 u s = Q sup W u + νu x 0 u s Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 10 / 41

J = QX s x Q sup X u x, X s x 0 u s = QX s x E P e νw s ν2 2 s 1 {sup0 u s Wu x,ws x} = QX s x E P e ν W s ν2 2 s 1 {sup0 u s Wu x, W s x} = QX s x E P e ν2x W s ν2 2 s 1 {W s x} = QX s x e 2νx E P e νw s ν2 2 s 1 {W s x} = QX s x e 2νx Q W s x = QW s + νs x e 2νx QW s + νs x x νs = N e 2νx x νs σ 2 N s s Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 11 / 41

... i kończymy dowód To kończy dowód dla σ = 1 Dla dowolnego σ > 0 mamy Q sup σw u + νu x 0 u s Stad mamy pierwszy wzór. = Q sup 0 u s W u + ν σ u x σ Drugi wzór natomiast wynika z tego że W jest także procesem Wienera a więc dla x < 0 mamy Q inf σw u + νu x = Q sup σ W u νu x 0 u s 0 u s Teraz drugi wzór wyprowadzamy z pierwszego co kończy dowód lematu 1. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 12 / 41

Rozkład momentu przejścia przez 0 Niech τ := inf {t > 0 : Y t 0}. Zauważmy, że Qτ > s = Q inf Y u > 0 0 u s i korzystajac z lematu mamy Proposition Dla każdego s > 0 mamy = Q inf 0 u s X u y 0 Qτ s = Qτ < s = Nh 1 s + e 2νσ 2 y 0 Nh 2 s gdzie h 1 s = y 0 νs σ, h 2 s = y 0 + νs s σ s Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 13 / 41

Rozkład warunkowy przejścia przez 0 Corollary Dla każdego t < s na zdarzeniu {t < τ}, mamy Yt νs t Qτ s F t = N σ + e 2νσ 2 Y Yt t + νs t N s t σ s t Ja udowodnić ten wniosek?. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 14 / 41

ZADANIE na ćwiczenia Niech V będzie rozwiazaniem SDE moment τ będzie zadany dv t = V t r κdt + σ V dw t, τ := inf {t > 0 : V t v} dla v < V 0. Pokazać, że na zdarzeniu {t < τ} mamy ln v V Qτ s F t = N t νs t v 2a ln v V + N t + νs t, σ V s t V t σ V s t gdzie ν = r κ 1 2 σ2 V, a = ν σ 2 V = r κ 1 2 σ2 V σ 2 V. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 15 / 41

ZADANIE na ćwiczenia Niech V będzie zadane jak w poprzednim zadaniu, moment τ natomiast τ := inf {t > 0 : V t vt} gdzie vt := Ke γt t. Dla stałych K > 0 i γ R +. Pokazać, że na zdarzeniu {t < τ} mamy ln vt V Qτ s F t = N t νs t vt 2ã ln vt V + N t + νs t σ V s t σ V s t gdzie ν = r κ γ 1 2 σ2 V, ã = ν σ 2 V V t = r κ γ 1 2 σ2 V σ 2 V Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 16 / 41

Ciag dalszy: Uogólnić poprzednie wyniki tzn. chcemy mieć wzory na QY s y, τ s F t. Wskazówka: Zauważmy, że QY s y, τ s = QY s y, ms Y 0 = QX s y y 0, ms X y 0 = Q X s y 0 y, M X s y 0, gdzie X s := X s = σw s νs = σ W s νs = σ W s νs. X s jest też procesem Wienera z dryfem! Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 17 / 41

Znany wynik tego typu to tzw. Zasada odbicia dla procesu Wienera bez dryfu, przypomnijmy ten wynik: Lemma Zasada odbicia dla procesu Wienera Dla każdego s > 0, y 0, i x y mamy: QW s x, M W s y = QW s 2y x = QW s x 2y. Dla zastosowań potrzebujemy analogicznego wyniku dla procesu Wienera z niezerowym dryfem: X t := νt + σw t. lub nawet Y t = y 0 + X t = y 0 + νt + σw t. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 18 / 41

Pomocniczy lemat 2 Lemma Dla każdego s 0 łaczny rozkład X s, Ms X jest dany wzorem QX s x, M X s y = e 2νyσ 2 QX s 2y x + 2νs dla każdego x y i y 0. Wystarczy pokazać przypadek σ = 1, gdyż jeżeli σ 1 to definiujac Xt σ = X t σ = W t + ν σ t otrzymujemy QX s x, M X s y = QX σ s xσ 1, M X σ s yσ 1 Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 19 / 41

Dowód: Niech σ = 1. Z Twierdzenia Girsanowa wiemy że przy mierze Q o gęstości d Q dq = e νws ν proces W zdef. Wt = X t = W t + νt dla t [[0, s]] jest procesem Wienera. Mamy także 2 2 s dq d Q = eνw s ν2 2 s Stosujac wzór Bayes a otrzymujemy QX s x, Ms X y e =E Q νw s ν2 2 s 1 {Xs x,m s X y} Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 20 / 41

Wprowadźmy pomocniczy proces W W t := W t 1 {τy t} + 2y W t 1 {τy <t} W jest procesem Wienera przy mierze Q. kontynuujac otrzymujemy =E Q =E Q e νw s ν2 2 s 1 {W s x,m W s y} =E Q e ν2y W s ν2 2 s 1 {2y W s x,m W s y} ponieważ 2y x y e ν2y W s ν2 2 s 1 {W s 2y x} =E Q = e ν2y P W s 2y x e ν W s ν2 2 s 1 { Ws x,m W s y} =e ν2y E Q e νw s ν2 2 s 1 {W s 2y x} Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 21 / 41

gdzie P miara zadana gęstościa d P d Q = e νw s ν2 2 s. Ponieważ przy P proces W t := Wt + νt dla t [0, s] jest procesem Wienera to = e ν2y P Ws 2y x + νs = e ν2y P Ws + νs 2y x + 2νs To kończy dowód. Mamy oczywiście = e ν2y Q W s + νs 2y x + 2νs QX s x, M X s y = QX s < x, M X s > y Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 22 / 41

Z powyższego Lematu mamy wniosek Proposition Dla dowolnych x y i y 0 mamy x 2y νs QX s x, Ms X y = e 2νyσ 2 N σ. s Stad wynika QX s x, M X s x νs y = N σ e 2νyσ 2 N s x 2y νs σ s, dla dowolnych x, y R takich że x y i y 0. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 23 / 41

Dowód: Pierwsza równość wynika z QX s 2y x + 2νs = Q σw s x 2y νs x 2y νs = N σ, s a druga równość wynika z QX s x, M X s y + QX s x, M X s y = QX s x. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 24 / 41

Rozkład łaczny. W bardzo podobny sposób można udowodnić następujace stwierdzenia Proposition Łaczny rozkład X s, ms X dla s > 0 spełnia x + νs 2y x + νs QX s x, ms X y = N σ e 2νσ 2y N s σ, s dla każdego x, y R takiego że y 0 i y x. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 25 / 41

Corollary Mamy dla każdego s > 0 i y 0 y + y0 + νs QY s y, τ s = N σ e 2νσ 2 y 0 N s Dowód. Wynika z y y0 + νs σ s QY s y, τ s = QY s y, m Y s 0 = QX s y y 0, m X s y 0, a następnie zastosowania poprzedniego stwierdzenia., Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 26 / 41

Ogólniejszy fakt można udowodnić korzystajac z silnej własności Markowa Corollary Dla każdego s > t i y 0 na zbiorze {t τ}, mamy y + Yt + νs t QY s y, τ s F t =N σ s t e 2νσ 2 Y t y Yt + νs t N σ, s t Teraz podamy dwa przykłady zastosowań powyższych wzorów. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 27 / 41

MODEL LELAND-TOFT Niech V będzie zadane stochastycznym równaniem różniczkowym postaci dv t = V t r κdt + σ V dw t i niech τ := inf {t > 0 : V t v} gdzie v < V 0. Stosujac lemat do Y t = lnv t / v i y = lnx/ v otrzymujemy dla x v, na zdarzeniu {t τ} wzór: lnvt /x + νs t QV s x, τ s F t =N v V t σ s t 2a ln v 2 lnxv t + νs t N σ s t, gdzie ν = r κ 1 2 σ2 V oraz a = νσ 2 V. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 28 / 41

MODEL BLACK-COX Niech V będzie zadane stochastycznym równaniem różniczkowym jak wyżej i niech τ := inf {t > 0 : V t vt} gdzie vt = Ke γt t, dla stałych K > 0 i γ R. Dla Y t = lnv t / vt i y = lnx/ vs otrzymujemy dla t < s T i x vs na zbiorze {t < τ} lnvt /x + νs t QV s x, τ s F t =N σ V s t vt 2ã ln v 2 t lnxv t + νs t N, σ V s t gdzie ν = r κ 1 2 σ2 V, ã = r κ γ 1 2 σ2 V. σv 2 V t Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 29 / 41

Wzór Blacka-Cox a Theorem Załóżmy, że ν 2 + 2σ 2 r γ > 0. Wtedy na zbiore {τ > t} t.j. przed momentem default u cena obligacji jest dana wzorem Dt, T =LBt, T Nh 1 V t, T t Rt 2ã Nh 2 V t, T t + β 1 V t e κt t Nh 3 V t, T t Nh 4 V t, T t + β 1 V t e κt t R 2ã+2 t Nh 5 V t, T t Nh 6 V t, T t + β 2 V t R θ+ζ t Nh 7 V t, T t + R θ ζ t Nh 8 V t, T t gdzie ν = r κ 1 ν 2 σ2 V, ν = ν γ, ã = σv 2, R t = vt/v t, θ = ã + 1, ζ = σ 2 ν 2 + 2σ 2 r γ. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 30 / 41

h 1 V t, T t = lnv t/l + νt t σ, T t h 2 V t, T t = ln v 2 t lnv t L + νt t σ, T t h 3 V t, T t = lnl/v t ν + σ 2 T t σ, T t h 4 V t, T t = lnk /V t ν + σ 2 T t σ, T t h 5 V t, T t = ln v 2 t lnv t L + ν + σ 2 T t σ, T t h 6 V t, T t = ln v 2 t lnv t K + ν + σ 2 T t σ, T t h 7,8 V t, T t = ln vt/v t ± ζσ 2 T t σ. T t Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 31 / 41

Lemma Dla każdego a R i b > 0 mamy wzory prawdziwe dla y > 0, y 0 y 0 lnx + a xdn = e 1 lny + a b 2 b2 a 2 N, b b lnx + a xdn = e 1 lny + a + b 2 b2 +a 2 N. b b Niech a, b, c R spełniaja warunki b < 0 i c 2 > 2a. Wtedy dla każdego y > 0 mamy y 0 e ax dn gdzie d = c 2 2a i gy = e bc d N b cx x = d + c 2d gy + d c 2d hy, b dy b + dy, hy = e bc+d N. y y Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 32 / 41

Dowód. Mamy do policzenia D 1 t, T = LBt, T QV T L, τ T F t D 2 t, T = β 1 LBt, T E Q V T 1 {VT <L, τ T } F t D 3 t, T = K β 2 B t e γt E Q e γ r τ 1 {t< τ<t } F t. Wystarczy wtedy ograniczyć się do przypadku t = 0. Wyliczmy najpierw D 1 0, T. Z zadania wiemy że dla L vt = K mamy ln V 0 QV T L, τ T = N L + νt σ R0 2ã T N ln v 2 0 V 0 L + νt σ T co daje nam oczywiście D 1 0, T = LB0, T Nh 1 V 0, T R0 2ã Nh 2V 0, T Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 33 / 41

Dowodu cd. Do wyznaczenia D 2 0, T zauważmy że E Q V T 1 {VT <L, τ T } = E Q V T 1 {K VT <L, τ T } = Z przykładu mamy że dla x K zachodzi dqv T < x, τ T = dn ln x V 0 νt σ T L K R 2ã 0 dn xdqv T < x, τ T ln v 2 0 V 0 x + νt σ T Z Lematu otrzymujemy ze I 1 0 pierwsza całka ln L I 1 0 = V 0 e N r κt V 0 νt ln K σ V N 0 νt T σ T gdzie ν = r κ + σ 2 /2. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 34 / 41

Dowodu cd. Podobnie dla I 2 0 mamy korzystajac z lematu I 2 0 = V 0 R0 2 er κt N ln v 2 0 LV 0 + νt σ N ln v 2 0 KV 0 + νt T σ T Ponieważ D 2 0, T = β 1 B0, T I 1 0 + Rã0 I 20, to wstawiajac I 1 0 i I 2 0 otrzymujemy D 2 0, T = β 1 V 0 e κt Nh 3 V 0, T Nh 4 V 0, T +β 1 V 0 e κt R 2ã+2 0 Nh 5 V 0, T Nh 6 V 0, T. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 35 / 41

Dowód. Pozostaje do wyliczenia D 3 0, T, w tym celu wystarczy skupić się na wyznaczeniu gdzie T v0e Q e γ r τ 1 { τ<t } = v0 e γ rs dq τ s, 0 ln v0/v0 νs v0 2ã Q τ s = N σ ln v0/v0 + νs + N s σ, s oznaczmy T J 1 0 := v0 e γ rs dn 0 J 2 0 := v02ã+1 T V 0 ln v0/v0 νs σ s e γ rs ln v0/v0 + νs dn σ s V0 2ã 0 Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 36 / 41

Dowód. z lematu mamy J 1 0 J 1 0 = V 0ã + ζ R θ ζ 2ζ i podobnie dla J 2 0 J 2 0 = V 0ã + ζ R θ+ζ 2ζ 0 Nh 8 V 0, T V 0ã ζ 2ζ 0 Nh 7 V 0, T V 0ã ζ 2ζ R θ+ζ 0 Nh 7 V 0, T R θ ζ 0 Nh 8 V 0, T i w konsekwencji D 3 0, T = β 2 V 0 R θ+ζ 0 Nh 7 V 0, T + R θ ζ 0 Nh 8 V 0, T Sumujac otrzymane wzory na D 1 0, T, D 2 0, T i D 3 0, T otrzymujemy tezę. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 37 / 41

Wycena w modelu Black a Cox a poprzez równania czastkowe Ponieważ dynamika procesu wartości firmy jest dana jako proces dyfuzji to można wyprowadzić odpowiednie równanie czastkowe które charakteryzuje proces ceny obligacji. Jeżeli Dt, T = uv t, t to wtedy u spełnia następujace PDE u t v, t + r κvu v v, t + 1 2 σ2 V v 2 u vv v, t ruv, t = 0 w obszarze {v, t R + R + : 0 < t < T, v > Ke γt t } z warunkiem brzegowym i końcowym uke γt t, t = β 2 Ke γt t, uv, T = min {β 1 v, L}. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 38 / 41

Wady modelu Black-Cox a: odziedziczone po modelu Mertona Prosta stuktura kapitału, Zupełne rynki finansowe, Stałe stopy procentowe, Może być stosowany dla firm notowanych na giełdzie, Empirycznie nie wiarygodny. Empirycznie nie wiarygodny. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 39 / 41

Uogólnienia Modelu Black a-cox a - dyfuzja ze skokami Zhou rozważał przypadek dv t = V t r λνdt + σdw t + dx t gdzie W jest standardowym procesem Wienera, proces X jest złożonym procesem Poissona takim że N t X t = e Y i 1, i=1 gdzie N proces Poissona o intensywności λ, {Y i } ciag zmiennych iid o rozkładzie N a, b 2. Zhou podał aproksymację rozkładu momentu pierwszego dojścia do 0. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 40 / 41

Uogólnienia Modelu Black a-cox a - Stochastyczne stopy procentowe Zakładajac dynamiki aktywów firmy postaci dv t = V t r t + κtdt + σtdw t, dbt, T = Bt, T r t dt + bt, T dw t, gdzie W jest d-wymiarowym procesem Wienera, κ,σ,b, T sa ograniczonymi funkcjami można otrzymać wzory na cenę obligacji jak w modelu Black-Cox a: X = L, Z t = β 2 V t, X = β1 V T, τ := {t [0, T ] : V t < v t } gdzie β 1, β 2 [0, 1] sa stałe, natomiast odpowiednia bariera jest dana wzorem v t = { KBt, T e T t κudu, dla t < T, L, dla t = T. Niewęgłowski MiNI PW Modele wartości firmy Warszawa 2014 41 / 41