Kolokwium poprawkowe z Optymalizacji II (Ściśle tajne przed godz. 16 : stycznia 2016.)

Kolokwum z Optymalzacj II Ścśle tajne przed godz 4 : 00 8 grudna 05) Proszę uważne przeczytać treść zadań Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz Kolokwum poprawkowe z Optymalzacj II Ścśle tajne przed godz 6 : 00 5 styczna 06) Proszę uważne przeczytać treść zadań Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz Iloczynem tensorowym funkcj f: X R g: Y R jest funkcja h = f g: X Y R określona wzorem h,y) def = f)gy) Zbadaj, które z podanych nżej warunków są dostateczne, aby loczyn tensorowy dodatnch funkcj f g klasy C był funkcją pseudowypukłą: a) funkcje f g są pseudowypukłe, b) funkcje f g są pseudowypukłe, c) funkcje log a f log a g dla 0 < a ) są pseudowypukłe Znajdź globalne mnmum maksmum funkcj w zborze f,,y,y ) def = + + )y +y ) 3 W =,,y,y ): [, ] T, [y,y ] T, y 0} Iloczynem tensorowym funkcj f: X R g: Y R jest funkcja h = f g: X Y R określona wzorem h,y) def = f)gy) Zbadaj, które z podanych nżej warunków są dostateczne, aby loczyn tensorowy dodatnch funkcj f g klasy C był funkcją wypukłą: a) funkcje f g są wypukłe, b) funkcje f g są wypukłe, c) funkcje lnf lng są wypukłe Znajdź globalne mnmum maksmum funkcj w zborze f,y,z) def = ) +y ) +z 3 W =,y,z): +y z), 0 z }

Kolokwum z Optymalzacj II Ścśle tajne przed godz : 5 9 grudna 06) Proszę uważne przeczytać treść zadań Na ocenę bardzo duży wpływ będze mała czytelność rozwązań poprawność uzasadnena każdej odpowedz Nech W R n będze zborem wypukłym nech f 0,f będą różnczkowalnym rzeczywstym funkcjam wypukłym określonym w zborze W Nech g: W [0, ] R będze funkcją określoną wzorem g,y) = y)f 0 )+yf ) Wśród podanych nżej warunków znajdź warunk dostateczne, aby funkcja g była wypukła wskaż najsłabszy z nch: a) stneje punkt W, tak że Df 0 ) = Df ) = 0 T, b) stneją stałe c > 0, d R, take że f 0 ) = cf )+d dla każdego W, c) stneje stała d R, taka że f 0 ) = f )+d dla każdego W Znajdź globalne mnmum maksmum funkcj w zborze f,y,z) def = z)mn,y, y}+ +y)z W =,y,z): +y, 0 z }

Ćwczena z optymalzacj Wykaż, że symetryczna macerz A R n n jest dodatno określona wtedy tylko wtedy, gdy stneją kwadratowe macerze L U, odpowedno trójkątna dolna górna, które mają wszystke współczynnk dagonalne dodatne take że A = LU Wskazówka Dokonaj podzału blokowego [ ] [ ] [ A A = A L A T, L = 0, U = A, L L, U U 0 U, Pokaż, że A = L U że jeśl blok A jest neosoblwy, to można znaleźć take blok trójkątne L U np z jedynką na całej dagonal L ), a następne skorzystaj z twerdzena Cauchy ego z kryterum Sylvestra Zbadaj, czy macerz A = 0 3 0 3 3 0 3 0 jest dodatno określona 3 Nech A R m n, b R m, R n m n mogą być dowolne) f) = r) = b A Udowodnj, że funkcja f ma mnmalną wartość w punkce wtedy tylko wtedy, gdy A T r) = 0 R n Kedy mnmum jest ścsłe? Rozw Nech, R n oraz y = A, y = A Przypuśćmy, że wektor y jest obrazem wektora b w rzuce prostopadłym na podprzestrzeń V R m rozpętą przez kolumny macerzy A Zatem wektor r) jest prostopadły do wszystkch elementów tej podprzestrzen, w tym do wszystkch kolumn macerzy A, skąd wynka, że A T r) = 0 Jest r ) r) = b A b+a = y y V, a zatem r ) = r)+y y ) oraz y y ) T r) = 0 Z twerdzena Ptagorasa r ) = r) + y y, czyl f ) f) Wektor jest rozwązanem układu równań normalnych A T A = A T b, przy czym macerz A T A jest neosoblwa dodatno określona) wtedy tylko wtedy, gdy kolumny macerzy A są lnowo nezależne w tym przypadku mus być m n) Wtedy rozwązane jest jednoznaczne mnmum jest ścsłe ] 4 NPP) Znajdź mnmum funkcj Rozw f, ) = 5 + 4 +3 Df, ) = [0 4, 4 ], [ ] D 0 4 f = 4 Macerz D f jest dodatno określona, zatem funkcja f jest wypukła w R ma jedno mnmum Znajdujemy, ) tże Df, ) = 0: 0 4 =, 4 + = 0 Po wstawenu = do perweszego równana rozwązanu dostajemy =, = 5 NPP) Znajdź mnmum funkcj f) = 4 4 3 + + Rozw Oblczamy f ) = 3 3 + = 3+) = ) ) oraz f ) = 3 6+ Badamy mejsca zerowe f : = 0: f 0) = mnmum lokalne f0) = = : f ) = maksmum lokalne = : f ) = mnmum lokalne f) = 6 NPP) Dane są punkty y,,y m R n Znajdź punkt ^y R n, do którego suma kwadratów odległośc od punktów y jest najmnejsza Rozw Mnmalzujemy funkcję m m fy) = y y = y j y j) Dfy) = [ m ] y j y j D fy) = mi n n, j=,,n j= dodatno określona Rozwązanem równana Dfy) = 0 jest ^y j = m m y j, czyl ^y = m m y

3 4 7 Dane są punkty y,,y m R n Znajdź hperpłaszczyznę w R n, taką że suma kwadratów odległośc punktów y od tej hperpłaszczyzny jest najmnejsza Rozw Hperpłaszczyzna jest wyznaczona przez punkt p jednostkowy wektor normalny n; należą do nej punkty, take że n T p ) = 0 Nech punkty,, m będą rzutam prostopadłym punktów y,,y m na hperpłaszczyznę; wtedy wektory y mają kerunek wektora n, a loczyny skalarne n T y ) = n T y p) są z dokładnoścą do znaku równe odległoścom punktów y od hperpłaszczyzny Nech A R m n oznacza macerz, której każdy wersz jest równy n T Nech b R m będze wektorem, którego kolejne współrzędne b są loczynam skalarnym n T y, dla =,,m Dla ustalonego wektora n należy znaleźć mnmum funkcj m fp) = n T y p) ) = Ap b Z zadana 3 wemy, że punkt p mus spełnać układ równań normalnych A T Ap = A T b Jest A T A = mnn T oraz A T b = m nnt y = nn T m y Oczywstym rozwązanem układu równań normalnych którego macerz n n ma rząd ) jest punkt p = m m y Mając punkt p wyznaczamy wektor jednostkowy n Oznaczamy v = y p określamy funkcję m m m gn) = n T v ) = n T v v T n = n T v v )n T = n T Bn Macerz symetryczna B jest neujemne określona; pozostaje doweść, że funkcja g osąga mnmum w zborze wektorów jednostkowych, jeśl wektor n jest jej wektorem własnym przynależnym do najmnejszej wartośc własnej 8 NPP) Wyznacz gradent hesjan funkcj f: R n R: f) = T A+b T +c, z macerzą nesymetryczną A R n n, wektorem b R n stałą c Rozw Z defncj pochodnej f+εd) f) = +εd)t A+εd)+b T +εd) T A b T = εt Ad+ εdt A+εb T d+ ε d T Ad = T A T + ) T A+b T εd)+ ε d T Ad, stąd Df) = AT +A)+b Ze wzoru Taylora f+d) = f)+df) T d+ dt D f)d+o d ) Porównując to z ) f+d) = f)+ AT +A)+b d+ dt Ad, możemy wycągnąć błędny wnosek, że D f) = A Ale macerz D f) jest symetryczna; jedyna taka macerz, która spełna warunek d T Bd = d T Ad dla każedgo d R n to macerz B = AT +A) Zatem D f = AT +A) 9 NPP) Dana jest funkcja f) = T A+b T Zbadaj, czy jest ona wypukła albo wklęsła, jeśl macerz A jest równa [ ] [ ] [ ] [ ] 3 3 3 3,,, 0 0 NPP) Dana jest przestrzeń probablstyczna Ω,F,P), PΩ) =, zmenna losowa η L Ω,F,P;R n ) Znajdź punkt ^ R n, tak że E η ^ jest najmnejsza Rozw Określamy Zatem f) = E η = Eη ) T η ) = Eη T η η T T η) T = T Eη) T +E η f) = T A+b T +c, gdze A = I, b = Eη, c = E η Macerz A jest symetryczna dodatno określona Mamy Df) = I Eη, stąd Df) = 0, gdy = Eη To jest mnmum globalne

5 6 NPP) Znajdź mnmum funkcj f, ) = +3 na zborach W =, ): + = }, W =, ): + } Rozw Df = [,3], zatem ne może być mnmum we wnętrzu W, mus być na brzegu Berzemy =, określamy f) = +3, f ) = +3/, f ) = 0 jeśl 3 =, czyl 9 = 4 4, czyl 3 = 4 Zatem = ± 3 W punkce, ) = 3, 3 3 ) jest mnmum W punkce, ) = 3, 3 3 ) jest maksmum NPP) Dana jest funkcja Peano f, ) = ) ) = 4 3 + Udowodnj, że obcęce tej funkcj do dowolnej prostej przechodzącej przez 0,0) ma w tym punkce mnmum, ale funkcja f ne ma lokalnego mnmum w tym punkce, an ngdze w R Rozw Jest Df, ) = [4 3,43 6 ], czyl Df0,0) = 0 Jest to jedyne mejsce zerowe pochodnej w R Dla prostej = 0 mamy g) = f,0) = funkcja ta ma mnmum dla = 0 Dla prostej = a mamy g) = fa,) = a) a), jest g0) = 0, a jeśl < a, to g) > 0, jest zatem mnmum na każdej takej prostej Teraz podstawamy = 3 : mamy ) g) = f 3, = ) 3 4 ) 3 = 9 4, teraz dla = 0 jest maksmum, ne ma mnmum dla żadnego, czyl f ne ma mnmum w R 3 Znajdź przykład funkcj f: R 3 R, której obcęce do dowolnej prostej przechodzącej przez punkt 0,0,0) ma w tym punkce mnmum, ale funkcja f ne ma mnmum Odp f,y,z) = y +z )y +z ) Ale trzeba uzasadnć 4 Znajdź przykład funkcj f: R 3 R, której obcęce do dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez punkt 0,0,0) ma w tym punkce mnmum, ale funkcja f ne ma mnmum Odp f,y,z) = y ) +z 3 ) 4 6 Ale trzeba uzasadnć 5 EII) Nech W =,y,z) R 3 : +y +z =, y+yz+z+ = 0} Znajdź mnmum maksmum funkcj f, y, z) = + y 3z w zborze W Rozw Zbór W jest przecęcem dwóch kwadryk: sfery o promenu hperbolody obrotowej jeszcze ne wadomo, jakej) Jej równane przedstawamy w postac macerzowej: 0 [,y,z] 0 0 y z + = 0 Macerz A występująca w tym równanu ma wartość własną λ = przynależny do nej wektor własny v = [,,] T oraz dwukrotną wartość własną λ,3 =, której przestrzeń własna jest rozpęta przez wektory v = [,0, ] T v 3 = [,, ] T Wektory v,v,v 3 tworzą bazę ortogonalną przestrzen R 3, tworzymy z nch macerz ortogonalną zmany układu współrzędnych: [ Q = 3 v, v, v 3 ], 6 wprowadzamy nowe zmenne, u,v,w Jest [,y,z] T = Q[u,v,w] T, czyl [u,v,w] T = Q T [,y,z] T Równane sfery w nowych zmennych jest take samo: u +v +w =, natomast równane hperbolody ma postać na podstawe wartośc własnych) u v w = Jest to węc hperboloda jednopowłokowa Podstawając wyznaczone z równana sfery v +w = u do równana hperbolody, dostajemy u = /3, zatem punkty zboru W mają współrzędną u = ±/ 3 Teraz określamy przez zamanę zmennych) funkcję gu,v,w) = f,y,z) Czyl jest gu,v,w) = [,, 3]Q[u,v,w] T Dalej, [ ] 5 5 [,, 3]Q = 3,,, zatem gu,v,w) = u + 5v + 5w 6 3 6

7 8 Pozostaje znaleźć ekstrema funkcj welomanów perwszego stopna) g v,w) = g/ 3,v,w) g v,w) = g / 3,v,w) na okręgu v +w = 5/3 Gradent obu tych funkcj jest tak sam: Dg = [ ] 5 5, 6 Stąd maksmum jest dla u = 3, v = 5, w = 5, mnmum jest dla 3 u = 3, v = 5, w = 5 Za pomocą macerzy Q znajdujemy 3 odpowedne współrzędne, y, z punktów ekstremalnych Maksmum mnmum są odpowedno w punktach Q 3 5 5 3 = + 5 3 3 + 5 3 3 0 3 3 6 NPP) Rozważając problem yzt ma, +y+z+t = 4c,,y,z,t R +, udowodnj nerówność średnch Q 3 5 5 3 = 3 5 3 3 5 3 3 + 0 3 Rozw Przyjmujemy t = 4c y z określamy funkcję g,y,z) = 4cyz yz y z yz, której maksmum trzeba znaleźć Oblczamy Dg = [4cyz yz y yz,4cz z yz z,4cy y y yz] Jeśl pochodna jest zerowa, to 4cyz = yz+y z+yz 4cz = z+yz+z 4c = +y+z, 4c = +y+z, 4cy = y+y +yz 4c = +y+z Odejmując każdą parę z powyższych trzech równań dostajemy y = 0, y z = 0 z = 0, czyl Dg = 0 wtedy, gdy = y = z = c Hesjan funkcj g jest równy yz 4cz z yz z 4cy y y yz 4cz z yz z z 4cz y z 4cy y y yz 4cz y z y Dla = y = z = c hesjan jest równy c c c c c c = c c c c Na podstawe kryterum Sylvestra zobacz też zadane ) hesjan w punkce c,c,c) jest ujemne określony, zatem w tym punkce jest lokalne maksmum funkcj g Ale ne ma nnych punktów krytycznych funkcja g, jako weloman, jest ogranczona w czworoścane,y,z):,y,z 0,+y+z 4c} ma wartość 0 na jego brzegu, zatem to maksmum jest globalne Stąd wynka nerówność yzt) /4 +y+z+t 4 7 Udowodnj twerdzene o epgrafe: funkcja f: X R określona na zborze wypukłym X R n jest wypukła wtedy tylko wtedy, gdy jej epgraf jest zborem wypukłym Dowód Z defncj, epf =,z): X,z f)} R n+ Nech,y X, λ [0,] Dla dowolnych punktów,z),y,t) epf jest z f), t fy) mamy stąd oraz z wypukłośc f λz+ λ)t λf)+ λ)fy) f λ+ λ)y ), zatem λ,z)+ λ)y,t) = λ+ λ)y,λz+ λ)t ) epf Wynkane w drugą stronę: dla dowolnych punktów, y X oraz λ [0, ] jest,f) ), y,fy) ) epf jeśl epf jest wypukły, to λ,f) ) + λ) y,fy) ) epf Ale na podstawe defncj epgrafu to oznacza, że f λ+ λ)y ) λf)+ λ)fy) 8 NPP) Udowodnj, że jeśl zbory X,Y R n są wypukłe, to X Y jest wypukły 9 Suma Mnkowskego zborów X,Y R n jest to zbór X+Y = +y: X,y Y} Wykaż, że jeśl zbory X Y są wypukłe, to zbór X+Y jest też wypukły 0 Nech X,Y R n będą zwartym zboram wypukłym nech funkcje g: X R h: Y R będą wypukłe Wykaż, że funkcja f: X+Y R, fz) def = nf X,y Y,+y=z g)+hy) jest wypukła Czy jak założene o zwartośc można osłabć? Czy stneje zwązek mędzy epgrafam funkcj f, g h?

9 0 NPP) Zbór X jest wypukły, funkcje f, g: X R są wypukłe Udowodnj, że a) funkcja f+g jest wypukła, b) funkcja maf,g) jest wypukła, c) funkcja fg ne mus być wypukła Podaj warunek dostateczny, aby była wypukła Rozw a) Dla dowolnych,y X R n oraz λ [0,] jest λf+g))+ λ)f+g)y) = λf)+ λ)fy)+λg)+ λ)gy) f λ+ λ)y ) +g λ+ λ)y ) = f+g) λ+ λ)y ) b) Epgraf funkcj maf,g) jest przecęcem epgrafów funkcj f g; jako przecęce zborów wypukłych jest zborem wypukłym, przy czym jego rzutem na R n jest zbór X Wypukłość funkcj maf,g) jest natychmastowym wnoskem z twerdzena o epgrafe NPP) Nech f: R R będze funkcją wypukłą rosnącą, a g: W R, określona na zborze wypukłym W R n, będze wypukła Wykaż, że f g jest wypukła Rozw Dla dowolnych punktów, y W oraz lczby λ 0, ) jest g λ+ λ)y ) λg)+ λ)gy), f g λ+ λ)y )) f λg)+ λ)gy) ) bo f rosnąca bo f wypukła λf g) ) + λ)f gy) ) 3 NPP) Udowodnj, że jeśl funkcja f jest ścśle) wklęsła f > 0, to /f jest ścśle) wypukła Rozw Wystarczy zbadać, czy f +y)/ )? Z wklęsłośc f f)+fy) +y f f) + fy) ), czyl Sprawdzamy zatem, czy zachodz nerówność? f)+fy) f) + fy) = fy)+f) f)fy) ) *) f)+fy) f ) **) +y)/ Dzęk temu, że f),fy) > 0 to jest równoważne f)+fy) ) 4f)fy) f) fy) ) 0 Rzeczywśce, ostatna nerówność jest prawdzwa Nerównośc w *) **) można zamenć na ostre Uwaga Z tego, że funkcja f jest wypukła dodatna ne wynka wklęsłość funkcj /f Znajdź odpowedn kontrprzykład 4 NPP) Nech X R n będze zborem wypukłym nech funkcja f: X R będze wypukła Nech A X oznacza zbór punktów X, w których f osąga mnmalną wartość Założymy, że A a) wykaż, że zbór A jest wypukły, b) wykaż, że każde mnmum lokalne funkcj f w X jest mnmum globalnym Rozw a) Nech,y A oraz a = λ+ λ)y dla dowolnego λ 0,) Wtedy a X oraz fa) = f λ+ λ)y ) λf)+ λ)fy) = f) = fy) fa) Stąd mus być a A b) Nech będze mnmum lokalnym funkcj f Przypuśćmy, że stneje punkt X, tak że f) < f ), a węc ne jest mnmum globalnym Z wypukłośc f, dla każdego λ 0,) jest f λ + λ) ) λf )+ λ)f) Poneważ punkt jest mnmum lokalnym, stneje take r > 0, że dla każdego X: r jest f) f ), a zatem > r Weźmy λ = r/ ; jest λ 0,) mamy f λ + λ ) ) f ) = λ f )+ λ )f ) Z przypuszczena wynka sprzeczność > λ f )+ λ )f) 5 NPP) Nech f: W R, przy czym zbór W R n jest wypukły f C Nech D f) 0 dla każdego W oraz Df ) = 0 dla pewnego W Wykaż, że punkt jest mnmum globalnym Rozw Na podstawe wzoru Taylora f) = f )+ ) T D fy) ), gdze y jest pewnym punktem odcnka, a węc elementem zboru W Jest D fy) 0, a zatem f) f )

6 NPP) Znajdź przykład funkcj f C która ma D f 0 dla każdego X R n, ma mnmum lokalne w zborze X ne ma mnmum globalnego Wskazówka Zbór X ne może być wypukły 7 NPP) Udowodnj, że funkcja f, ) = 4 + + osąga mnmum globalne na zborze X =, ): } Rozw Zbór X jest neogranczony domknęty Funkcja f jest cągła bo to weloman) koercywna, bo f, ) = 4 + ) + 7 4, ) 8 NPP) Nech W R n oznacza zbór wypukły otwarty nech funkcje g, h: W R będą różnczkowalne Wykaż, że jeśl zachodz jeden z warunków: a) g wypukła neujemna, h wklęsła dodatna, b) g wypukła nedodatna, h wypukła dodatna, to funkcja f = g/h jest pseudowypukła Rozw a) Gradent lorazu jest opsany wzorem Df = Dg h) g)dh h) ) Funkcja f jest pseudowypukła Df ) 0 f) f) ) Na podstawe wzoru na gradent, Df ) 0 Dg )h) g)dh ), *) a poneważ h > 0, jest też f) f) g)h) g)h) **) Z stnena płaszczyzny podperającej mamy h)g) h) g)+dg ) ), g)h) g) h)+dh ) ) Czyl jeśl jest spełnona nerówność h) g)+dg ) ) g) h)+dh ) ), to zachodz **) Ale to wynka z *) b) prawe) tak samo, jak a) 9 Znajdź zbór punktów ekstremalnych zboru X =,y,z): y +z +), 0,, z 0} 30 Znajdź maksmum funkcj f,y,z) = ) +y+z w zborze X z poprzednego zadana 3 NPP) Zbór W R n jest otwarty wypukły, funkcje g,h: W R są różnczkowalne Wykaż, że jeśl funkcja g jest wypukła nedodatna, a h jest wklęsła dodatna, to funkcja f = gh jest pseudowypukła Rozw Z zadana 3 funkcja /h jest wypukła, jest też dodatna Reszta wynka z zadana 8 3 NPP) Nech S R funkcja f: S R będze pseudowypukła Wykaż, że jeśl f 0 ) = 0, to 0 jest mnmum funkcj f na S Rozw Z defncj pseudowypukłośc, S f 0 ) 0 ) 0 f) f 0 ) Poneważ f 0 ) = 0, punkt 0 ne może ne być mnmum 33 NPP) Czy zbór W =,, 3 ): 6 + + 3 + 3 } jest wypukły? Rozw g,, 3 ) = 6 + + 3 + 3, Dg = [6 5, + 3, 3 + ], 30 4 D 0 0 g = 0 0 Macerz D g jest neujemne określona, zatem funkcja g jest wypukła jej zbór pozomcowy W = : g) 0} jest wypukły 34 NPP) Zbór W R n jest nepusty, wypukły, domknęty ogranczony Funkcja f: W R jest wklęsła Nech A = : f) = mn y W fy)} Udowodnj, że do zboru A należą pewne punkty ekstremalne zboru W Rozw A, bo funkcja f jest cągła na zborze zwartym Nech = a z + +a k z k A, przy czym punkty z,z k są punktam ekstremalnym, a,,a k 0 oraz a + +a k = Poneważ funkcja f jest wklęsła, jest f) a fz )+ +a k fz k ), ale f) fz ) dla każdego z defncj zboru A Zatem, wszystke punkty z, take że a > 0 co najmnej jeden spośród z,,z k ) spełnają równość fz ) = f), a węc należą do A

3 4 35 NPP) Rozwąż zadane mnmalzacj z ogranczenam: log + ) + mn, X =, ): 0, 0, + 4, + } Rozw g) = log + ) +, [ ] Dg) = + ) ln +4sgn ), + ) ln sgn )+ +, [ ] D g) = + ) ln + ) ln + ) ln + ) ln Na podstawe kryterum Sylvestra D g < 0, zatem funkcja g jest wklęsła Badamy zbór X: Poneważ 0, nerówność + 4 można zastąpć przez + 4 dalej 4 4 Zbór X jest wypukłym pęcokątem o werzchołkach punktach ekstremalnych) 0,),,0),,0), 0,4), 4,4) Oblczamy wartośc funkcj g w tych punktach: g0,) =, g,0) = 7, g4,4) = 3, g,0) = 4, g0,4) = 4 Mnmum funkcj g jest w punkce 0,4) 36 NPP) Znajdź maksmum funkcj f,y) = sn+sny sn+y) w zborze X =,y): 0, y 0, +y π} Rozw Maksmum stneje, bo funkcja jest cągła na zborze zwartym X Df,y) = [cos cos+y),cosy cos+y)] Gradent f jest równy 0, jeśl cos = cosy, stąd = y lub y = π Jest cos+y) = coscosy snsny Dla = y: cos) = cos, jeśl z = cos, to mamy z z = 0, stąd z = wtedy = y = 0) lub z = / wtedy = y = π/3) Dla y = π : cos = cosy sn = sny Mamy dwa rozwązana: = 0,y = π oraz = π,y = 0 X Wewnątrz zboru X jest mejsce zerowe gradentu: = y = π/3 Funkcja f ma na całym brzegu zboru X wartość 0, bo f,0) = sn sn = 0, f0,y) = sny sny = 0, f,π ) = sn sn+snπ) = 0 W punkce π/3,π/3) jest fπ/3,π/3) = 3 3/ > 0 to jest wartość maksymalna 37 a) Udowodnj, że dowolna norma w R n jest funkcją wypukłą b) Nech M oznacza wypukły, domknęty ogranczony podzbór R n, którego wnętrze jest nepuste który spełna warunek M M Udowodnj, że funkcja neujemna f: R n R, określona wzorem mn dla 0, f) = t: t M t 0 dla = 0, jest normą 38 Nech weloman f) = T A+b T +c będze ścśle wypukłą funkcją w R n Udowodnj, że mnmum funkcj f w zborze rozwązań układu równań lnowych C = d, którego macerz ma nezależne lnowo wersze, jest blokem w jedynym rozwązanu układu równań lnowych AT +A)+C T λ = b, C = d Rozw I Jeśl C R k n, to mamy tu k regularnych funkcj g ) = c T d ), które opsują ogranczena równoścowe w zadanu mnmalzacj Perwszy podukład, tj AT +A)+C T λ = b wyraża równość Df + Dg λ = 0, przy czym współrzędne wektora λ R k są mnożnkam Lagrange a Rozw II Nech S = AT +A); macerz S jest symetryczna zachodz równość f) = T S+b T +c zobacz zad 8) Ścsła wypukłość funkcj f oznacza, że macerz S jest dodatno określona Nech spełna badany układ równań razem z pewnym wektorem λ R k W szczególnośc wektor jest rozwązanem układu C = d Każde nne rozwązane tego układu ma postać +z, gdze Cz = 0 Oblczmy f+z) = f)+ zt Sz+ T Sz+b T z

5 6 Ale jest T Sz = λ T Cz b T z = b T z, skąd wynka, że f+z) = f)+ zt Sz Poneważ macerz S jest dodatno określona, dla każdego z 0 jest f) < f+z) Trzeba jeszcze sprawdzć, że układ ma rozwązane Z perwszego podukładu mus być = S b+c T λ) S stneje), po wstawenu do drugego d = C = CS b CS C T λ, czyl CS C T λ = CS b d Poneważ wersze C są lnowo nezależne, macerz CS C T jest dodatno określona neosoblwa zatem λ oraz są określone jednoznaczne 39 NPP) Metalowa belka ma przekrój w kształce symetrycznego trapezu o ustalonym polu S Górna boczna powerzchna ma być pomalowana farbą antykorozyjną Ustal kształt przekroju tak, aby powerzchna do pomalowana była jak najmnejsza Rozw Dolny bok trapezu ma długość a, górny b, wysokość trapezu jest równa h Należy zmnmalzować funkcję b a b ) fa,b,h) = b+ +h h a w zborze mejsc zerowych funkcj ga,b,h) = a+b h S Nech = a+b, y = a b, oraz ^f,y,h) = y)/+ y +4h, ^g, y, h) = h/ S Wtedy mamy znaleźć mnmum funkcj ^f w zborze mejsc zerowych funkcj ^g Stosujemy mnożnk Lagrange a [ D^f =, + y 4h y +4h, ], y +4h D^g = [ h,0, ] Poneważ dopuszczamy tylko h > 0 > 0, D^g ne znka Rozwązujemy równane D^f+λD^g = 0, czyl układ równań +λh = 0, + y y +4h = 0, 4h y +4h +λ = 0 Z perwszego h = /λ, z drugego y = h +y /4, czyl y = 4h /3 = 4/3λ ), z trzecego = 8h λ y +4h = 8 3 = λ 4 + 4 λ 3λ λ Z ogranczena ^g = 0 dostajemy 3/λ ) = S, czyl λ = 4 3/ S bo λ < 0) Mus być y 0, stąd otrzymujemy = 4 3 S, y = 3 4 3 S, h = S 4 3 Czy to jest mnmum globalne? To jest możlwe Dla h ց 0 jest ր ^f ր, podobne dla ց 0 jest h ր ^f ր, czyl na brzegu ne ma mnmum Należałoby sprawdzć warunek II-go rzędu D ^f 0) 40 NPP) Rozwąż zadane mnmalzacj + + 3 + 4 mn, 3 4 = c 4,,, 3, 4 0 dla c > 0 Rozw f,, 3, 4 ) = + + 3 + 4, g,, 3, 4 ) = 3 4 c 4 Df = [,,,], Dg = [ 3 4, 3 4, 4, 3 ] Jest Dg 0, bo są neujemne ch loczyn jest dodatn Równane Df+λDg = 0 po rozpsanu daje 3 4 = 3 4 =, 3 4 = 4 = 3, 3 4 = 3 = 4, skąd = = 3 = 4 = c Z równośc +λ 3 4 = 0 wynka λ = /c 3

7 8 Określamy L, λ) = f) + λg) Jest 0 3 4 4 3 D L,λ) = λ 3 4 0 4 3 4 4 0, 3 3 0 0 D c,c,c,c),/c )L,λ) = c 0 3 c 3 0 = c 0 0 0 0 0 Berzemy wektor d = [d,d,d 3,d 4 ] T 0, tak że Dg c,c,c,c),/c )d = 0; 3 poneważ Dg c,c,c,c),/c 3 ) = c 3 [,,,], mus być d +d +d 3 +d 4 = 0 Oblczamy d +d 3 +d 4 d T Hd = d +d 3 +d 4 c dt d +d +d 4 d +d +d 3 = c dt d d d 3 d 4 =: H = d +d +d 3 +dd 4 c Zatem, d T Hd > 0, co oznacza, że w punkce = = 3 = 4 = c jest mnmum 4 Rozwąż zadane 5 metodą mnożnków Lagrange a Rozw Mamy f,y,z) = +y 3z, g,y,z) = +y +z, g,y,z) = y+yz+z+ Określamy g,y,z) = g,y,z)+g,y,z) = +y+z), g,y,z) = g,y,z) g,y,z) = y) +y z) +z ) 5 Oblczamy Df = [,, 3], D g = +y+z)[,,], D g = [ y z,y z,z y] Trzeba rozwązać układ równań Df+λ D g +λ D g = 0, g = 0, g = 0, czyl 3 +λ +y+z) +λ +y+z) =, y) +y z) +z ) = 5 y z y z = z y Z równana g = 0 wynka +y+z = ± Rozpatruję przypadek +y+z = + Wtedy 3 0 +λ +λ 3y = 0, 3 3z 0 skąd wynka, że λ y) = 0, 3λ y z) = 0 Mus być λ 0, a zatem = y z Podstawając to do równań g = g = 0, dostajemy y+z =, y z) = 5, co po rozwązanu daje = y = ± 5 3 3, z = y = 0 3 3 Teraz przypadek +y+z = Z układu równań +λ 3 +λ po wyelmnowanu λ otrzymujemy λ y) = 0, +3λ y z) = 0 3+ 3y+ 3z+ = 0 0 0, 0 0, 0 Jak poprzedno, mus być λ 0 oraz = y z Po rozwązanu równań ogranczeń dostajemy = y = 5 3 3, z = y = ± 0 3 3 Jest f + 5 3 3, + 5 3 3, ) 0 3 3 = +5 0)/3 maksmum, f 5 3 3, 5 3 3, + ) 0 3 3 = 5 0)/3 f 5 3 3, 5 3 3, + ) 0 3 3 = +5 0)/3 mnmum, f + 5 3 3, + 5 3 3, ) 0 3 3 = 5 0)/3

9 0 4 EII) Nech H =,y,z) R 3 : +y z +4 = 0} Znajdź w zborze H punkt, którego odległość od,4,0) jest najmnejsza Rozw I Zbór H opsany równanem +y = z 4 jest hperbolodą dwupowłokową Dla z > mamy równane okręgu +y = r, gdze r = z 4 Możemy znaleźć najblższy punkt na każdym takm okręgu ma on współrzędne y = > 0 Podstawamy 5 = z 4, stąd z = 5 +4 Kwadrat odległośc od,4,0) jest równy Określamy d = ) +y 4) +z f) = d = ) +y 4) +z = 0 +4 Stąd f) = 0, f) = 0 = 6, y = oraz z = ± 0 0 Rozw II Metoda mnożnków Lagrange a: Określamy 9 5 f,y,z) = ) +y 4) +z, Df = [ 4,y 8,z], g,y,z) = +y z+4, Dg = [,y, z] znajdujemy mnmum funkcj f w zborze H mejsc zerowych funkcj g, rozwązując układ równań Df+λDg = 0, g,y,z) = 0 43 NPP) Rozwąż zadane 3 3 mn, + + 3 = 3 Rozw Mamy tu funkcje f,, 3 ) = 3 3, g,, 3 ) = + + 3 3 Jest Df = [ 3, 3, ], Dg = [,,] Ogranczene jest regularne Gradent funkcj Lagrange a ma być równy 0: D L,λ) = [ 3, 3, ]+λ[,,] = 0, stąd = = 3 =, λ = Hesjan funkcj Lagrange a 0 D L,λ) = 0 =: H 0 Nezerowy wektor d R 3 tak, że [,,]d = 0, jest kombnacją lnową wektorów d = [,0, ] T d = [0,, ] T Macerz B = [d,d ] umożlwa zapsane tego w postac d = Bz, gdze z R Wtedy [ ] d T Hd = z T B T HBz = z T Cz, gdze macerz C = jest dodatno określona Kończy to dowód, że znaleźlśmy mnmum 44 NPP) Dla wyznaczena pozycj statku zostały z brzegu wykonane pomary kątów: α = 0083, α = 004, α 3 = 007 Należy je skorygować tak, aby proste łączące odpowedne punkty na brzegu ze statkem przecnały sę w jednym punkce, a suma kwadratów poprawek była najmnejsza 500m 500m d α Rozw Określamy funkcję fα,α,α 3 ) = 3 α α ), mamy znaleźć jej mnmum Ze zgodnośc kątów jest tgα = d d, tgα = d 500 d, tgα 3 = d 000 d Stąd tgα tgα 3 = tgα tgα ) Borąc tgα α, dostajemy gα,α,α 3 ) = α α +α 3 = 0 Dalej, mamy Df = [α α,α α,α 3 α 3 ], Dg = [,,] Rozwązujemy równane 0 = Df+λDg = [α α )+λ,α α ) λ,α 3 α 3 )+λ] Warto cały układ zapsać w postac macerzowej: 0 0 α α 0 0 α 0 0 α 3 = α α 3 0 λ 0 α α 3

Po elmnacj α, α, α 3 z ostatnego równana dostajemy 6λ = α α + α 3, czyl λ = 6 α α + α 3 ) = 0003 dalej α = α λ = 008, α = α +λ = 003 α 3 = α 3 λ = 00 Funkcja f jest ścśle wypukła, mamy zatem mnmum Możemy dalej oblczyć d = 000m/α α 3 ) = 0000m, d = d α = 800m 45 NPP) Rozwąż zadane f, ) = + mn, g, ) = + 0 Rozw Jest Dg = [, ] ogranczene g jest regularne tj Dg 0 w zborze mejsc zerowych funkcj g) Rozwązujemy układ równań nerównośc Df+λDg = 0, λg = 0, λ 0 Jeśl λ = 0, to D L,λ) = Df 0, czyl ne ma rozwązań z λ = 0 Badamy zatem, czy jest rozwązane z λ > 0 Z równana D L,λ) = 0 jest +λ = 0 = /λ, +λ = 0 = /λ) Poneważ λ > 0, mus być g, ) = 0, czyl λ + 5 4λ =, λ =, dalej = / 5, = / 5 Warunek II-go rzędu jest spełnony, bo funkcja L,λ) jest ścśle wypukła jako funkcja zmennej 46 NPP) Rozwąż zadane f, ) = mn, g, ) = + 0, g, ) = + 0 Rozw Jeśl zbór : g ) 0,g ) 0} jest nepusty, to mnmum stneje, bo ten zbór jest zwarty funkcja f jest cągła Określamy L,λ) = f)+λ g )+λ g ) rozwązujemy układ D L = [0,]+λ [, ]+λ [, ] = 0, λ g = 0, λ g = 0, λ,λ 0 Jeśl λ = λ = 0, to brak rozwązań Jeśl λ = 0, λ > 0, to λ = 0, stąd = 0, +λ = 0, stąd = /λ ) Ogranczene g jest aktywne, czyl /λ ) ) =, stąd λ = / ), = Jest g 0, ) = + > 0, zatem to ogranczene jest nespełnone 3 Jeśl λ > 0, λ = 0, to wychodz sprzeczność, λ = 0 4 Jeśl λ,λ > 0, to jest λ λ = 0, λ λ + = 0, ale z ogranczeń + =, + = wynka = =, co prowadz do sprzecznośc, λ λ = 0, λ λ + = 0 Pozostają punkty neregularne g = 0, g < 0 brak, g < 0, g = 0 daje [, ] = 0, stąd = = 0, g ale wtedy g < 0, 0 3 g = g = 0, wtedy = = gradenty g 0 Dg = [, ] oraz Dg = [, ] są lnowo zależne Zbór punktów spełnających ogranczena jest jednoelementowy zobacz rysunek) 47 NPP) Wykaż, że dla zadana f) mn f: R n R), g ) 0, =,,m, 0, warunek I rzędu przyjmuje postać D L 0,λ) 0, T 0 D L 0,λ) = 0, λ g 0 ) = 0, =,,m, λ 0, =,,m, *)

3 4 gdze L,λ) = f)+ m λ g ) Rozw Standardowy warunek I rzędu: D ^L 0,λ,γ) = 0, λ g 0 ) = 0 =,,m, γ 0 ) j = 0, j =,,n, λ,γ j 0, =,,m, j =,,n, gdze ^L,λ,γ) = f)+ m λ g )+ γ j j ) Ma mejsce równość D ^L 0,λ,γ) = D L 0,λ) γ **) *): Z warunku D ^L = 0 γ 0 otrzymujemy D L 0 Mnożymy D ^L z lewej strony przez T 0 : j= 0 = T 0D ^L 0,λ,γ) = T 0D L 0,λ) T 0γ }} = 0 z założena *) **): Nech γ = D L 0,λ) Wtedy D ^L 0,λ,γ) = 0 Z D L 0,λ) 0 wynka γ 0 Czy γ j j = 0, tzn D L 0,λ) ) j 0) j = 0? To wynka z T 0 D L 0,λ) = 0 z warunków D L 0,λ) 0, 0 0 48 Dla jakch wartośc parametru α ponższy problem ma rozwązane? + +α ) mn, 0, 0 Rozw Postać ogranczeń umożlwa użyce sposobu z zadana 47 Określamy funkcję L,λ) = + +α ) +λ ) **) mamy rozwązać układ równań nerównośc L,λ) 0, +α )+λ 0, L,λ) = 0, λ = 0, czyl +α )+λ) = 0, L,λ) = 0, λ ) = 0, λ ) = 0, λ 0 λ 0 Przypadek λ = 0 jest sprzeczny z λ = 0 Badamy λ > 0; mus być λ = ogranczene = jest aktywne Z równana +α )+) = 0 jest = 0 lub = /α Jeśl α, to punkt podejrzany = = 0 dla α < jest /α < 0, zatem ne może być = /α) Funkcja f ma mnmum, f0,0) = α Jeśl α >, to punkty podejrzane = = 0 oraz = = /α Perwszy z nch ne spełna nerównośc L,λ) z λ = Stąd mnmum jest w drugm punkce, f /α, /α) = /α 49 Nech b R n, b 0 oraz p > Znajdź mnmum funkcj f) = b T w zborze : p } Rozw Jest p = n p) /p ; D p ) [ ] = p p p sgn,, n p sgn n Gradent jest różny od 0 dla każdego 0 Określamy L,λ) = b T +λ p ) Warunk K-T: D L,λ) = 0, b T +λd p ) = 0, λ p ) = 0, λ 0 Badamy λ = 0 jest sprzeczność, bo b 0 Dla λ > 0 jest p = Wtedy b +λ p p sgn = 0 sgn = sgnb Możemy zatem napsać b λ p p p = 0, a poneważ p =, = ) /p ) b λ

5 6 Dalej, skąd = p p = p = λ p/p ) b p/p, ) p )/p λ = b p/p ) = b q, gdze q = p czyl + = ) Jest jeden punkt spełnający warunk K-T p p q Z wypukłośc normy wynka, że mnmum jest globalne 50 Nech będze rozwązanem poprzednego zadana Udowodnj, że jest też rozwązanem problemu p mn, b T b T Rozw Określamy funkcję L,^λ) = p +^λb T ) zapsujemy warunk D L,^λ) = D p +^λb T = 0, ^λb T ) = 0, ^λ 0 Jeśl ^λ = 0, to = 0 z warunku D p = 0), ale wtedy ne jest spełnona nerówność b T b T bo b T < 0) Jeśl ^λ > 0, to b T ) = 0 Kula jednostkowa jest ścśle wypukła, zatem jedyny wektor z tej kul spełnający tę równość to Wtedy D L,^λ) = 0 dla ^λ = /λ, λ z poprzednego zadana Dostateczność warunku wynka ze ścsłej wypukłośc normy 5 Rozwąż problem ) + mn, k 0, z parametrem k > 0 Rozw Jest D g = [k, ] 0 dla każdego, Określamy L,λ) = ) + +λk ) Warunk K-T: )+kλ = 0, λ = 0, λk ) = 0, λ 0 Sprawdzamy λ = 0: =, = 0, k < 0 jest sprzeczność Sprawdzamy λ > 0: = kλ, λ = 0, stąd = 0 lub λ = Sprawdzamy λ = : = k, k k) =, stąd = ± k k), mus być k 0,] Sprawdzamy = 0: k = 0, stąd = 0, λ = /k D L,λ) = [ ) kλ, λ ], [ ] D 0 L,λ) = 0 λ) Dla = 0,0), k, λ = /k: jeśl k >, to λ <, D L > 0, jest rozwązane lokalne Dla k = jest λ =, D L = [ 0 0 0] Berzemy C = d: D g d = 0} = d: kd = d } W punkce 0,0) zbór C = d: kd = 0}, jest d T D Ld = 0 dla każdego d C, to ne daje rozstrzygnęca Dla = 0,0), k warunek koneczny II rzędu ne jest spełnony Dla = k,± k k)), k 0,), λ = jest D L = [ 0 0 0] Należy zbadać d T D Ld? > 0 dla d C Przypadek + k k): C = d 0: kd = k k)d }, sgnd = sgnd Jest d C d T D Ld = d > 0 Przypadek k k): sgnd sgnd, ale też jest d C d T D Ld = d > 0 Przypadek = 0,0), k =, λ = : = Mnmalzujemy ) + = +, to ma mnmum dla = 0 5 GP ) Zbadaj wypukłość zborów a),y,z):,y,z 0,+y+z = }, b),y,z): + y +z }, c),y,z): 3 y 3 z 3 8,,y,z [0,]}, d),y): 3 +y < 0, 0}

7 8 53 Wykaż, że jeśl funkcja f: A R określona na zborze wypukłym A R n jest wypukła, to dla każdego A subróżnczka f jest zborem nepustym, wypukłym domknętym, przy czym jeśl nta, to subróżnczka jest zborem ogranczonym Rozw Epgraf funkcj f jest zborem wypukłym, zatem dla A stneje hperpłaszczyzna w R n+ ) podperająca epgraf w punkce,f) ) Należą do nej punkty,y ) spełnające równane y f) = ξ ); funkcjonał lnowy ξ jest subgradentem funkcj f w punkce Zatem subróżnczka ne jest zborem pustym Weźmy ξ 0,ξ f oraz t 0,) Nech ξ t = t)ξ 0 +tξ Wtedy dla każdego A f ) f) = t) f ) f) ) +t f ) f) ) t)ξ 0 )+tξ ) = ξ t ), a zatem ξ t f, co kończy dowód wypukłośc Dla dowolnego cągu zbeżnego subgradentów w punkce, ξ ) N, granca tego cągu, ξ, jest subgradentem, co wynka z tego, że defnująca subgradent nerówność jest neostra Nech nta Ustalmy ε > 0, tak że kula o tym promenu środku w jest zawarta w A Przypuśćmy, że subróżnczka zawera neogranczony cąg subgradentów ξ ) N Możemy wskazać w tej kul cąg punktów ) N, tak że cąg ξ ) ) jest neogranczony z góry Wobec nerównośc N f ) f)+ξ ) cąg f ) ) jest też neogranczony z góry Wobec N dowolnośc wyboru ε funkcja f jest neogranczona w dowolne małym otoczenu, czyl jest necągła, a węc ne może też być wypukła 54 GP ) Znajdź subróżnczkę funkcj f: R R: a) f,y) = y, b) f,y) = + y, c) f,y) = y + +y, d) f,y) = ma,y,+y}, e) f,y) = 3y+, f) f,y) = y + 3+y 5 + 55 Nech f: W R R będze dodatną funkcją wypukłą w otwartym zborze wypukłym W nech g) = f ) a) Wykaż, że funkcja g jest wypukła, b) Wykaż, że g) = f) f) Rozw b) Nech ξ f) Wtedy dla d takego że +d W jest f+d) f)+ξ T d, f +d) f )+f)ξ T d+ξ T d) f )+f)ξ T d, czyl g+d) g)+f)ξ T d, zatem f) f g), a stąd f) f) g) Aby doweść zawerana w drugą stronę, użyjemy twerdzena opsującego zwązk pochodnych kerunkowych funkcj z ch subróżnczkam ustalamy punkt pomjamy go w notacj nżej): f d = ma ξ f ξt d, g d = ma η g ηt d Zatem, dla dowolnego wektora d stneją wektory ξ 0 f oraz η g, take że f d = ξt 0d, g d = ηt d Oznaczmy ξ = f) η ; przypuśćmy, że ξ / f, co wyraża sę w ten sposób, że dla pewnego wektora d jest f+d) < f+ξ T d Mamy przy tym, dla odpowedno dobranego wektora ξ 0 f, równośc f+d) = f)+ξ T 0d+r 0, f +d) = f )+f)ξ T 0d+r, g+d) = g+f)ξ T d+r, gdze r 0 = o d ), r = o d ), r = o d ) Odejmując stronam dwe ostatne równośc, dostajemy f)ξ ξ 0 ) T d = r r ) = o d ), ale jeśl wyrażene po lewej strone ne jest zerem, to jest rzędu d, czyl mamy sprzeczność 56 Nech funkcje f : A R określone na zborze wypukłym A będą wypukłe nech szereg f ) będze zbeżny w każdym punkce A Wykaż, że funkcja f będąca sumą tego szeregu jest wypukła oraz że dla każdego A f = cl ξ = ξ : ξ f }

9 30 57 Nech A = R n : } np n = ) nech ) N oznacza dowolny cąg punktów w A Nech f ) = Wykaż, że funkcja f = f jest określona w A jeśl cąg ) N jest gęsty w A, to funkcja f w żadnym punkce zboru A ne ma gradentu, ale ma w każdym punkce nepustą subróżnczkę Czy taka funkcja dla cągu ) N gęstego w A) ma pochodną kerunkową w jakmś punkce w jakmś kerunku? Wskaż mnmum każdej takej funkcj f Czy ono jest ścsłe? 58 GP) Sprawdź, czy punkty ze zboru P są rozwązanam zadana mnmalzacj funkcj f: R R: a) f,y) = ma 3y, +y, +y 36}, P = 4,3)}, b) f,y) = ma 4 y+, 8}, P =,9),0,),3,3)}, c) f,y) = ma +y,3+7y+0,3+3y+0}, P = 0,0),,),,5)} 59 GP) Znajdź globalne mnmum funkcj f: R R: a) f,y) = y+ + +y 4, b) f,y) = ma ), y }, c) f,y) = ma +y,+}, d) f,y) = mae,e y,y }, e) f,y) = ma +y +4, +4y+)} 60 GP) Znajdź mnmum globalne funkcj f na zborze A R : a) f,y) = ma,y}, A =,y): +y }, b) f,y) = y+, A =,y): + y }, c) f,y) = ma y,+y}, A =,y): ) +y 4,+) +y 4}, d) f,y) = +y +, A =,y): y) +y,+y) y } 6 NPP) Na rynku są dwa produkty, A B Agent ma początkowo po 0 jednostek tych produktów, jego funkcja użytecznośc to u A, B ) = ln A +3 ln B Nech p A p B będą cenam A B Agent chce meć take lośc produktów A B, które maksymalzują funkcję użytecznośc przy ogranczenu budżetowym p A A +p B B 0p A +0p B Rozw Funkcja u A, B ) = ln A 3 ln B jest wypukła, jej mnmalzacja to maksymalzacja funkcj u Funkcja Lagrange a L,λ) = ln A 3 ln B +λ p A A 0)+p B B 0) ) ma gradent D L = [ A +λp A, 3 B +λp B ] Rozwązujemy układ równań nerównośc D L = 0, λ p A A 0)+p B B 0) ) = 0, λ 0 Jeśl λ = 0, to A = 0, to jest wykluczone Jeśl λ > 0, to λ = A p A = 3 B p B 3 A p A = B p B Razem z równanem p A A 0)+p B B 0) = 0 daje to 3 p B B +p B B = 0p A +p B ), stąd B = 6p A +p B ) p B, A = 4p A +p B ) p A To jest mnmum, bo funkcja u jest wypukła 6! NPP) Przypuśćmy, że na rynku dzała drug agent, którego funkcja użytecznośc to ^u^ A,^ B ) = ln^ A + ln^ B Drug agent ma początkowo odpowedno 0 5 jednostek produktów Jeśl w gospodarce są tylko c dwaj agenc, to jak pownny sę kształtować ceny p A, p B, aby obaj osągnęl stan optymalny? Rozw Dla drugego agenta rozwązujemy podobne, otrzymując D ^L^,^λ) = [ ^ A +^λp A, ^ B +^λp B ] = 0, ^ A p A = ^ B p B, p A ^ A 0)+p B ^ B 5) = 0, p B^ B +p A^ A = 0p A +5p B, ^ B = 0p A +5p B p B, ^ A = 0p A +5p B p A

3 3 Zadowolene obydwu agentów oznacza, że jest równowaga popytu podaży przy optymalnych zasobach supply-demand equlbrum for optmal reserve): A +^ A = 0+0, B +^ B = 0+5, Stąd dalej 4p A +p B ) p A 8p A +3p B p A = 0, + 0p A +5p B p A = 0, 6p A +p B ) p B p A +7p B p B = 5 + 0p A +5p B p B = 5, Z obu równań wynka p A 3p B = 0, zatem p A = 3 p B Ne są ważne bezwzględne ceny które zależą od waluty), tylko ch proporcja 6 NPP) Zbory A R n C R m są wypukłe Funkcja f: A C R jest quas-wypukła Udowodnj, że funkcja h) = nf y C f,y) jest quas-wypukła Rozw Nech y ε oznacza dowolny punkt tak, że f,y ε ) ε h),, A, λ 0,), = λ + λ) Jest mah ),h )} maf,y ε ),f,y ε )} ε f λ + λ),λy ε + λ)λy ε Dla każdego y,y C jest h) f,λy + λ)y ), zatem ) ε f ) ) λ + λ),λy ε + λ)λy ε ε h λ + λ) ε Poneważ ε może być dowolny dodatn, wynka stąd teza 63 NPP) Zbór S R n jest wypukły, funkcja f: S R jest klasy C Wykaż, że funkcja f jest quas-wypukła wtedy tylko wtedy, gdy,y S fy) f) Df)y ) 0 Rozw : dla λ 0,) f +λy ) ) f) λ 0, bo f +λy ) ) = f λy+ λ) ) mafy),f)} = f) Zatem ) f +λy ) f) Df)y ) = lm 0 λց0 λ : Nech, S, λ 0,), = λ + λ) Załóżmy, że f ) maf ),f )} Stąd } Df ) ) 0, Df ) ) = 0 = Df ) ) Df ) ) 0, Czyl albo f ) maf ),f )}, albo Df ) ) = 0 = Df ) ) dla λ 0,) Załóżmy, że stneje λ 0,), taka że f ) > maf, )} =: α Nech gλ) = f +λ ) ) Wtedy g0) = f ), gλ ) = f ) Rozważmy podzbór odcnka, na którym gλ) α Ten podzbór zawera odcnek, ; poneważ gλ ) = f ) > α, a funkcja f jest klasy C, tak odcnek stneje Dla, jest Df ) ) = 0 = Df ) ), czyl Df), Z twerdzena o wartośc średnej f ) f ) = Dfz) ) dla pewnego z, Czyl wszędze tam, gdze gλ) α, jest gλ) = gλ ) > α, co przeczy cągłośc funkcj gλ) 64 NPP) Funkcja f: W R jest określona na zborze wypukłym W R n Udowodnj, że ) f jest quas-lnowa zbór W: f) = α} jest wypukły dla każdego α fw) ) W R, f jest quas-lnowa funkcja f jest monotonczna 3) f: R n R jest cągła, quas-lnowa f) = ga T ) dla pewnej funkcj g: R R cągłej monotoncznej oraz pewnego wektora a R n Rozw ) Nech A = W: f) = α},,y A Zatem f) = fy) = α, dla λ 0,) mamy α = mnf),fy)} f λ+ λ)y ) maf),fy)} = α, czyl f λ+ λ)y ) = α, zatem λ+ λ)y A ) Zbór wypukły W R jest przedzałem ogranczonym lub neogranczonym mnf),fy)} f λ+ λ)y ) maf),fy)}

33 34 Nech,, 3 W, < < 3 Wtedy stneje λ 0,), taka że = λ + λ) 3 Jeśl f ) = f 3 ) = α, to na podstawe punktu a) jest f ) = α Jeśl f ) < f 3 ), to z quas-lnowośc jest mnf ),f 3 )} = f ) f ) = f λ + λ) 3 ) maf ),f 3 )} = f 3 ), zatem f jest nemalejąca W tak sam sposób z f ) > f 3 ) wynka, że f jest nerosnąca oczywste 3) Nech funkcja g będze nemalejąca, a R n oraz f) = ga T ) Nech,y W, a T a T y Wtedy dla λ 0,) mnf),fy)} = f) = ga T ) f λ+ λ)y ) = g λa T + λ)a T y ) ga T y) = fy) = maf),fy)} Podobne rachunk są dla a T y lub dla funkcj g nerosnącej a) Nech A A będze wstępującą rodzną zborów wypukłych Wtedy n A n jest zborem wypukłym b) Nech B α = : f) < α} = n C α = : f) > α} = n : f) α /n}, : f) α+/n} Wypukłość zborów B α C α wynka odpowedno z quas-wypukłośc quas-wklęsłośc funkcj f Z twerdzena o oddzelanu stneje nezerowy wektor c R n, tak że Bα,y C α c T c T y c) Z cągłośc funkcj f zbór A α = : f) = α}, jeśl jest nepusty, to jest domknęty, wypukły neogranczony, poneważ zawera hperpłaszczyznę oddzelającą B α C α Jeśl węc zbory B α C α są nepuste, to ne mogą stneć dwa nezależne lnowo wektory, c c, będące wektoram normalnym hperpłaszczyzn oddzelających te zbory Gdyby stnały, to zbór A α = : f) = α} byłby newypukły Stąd wynka, że zbór A α, jeśl jest nepusty, to albo jest hperpłaszczyzną oddzelającą zbory B α C α, albo jest zborem wszystkch punktów mędzy dwema takm hperpłaszczyznam d) Wszystke hperpłaszczyzny zawarte we wszystkch zborach A α są równoległe, poneważ w przecwnym raze zbory te ne byłyby rozłączne Nech H oznacza równoległą do nch hperpłaszczyznę przechodzącą przez 0 Jeśl A α czyl A α ), to +H A α e) Nech a R n będze wektorem jednostkowym prostopadłym do H Wtedy R n t R ta+h, bo R n = H lna} Ponadto t = a T, bo = ta+h, gdze h a, zatem a T = ta T a+a T h = t f) Nech gt) = fta) Wtedy funkcja g jest quas-lnowa, a zatem monotonczna cągła Ponadto f) = f a T )a) = ga T ), poneważ należy do pewnego zboru A α, czyl jest postac ta+h, f) = fta) 65 NPP) a) Czy suma funkcj pseudowypukłych mus być pseudowypukła? b) Czy suma funkcj pseudowypukłej wypukłej mus być pseudowypukła? c) Czy jeśl f g: R R są pseudowypukłe f 0 ) = g 0 ) = 0 dla pewnego 0, to f+g mus być pseudowypukła? d) Czy suma funkcj quas-wypukłych mus być pseudowypukła? e) Czy suma funkcj quas-lnowej wypukłej mus być quas-wypukła? 66 Nech funkcja g: [a, b] R będze monotonczna nech c: [a,b] R będze regularną gładką parametryzacją krzywej bez punktów przegęć Nech A R oznacza zbór wypukły pokryty A rozłącznym półprostym stycznym do krzywej c c krzywa jest rozłączna z A) Wykaż, że funkcja f: A R, która przyjmuje we wszystkch punktach prostej stycznej do c w punkce ct) wartość gt), jest quas-lnowa Jak to można uogólnć? a) na R, b) na R n, n 67 NPP) Nech zbór X R n będze nepusty otwarty, f: X R, g : X R dla =,,m, h j : X R dla j =,,l Jest zadane mnmalzacj f) mn, g ) 0, =,,m, h j ) = 0, j =,,l, X Nech będze punktem, w którym są spełnone warunk K-T: Df)+ µ Dg )+ I) l λ j Dh j ) = 0, j= µ g ) = 0, =,,m, µ 0, =,,m

35 36 a) Udowodnj, że jeśl funkcja f jest pseudowypukła w, a funkcja Φ określona wzorem Φ) = m µ g )+ l λ j h j ) j= jest quas-wypukła w, to jest rozwązanem globalnym zadana b) Udowodnj, że jeśl L,µ,λ) jest pseudowypukła w, to jest rozwązanem globalnym c) Wykaż, że założena a) ne mplkują założeń b) odwrotne Rozw a) Nech X, quas-wypukłość funkcj Φ w oznacza D Φ) ) 0, stąd z warunku K-T wynka, że Df) ) 0 Zatem, z pseudowypukłośc Φ jest f) f), czyl w mnmum jest globalne b) Nech X Z pseudowypukłośc funkcj L Ale c) : D L,µ,λ) ) 0 L,µ,λ) L,µ,λ) = f) L,µ,λ) = f)+ mn, + 0, > 0 m µ g ) + }} 0 l λ j h j ) f) }} =0 Funkcja jest pseudowypukła, / jest quaswypukła, bo monotonczna L,µ) = +µ ), j= D L,µ) = +µ = 0 =,µ = µ = 0 daje sprzeczność) Funkcja L) = + /) ne jest pseudowypukła w =, bo DL) = 0, czyl dla każdego > 0 pownno być L) > La) =, tymczasem dla 0 jest L) : Z pseudowypukłośc L ne można wnoskować o składnkach sumy, czyl funkcjach f Φ 68 NPP) Sprawdź, dla jakch wartośc parametru a R ponższe ogranczena spełnają warunek Slatera: y 0, y a 0 Rozw Obe funkcje są pseudowypukłe jako sumy różnczkowalnych funkcj wypukłych Jeśl a = 0, to mamy nerównośc y < 0, y < 0, punkt /,/) spełna warunk Jeśl a 0, to ma być < y, y < +a Aby znaleźć wartość granczną dla a zamenamy nerównośc na równana doberamy a tak, aby zbór rozwązań był jednopunktowy Czyl = y, y = +a, stąd h) = 4 a = 0 chcemy, aby perwastek mał krotność wększą nż Zatem h ) = 4 3 = 0, stąd = 3 /4, zatem a = 4 = 3 /4/4 ) = 3 3 /4/4 Warunek Slatera jest spełnony z dowolnym punktem należącym do wnętrza zboru dopuszczalnego, jeśl to wnętrze jest nepuste, co ma mejsce dla a > 3 3 /4/4 Dla a < 3 3 /4/4 zbór dopuszczalny jest pusty Sytuacja granczna jest pokazana na rysunku 69 Zbór dopuszczalny W R jest opsany w tak sposób: W =,y): g,y) 0, =,,5}, g,y) = +y, g,y) = ) y, g 3,y) =, g 4,y) = y, g 5,y) = y Podzel zbór W na podzbory, których punkty jednakowo spełnają, albo ne spełnają, znane warunk dostateczne afncznośc, lnowej nezależnośc lub Slatera) tego, aby stożek kerunków stycznych do W był stożkem kerunków

37 38 zlnearyzowanych Dla warunku Slatera wskaż odpowedn punkt punkty) występujące w tym warunku Wskazówka Przedstaw zbór W na rysunku 70 Znajdź mnmum funkcj f,y) = +y 3y w zborze W z poprzednego zadana 7 GP) Funkcje f,g: 0, ) n R są określone wzoram f,, n ) = α ln + +α n ln n, g,, n ) = α αn n Badając wypukłość/wklęsłość funkcj f pokaż, że jeśl α,,α n 0, to funkcja g jest quas-wypukła, a jeśl α,,α n 0, to funkcja g jest quas-wklęsła zobacz zadane ) 7 NPP) Rozwąż metodą dualną zadane mn, +,, ) X =, ): } Rozw L,,µ) = +µ + ), L D µ) = nf, R L,,µ) = L P, ) = supl,,µ) = µ 0 dla µ = 0, µ dla µ > 0, dla + 0, dla + > 0 Szukamy takch, ) X µ R +, aby L P, ) = L D µ) Jest L P, L D, czyl to jest możlwe tylko wtedy, gdy L D µ) = = L D, ), stąd µ = 0, =, Z twerdzena 0 elementy zboru, ): =, } są rozwązanam globalnym Z twerdzena 0 ne ma nnych rozwązań, bo zadane jest wypukłe 73 NPP) Wykaż, że funkcja dualna jest wklęsła Rozw m ) L D µ) = nf L,µ) = nf f)+ µ g ) X X m } = nf a+ µ b : a = f),b = g ) a,b Funkcje a+ m b µ są afnczne, a zatem wklęsłe, węc nfmum jest też funkcją wklęsłą 74 NPP) Rozwąż metodą dualną zadane n mn, n =, 0 u, gdze 0 u u u n, n u Rozw X = R n : 0 u } L,λ) = +λ ), L D λ) = nf L,λ) = nf λ) +λ n ) X λ = u λ) u λ} +λ n λ Szukamy sup λ 0 L D λ) Poneważ funkcja L D λ) jest wklęsła, należy znaleźć punkt, w którym jej pochodna zmena znak, to będze maksmum Uwaga: funkcja L D jest różnczkowalna, natomast ma necągłą drugą pochodną L D λ) = u λ) u <λ} + nλ = λ u ) + + nλ Kedy L = n λ u ) + nλ = P? Dla λ = 0 lewa strona jest równa 0, prawa, zatem L > P Dla λ > u n jest L = nλ n u, P = nλ, L P, bo n u Gdześ po drodze pochodna zmena znak, czyl stneje punkt λ, w którym funkcja L D osąga maksmum Znajdujemy = arg mn X L,λ) Punkt,λ) jest punktem sodłowym funkcj L, czyl rozwązanem globalnym Punkt ma postać = u,,u k,λ,,λ }}) n k 75 NPP) Znajdź zadane dualne do c T mn, c R n, A = b, A R m n,b R m, R n, 0 Rozw L,µ,λ) = c T +λ T A b) µ T = c µ+a T λ) T λ T b

39 40 Stąd L D µ,λ) = nf R nl,µ,λ) = Zadane dualne: λ T b ma, c µ+a T λ = 0, λ 0 76 NPP) Znajdź zadane dualne do c T mn, A b Rozw λ T b, dla c µ+a T λ = 0, w przecwnym przypadku λ T b ma, c+a T λ 0, L,µ) = c T +µ T A b) = c+a T µ) T µ T b L D µ) = nf L,µ) = Zadane dualne: µ T b ma, c+a T µ = 0, µ 0 77 NPP) Znajdź zadane dualne do T mn, A = b Rozw L,λ) = T +λ T A b), µ T b dla c+a T µ = 0, w przecwnym przypadku L D λ) = nf L,λ) = L,λ) Funkcja L jest wypukła ze względu na, węc ma mnmum Znajdujemy je z warunku D L,λ) = 0 D L,λ) = +A T λ = AT λ L D λ) = 4 AT λ) T A T λ+λ T A ) AT λ λ T b = 4 λt AA T λ λ T b Zadane dualne: 4 λt AA T λ λ T b ma, λ R n 78 NPP) Znajdź zadane dualne do T H+d T mn, A b, gdze d R n, A R m n, b R m, H R n n jest macerzą symetryczną dodatno określoną, R n Rozw L,µ) = T H+d T +µ T A b) = T H+A T µ) T µ T b+d T, L D µ) = nf L,µ) = L,µ) Funkcja L,µ) jest wypukła ze względu na, węc ma mnmum: Stąd D L,µ) = H+A T µ+d) = 0 = H A T µ+d) L D µ) = AT µ+d) T H A T µ+d) µ T AH A T µ+d) d T H A T µ+d) µ T b = AT µ+d) T H A T µ+d) µ T b Zadane dualne: AT µ+d) T H A T µ+d) µ T b ma, µ 0 79 Znajdź zadane dualne do T H+e T mn, A b, C = d, w którym macerz H R n n jest symetryczna dodatno określona, suma zborów werszy macerzy A R m n C R k n jest lnowo nezależna, e R n, b R m, d R k Rozw Przyjmujemy X = R n określamy funkcję L,µ,λ) = T H+e T +µ T A b)+λ T C d), a na jej podstawe L D µ,λ) = nf R L,µ,λ)

4 4 Dzęk wypukłośc funkcj L możemy wyznaczyć : D L,µ,λ) = H+e+A T µ+c T λ = 0, skąd wynka = H e+a T µ+c T λ) Po podstawenu do funkcj L otrzymujemy L D µ,λ) = 4 e+at µ+c T λ) T H e+a T µ+c T λ) et H e+a T µ+c T λ) µt AH e+a T µ+c T λ) b ) λt CH e+a T µ+c T λ) d ) Po uporządkowanu możemy przedstawć funkcję L D w zapse macerzowym [ ][ ] L D µ,λ) = 4 [µt,λ T AH A T AH C T µ ] CH A T CH C T λ Zadane dualne: L D µ,λ) ma, µ 0, λ R k 80 Rozwąż zadane mnmalzacj mn, 0 r, [et H A T b T,e T H C T d T ] [ µ λ ] 4 et H e dla ustalonego wektora 0 R n oraz lczby r > 0 znajdź zadane dualne Rozw Dla dowolnego R n jest Jeśl zatem 0 r, to mamy rozwązane trywalne = 0 Przypuśćmy, że 0 > r Określamy funkcję L,µ) = +µ 0 r) Funkcja ta dla µ 0 jest wypukła ze względu na, a zatem ma mnmum, ale ne jest różnczkowalna Dla ustalonego wektora 0 = [ 0,, 0n ] T określmy zbory ndeksów Oczywśce, I J =,,n}, przy czym zbór I może, ale ne mus być pusty Zbór J ma co najmnej jeden element Jeśl I =, to weźmy = a[sgn 0,,sgn 0n ] T dla pewnego a > 0, wtedy jest = a Funkcja dualna ma postać ) L D µ) = a+µ asgn 0 0 ) r = a+µ a 0 ) r ) Należy znaleźć jej maksmum dla µ 0, ale ono stneje wtedy, gdy wyrażene w nawase jest nedodatne Pownno być równe 0 wtedy ogranczene jest aktywne, stąd mamy do rozwązana równane kwadratowe z newadomą a) ) na 0 a+ 0 r = 0, czyl na 0 a+ 0 r = 0 Przypadek I zostawam do samodzelnego zbadana wskazówka na rysunku obok) 8 Rozwąż wykonując odpowedne rachunk) zadana mnmalzacj jak w poprzednm zadanu, dla n = oraz a) 0 = [,05] T, r =, b) 0 = [,05] T, r = 8 NPP) Transformatą Fenchela-Legendre a funkcj f: X R nazywamy funkcję f : R n R + } daną wzorem f y) = sup y T f) ) X Znajdź f dla a) X = R, f) = Rozw f y) = sup sup b) X = R n, f) = y / ) = supy / y /+y /) = y y ) ) = y 0 0 I = : 0 0 r}, J = : 0 > 0 r}

43 44 Rozw f y) = sup sup c) X = R, f) = e y T T / ) = sup y T y y T y+y T T ) = y T y y ) T y ) ) = y Rozw f y) = sup y e ) Dla y > 0 szukamy maksmum funkcj g) = y e ); jest g ) = y e Z g ) = 0 dostajemy = lny, czyl supy e ) = ylny y dla y = 0 sup e ) = 0, dla y < 0 supy e ) = + dla ) Zatem, ylny y dla y > 0, f y) = 0 dla y = 0, + dla y < 0 d) X = R n, f) = p, p > Rozw f y) = supy T p ) = sup p λ 0 λy T p ) ) Wystarczy rozwązać zadane y T ma dla y 0 Weźmy p L,µ) = y T )+µ p ) Rozwązujemy układ równań D L = [ y +µ p)/p p p sgn ] = 0, Przyjęce µ = 0 daje sprzeczność z y 0, zatem µ > 0 Stąd sgny = sgn, y µ p p)/p p = 0, a dalej = y /p ) /µ /p ), bo p = Zatem y T y p/p ) = µ, /p ) p/p ) = p p = y µ = y µ p/p ) p/p ) Dla p + q = jest q = p p = + p Z µq = n y q wynka µ = y q Czyl y T = y q q µ = y q q = y q y q q q Ostateczne f y) = sup λ y q q ) ) = λ 0 83 NPP) Udowodnj, że problem dualny do f) mn, A b, b R m, A R m n, C = d, d R l, C R l n, X 0 dla y q, + dla y q > ma postać b T λ d T µ f A T λ C T µ) ma, λ 0, λ R m, µ R l Rozw L D = nf X f)+λt A b)+µ T C d), przy czym C = d C d 0 d C 0 przedstawene równośc jako konunkcj dwóch nerównośc jest potrzebne do poszukwana mnmum) Zatem, L D = nf f)+λ T A b)+µ T C d) ) = X b T λ d T µ+ nf f)+λ T A+µ T C ) = X b T λ d T µ sup X λ T A µ T C f) ) = b T λ d T µ f A T λ C T µ ) 84 NPP) Udowodnj, że funkcja F: R R + R dana wzorem F,,λ,λ ) = +e 4 +λ e )+λ 5 ) ma punkt sodłowy

45 46 Rozw Należy znaleźć rozwązane zadana f, ) = + 4 mn, g, ) = e 0, g, ) = 5 0 Funkcja F jest funkcją Lagrange a, L,,λ,λ ) = F,,λ,λ ) Rozwązujemy układ D L = [ 4 λ,e +λ e λ ] = 0 Kolejno badamy przypadk λ = λ = 0 =, e = 0, sprzeczność λ = 0, λ > 0 =, e = λ = 5 λ = e 0, ale e = e 5 > 0, sprzeczność z g, ) 0 3 λ > 0, λ = 0 e +λ e = 0, sprzeczność 4 λ > 0, λ > 0 5 = 0, e = 0, stąd = 5, = e 5, λ = 4 = e 5 4 > 0, λ = e +λ e = e 0 +e 5 4)e 5 > 0 Czy to jest mnmum? TAK, bo funkcja f, ) jest wypukła, g,g też są wypukłe, zatem punkt e 5,5,e 5 4,4e 5 e 5 )) jest sodłowy 85 NPP) Dany jest problem optymalzacyjny f, ) = mn,, + Rozwąż problem perwotny sformułuj rozwąż problem dualny Rozw Problem perwotny można rozwązać geometryczne: funkcja f ma mnmum w punkce,0), jest f,0) = 0 Problem dualny: nech X =, ): + } Określamy funkcję L,µ) = +µ ) oraz L D µ) = nf +µ ), µ 0, ) X Jest D L = [ u,] 0, zatem ekstremum jest na brzegu zboru X Z + = wynka = Mnmalzujemy funkcję g) = +µ ) ), rozwązując równane g ) = +µ = 0 Stąd = µ = µ = µ + µ = µ + = = µ µ µ + = µ µ + = µ + Stąd = ± +µ, = µ/ +µ, = +µ, bo to daje mnmum Wtedy L D µ) = +µ +µ = µ +µ < 0 ) µ = +µ +µ µ +µ +µ Jest lm µ L D µ) = 0 = sup µ 0 L D µ) Zatem ne stneje arg mal D µ) 86 NPP) Dany jest problem optymalzacyjny 3 + + 3 ma, + 3, + 4, 3 3,,, 3 0 Znajdź rozwąż zadane dualne dla X =,, 3 ): + 3,,, 3 0}, X =,, 3 ): + 4,,, 3 0} Rozw X : L,µ) = 3 3 +µ + 4)+µ 3 3) = µ 3)+ µ )+ 3 µ ) 4µ 3µ Jeśl µ <, µ dowolne, to L D µ) = nf X L,µ) = 3 +, = = 0) Jeśl µ oraz µ 3, to L D µ) = nf X L,µ) = 4µ 3µ = = 3 = 0)

47 48 Jeśl µ oraz µ < 3, to mnmum jest osągane w płaszczyźne + 3 =, tj 3 = + Mamy Wtedy L,µ) = µ 3)+ µ )+ + )µ ) 4µ 3µ = µ +µ 5)+ µ +µ 3) 4µ 5µ + µ +µ 5 < 0 L D µ) = = 0, 3 = ), µ +µ 3 < 0 L D µ) = = 0, 3 =, ) 3 > µ > /3, L D = 3µ 3µ 3: µ +µ = 5 µ = 5 /µ L D = 35 µ ) 3µ 3 = 5+6µ 3µ 3 = 3µ 8 Stąd L D 7/3) = 7 8 = µ 3, L D = 4µ 3µ : supl D = 3 = 5 Zatem supl D µ) = jest osągane w punkce µ = /3,7/3) To oznacza, że oba ogranczena są aktywne Muszą być spełnone równośc + = 4, 3 = 3 Oblczamy + = 5 µ L,µ) = 3 3 = 34 ) 3 3 = +6 3 = 4 5 + 3, 7 3 ) 3,) µ +µ 5 = 0 Ma być + 5, czyl [,] Mnmum L,µ) jest w punkce =, stąd =,,3) X : µ +µ 3 = 0 Jeśl µ +µ 5 0 µ +µ 3 0, to wartość mnmalna jest w płaszczyźne 3 = 0, tj + = L,µ) = µ +µ 5)+ )µ +µ 3) 4µ 5µ + = µ +µ 5)+ 4µ µ +6)+4µ +µ 6 4µ 5µ + = 3µ +) 3µ 4 Dla µ 3 jest 3µ + 0, L D µ) = 3µ 4 = 0) Dla µ > 3 jest 3µ + < 0, L D µ) = 3µ 3µ 3 =, = 0) L D µ) = 4µ 3µ dla = = 3 = 0 Dla µ /3 jest 3µ 4 < 4µ 3µ, L D µ) = 3µ 4 Dla /3 < µ < 3 jest 3µ 3µ 3 < 4µ 3µ, L d µ) = 3µ 3µ 3 Dla µ 3 jest L D µ) = 4µ 3µ Oblczamy sup µ L D µ) µ /3, L D = 3µ 4: µ +µ = 5 µ +µ = 3 µ = /3, µ = 7/3 supl D = 7 4 = µ L,µ) = 3 3 +µ + 3 )+µ 3 3) = = µ 3)+ µ )+ 3 µ +µ ) µ 3µ µ +µ < 0 µ µ >, L D 3 ) µ +µ 0 µ <, stąd µ < 3/ Mnmum jest osągane na prostej + = 4 = 4 4 )µ 3)+ µ 3µ ) = 8µ 4µ +6 + µ ) µ 3µ = 3µ +4)+6µ 3µ 4 3µ < 0 µ > 4/3 L D = 6µ +8+6µ 3µ = 3µ 4 dla =, = 0) 4 3µ 0 µ 4/3 µ 3 0, µ < 0 L D = 6µ 3µ dla = 0, = 4) 3/ < µ < = 0, =, µ 3 0, µ 0 L D = µ 4 µ 3µ = 3µ 4 µ = = 0, L D = µ 3µ µ,3) 4 3, 7 3 ) µ µ