Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale <, β > bez punktów wielokrotnych. Układ: x = x(t, y = y(t, t <, β > parametryzacja łuku. Punkty: A = (x(, y( i B = (x(β, y(β końce łuku. Łuk jest otwarty, jesli A B. Luk jest zamknięty (jest krzywą zamkniętą, krzywą Jordana, jeśli A = B. Łuk gładki łuk, dla którego pochodne x (t, y (t są ciągłe na <, β > oraz nie są w żadnym punkcie tego przedziału jednoczesnie równe zero. Łuk kawałkami gładki składa się z segmentów, które są łukami gładkimi. Łukowi można nadać kierunek od A do B (ozn. lub odwrotny ( BA. Łuk, któremu nadano kierunek, nazywamy łukiem skierowanym. Parametryzacja i kierunek łuku są zgodne, jeśli kierunek łuku jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t. W przeciwnym wypadku parametryzacja jest niezgodna z kierunkiem łuku. Uwaga 1. Jeżeli parametryzacja łuku x = x(t, y = y(t, t <, β > jest niezgodna z nadanym mu kierunkiem, to parametryzacja x = x( t, ỹ = y( t, t < β, > będzie z tym kierunkiem zgodna. Obszar w R 2 nazywamy obszarem jednospójnym, jeżeli należy do niego wnętrze każdej zawartej w nim krzywej Jordana. Warunek ten oznacza, że obszar jest bez dziur. Niech D obszar normalny względem obu osi, ograniczony krzywą Jordana. Jeśli kierunek krzywej jest określony tak,że poruszając się po, obszar D jest po lewej stronie, to krzywa jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza. W przeciwnym razie jest skierowana ujemnie względem swego wnętrza. 1
Całka krzywoliniowa skierowana w R 2 Niech łuk skierowany o parametryzacji x = x(t, y = y(t, t <, β > zgodnej z jego kierunkiem oraz [P (x, y; Q(x, y] para uporządkowana funkcji określonych na tym łuku. Niech n N ustalona liczba naturalna. Dzielimy przedział <, β > na n części punktami = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n 1 < t n = β. Odpowiadają im punkty na łuku: A 0, A 1,..., A n, gdzie A k = (x(t k, y(t k. W przedziałach < t k 1, t k > wybieramy punkty τ k dla kolejnych k. Tworzymy sumę S n = n (P ( x(τ k, y(τ k (x(t k x(t k 1 + Q ( x(τ k, y(τ k (y(t k y(t k 1 Def.1. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału <, β > istnieje ta sama granica właściwa lim n S n niezależna od sposobów podziału przedziału i wyboru punktów τ k, to wartość tej granicy nazywamy całką krzywoliniową skierowaną (zorientowaną pary funkcji [P (x, y; Q(x, y] po łuku i oznaczamy P (x, ydx + Q(x, ydy Przy oznaczeniach [P (x, y; Q(x, y] ozn = R(x, y oraz [dx, dy] ozn = dl: Uwaga 2. Własności całki 1. 2. 3. R(x, y dl = P (x, ydx + Q(x, ydy = BA k R(x, y dl = k ( R 1 (x, y + R 2 (x, y R(x, y dl, R(x, y dl, k R, dl = R 1 (x, y dl + R(x, y dl R 2 (x, y dl. 2
Uwaga 3. Jeżeli R(x, y jest wektorem siły o zmiennych współrzędnych wzdłuż łuku, to całka R(x, y dl przedstawia pracę siły R wzdłuż łuku. Jeżeli całkę krzywoliniową obliczamy po łuku zamkniętym, to zamiast symbolu używamy symbolu (zaznaczając ew. strzałką w kółeczku skierowanie krzywej. Tw.1. O zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną Jeżeli funkcje P (x, y i Q(x, y są ciągłe na łuku gładkim x = x(t, y = y(t, t <, β > zgodnej z kierunkiem tego łuku, to P (x, ydx + Q(x, ydy = β ( o parametryzacji P ( x(t, y(t x (t + Q ( x(t, y(t y (t Uwaga 4. Wartość całki krzywoliniowej skierowanej zależy (na ogół od kształtu drogi całkowania. dt. Uwaga 5. Jezeli krzywa = n i jest sumą łuków gładkich, to całką skierowaną pary funkcji [P (x, y; Q(x, y] po łuku określamy jako P (x, ydx + Q(x, ydy = n ( i P (x, ydx + Q(x, ydy. Uwaga 6. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną pozostaje prawdziwe dla krzywych zamkniętych. Tw.2. (Greena Jeżeli D jest obszarem normalnym względem obu osi, jest brzegiem tego obszaru, skierowanym dodatnio względem wnętrza, a funkcje P (x, y i Q(x, y są klasy C 1 w tym obszarze, to prawdziwy jest wzór P (x, ydx + Q(x, ydy = D ( Q x P dxdy. 3
Uwaga 7. Pole obszaru D ograniczonego zamkniętą kawałkami gładką krzywą wyraża się wzorem D = xdy = ydx Tw.3. Jeżeli funkcje P (x, y i Q(x, y są klasy C 1 na obszarze jednospójnym D, to następujące warunki są równoważne: 1. Q x = P 2. P (x, ydx + Q(x, ydy = 0 kawałkami gładkiej leżącej w obszarze D 3. wartość P (x, ydx + Q(x, ydy łączącej A z B zawartej w D dla każdej krzywej Jordana nie zależy od wyboru drogi całkowania 4. istnieje funkcja U(x, y (potencjał taka, że U x = P (x, y, U = Q(x, y. Dla A, B D zachodzi równość gdzie U(x, y jest dowolnym potencjałem. P (x, ydx + Q(x, ydy = U(B U(A, Uwaga 8. Potencjał można obliczyć z następującego wzoru: gdzie (x 0, y 0 D, C dowolna stała. x U(x, y = P (t, ydt + Q(x 0, tdt + C, x 0 y 0 y 4
Całka krzywoliniowa nieskierowana L łuk otwarty zwykły gładki o parametryzacji x = x(t, y = y(t, t <, β > i długości l = β [x (t] 2 + [y (t] 2 dt. Łukowi L nie nadaje się żadnego kierunku. Na łuku L określona jest funkcja f(x, y. Przedział <, β > dzielimy na n podprzedziałów punktami = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n 1 < t n = β. Odpowiadają im punkty na łuku: A 0, A 1,..., A n, gdzie A k = (x(t k, y(t k i odcinki A k 1 A k o długościach A k 1 A k = l k. W przedziałach < t k 1, t k > wybieramy punkty τ k i tworzymy sumę S n = n f((x(τ k, y(τ k l k. Def.2. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału <, β > istnieje ta sama granica właściwa lim n S n niezależna od sposobów podziału przedziału i wyboru punktów τ k, to wartość tej granicy nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji f(x, y po łuku L i oznaczamy L f(x, ydl Tw.4. O zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną Jeżeli funkcja f(x, y jest ciągła na otwartym łuku gładkim o parametryzacji x = x(t, y = y(t, t <, β >, to zachodzi równość f(x, ydl = β L f(x(t, y(t [x (t] 2 + [y (t] 2 dt. Uwaga 8. Twierdzenie powyższe pozostaje prawdziwe dla całek po krzywych zamkniętych. 5