Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH model GoGarch MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 1 / 14
Ogólna specykacja modelu MGARCH Ogólna posta dla N-wymiarowego procesu MGARCH {y t }: y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ), gdzie: µ t : warto± oczekiwana, która mo»e by staª lub dana np. modelem VAR Σ t : warunkowa macierz kowariancji, która zale»y od swoich przeszªych realizacji {Σ t p : q = 1, 2,..., Q} oraz od przeszªych realizacji skªadnika losowego {ϵ t p ϵ t p : p = 1, 2,..., P} MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 2 / 14
Klasykacja modeli MGARCH Modele MGARCH mo»na podzieli na trzy kategori, w zale»no±ci od specykacji równania dla wariancji (za Bauwens, Laurent i Rombouts, 2006 oraz Silvennoinen, A. and T. Terasvirta, 2009): 1. Bezpo±rednie uogólnienie jednowymiarowych modeli GARCH (VEC GARCH oraz BEKK) 2. Liniowe kombinacje jednorównaniowych modeli GARCH (GO-GARCH oraz FactorGARCH) 3. Nieliniowe kombinacje jednorównaniowych modeli GARCH (CCC-GARCH, DCC-GARCH) MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 3 / 14
Model VEC-GARCH Posta modelu VEC-GARCH(1,1) (Bollerslev, Engle i Wooldridge, 1988): y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) h t = ω + Ae t 1 + Bh t 1 h t = vech(σ t ) e t = vech(ϵ t ϵ t) gdzie operator vech(σ) oznacza wektor zªo»ony z N(N+1) 2 elementów macierzy Σ znajduj cych si na gªównej przek tnej oraz powy»ej tej przek tnej. MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 4 / 14
Model VEC-GARCH Wady modelu VEC: 1. Du»a liczba parametrów: macierze A i B s wymiarów N(N+1) N(N+1) 2 2 2. Skomplikowane restrykcje na ω, A i B gwarantuj ce, aby Σ t speªniaªa warunki macierzy kowariancji. W celu zmniejszenia liczby parametrów, Bollerslev, Engle i Wooldridge (1988) zaproponowali model DVEC-GARCH (diagonal VEC), w którym macierze A i B s diagonalne, a tym samym: h ij,t = ω ij + a ij ϵ i,t 1 ϵ j,t 1 + b ij h ij,t 1. W modelu DVEC-GARCH pozostaje problem (2). Dodatkowo, brak zale»no±ci mi dzy elementami macierzy H t. MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 5 / 14
Model BEKK-GARCH Posta restrykcji na parametry macierzy ω, A i B modelu VEC-GARCH, które gwarantuj póª-dodatni okre±lono± Σ t, zostaªa zaproponowana przez Engle'a i Kroner (1995) w modelu BEKK-GARCH(1,1) postaci: y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) Σ t = ΩΩ + Aϵ t 1 ϵ t 1 A + BΣ t 1 B, gdzie Ω jest macierz górno-trójk tn, za± A i B s macierzami kwadratowymi o wymiarach N N. MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 6 / 14
Model Factor-GARCH Dla wysokich warto±ci N mo»na stosowa modele, w których zakªada si,»e Σ t jest opisywana przez K N liczb wspólnych czynników. Tego typu modelem jest Factor GARCH(K,1,1) (por. Engle, Ng i Rothschild, 1990): y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) ϵ t = Λf t + η t, η t N(0, Ω) Ω = diag(ω 2 1, ω 2 2,..., ω 2 N) f t N(0, H t ) H t = diag(h 1t, h 2t,..., h Kt ) h kt = γ k + α k f 2 k,t 1 + β k h k,t 1 dla k = 1, 2,..., K Σ t = ΛH t Λ + Ω Macierz Λ o wymiarach N K oraz warto±ci dla f t metod gªównych skªadowych warto±ci mo»na wyznaczy np. MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 7 / 14
Model GO-GARCH Posta model GO-GARCH(1,1) (Generalized Orthogonal GARCH, Van der Weide, 2002): y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) ϵ t = Zx t, x t N(0, H t ) Σ t = ZH t Z H t = diag(h 1t, h 2t,..., h Nt ) h it = γ i + α i x 2 i,t 1 + β i h it 1 dla i = 1, 2,..., N Idea modelu: wielowymiarowa macierz kowariancji warunkowej o wymiarze N(N+1) 2 jest zªo»eniem N jednowymiarowych modeli GARCH MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 8 / 14
Model GO-GARCH Wa»ne pytanie: jak uzyska Z? Macierz bezwarunkowej wariancji Σ = Var(y t ) jest zapisywana jako: Σ = ZZ = (V Λ 1/2 U)(U Λ 1/2 V ), gdzie: V : macierz wektorów wªasnych Σ Λ: diagonalna macierz warto±ci wªasnych Σ U: ortonormalna macierz rotacji (tutaj jest gªówny problem) MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 9 / 14
GO-GARCH: Przyklad dla EUR/PLN oraz EUR/USD > library(gogarch) > z <- gogarch(y, ~garch(1, 1)); summary(z) Odwrotnosc macierzy Z (y = Zx): -0.84-0.62-0.55 0.79 Modele GARCH(1,1) dla y1 oraz y2 Est. StDev Prob Est. StDev Prob omega 0.015 0.010 1.257 0.053 0.028 0.0578 alpha1 0.117 0.026 1.248 0.103 0.034 0.0031 beta1 0.873 0.026 0.000 0.843 0.057 0.0000 MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 10 / 14
GO-GARCH: Przyklad dla EUR/PLN oraz EUR/USD Conditional variance for EUR_PLN Conditional variance for EUR_USD 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2002 2004 2006 2008 2010 2012 Conditional covariance Conditional correlation 3 2 1 0 1 0.5 0.0 0.5 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2002 2004 2006 2008 2010 2012 MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 11 / 14
Zadanie 1 Wgraj dane subindeksów sektorowych dla wska¹nika EURO STOXX za pomoc polece«: > library(gogarch) > data(bvdwstoxx) Wybierz trzy subindeksy i wykonaj nast puj ce polecenia: 1. Policz logarytmiczne stopy zwrotów. 2. Oszacuj model Go-GARCH za pomoc metody ICA (z wyrazem wolnym w równaniu poziomu dla nieobserwowalnych czynników). 3. Stwórz wykres warunkowych wariancji i warunkowych korelacji. 4. Oblicz prognoz stóp zwrotu (E T [µ T +1 ]) oraz wariancji (E T [Σ T +1 ]) na najbli»szy okres. 5. Oblicz 5% VaR na najbli»szy okres z modelu Go-GARCH dla portfela o wagach w = [1/3 1/3 1/3] 6. Porównaj wyniki z poprzedniego punktu z warto±ci VaR uzyskan na podstawie prognoz dla µ T +1 i Σ T +1 opartych o historyczne ±rednie. MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 12 / 14
Zadanie 2 Wgraj dane subindeksów sektorowych dla wska¹nika EURO STOXX za pomoc polece«: > library(gogarch) > data(bvdwstoxx) Wybierz trzy subindeksy i wykonaj nast puj ce polecenia: 1. Policz logarytmiczne stopy zwrotów. 2. Oszacuj model Factor-GARCH z 3 czynnikami K <- 3 PC <- princomp(x, cor = FALSE, scores = TRUE) f B <- PC$scores[,1:K] <- PC$loadings[,1:K] 3. Oszacuj model GARCH(1,1) dla ka»dego czynnika 4. Stwórz wykres warunkowych wariancji i warunkowych korelacji. 5. Oblicz prognoz stóp zwrotu (E T [µ T +1 ]) oraz wariancji (E T [Σ T +1 ]) na najbli»szy okres. 6. Oblicz 5% VaR na najbli»szy okres z modelu Factor-GARCH dla portfela o wagach w = [1/3 1/3 1/3] 7. Porównaj wyniki z poprzedniego punktu z warto±ci VaR uzyskan na podstawie modelu Go-Garch MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 13 / 14
Literatura: 1. Bauwens, L., Laurent, S. and Rombouts, J. (2006), Multivariate GARCH models: A survey, Journal of Applied Econometrics 21(1): 79-109 2. Bollerslev T, Engle R.F., Wooldridge J.M. (1988), A capital asset pricing model with time varying covariances, Journal of Political Economy 96: 116131. 3. Engle R., Kroner F.K., (1995), Multivariate simultaneous generalized ARCH, Econometric Theory 11: 122150. 4. Engle R., Ng V.K., Rothschild M. (1990). Asset pricing with a factor-arch covariance structure: empirical estimates for treasury bills. Journal of Econometrics 45: 213238. 5. Silvennoinen, A. and T. Terasvirta (2009), Multivariate GARCH models, chapter in Handbook of Financial Time Series: 201-229. 6. Van der Weide, R. (2002), GO-GARCH: A Multivariate Generalized Orthogonal GARCH Model, Journal of Applied Econometrics 17(5): 549-564. MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 14 / 14