Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1

Transkrypt

1 Modele i wnioskowanie statystyczne (MWS), sprawozdanie z laboratorium 1 Konrad Miziński, nr albumu maja 2015 Zadanie 1 Parametr λ wyestymowano jako średnia z próby: λ = X n = 3.73 Otrzymany w ten sposób rozkład Poissona wraz z rzeczywistym rozkładem ilości skrętów w prawo przedstawiono na rysunku 1. Rysunek 1: Zestawienie rzeczywistych oraz danych wyestymowanych ilości skrętów w prawo 1

2 Odchylenie standardowe estymatora λ oszacowano metoda bootstrapu parametrycznego jako odchylenie standardowe z próbki 1000 średnich policzonych na zbiorach wygenerowanych metoda losowania ze zwracaniem z oryginalnego zbioru danych. Liczność każdego z tych zbiorów równa była liczności zbioru oryginalnego. Otrzymano wartość: 0, Następnie obliczono wartość odchylenia T dla oryginalnego zbioru skrętów w prawo: T base = (v i np i ) 2 = np i i=0 Stosujac metodę bootstrapu parametrycznego obliczono analogiczna wartość odchylenia T dla zbiorów danych wygenerowanych z wykorzystaniem rozkładu Poissona z parametrem λ = λ. Liczność wygenerowanych zbiorów była równo liczności zbioru oryginalnego. Prawdopodobieństwo, że odchylenie T zaobserwowanych liczb skrętów w prawo od liczb spodziewanych jest co najmniej takie jak dla danej w zadaniu próby losowej, oszacowano wg wzoru: P = t T : t T base = T gdzie T oznacza oznacza wygenerowany wektor wartości odchylenia standardowego. 2

3 Zadanie 2 Histogram odstępów między fotonami przedstawiono na rysunku 2. Rysunek 2: Histogram odstępów między kolejnymi fotonami Porównujac powyższy rysunek z rodzina rozkładów gammna można stwierdzić, że rozkład Gamma byłby bardzo dobrym modelem dla zarejestrowanych danych. Parametry α i β wyznaczono najpierw metoda momentów: m 1 = X n = m 2 = X 2 n = m 2 1 α = m 2 m 2 1 = β = m 2 m 2 1 m 1 =

4 oraz metoda największej wiarygodności, gdzie parametr α był rozwiazaniem równania: i wynosił: Zaś β : lnx n lnx n = Γ (α) Γ(α) ln(α) α = β = X n α = Uzyskane w ten sposób rozkłady gamma oraz wygenerowany wcześniej histogram odstępów między fotonami przedstawiono na rysunku 3. Rysunek 3: Histogram odstępów między kolejnymi fotonami oraz wyniki ich estymacji rozkładem gamma Na podstawie powyższego wykresu można stwierdzić, że modelowanie zbioru odstępów między kolejnymi fotonami za pomoca rozkładu gamma daje bardzo dobre rezultaty. Oba uzyskane modele sa do siebie bardzo podobne i dość dobrze odwzorowuja modelowany zbiór. 4

5 Odchylenie standardowe otrzymanych estymatorów wyznaczono metoda bootstrapu parametrycznego. Posłużyło do tego 1000 zestawów próbek wygenerowanych na podstawie rozkładu gamma z wyestymowanymi parametrami. Liczność każdej próbki była równa liczności oryginalnego zbioru. Na podstawie wygenerowanych próbek wyznaczono również przedziały ufności (na poziomie uności 95%) dla poszczególnych parametrów. Dokonano tego przez odrzucenie z posortowanych wektorów wygenerowanych estymatorów po 2,5% wartości skrajnych z każdej strony. Wyniki przedstawiono w tablicy 1: Parametr Odchylenie standardowe Przedział ufności Długość p. u. α (m.m.) [ , ] β (m.m.) [ , ] α (n.w.) [ , ] β (n.w.) [ , ] Tablica 1: Odchylenie standardowe i przedziały ufności estymatorów parametrów rozkładu gammma 5

6 Zadanie 3 Wartość średnia i wariancję wyestymowano wg wzorów: µ = X n = S 2 = 1 n (X i X n ) 2 = n 1 i=0 Przedziały ufności dla µ wyznaczono wg wzorów: zaś dla S 2 : przy czym przyjęto, że a = b = 1 γ 2. Wyniki przedstawiono w tablicach 2 i 3. [X n S F 1 n t n 1 ( 1 + γ ), X n + S F 1 2 n t n 1 ( 1 + γ )] 2 (n 1)S 2 (n 1)S2 [ F 1, (1 b) F 1 (a) ] χ 2 χ n 1 2 n 1 Poziom ufności Przedział ufności Długość przedziału ufności 90% [ , ] % [ , ] % [ , ] Tablica 2: Przedziały ufności dla µ Poziom ufności Przedział ufności Długość przedziału ufności 90% [ , ] % [ , ] % [ , ] Tablica 3: Przedziały ufności dla S 2 6