Modele wyceny ryzykownych aktywów CAPM

Transkrypt

1 Modele wyceny ryzykownych aktywów CAPM opracował: Grzegorz Szafrański (UŁ) 1

2 Literatura: Przygotowano na podstawie: K. Cuthbertson, D. Nitzsche, Quantitative Financial Economics, J. Wiley & Sons, 004. J. Campbell, A. Lo i A.C. MacKinley, The econometrics of financial markets, Princeton University Press, Fama, E.F. i French, K. R., The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence (August 003). CRSP Working Paper No. 550; Alexander C., Market models, J. Wiley & Sons, 001 Ważne artykuły: Markowitz, H.M. (1959). Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. New York: John Wiley & Sons. Sharpe, W. F. (1964). Capital Asset Prices - A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk. Journal of Finance, XIX (3): Lintner, J. (1965). The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets. Review of Economics and Statistics. 47:1,

3 Model Markovitza założenia Markowitz (1959), parametry rozkładu: - oczekiwana stopa zwrotu E(R) - wariancja stóp zwrotu D (R) / odchylenie standardowe D(R) Portfele efektywne są wynikiem optymalizacji: max E(R) pod warunkiem D (R) σ 0 lub min D (R) pod warunkiem E(R) R 0 lub przy ustalonej awersji do ryzyka λ > 0 max E(R) - λd (R) Przedmiotem optymalizacji są udziały aktywów w portfelu (wagi wartościowe w) przy warunku i w i = 1,w i 0. 3

4 Model Markovitza portfel -składnikowy Portfel efektywny (mean-variance portfolio): R p = w 1 R 1 + w R E(R p ) = w 1 E(R 1 ) + w E(R ) σ p = E[w 1 (R 1 E(R 1 ) + w (R E(R )] = = w 1 σ 1 + w σ + w 1 w (ρ 1 σ 1 σ ) gdzie ρ 1 = σ 1 / σ 1 σ jest współczynnikiem korelacji stóp zwrotu Przyjmując w =1-w 1 liczymy warunek minimalizacji wariancji Otrzymujemy wagi portfela o minimalnym ryzyku: w 1 o = (σ σ 1 )/(σ 1 + σ σ 1 ) 4

5 Analiza ryzyko - dochód E(R) D(R) 5

6 Model Markovitza portfel wieloskładnikowy Analiza portfela: R p = Σ w i R i E(R p ) = Σ w i E(R i ) σ p = Σ w i σ i + Σ i Σi j w i w j ρ ij σ i σ j Dla nieskończenie wielu (niezależnych liniowo, ρ ij 1) aktywów o stałej wariancji (var) ryzyko specyficzne portfela jest do pewnego stopnia dywersyfikowane: σ p = 1 n var n cov, lim n 1 n var = 0 6

7 Dodatkowe założenia 1. Pożyczanie i inwestowanie po stopie Rf wolnej od ryzyka alternatywnie Możliwość finansowania inwestycji za pomocą krótkiej sprzedaży (wersja Blacka).. Homogeniczne oczekiwania (general agreement) co do średniej, wariancji i kowariancji stóp zwrotu 3. Rynek jest zawsze w równowadze (market clearing prices). 7

8 Granica portfeli efektywnych i linia rynku kapitałowego (Minimum Variance Frontier + Capital Market Line) E R N Rf = E R T Rf σ N σ T D(R) 8

9 Rynkowa wycena ryzyka (premia za ryzyko) Nachylenie linii rynku kapitałowego = = Nachylenie krzywej preferencji E(RN) = R f + [(ERM R f )/σ M] σ N Ze stałości relacji stopy zwrotu i ryzyka dla portfela złożonego z portfela rynkowego i dowolnego aktywa ryzykownego wynika: E(R i ) = R f + (ERM R f )β im równanie Sharpe a-lintnera β im σ im /σ M współczynnik beta 9

10 CAPM testowanie Regresja Jensena (time series regression): R it R ft = α i + (R Mt R ft )β im + ε it, Test łączny (dane panelowe, kowariancje ε it możliwe) lub równanie po równaniu (MNK) H 0 : α i = 0 Regresja przekrojowa (drugi etap, second pass): R i = λ 0 + λ 1 β im β im szacowane w regresji Jensena Testowanie dotyczy zbioru hipotez: H 0 : λ 0 = R f, λ 1 = R m R f 10

11 CAPM testowanie Problemy: - mało zróżnicowane średnie stopy zwrotu, - bety mierzone z błędem, choć nieobciążone, - obciążenie w dół współczynnika λ 1, linia papierów wartościowych jest zbyt płaska - czy portfel rynkowy jest efektywny - krytyka Rolla (1977) 11

12 CAPM rozszerzenia Testowanie CAPM: - dodaj inne zmienne objaśniające do modelu przekrojowego: kwadraty bet, odchyl. stand., (powinny być nieistotne) - procedura rolowanych regresji przekrojowych Fama, MacBeth (1973): Rozwiązania problemów z CAPM: - sorting procedure: pogrupuj inwestycje w podobne portfele (decylowe) wg średnich stóp zwrotu, bet, - wprowadź nowe czynniki (określ decylowe stopy zwrotu jako różnice): kryteria grupowania i sortowania: a) cena/wartość księgowa (High Minus Low) = book-to-market factor, b) duże/małe spółki (Small Minus Big) = size factor. 1

13 Dodatkowe slajdy rozszerzenia metody testowania zastosowania przykłady analiz 13

14 CAPM Fama, MacBeth (1973) Wielokrokowa procedura: 1. Oszacuj bety w modelu rynkowym (5 lat - mies. obserwacje). Dla następnego roku stwórz 100 portfeli (10x10) uporządkowanych wg kapitalizacji i współczynników beta 3. Policz średniomiesięczną stopę zwrotu każdego portfela w następnym roku porównaj ją z rynkową stopą zwrotu 4. Powtórz 1-3 dla następnych lat, żeby policzyć bety dla portfeli 5. Wykorzystaj je w estymacji regresji przekrojowych dla każdego miesiąca (uwaga tym razem oddzielnie dla wszystkich aktywów nie dla portfeli) 6. Policz średnie oceny parametrów z regresji przekrojowych i ich wariancje 14

15 Porównywanie wyników inwestycji Współczynnik Sharpe a (ex ante) SR i = (ER i - R f )/σ i Współczynnik Treynora (1965): TR i = (ER i - R f )/β i Alfa Jensena (1968) R it+1 R ft = α i + β i (R Mt+1 R ft ) + u it+1 Krytyka Rolla (1997) market proxy R i = R f + β i (R M R ft ) 15

16 Model indeksowy (jednoczynnikowy, rynkowy) Niektórzy autorzy odróżniają go wyraźnie od modelu CAPM (Cuthbertson) R it = δ i0 + δ i1 F t + ε it, i=1,,n cov(ε it, ε ij ) = 0 dla i j, cov(f t, ε it ) = 0 Stąd σ i = δ i1 σ F + σ εi σ ij = δ i1 δ j1 σ F Jeśli F t = R mt to model nazywany jest rynkowym. Jeśli F t = R mt R ft, a zmienną objaśnianą jest (R it - R ft ) to model taki nazywamy jednoczynnikowym. 16

17 Model wieloczynnikowy, arbitrażowy (APT) Wiele czynników ryzyka: R it = a i + Σ j b ij F jt + ε it, i = 1,,n R it = E t-1 R it + Σ j b ij (F jt E t-1 F jt ) + ε it, cov(ε it, ε ij ) = 0 dla i j, cov(f jt E t-1 F jt, ε it ) = 0 Zdywersyfikowany portfel arbitrażowy R pt = Σ i x i R it (bez ryzyka i bez kosztów) Σ i x i b ij = 0, Σ i x i = 0, R pt = Σ i x i E t-1 R it = E t-1 R pt = const Portfele arbitrażowe ER i = ER z + Σ j b ij E(R j R z ) 17

18 Model APT - aplikacja Regresja dwuetapowa: 1. Etap szacujemy bety (b_est): R it = a i + Σ j b ij F jt + ε it, i = 1,,n. Etap szacujemy stopy zwrotu z portfeli arbitrażowych: R_mean i = λ 0 + Σ j λ j b_est ij Analiza czynnikowa: Metoda PC do uzyskania wspólnych czynników Ile czynników uwzględnić? Opóźnienie? Trudna w interpretacji 18

19 Model APT przykład Modele wieloczynnikowe: Fama, French (1993): model 3-czynnikowy dla 5 portfeli (5x5) R it = a i + b im R mt + b is R SMB,t + b ib R HML,t + ε it, i = 1,,n R_mean i = λ 0 + λ 1 b_est im + λ b_est is + λ 3 b_est ib Sortowanie po kapitalizacji (+) i wartości księgowej (-) Fama, French (1996): dodatkowo P/E, 5-letni wzrost sprzedaży Stosowana metoda estymacji: MNK, SUR, a także GMM 19

20 Analiza zdarzeń (event studies) Ponadnormatywne stopy zwrotu i stopy skumulowane (CAR) Okno estymacji T 1 Event window T Okno estymacji wyjątkowe wydarzenia to np. przejęcia, splity, wykupy, emisje i ich ogłaszanie, earnings announcements, insiders news, zmiany przepisów T CAR i = εt t=t 1 +1 Reszty pochodzą z modelu CAPM (lub innego modelu) εt = r it βr mt α oszacowanego w oknie estymacji Jak dobrać wariancję i testować CAR? zob. Campbell, Lo, MacKinley (1997, roz. 4) 0

21 Analiza opłacalności inwestycji Analiza style and performance na przykładzie Mutual funds performance zob. Sharpe (199) Wymaga podziału inwestycji na rozdzielne klasy i określenia dla nich benchmarków. 1