Normalizacja funkcji falowej Postulaty mechaniki kwantowej Zadanie. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Ncosαx) dla x [, a] Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:. Zaczynamy od napisania warunku unormowania podanej funkcji falowej Ψr, r 2,..., t) 2 dτ = ): a Ncosαx) 2 dx = ) 2. Pamiętając definicję kwadratu modułu funkcji falowej Ψ 2 = Ψ Ψ): Ncosαx) 2 = Ncosαx)) Ncosαx) = w rozpatrywanym przypadku funckcja cosαx) jest funkcją rzeczywistą a stała normalizacyjna N jest z definicji rzeczywista), dlatego możemy zapisać: = N 2 cosαx) 2 3. Podstawiamy powyższy wynik do równania 4: a N 2 cosαx) 2 dx = 4. Wyciągamy stałą normlizacyjną N przed znak całki: a N 2 cosαx) 2 dx = 5. Obliczamy N 2 : 6. Obliczamy N: N 2 = N = a cosαx)2 dx a cosαx)2 dx Odp. Postać funkcji unormowanej: 2α Ψ = cosαx) dla x [, a] aα + sin aα) cos aα)
Zadanie 2. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej: [ ] nπx Ψ = Nsin dla x [, l] l Zadanie 3. Wyznacz stałą normalizacyjną w całej przestrzeni) i podaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Nexp Zr ) a Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:. Zaczynamy od napisania warunku unormowania podanej funkcji falowej: Ne Zr 2 π a r 2 dr 2π sinθdθ dφ = 2) 2. Pamiętając definicję kwadratu modułu funkcji falowej Ψ 2 = Ψ Ψ): Zr 2 ) a Ne = Ne Zr a Ne Zr a = oraz, że funkcja sprzężona do Ψ różni sie znakiem części urojonej funkcja w tym przypadku ) jest rzeczywista): Ne Zr a = Ne Zr a ), a stała normalizacyjna N jest z definicji rzeczywista: 3. Podstawiamy powyższy wynik do równania: Uwaga: Skąd się bierze 4π? 2 = N 2 e 2Zr a 3) 4πN 2 e 2Zr a r 2 dr = 4. Wyciągamy stałą normlizacyjną N przed znak całki: 5. Obliczamy N 2 : N 2 4π N 2 = e 2Zr a r 2 dr = 4π e 2Zr a r 2 dr Rozwiązanie zobacz w: icse Chemteor7 z26 postulaty ROZWIAZANIA 2 π sinθdθ = 2 natomiast 2π dφ = 2π 2
6. Obliczamy N: N = 4π e 2Zr a r 2 dr Odp. Postać funkcji unormowanej: Ψ = Z 3 2 πa 3 2) exp Zr a ) 3
Konstrukcja operatorów mechaniki kwantowej Zadanie. Podaj postać operatorów podanych wielkości fizycznych:. Składowej z-towej momentu pędu Wyrażenie klasyczne: M z = xp y yp x ) Odpowiedź: Przyporządkowujemy zgodnie z drugim postulatem) w wyrażeniu klasycznym: M z = xp y yp x zmiennym odpowiednie operatory: ˆM z = ˆxˆp y ŷˆp x ˆx x ŷ y ˆp y i y ˆp x i x w wyniku takiej zamiany otrzymujemy postać operatora składowej z-towej momentu pędu: ˆM z = ˆxˆp y ŷˆp x = ) = x i y y i ) x 2. Kwadratu całkowitego operatora pędu Wyrażenie klasyczne: p 2 = p 2 x + p 2 y + p 2 z) ) Odpowiedź: Przyporządkowujemy zgodnie z drugim postulatem) w wyrażeniu klasycznym: p 2 = p 2 x + p 2 y + p 2 z) zmiennym odpowiednie operatory pamiętając, że i) i) = i 2 = ): ˆp 2 x = ˆp xˆp x = i ) x i ) x ˆp 2 y = ˆp y ˆp y = i ) y i ) y ˆp 2 z = ˆp z ˆp z = i ) z i ) z ˆp 2 = ˆp 2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z = 2 2 = 2 2 2 x = 2 2 2 y = 2 2 2 z 2 x + 2 2 y + 2 2 z ) = 2 2 4
3. Energii potencjalnej Wyrażenie klasyczne: V = Ze2 r ) Odpowiedź: ˆV = Ze2 r 5
Liniowość operatorów Operator ˆF jest liniowy, jeżeli dla dowolnych funkcji porządnych f i g spełnione są jednocześnie warunki: gdzie c - dowolna stała najczęściej zespolona) ˆF f + g) = ˆF f + ˆF g 4) ˆF cf) = c ˆF f 5) Zadanie. Sprawdź, czy następujące operatory są liniowe:. operator różniczkowania Sprawdzamy, czy spełnione są jednocześnie warunki na liniowość operatorów: warunek 34): d dx f + g) =? d dx f + d dx g Warunek ten jest spełniony: Pochodna sumy funkcji równa jest sumie pochodnych. warunek 35): d dx cf =? c d dx f Warunek spełniony. c- to stała, można ją wyciągnąć przed znak pochodnej. Odp.: TAK. Operator różniczkowania jest liniowy. 2. operator całkowania Sprawdzamy, czy spełnione są jednocześnie warunki na liniowość operatorów:? f + g) dτ = fdτ + gdτ? cfdτ = c fdτ Odp.: TAK. Operator całkowania jest liniowy. 3. operator potęgowania Sprawdzamy, czy spełnione są jednocześnie warunki na liniowość operatorów: NIE jest spełniony ten warunek, ponieważ: 6 f + g) 2? = f 2 + g 2 f + g) 2 = f 2 + 2fg + g 2
Drugiego warunku już nie musimy sprawdzać. Odp.: NIE. Operator potęgowania NIE jest liniowy. 4. operator sprzężenia Sprawdzamy, czy spełnione są jednocześnie warunki na liniowość operatorów: f + g)? = f + g TAK cf) = cf NIE NIE:, bo stała c jest stałą zespoloną. Gdyby c była stałą rzeczywistą, to c = c i wtedy warunek byłby spełniony. Odp.: NIE. Operator sprzężenia NIE jest liniowy. 7
Hermitowskość operatorów Zadanie. Sprawdź hermitowskość operatora ˆp x = i d dx. Zaczynamy od napisania warunku hermitowskości operatorów: f ˆF gdτ = g ˆF f) dτ 6) 2. Podstawiamy w miejsce operatora ˆF, operator ˆp x : dx f x) ˆp x gx)dx = gx) ˆp x fx)) 7) f x) i d dx ) gx)dx = gx) i d ) dx fx) dx 8) 3. Rozpisujemy lewą stronę równania wyciągając wszystkie stałe przed znak całki): L = i f x) d gx)dx = 9) dx całkowanie przez części uv = uv vu ): u = f = x) u = d f x) + dx v = d gx) v = gx) = dx = i f + x)gx) gx) d dx f x)dx = = i gx) d dx f x)dx 4. Rozpisujemy prawą stronę równania 3): P = gx) i d ) dx fx) dx = pamiętając, że i = i = gx)i d dx f x)dx = wyciągamy stałe przed znak całki, otrzymujemy: = i gx) d dx f x)dx 8
5. Sprawdzamy, czy L równanie 6) = P równanie 9): L = i P = i L = P gx) d dx f x)dx gx) d dx f x)dxr Odp. TAK. Podany operator jest operatorem hermitowskim. 9
Wartość własna. Funkcja własna Zadanie 3 :. Oblicz wartości własne operatora p x działającego na: a) funkcję Ψ = e ikx b) funkcję Ψ = e ikx 2. Oblicz wartości własne operatora p 2 x działającego na: a) funkcję Ψ = e ikx b) funkcję Ψ = e ikx 3. Oblicz wartości własne operatora p x działającego na: 4. Sprawdź, czy funkcja Ψ = 2 nπx sin l l a) ˆp x b) ˆp 2 x Wartość średnia 3 jest funkcją własną operatora: Zadanie: Oblicz) wartość średnią operatora pędu ˆp x dla cąstki w pudle potencjału Ψ = 2 nπx sin l l 3 Rozwiązanie zobacz w: icse Chemteor7 z26 postulaty ROZWIAZANIA