Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38
Równania różniczkowe zwyczajne II-ego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F(x,y,y,y )=0, (1) w którym niewiadomą jest funkcjay=y(x) i w którym występuje pochodna pierwszego i drugiego rzędu tej funkcji, tzn.y = dy dx,y = d2 y dx 2. Równania różniczkowe str. 2/38
Rozwiazanie lub całka równania różniczkowego różniczkowego drugiego Rozwiazaniem lub całka równania różniczkowego F(x,y,y,y )=0 w przedziale(a,b) nazywamy każdą funkcje zmiennejxwyrażoną w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x) h(x,y)=0, która ma pochodne do rzędunwłącznie i spełnia równanie F(x,y,y,y )=0 dlax (a,b). Równania różniczkowe str. 3/38
Rozwiazaniem ogólnym lub całka ogólna równaniaf(x,y,y,y )=0 w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równaniaf(x,y,y,y )=0 zależne od dwóch dowolnych stałychc 1,C 2 wyrażone w postaci jawnej lub w postaci uwikłanej y=y(x,c 1,C 2 ) h(x,y,c 1,C 2 )=0, i takie, że podstawiajac dowolne wartości zac 1,C 2 otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Równania różniczkowe str. 4/38
Podstawiając zac 1,C 2 konkretne wartości otrzymamy tzw. lub równaniaf(x,y,y,y )=0. całkę szczególna rozwiazanie szczególne Równania różniczkowe str. 5/38
Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie poczatkowe) Zagadnienie Cauchy ego dla równaniaf(x,y,y,y )=0polega na znalezieniu całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki poczatkowe: (W) y(x 0 )=y 0, y (x 0 )=y 1 gdzie wartość poczatkowax 0 (a,b), zaś wartości poczatkowey 0 iy 1 są dowolnymi z góry wybranymi liczbami. Równania różniczkowe str. 6/38
Równania sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego Równanie postacif(x,y,y )=0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez podstawienie y =u Wówczas y =u i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F(x,u,u )=0. Równania różniczkowe str. 7/38
Równania sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego Równanie postacif(y,y,y )=0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez podstawienie Wówczas y =v(y) y = dy dx =dv dx =dv dy dy dx =v y =v v i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F(y,v,v v)=0. Równania różniczkowe str. 8/38
Przykład Rozważmy równaniey ( x 2 +1 ) =2xy. Stosując podstawienieu=y, otrzymujemy u ( x 2 +1 ) =2xu du u = 2x x 2 +1 dx du u = 2x x 2 +1 dx ln u =ln ( x 2 +1 ) +ln C 1 u=c 1 (x 2 +1 ). Równania różniczkowe str. 9/38
Przykłady ( x 2 +1 ) =2xy (c.d.) Ponieważu=y, więc otrzymujemy y =C 1 ( x 2 +1 ) ( 1 y=c 1 3 x3 +x Rozważmy zagadnienie Cauchy ego ) +C 2. y (x 2 +1)=2xy, y(0)=1,y (0)=3, WówczasC 2 =1 ic 1 =3. Zatem rozwiązaniem danego zagadnienia Cauchy ego jest całka y=x 3 +3x+1. Równania różniczkowe str. 10/38
Przykład Rozważmy równaniey y =(y ) 2. Stosując podstawieniey =v(y) y =v v, otrzymujemy yv v=v 2 v = v y dv v =dy y dv v = dy y ln v =ln y +ln C 1 v=c 1 y. Równania różniczkowe str. 11/38
Przykłady y =(y ) 2 (c.d.) Ponieważv=y, więc otrzymujemy y =C 1 y dy y =C 1 dx ln y =C 1 x+ln C 2 y=c 2 e C 1x. Równania różniczkowe str. 12/38
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów Równaniem różniczkowym liniowym rzędunnazywamy równanie postaci: y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=f(x), (2) gdziea 1,a 2,...,a n if są danymi funkcjami ciągłymi na(a,b). Jeślif 0, to równanie (2) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeślif 0, to to równanie (2) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN Równania różniczkowe str. 13/38
Układ fundamentalny całek (rozwiazań) Rozwiązaniay 1,y 2,...,y n są liniowo niezależne na przedziale(a,b) dla każdegox (a,b) spełniony jest warunek y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1(x) y 2(x)... y n(x)...... y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y n (n 1) (x) 0 (3) Wyznacznik występujący w (3) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (lub wrońskianem) i ozn. symbolemw[y 1,y 2,...,y n ](x). Definicja: Układem fundamentalnym całek (rozwiazań) nazywamy układnliniowo niezależnych rozwiązań. Równania różniczkowe str. 14/38
Całka ogólna (rozwiazanie ogólne) równania liniowego jednorodnego RJ y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=0 Niech całkiy 1,y 2,...,y n będą fundamentalnym układem rozwiązań równania RJ y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=0, wówczas całka ogólna równania RJ jest kombinacją liniową tych rozwiązań, tzn. y=c 1 y 1 +C 2 y 2 +...+C n y n, Równania różniczkowe str. 15/38
Całka ogólna (rozwiazanie ogólne) równania liniowego niejednorodnego RN y (n) +a 1 (x)y (n 1) +...+a n 1 (x)y +a n (x)y=f(x) Twierdzenie. Niech y 1, y 2,...,y n liniowo niezależne rozwiązania równania RJ na przedziale(a, b) R y s całka szczególna RN. Wtedy całka ogólna równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ma postać y=c 1 y 1 +C 2 y 2 +...+C n y n +y s, czyli CORN = CORJ + CSRN. Równania różniczkowe str. 16/38
Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y +py +qy=f(x), (4) gdziep,q R zaśf jest daną funkcją ciągłą na(a,b). Jeślif 0, to równanie (6) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeślif 0, to to równanie (6) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. Równania różniczkowe str. 17/38
Rozwiazanie równania liniowego II-ego rzędu o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y +py +qy=f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: RJ y +py +qy=0 Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y=e rx Równania różniczkowe str. 18/38
Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y +py +qy=0 Wtedy y=e rx y =re rx y =r 2 e rx i podstawiając funkcjęy do RJ otrzymujemy równanie r 2 +pr+q=0 zwane równaniem charakterystycznym. Równania różniczkowe str. 19/38
Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y +py +qy=0 Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r 2 +pr+q=0 ( ) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań). Pierwiastki ( ) Całki szczególne RJ Całka ogólna RJ >0 r 1 r 2 y 1 =e r1x,y 2 =e r 2x y=c 1 e r1x +C 2 e r 2x =0 r 0 y 1 =e r0x,y 2 =xe r 0x y=c 1 e r0x +C 2 xe r 0x <0 r 1,2 =α±βi y 1 =e αx sinβx y=c 1 e αx sinβx+c 2 e αx cosβx y 2 =e αx cosβx Równania różniczkowe str. 20/38
Równania różniczkowe liniowe y +py +qy=f(x),p,q R Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: CORN = CORJ + CSRN. Metodę stosujemy, gdy równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (p,q R) f(x)= wielomian stopnian asinωx+bcosωx ae λx, lubf(x) jest sumą lub iloczynem powyższych funkcji. Równania różniczkowe str. 21/38
Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) Przewidywanie postaci całki szczególnejy s (x) równania RN y +py +qy=f(x),, p,q R Niechλ+ωi (λ,ω R) będziek-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznegor 2 +pr+q=0. Wówczas Postaćf(x) Postać przewidywanay s (x) P n (x)=a n x n +...+a 1 x+a 0 x k (A n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx x k (Acosωx+Bsinωx) P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm x k W n (x)cosωx+x k M n (x)sinωx P n (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm x k W n (x)e λx cosωx+x k M n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Równania różniczkowe str. 22/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x y s (x)=x 2 (Ax+B) e 2x Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x y s (x)=x 2 (Ax+B) e 2x y +9y=sin3x Równania różniczkowe str. 23/38
Przykłady y 5 y +6y=x 2 +8 = y s (x)=ax 2 +Bx+C y 5 y +6y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 5 y +6y=x e 3x = y s (x)=x (Ax+B) e 3x y 4 y +4y=x e x = y s (x)=(ax+b) e x y 4 y +4y=x e 2x y s (x)=x 2 (Ax+B) e 2x y +9y=sin3x = y s (x)=axsin3x+bxcos3x Równania różniczkowe str. 23/38
Metoda uzmienniania stałych Jeżeli funkcjey 1 (x),y 2 (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ y +py +qy=0,p,q R, to całka ogólna równania RN y +py +qy=f(x),p,q R, ma postać y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x), gdziec 1 (x),c 2 (x) jest dowolnym rozwiązaniem układu y 1(x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) C 1(x) C 2 (x) = 0 f(x). (5) Równania różniczkowe str. 24/38
Przykład Rozważmy równaniey y= 8 e 2x +1. Równanie jednorodney y=0 ma następujące równanie charakterystyczner 2 1=0, którego pierwiastkami sąr 1 =1 ir 2 = 1. Zatem CORJ ma postać y=c 1 e x +C 2 e x, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y=c 1 (x)e x +C 2 (x)e x, Równania różniczkowe str. 25/38
Przykład y y= 8 e 2x +1 (RN) (c.d.) W celu wyznaczenia funkcjic 1 (x),c 2 (x) rozwiązujemy układ: C 1(x)= 4e x e 2x +1 C 2(x)= 4ex e 2x +1 Wtedy e x C 1(x)+e x C 2(x)=0 e x C 1(x) e x C 2(x)= 8 e 2x +1 C 1 (x)= 4e x 4arctge x + C 1 C 2 (x)= 4arctge x + C 2 y(x)= C 1 e x + C 2 e x 4 4e x arctge x 4e x arctge x. Równania różniczkowe str. 26/38
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów Równaniem różniczkowym liniowym rzędun o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), (6) gdziea 1,...,a n R zaśf jest daną funkcją ciągłą na przedziale (a,b). Równania różniczkowe str. 27/38
Rozwiazanie równania różniczkowego liniowegon-tego rzędu o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu: RJ y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0 Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y=e rx Równania różniczkowe str. 28/38
Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0 Wtedy y=e rx y =re rx. y (n) =r n e rx i podstawiając funkcjęy do RJ otrzymujemy równanie r n +a 1 r n 1 +...+a n 1 r+a n =0 zwane równaniem charakterystycznym. Równania różniczkowe str. 29/38
Rozwiazanie równania różniczkowego liniowego y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0 Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r n +a 1 r n 1 +...+a n 1 r+a n =0 ( ) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań). Rozkład lewej strony równania ( ) na czynniki postaci : Rozwiązania szczególne równania jednorodnego RJ r a (r a) k,(k>1) p 2 4q<0 r 2 +pr+q y 1 =e ax y 1 =e ax,y 2 =xe ax,...y k =x k 1 e ax y 1 =e αx cosβx,y 2 =e αx sinβx (r 2 +pr+q) k,(k>1) y 1 =e αx cosβx,y 3 =xe αx cosβx,...,y 2k 1 =x k 1 e αx cosβx α= 1 2 p,β= 1 4q p 2 2 y 2 =e αx sinβx,y 4 =xe αx sinβx,...,y 2k =x k 1 e αx sinβx Rozwiązanie ogólne RJ: y=c 1 y 1 +C 2 y 2 +...C n y n Równania różniczkowe str. 30/38
Równania różniczkowe liniowe y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x),a i R Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: Metodę stosujemy, gdy CORN = CORJ + CSRN. równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (a i R,i=1,2,...,n) f(x)= wielomian stopnian asinωx+bcosωx ae λx, lubf(x) jest sumą lub iloczynem powyższych funkcji. Równania różniczkowe str. 31/38
Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) Przewidywanie postaci całki szczególnejy s (x) równania RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x), gdziea i R,i=1,...,n Niechλ+ωi,λ,ω R, będziek-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego r n +a 1 r n 1 +...+a n 1 r+a n =0. Wówczas Postaćf(x) Postać przewidywanay s (x) P n (x)=p n x n +...+p 1 x+p 0 x k (A n x n +...+A 1 x+a 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n +...+A 0 )e λx acosωx+bsinωx x k (Acosωx+Bsinωx) P n (x)cosωx+q m (x)sinωx, nm x k W n (x)cosωx+x k M n (x)sinωx (x)e λx cosωx+q m (x)e λx sinωx, nm x k W n (x)e λx cosωx+x k M n (x)e λx sinωx gdziew n (x)=a n x n +...+A 0 im n (x)=b n x n +...+B 0 Równania różniczkowe str. 32/38
Przykłady y y =x 2 +8 Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x y s (x)=x 3 (Ax+B)e 2x Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x y s (x)=x 3 (Ax+B)e 2x y (4) +18y +81y=cos3x Równania różniczkowe str. 33/38
Przykłady y y =x 2 +8 = y s (x)=x 2 (Ax 2 +Bx+C) y (6) 9 y (4) =x e x = y s (x)=(ax+b) e x y +y=x e 3x = y s (x)=(ax+b) e 3x y +y=x e x = y s (x)=x(ax+b) e x y 6y +6y 8y=xe 2x y s (x)=x 3 (Ax+B)e 2x y (4) +18y +81y=cos3x y s (x)=ax 2 sin3x+bx 2 cos3x Równania różniczkowe str. 33/38
Metoda uzmienniania stałych Jeżeli funkcjey 1 (x),y 2 (x),...y n (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=0,a i R, to całka ogólna równania RN y (n) +a 1 y (n 1) +...+a n 1 y +a n y=f(x),a i R, ma postać y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x)+...+c n (x)y n (x), Równania różniczkowe str. 34/38
Metoda uzmienniania stałych CORN y(x)=c 1 (x)y 1 (x)+c 2 (x)y 2 (x)+...+c n (x)y n (x), gdziec 1 (x),c 2 (x),...,c n (x) jest dowolnym rozwiązaniem układu y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1(x) y 2(x)... y n(x)...... y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y (n 1) n (x) C 1(x) C 2(x). C n(x) = 0 0. f(x). Równania różniczkowe str. 35/38
Przykład Rozważmy równaniey +y = sinx cos 2 x. Równanie jednorodney +y =0 ma następujące równanie charakterystyczner 3 +r=0, którego pierwiastkami sąr 1 =0 ir 2,3 =±i. Zatem CORJ ma postać y=c 1 +C 2 cosx+c 3 sinx, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y=c 1 (x)+c 2 (x)cosx+c 3 (x)sinx, Równania różniczkowe str. 36/38
Przykład y +y = sinx cos 2 x (RN) (c.d.) W celu wyznaczenia funkcjic 1 (x),c 2 (x),c 3 (x) rozwiązujemy układ: C 1(x)+cosxC 2(x)+sinxC 3(x)=0 sinxc 2(x)+cosxC 3(x)=0 cosxc 2(x) sinxc 3(x)= sinx cos 2 x C 1(x)= sinx C cos 2 1 (x)= 1 x cosx + C 1 C 2(x)= tgx C 2 (x)=ln cosx + C 2. C 3(x)= tg 2 x C 3 (x)= tgx+x+ C 2 Wtedy y(x)= C 1 + C 2 cosx+ C 3 sinx+ + 1 cosx +cosxln cosx sinxtgx+xsinx Równania różniczkowe str. 37/38
Podsumowanie Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego. Równania różniczkowe wyższych rzędów i ich rozwiązania. Równania liniowe rzędun 2ostałych współczynnikach i ich rozwiązania. Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) rozwiązywania równań liniowych o stałych współczynnikach. Metoda uzmienniania stałych rozwiązywania równań liniowych o stałych współczynnikach. Równania różniczkowe str. 38/38