Hierarchical Cont-Bouchaud model

Hierarchical Cont-Bouchaud model inż. Robert Paluch dr inż. Krzysztof Suchecki prof. dr hab. inż. Janusz Hołyst Pracownia Fizyki w Ekonomii i Naukach Społecznych Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej

Plan prezentacji 1. Naśladownictwo na giełdzie model Conta-Bouchaud, 2. Model hierarchiczny z dynamiką Pottsa, 3. Model CB z hierarchicznie tworzonymi klastrami.

Naśladownictwo na giełdzie - model Conta-Bouchaud

Herd behavior and aggregate fluctuations in financial markets Rama Cont, Centre de Mathématiques Appliquées, Ècole Polytechnique Jean-Philipe Bouchaud, SPEC, Centre d'ètudes de Saclay kształt rozkładów względnych zmian cen akcji 4/26

Herd behavior and aggregate fluctuations in financial markets Rama Cont, Centre de Mathématiques Appliquées, Ècole Polytechnique Jean-Philipe Bouchaud, SPEC, Centre d'ètudes de Saclay zachowania stadne na rynkach finansowych 4/26 kształt rozkładów względnych zmian cen akcji

Prezentacja modelu 5/26

Prezentacja modelu - N agentów, 5/26

Prezentacja modelu - N agentów, - połączonych losowo krawędziami, c pij = p=, N 5/26

Prezentacja modelu - N agentów, - połączonych losowo krawędziami, c pij = p=, N - decyzje: kup, sprzedaj, nie handluj, φ { 1, 0, 1}, P (φ = +1) = P(φ = 1) = a, P (φ = 0) = 1 2a. 5/26 1-1 1 0

Prezentacja modelu - łączna nadwyżka popytu, nc D (t)= W α φ α (t ), α=1 1-1 1 0 W α - rozmiar klastra α, φ α (t ) - wspólna decyzja agentów należących do klastra α, 6/26

Prezentacja modelu 1 - łączna nadwyżka popytu, -1 nc D (t)= W α φ α (t ), α=1 1 0 W α - rozmiar klastra α, φ α (t ) - wspólna decyzja agentów należących do klastra α, - logarytm ceny x(t) pojedynczej akcji w czasie t, nc Δ x = x (t +1) x (t) = λ - głębokość rynku. 6/26 1 W α φ α (t), λ α=1

Analityczne rozwiązanie modelu - rozkład rozmiarów klastrów (c jest mniejsze, ale bliskie 1) P(W ) W (1 c)w A exp( ), 5/ 2 W0 W - rozkład względnych zmian cen akcji odznacza się grubym ogonem p(u) u u 5/2 exp( u ), u0 - kurtoza rozkładu względnych zmian cen akcji κ(δ x) = 7/26 2 c+1. c 3 2 a N (1 ) A(c)(1 c) 2

Grube ogony w modelu CB 8/26

Grube ogony w modelu CB mały order flow 8/26 niewielu agentów handluje w jednym kroku czasowym

Grube ogony w modelu CB mały order flow bardzo mały order flow 8/26 niewielu agentów handluje w jednym kroku czasowym średnio jeden klaster handluje w jednym kroku czasowym

Grube ogony w modelu CB mały order flow bardzo mały order flow rozkład zwrotów 8/26 niewielu agentów handluje w jednym kroku czasowym średnio jeden klaster handluje w jednym kroku czasowym rozkład wielkości klastrów

Grube ogony w modelu CB niewielu agentów handluje w jednym kroku czasowym mały order flow bardzo mały order flow rozkład zwrotów p(u) u u 5/ 2 exp( 8/26 średnio jeden klaster handluje w jednym kroku czasowym rozkład wielkości klastrów u ) u0 P(W ) W (1 c)w A exp( ) 5/ 2 W W 0

Zakres stosowalności 9/26

Zakres stosowalności - niskie order flow 2aN 1 9/26

Zakres stosowalności - niskie order flow 2aN 1 - blisko progu perkolacyjnego c = pn 1 9/26

Zakres stosowalności - niskie order flow 2aN 1 - blisko progu perkolacyjnego c = pn 1 Czy można obejść się bez perkolacji? 9/26

Topologia hierarchiczna 10/26

Topologia hierarchiczna - układy biologiczne, 10/26

Topologia hierarchiczna - układy biologiczne, - sieci komputerowe, 10/26

Topologia hierarchiczna - układy biologiczne, - sieci komputerowe, - sieci społeczne. 10/26

Model hierarchiczny z dynamiką Pottsa

Hierarchiczna struktura społeczności agentów N agentów, 12/26

Hierarchiczna struktura społeczności agentów N agentów, p1= 12/26 c, W 1 klastrów stopnia jeden, N

Hierarchiczna struktura społeczności agentów N agentów, c, W 1 klastrów stopnia jeden, N c p 2=, W 2 klastrów stopnia dwa, W1 p 1= 12/26

Hierarchiczna struktura społeczności agentów N agentów, c, W 1 klastrów stopnia jeden, N c p 2=, W 2 klastrów stopnia dwa, W1 c p3 =, W 3 klastrów stopnia trzy, W2 p 1= 12/26

Hierarchiczna struktura społeczności agentów N agentów, c, W 1 klastrów stopnia jeden, N c p 2=, W 2 klastrów stopnia dwa, W1 c p3 =, W 3 klastrów stopnia trzy, W2 p 1= itd... 12/26

Hierarchiczna struktura społeczności agentów N agentów, c, W 1 klastrów stopnia jeden, N c p 2=, W 2 klastrów stopnia dwa, W1 c p3 =, W 3 klastrów stopnia trzy, W2 p 1= itd... Cała społeczność stanowi jeden klaster stopnia H. 12/26

Dynamika agentów wg modelu Pottsa 13/26

Dynamika agentów wg modelu Pottsa φ i { 1, 0,1} 13/26 możliwe trzy decyzje

Dynamika agentów wg modelu Pottsa φ i { 1, 0,1} P (φ i )= 13/26 e możliwe trzy decyzje β H (φ i ) Z prawdopodobieństwo podjęcia decyzji φ i

Dynamika agentów wg modelu Pottsa φ i { 1, 0,1} P (φ i )= e możliwe trzy decyzje β H (φ i ) Z prawdopodobieństwo podjęcia decyzji φ i i=1 Z = e β H (i) i= 1 13/26 suma statystyczna

Dynamika agentów wg modelu Pottsa φ i { 1, 0,1} P (φ i )= e możliwe trzy decyzje β H (φ i ) Z prawdopodobieństwo podjęcia decyzji φ i i=1 Z = e β H (i) suma statystyczna i= 1 β= 13/26 1 kbt odwrotność temperatury

Dynamika agentów wg modelu Pottsa φ i { 1, 0,1} P (φ i )= e możliwe trzy decyzje β H (φ i ) Z prawdopodobieństwo podjęcia decyzji φ i i=1 Z = e β H (i) suma statystyczna i= 1 β= 1 kbt odwrotność temperatury H H (φi )= [ J h δ(φ i, φ j )] B δ (φi,0) h=0 13/26 j Hamiltonian

Dynamika agentów wg modelu Pottsa H H (φi )= [ J h δ(φ i, φ j )] B δ (φi,0) h=0 suma po wszystkich hierarchiach H J h=α B j suma po sąsiadach stopnia h najwyższy poziom hierarchii (cała struktura) h stała sprzężenia pomiędzy sąsiadami stopnia h zewnętrzne pole ograniczające handel δ (φ i, φ j ) delta Kroneckera 14/26

Testy - rosnące pole B, - rosnąca stała alfa, - malejące prawdopodobieństwo łączenia klastrów, - model z pamięcią. 15/26

Porównanie rozkładów zwrotów 16/26

Podsumowanie - model hierarchiczny z dynamiką Pottsa może zachowywać sie w trojaki sposób: może dawać grube ogony przy niewielkim wpływie wyższych hierarchii (kiedy się zachowuje jak zwyczajny CB), być całkowicie uporządkowany (przy wysokim alfa lub B), być całkowicie nieuporządkowany (przy wysokiej temp.) - potrzebny jest inny mechanizm powstawania grubych ogonów, - propagowanie się fluktuacji? 17/26

Model z pamięcią 18/26

Model z pamięcią 1. Niech agenci rozpoczynają nowy krok czasowy ze stanami z poprzedniego kroku. 18/26

Model z pamięcią 1. Niech agenci rozpoczynają nowy krok czasowy ze stanami z poprzedniego kroku. 2. Niech oddziaływania z najbliższymi sąsiadami będą w przybliżeniu równe oddziaływaniom z pozostałymi oraz z polem zewnętrznym. 18/26

Wyniki symulacji dla modelu z pamięcią 19/26

Podsumowanie - kształt rozkładu zwrotów w modelu z pamięcią silnie zależy od warunków początkowych, - układ dochodzi do równowagi ze średnią zależną od warunków początkowych i oscyluje wokół niej, - nie obserwujemy porządanych propagacji fluktuacji, - przy słabszych oddziaływaniach otrzymuje się rozkłady normalne. Model Pottsa wydaje się być zbyt silnie porządkujący. 20/26

Model CB z hierarchicznie tworzonymi klastrami

Hierarchiczny wzrost klastrów 22/26

Porównanie rozkładów wielkości klastrów 23/26

Porównanie rozkładów zwrotów 24/26

Podsumowanie - hierarchiczny wzrost klastrów daje rozkłady potęgowe dla szerokiego spektrum prawdopodobieństwa łączenia klastrów, - zastosowanie dynamiki Conta-Bouchaud do topologii otrzymanej metodą hierarchicznego wzrostu skutkuje szerokimi rozkładami zwrotów, - mechanizm pojawiania się grubych ogonów jest taki sam jak w modelu CB, nie wymaga już jednak perkolacji. 26/26

Dodatkowe slajdy

Wyniki testów (rosnące pole B)

Wyniki testów (rosnący czynnik alfa)

Liczba hierarchii