Eliza Wajch: Topologia

General Topology in ZF a brief introduction Eliza Wajch Abstract. This is a collection of my lectures on general topology in ZF for Polish students who apply for Master s degree in mathematics and are after a brief course on topologies induced by metrics in ZFC. If this is possible, proofs from classical books on general topology in ZFC are modified to proofs in ZF. Some important results that are independent of ZF are shown. Literatura podstawowa: 1. A. W. Archangielski, W. I. Ponomariow, Podstawy Topologii Ogólnej w Zadaniach, PWN Waszawa 1986. 2. R. Duda, Wprowadzenie do Topologii, PWN Warszawa 1986. 3. R. Engelking, Topologia Ogólna, PWN Warszawa 1989. 4. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do Topologii, PWN Warszawa 1980. Literatura dodatkowa: 5. K. Kunen, Set Theory, North-Holland, Amsterdam 1980. 6. K. Kunen, The Foundations of Mathematics, College Publications, London 2009. 7. K. Kunen, J. E. Vaughan (eds.), Handbook of Set-Theoretic Topology, North-Holland, Amsterdam 1984. 8. K. Kuratowski, Wstęp do Teorii Mnogości i Topologii PWN Warszawa 1980. 9. K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria Mnogości, PWN Warszawa 1966. 10. J. Mioduszewski, Wykłady z Topologii, Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. W ciągu wykładów będzie wykorzystywana teŝ następująca bardzo waŝne ksiąŝki: 11. H. Herrlich, Axiom of Choice, Springer Berlin Heidelberg New York 2006. 12. P. Howard, J. E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, AMS 1998. Uwaga. Ten cykl wykładów jest opracowany na podstawie mych wykładów z lat poprzednich, ale dowody niektórych twierdzeń pokazywane poprzednio w ZFC z wyraźnym uŝyciem pewnika wyboru lub aksjomatu pokrewnego z pewnikiem wyboru są teraz przeprowadzone nieco inaczej w ZF, bez wykorzystania kontrowersyjnego aksjomatu wyboru. Niektóre twierdzenia i zadania w tej wersji pliku są nowe. JednakŜe doskonalsza wersja wykładów z topologii w ZF jest w trakcie opracowywania, ale w bieŝącym cyklu juŝ będzie na ogół zaznaczone, które z twierdzeń są udowodnione w ZF, a których dowody są z wykorzystaniem pewnika wyboru. Niektóre twierdzenia w tym pliku nie zostały jeszcze opublikowane. Wykład 1 Wprowadzenie Słowo topologia pochodzi od greckich słów tópos (miejsce, okolica) oraz lógos (słowo, nauka). Zostało wprowadzone przez matematyka niemieckiego Johanna Benedicta Listinga [1808-1882] i opublikowane w jego artykule zamieszczonym do druku w 1847 roku i wydrukowanym w 1848 roku w Getyndze. Będziemy tego słowa uŝywać w dwu 1

znaczeniach: jako dział matematyki zwany wcześniej Analysis Situs i zaliczany do geometrii oraz jako rodzina wszystkich zbiorów otwartych w przestrzeni topologicznej, której definicja będzie w dalszej części wykładu. Matematycy specjalizujący się w topologii są zwani topologami. MoŜna uznać, Ŝe właściwy dynamiczny rozwój topologii współczesnej został zainicjowany przez F. Hausdorffa [1868-1942, Niemcy] jego monografią Grundzüge der Mengenlehre (Lipsk, 1914) (topologia ogólna) i wcześniejszą pracą M. Frécheta [1878-1973, Francja] wydrukowaną w 1906 roku (teoria przestrzeni metrycznych). W Polsce szczególnie udanie wpłynął na dynamiczny rozwój topologii K. Kuratowski [1896-1980], poźniej jego uczniowie (np. R. Engelking) związani ze szkołą warszawską, natomiast w Rosji P. Aleksandrow [1896-1982]. Bardzo znaczącą rolę odegrał Uniwersytet Wrocławski (profesorowie Roman Duda, Janusz Charatonik [1934-2004] i inni), a takŝe Uniwersytet Śląski (prof. Jerzy Mioduszewski). Wspomniałam tylko niektórych. Topologią zajmują się matematycy w kaŝdej szanującej się, dbającej o swój prestiŝ uczelni wyŝszej z wykładaną matematyką w całym świecie. Teoria ZFC: KaŜdą porządną teorię powinno się rozpocząć od ustalenia jej układu aksjomatów. Zakładamy zatem dogodną interpretację układu ZFC zapoczątkowanego w 1907/1908 przez E. Zermelo [1871-1953], uzupełnionego o aksjomat zastępowania między innymi przez A. A. Fraenkela [1891-1965, Izrael, początki w Niemczech], o aksjomat ufundowania przez J. von Neumanna [1903-1957] i niezaleŝnie od von Neumanna przez Zermelo, dokładniej przeanalizowanego np. w [5] i [6] oraz [9]. Jednym z aksjomatów tego układu jest pochodzący od E. Zermelo pewnik wyboru (AC): Aksjomat wyboru (AC). Dla kaŝdej niepustej rodziny parami rozłącznych zbiorów niepustych istnieje zbiór mający z kaŝdym ze zbiorów tej rodziny po dokładnie jednym elemencie wspólnym. Aksjomat ten nie jest powszechnie akceptowany w tym sensie, Ŝe nie ma pewności, iŝ jest absolutnie prawdziwy. W teorii ZFC czyni się jedynie hipotetyczne załoŝenie, iŝ aksjomat ten orzeka prawdę. Innym kontrowersyjnym aksjomatem teorii ZFC jest tak zwany aksjomat nieskończoności (oznaczany Inf) o tym, Ŝe istnieje zbiór nieskończony, choć nie moŝe być pewności, Ŝe zbiory nieskończone istnieją we wszechświecie. Szczególnie udanie o aksjomacie nieskończoności i niemoŝności jego udowodnienia pisał noblista B. Russell [1872-1970, Wielka Brytania]. W ZFC aksjomat nieskończoności podaje się zwykle w następującej postaci: Aksjomat nieskończoności (Inf). Istnieje zbiór o wszystkich elementach będących zbiorami taki, Ŝe zbiór pusty naleŝy do oraz jeśli, to. W teorii ZFC-Inf+ Inf kaŝdy zbiór jest skończony, natomiast w teorii ZFC-Inf istnienie zbiorów nieskończonych jest nieudowadniane i Ŝaden wiarygodny przykład zbioru nieskończonego zaistnieć nie moŝe. W teorii ZFC istnienie zbiorów nieskończonych jest 2

konsekwencją hipotetycznych aksjomatów tej teorii, a nie zdań na pewno orzekających prawdę absolutną. W interpretacji logika i matematyka amerykańskiego K. Kunena teorii ZFC zakłada się, Ŝe wszystkie elementy zbiorów są zbiorami, klas właściwych nie ma (tzn. nie ma kolekcji elementów, które nie są zbiorami), przy czym dopuszczalny jest np. zapis : jako skrót zdania jest liczbą porządkową, ale nie oznacza u Kunena klasy wszystkich liczb porządkowych, która w jego teorii nie istnieje. W innych, pokrewnych aksjomatycznych teoriach zbiorów, np. w NBG (von Neumann, P. Bernays [1888-1959, Szwajcaria], K. Gödel [1906-1970]) lub MK (A. P. Morse [1911-1984, USA], J. L. Kelley [1916-1999, USA]), dopuszcza się istnienie klas właściwych i w tych teoriach klasa wszystkich liczb porządkowych istnieje, ale nie jest zbiorem. Wyjaśnimy potem co naleŝy obecnie rozumieć przez liczbę porządkową. Oto zapisane niezbyt sformalizowanym, raczej potocznym językiem pozostałe aksjomaty zbiorów teorii ZFC. Aksjomat zbioru pustego. Istnieje zbiór pusty Ø, który nie ma Ŝadnego elementu. Aksjomat ekstensjonalności. JeŜeli i są zbiorami takimi, Ŝe kaŝdy element zbioru jest elementem zbioru i kaŝdy element zbioru jest elementem zbioru, to jest tym samym zbiorem co zbiór (to zapisujemy: ). Aksjomat wyróŝniania. JeŜeli jest formułą zdaniową o argumentach ze zbioru, to istnieje zbiór : wszystkich tych elementów ze zbioru, dla których zdanie jest prawdziwe (część zbioru jest zbiorem). Aksjomat pary. JeŜeli,, jest parą elementów, to istnieje zbiór taki, Ŝe oraz. Aksjomat sumy. JeŜeli jest rodziną zbiorów, to istnieje suma mnogościowa wszystkich zbiorów naleŝących do. Aksjomat zbioru potęgowego. podzbiorów zbioru. Dla kaŝdego zbioru istnieje zbiór wszystkich Aksjomat ufundowania. zbiorem. W kaŝdym niepustym zbiorze jest element rozłączny z tym Aksjomat zastępowania. JeŜeli jest przyporządkowaniem kaŝdemu elementowi ze zbioru dokładnie jednego elementu, to istnieje zbiór : wszystkich elementów, które przyporządkowane zostały przez elementom ze zbioru. Teoria, której aksjomatami zbiorów są wszystkie aksjomaty teorii ZFC bez aksjomatów ufundowania, zastępowania i pewnika wyboru, bywa oznaczana, natomiast ZFC bez pewnika wyboru oznacza się ZF. Trwają badania naukowe dotyczące takich teorii., przy czym liderem tych badań jest K. Kunen, z którym miałam przyjemność korespondować i wymieniać się spostrzeŝeniami. 3

W odróŝnieniu od autorów większości podręczników z topologii, w tym cyklu wykładów zakładamy układ ZF, a tylko, gdy zajdzie taka konieczność, układ ZFC. Ponadto, stosować będziemy raczej nadal niezbyt formalne w ZF następujące prawo uŝywane przez wielu matematyków: Prawo skończonego wyboru: jeŝeli jest traktowaną jak ustalona niepustą skończoną rodziną parami rozłącznych zbiorów niepustych, to moŝna uznać, Ŝe jest ustalony teŝ zbiór, który z kaŝdym ze zbiorów rodziny ma po dokładnie jednym elemencie wspólnym. Niektóre twierdzenia dowodzone w przeszłości z uŝyciem pewnika wyboru, zostaną potwierdzone dowodami w ZF, o niektórych innych twierdzeniach będzie informacja, Ŝe są niedowodliwe w ZF. Bez prawa skończonego wyboru, niektóre zapisane w ksiąŝkach dowody, jak np. dowód twierdzenia Kelley a o równowaŝności twierdzenia Tichonowa i pewnika wyboru (zob. wykłady 9 i 10) mogą być uznane za niepoprawne. Do dowodów niektórych twierdzeń w ZFC zamiast pewnika wyboru, wystarczy zastosować następujący pewnik wyboru przeliczalnego (CC): (CC) Dla kaŝdej przeliczalnej niepustej rodziny parami rozłącznych zbiorów niepustych istnieje zbiór mający z kaŝdym ze zbiorów rodziny po dokładnie jednym elemencie wspólnym. Uwaga. W tym cyklu wykładów nie będziemy analizować aksjomatów pokrewnych pewnikowi wyboru, słabszych niŝ CC ze względu na brak czasu i konieczność pewnych uproszczeń w tym cyklu. Liczby porządkowe: Definicja liczby porządkowej. Liczbą porządkową nazywamy zbiór, którego kaŝdy element jest podzbiorem zbioru, a ponadto kaŝdy niepusty podzbiór zbioru ma element rozłączny z tym podzbiorem oraz, dla dowolnej pary, róŝnych elementów zbioru jest: lub. Pojęcie liczby porządkowej w powyŝszym sensie pochodzi od Zermelo i von Neumanna. W literaturze takie liczby porządkowe bywają nazwane liczbami porządkowymi von Neumanna (l.p.vn), ale wiadomo juŝ, Ŝe teoria liczb porządkowych E. Zermelo była o co najmniej kilka lat wcześniejsza od teorii von Neumanna. Jeszcze wcześniejsza, przedaksjomatyczna teoria Cantora (G. Cantor [1845-1918]) nie była zadowalająca i przez znawców jest uwaŝana za przestarzałą oraz zbyt naiwną. Definicja następnika liczby porządkowej. Następnikiem liczby porządkowej nazywamy zbiór 1. Podstawowe własności liczb porządkowych w ZF. Niech i będą liczbami porządkowymi. Wówczas: 4

(i) lub, przy czym: wtedy i tylko wtedy, gdy i. (ii) Następnik liczby porządkowej jest liczbą porządkową. (iii) KaŜdy niepusty zbiór liczb porządkowych jest dobrze uporządkowany przez relację inkluzji. (iv) KaŜdy element liczby porządkowej jest liczbą porządkową. (v) Suma mnogościowa i część wspólna niepustej rodziny liczb porządkowych jest liczbą porządkową. (vi) W ZF kaŝdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do jakiejś liczby porządkowej uporządkowanej dobrze przez relację inkluzji. (vii) Zbiór pusty jest liczbą porządkową. (viii) (liczba porządkowa nie moŝe być swoim elementem). Porównywanie liczb porządkowych. Przyjmujemy, Ŝe: Niech i będą liczbami porządkowymi. ;. Definicja liczby kardynalnej. Liczbą kardynalną (von Neumanna) nazywamy kaŝdą taką liczbę porządkową, która nie jest równoliczna z Ŝadnym ze swoich elementów. Uwaga. W matematyce uŝywane są co najmniej trzy nierównowaŝne w ZF definicje liczb kardynalnych. Na przykład, liczba kardynalna w sensie Cantora to klasa abstrakcji relacji równoliczności zbiorów. Gdy jest zbiorem, to liczba kardynalna w sensie Cantora zbioru (równowaŝnie: moc zbioru w sensie Cantora) to klasa wszystkich zbiorów równolicznych ze zbiorem. W literaturze są pewne modyfikacje pojęcia liczby kardynalnej w sensie Cantora. W tym cyklu wykładów przez liczbę kardynalną rozumieć będziemy liczbę kardynalną w sensie von Neumanna. Definicja liczby całkowitej nieujemnej. skończoną liczbę porządkową. Liczbą całkowitą nieujemną nazywamy kaŝdą Przykłady liczb całkowitych nieujemnych. Liczbami całkowitymi nieujemnymi są: 0=Ø (zbiór pusty), 1={0}, 2={0,{0}},, 1 0,1,.,,., gdy jest juŝ określoną liczbą całkowitą nieujemną ( naleŝy powołać się na korespondencję Grellinga z E. Zermelo z 1912 roku i artykuł von Neumanna z 1923 roku, gdzie taki pomysł określenia liczby całkowitej nieujemnej został wyeksponowany po raz pierwszy). JuŜ tradycyjnie, klasę wszystkich takich liczb całkowitych nieujemnych oznacza się, a \ 0 jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych dodatnich (naturalnych). Postulat nieskończoności w ZFC orzeka, Ŝe klasa istnieje i jest ona zbiorem. Wszystkie liczby całkowite nieujemne w powyŝszym sensie są liczbami kardynalnymi. Zbiór jest najmniejszą nieskończoną liczbą porządkową i jest on liczbą kardynalną. 5

Definicja zbioru przeliczalnego. KaŜdy zbiór równoliczny z jakąś liczbą całkowitą nieujemną lub z nazywać będziemy zbiorem przeliczalnym. Klasa wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Liczby porządkowe 1 i 1 są przykładami liczb porządkowych, które nie są liczbami kardynalnymi. W teorii ZFC, dla kaŝdego zbioru istnieje dokładnie jedna liczba kardynalna równoliczna z i zwana mocą zbioru. W teorii ZF nie moŝna tego udowodnić. Twierdzenie. [ZF] Prawdą jest w ZF, Ŝe pewnik wyboru jest równowaŝny zdaniu: Dla kaŝdego zbioru istnieje dokładnie jedna liczba kardynalna von Neumanna równoliczna z. Ustalamy zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych w sensie Hilberta-Huntingtona (D. Hilbert [1862-1943], E. V. Huntington [1974-1952]), mając na myśli ustalone liniowo uporządkowane ciało algebraiczne (R,+,, ), którego kaŝdy niepusty ograniczony z góry ze względu na podzbiór ma w R kres górny względem. W ZF takie ciało jest jedno z dokładnością do izomorfizmu. Przez przedział będziemy rozumieć taki podzbiór zbioru R, Ŝe dla dowolnej pary elementów, zbioru i dowolnego elementu zbioru R, jeśli, to. Przedziały w R będziemy oznaczać tradycyjnie: ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;, ;. Warto przyjąć, Ŝe liczbami całkowitymi nieujemnymi w R są elementy klasy, a więc, Ŝe jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych nieujemnych w R. Zwykle, dla zbiorów,, symbol oznacza zbiór wszystkich funkcji określonych na, o wartościach w. Zatem, dla, R jest zbiorem wszystkich funkcji określonych na zbiorze, o wszystkich swoich wartościach w R, przy czym, gdy R, moŝemy pisać: 0,, 1 lub na przykład:,,. Określenie przestrzeni topologicznej: Definicje. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę uporządkowaną,, gdzie jest zbiorem, natomiast jest rodziną podzbiorów zbioru, zwaną topologią w, spełniającą następujące warunki: (T1 ; (T2) ; (T3),. Zbiorem otwartym w przestrzeni topologicznej, nazywamy kaŝdy zbiór naleŝący do topologii. Zbiór nazywamy domkniętym w przestrzeni topologicznej, gdy jego dopełnienie \ jest zbiorem otwartym w,. Zbiory jednocześnie domknięte i otwarte w danej przestrzeni topologicznej nazywamy domknięto-otwartymi w tej przestrzeni. 6

Przestrzenie antydyskretna i dyskretna. Niech będzie zbiorem. Gdy Ø,, to jest topologią w zwaną topologią antydyskretną i wówczas parę, nazywamy przestrzenią antydyskretną. Rodzina wszystkich podzbiorów zbioru jest topologią w zwaną topologią dyskretną, a parę, nazywamy przestrzenią dyskretną. Przestrzeń pusta. Przestrzenią topologiczną pustą nazywamy parę uporządkowaną Ø, Ø Ø, Ø, Ø 1,2. Umowa. Gdy będzie wiadomo jaką topologię w zbiorze mamy na myśli, przestrzeń topologiczną, będziemy oznaczać krótko i czasami nazywać po prostu przestrzenią. Zadania: Zadanie 1. Uzasadnić, Ŝe jeśli jest liczbą porządkową, to. Zadanie 2. Uzasadnić, Ŝe liczby porządkowe i są nieskończone. Zadanie 3. Wyjaśnić, Ŝe zbiór nie jest przeliczalny. Zadanie 4. ZauwaŜyć, Ŝe para uporządkowana (3, 4) jest przestrzenią topologiczną oraz wskazać rodzinę wszystkich zbiorów otwartych oraz rodzinę wszystkich zbiorów domkniętych w tej przestrzeni. Które ze zbiorów otwartych w przestrzeni (3, 4) są domkniętootwarte w tej przestrzeni. Zadanie 5. Uzasadnić, Ŝe jeśli jest liczbą porządkową, to para uporządkowana, 1 jest przestrzenią topologiczną. Wykład 2 Wprowadzanie topologii przez pełny układ otoczeń: Definicje otoczenia i bazy otoczeń punktu w przestrzeni topologicznej. Otoczeniem punktu w przestrzeni topologicznej nazywamy kaŝdy zbiór taki, Ŝe istnieje zbiór otwarty w taki, iŝ. Baza otoczeń punktu w przestrzeni topologicznej nazywamy rodzinę otwartych otoczeń punktu w przestrzeni taką, Ŝe kaŝde otwarte otoczenie punktu w przestrzeni zawiera jakiś zbiór z rodziny. Definicja pełnego układu otoczeń. JeŜeli, dla kaŝdego punktu przestrzeni topologicznej, rodzina jest bazą otoczeń punktu w tej przestrzeni, to rodzinę : nazywamy pełnym układem otoczeń przestrzeni. Elementarne własności pełnego układu otoczeń. KaŜdy pełny układ otoczeń : przestrzeni topologicznej ma następujące własności: 7

(UO1) ; (UO2), ; (UO3). Twierdzenie o wyznaczaniu topologii przez pełny układ otoczeń. [ZF] ZałóŜmy, Ŝe jest zbiorem i dla kaŝdego dana jest rodzina taka, Ŝe rodzina : ma własności (UO1)-(UO3). Wówczas rodzina : jest jedyną topologią w zbiorze taką, Ŝe rodzina : jest pełnym układem otoczeń przestrzeni topologicznej,. Dowód. Oczywiście, Ø. To, Ŝe wnioskujemy z (UO1). Niech, i niech. Wobec określenia rodziny, istnieją zbiory, takie, Ŝe dla 1,2. Wobec (UO2), istnieje takie, Ŝe. Skoro, to. ZałóŜmy teraz, Ŝe i. Istnieje takie, Ŝe. Skoro ponadto, to istnieje takie, Ŝe. Podsumowując, otrzymujemy, Ŝe jest topologią w zbiorze. Aby pokazać, Ŝe dla kaŝdego, rozwaŝmy dowolny punkt i zbiór. Z warunku (UO3) i określenia rodziny wnioskujemy, Ŝe. Zatem. A to, wraz z określeniem topologii daje nam informację, Ŝe jest bazą otoczeń punktu w przestrzeni topologicznej,. Jeśli jest topologią w zbiorze taką, Ŝe : jest pełnym układem otoczeń przestrzeni topologicznej,, to z definicji pełnego układu otoczeń i z informacji uzyskanych o rodzinie wnioskujemy, Ŝe. Definicja topologii wyznaczonej przez pełny układ otoczeń. JeŜeli rodzina : rodzin ) podzbiorów zbioru ma własności (UO1)-(U03), to topologię : nazywamy wprowadzoną lub wyznaczoną w zbiorze przez pełny układ otoczeń :. Przykład zastosowania twierdzenia o wprowadzaniu topologii przez pełny układ otoczeń wyznaczanie topologii przez (quasi-)metryki: Definicja quasi-metryki [Wilson, 1931]. (Quasi-)metryką w zbiorze nazywamy funkcję : 0; mającą następujące własności: (QM1),, 0 ; 8

(QM2),,,,,. Gdy quasi-metryka w zbiorze spełnia dodatkowo warunek symetrii:,,, nazywamy ją metryką. Definicja quasi-metryki niearchimedesowskiej. spełnia warunek: JeŜeli (quasi-)metryka w zbiorze nazywamy ją niearchimedesowską. 2,,, max,,,, Definicja przestrzeni (quasi-)metrycznej. Przestrzenią (quasi-)metryczną nazywamy parę uporządkowaną,, gdzie jest (quasi-)metryką w zbiorze. Definicja kuli w przestrzeni (quasi-)metrycznej. Niech będzie (quasi-)metryką w zbiorze oraz niech i 0;. Kulą otwartą o środku w punkcie i promieniu w przestrzeni (quasi-) metrycznej, nazywamy zbiór natomiast zbiór, :,,, :, nazywamy kulą domkniętą o środku w punkcie i promieniu w przestrzeni (quasi-) metrycznej,. Uwaga. W literaturze angielskojęzycznej kule, są oznaczane,, gdyŝ kula po angielsku to ball. Twierdzenie o wprowadzaniu topologii przez (quasi-)metrykę. [ZF] ZałóŜmy, Ŝe jest (quasi-) metryką w zbiorze. Jeśli dla jest, :, to rodzina : spełnia warunki (UO1)-(UO3), a rodzina 1 :, 2 jest topologią w zbiorze taką, Ŝe dla kaŝdego rodzina, : jest bazą otoczeń punktu w przestrzeni topologicznej,. Definicja topologii wprowadzonej przez (quasi-)metrykę. Gdy jest (quasi-)metryką w zbiorze, topologię :, w zbiorze nazywamy wprowadzoną lub wyznaczoną przez (quasi-)metrykę. 9

Umowa. Gdy nie zaznaczymy inaczej, w przestrzeni (quasi-)metrycznej będziemy rozwaŝać topologię wyznaczoną przez (quasi-)metrykę tej przestrzeni. Definicja (quasi-)metryk równowaŝnych. Quasi-metryki w zbiorze nazywamy równowaŝnymi, gdy wyznaczają one tę samą topologię w. Definicja przestrzeni (quasi-)metryzowalnej. Przestrzeń topologiczną nazywamy (quasi-) metryzowalną, gdy jej topologia jest wyznaczona przez jakąś (quasi-)metrykę. Definicja -przestrzeni. Przestrzeń topologiczną nazywamy -przestrzenią, kaŝdy jej punkt ma bazę otoczeń w przestrzeni taką, Ŝe. Jeden z warunków koniecznych quasi-metryzowalności. [ZF] JeŜeli przestrzeń topologiczna jest quasi-metryzowalna, to jest ona -przestrzenią. Dowód. Wystarczy zauwaŝyć, Ŝe gdy jest quasi-metryką wyznaczającą topologię przestrzeni topologicznej i, to,. Przykład przestrzeni topologicznej, która nie jest quasi-metryzowalna. Nie kaŝda przestrzeń topologiczna jest quasi-metryzowalna. Na przykład, gdy jest przestrzenią antydyskretną mającą przynajmniej dwa róŝne punkty, to nie jest ona -przestrzenią, a więc przestrzeń ta nie jest quasi-metryzowalna. Definicja przestrzeni Hausdorffa. Mówimy, Ŝe przestrzeń topologiczna spełnia warunek Hausdorffa, gdy dla kaŝdej pary, róŝnych punktów zbioru istnieje para, rozłącznych zbiorów otwartych w taka, Ŝe i. Przestrzenie topologiczne spełniające warunek Hausdorffa są zwane przestrzeniami Hausdorffa lub -przestrzeniami. Jeden z warunków koniecznych metryzowalności. [ZF] JeŜeli przestrzeń topologiczna jest metryzowalna, to spełnia warunek Hausdorffa. Dowód powyŝszego twierdzenia powinien być znany z wykładów ze wstępu do topologii i dlatego go pominiemy. Przykład przestrzeni quasi-metryzowalnej, która nie jest metryzowalna. quasi metrykę w zbiorze wzorem: Określamy 0, gdy, 1, gdy 2 dla,. Wtedy, dla dowolnego oraz, zachodzi równość:, \, a zatem, dla kaŝdej pary, róŝnych punktów zbioru i kaŝdej pary, elementów zbioru zachodzi inkluzja \,,, więc, nie spełnia warunku Hausdorffa, co dowodzi, Ŝe przestrzeń quasi-metryzowalna, nie jest metryzowalna. 10

Topologia naturalna przestrzeni R : Metryka euklidesowa w zbiorze R jest określona wzorem:, dla, R, a topologię wyznaczoną przez metrykę nazywamy topologią naturalną przestrzeni R. Umawiamy się, Ŝe gdy nie zaznaczymy inaczej, przez R będziemy rozumieć zbiór R wyposaŝony w topologię naturalną. Pierwszy warunek przeliczalności. Mówimy, Ŝe przestrzeń topologiczna spełnia pierwszy warunek przeliczalności (zwany teŝ pierwszym aksjomatem przeliczalności), gdy kaŝdy punkt tej przestrzeni ma przeliczalną bazę otoczeń w tej przestrzeni. Swierdzenie. [ZF] przeliczalności. KaŜda przestrzeń quasi-metryzowalna spełnia pierwszy warunek Twierdzenie o nieudowadnialności istnienia przestrzeni (quasi-)metryzowalnych. W teorii ZFC-Inf nie moŝe zaistnieć Ŝaden wiarygodny przykład przestrzeni (quasi-) metryzowalnej. W teorii ZFC-Inf istnienie przestrzeni (quasi-)metryzowalnych jest nieudowadniane. W teorii ZFC-Inf+ Inf przestrzenie (quasi-)metryzowalne nie istnieją. Wprowadzanie topologii przez bazę: Definicja. Bazą otwartą (krótko: bazą) przestrzeni topologicznej, nazywamy taką rodzinę, Ŝe dla kaŝdego i kaŝdego istnieje takie, Ŝe. Stwierdzenie o związku pełnego układu otoczeń z bazą otwartą. [ZF] JeŜeli rodzina jest bazą otwartą przestrzeni topologicznej oraz : dla kaŝdego, to rodzina : jest pełnym układem otoczeń przestrzeni. Odwrotnie, jeśli jakaś rodzina : jest pełnym układem otoczeń przestrzeni topologicznej, to rodzina = jest bazą otwartą przestrzeni topologicznej. Drugi warunek przeliczalności. Mówimy, Ŝe przestrzeń topologiczna spełnia drugi warunek przeliczalności (zwany teŝ drugim aksjomatem przeliczalności), gdy ma ona przeliczalną bazę otwartą. Powiązanie warunków przeliczalności. KaŜda przestrzeń topologiczna spełniająca drugi warunek przeliczalności spełnia teŝ pierwszy warunek przeliczalności. Nieprzeliczalna przestrzeń dyskretna spełnia pierwszy warunek przeliczalności, lecz nie spełnia drugiego. Elementarne własności baz otwartych. [ZF] KaŜda baza otwarta przestrzeni topologicznej ma następujące własności: 11

(B1) ; (B2),. Twierdzenie o wprowadzaniu topologii przez bazę. [ZF] ZałóŜmy, Ŝe jest rodziną podzbiorów zbioru mającą własności (B1) i (B2). Wówczas rodzina : jest jedyną topologią w zbiorze taką, Ŝe jest bazą przestrzeni topologicznej,. Dowód w zarysie. MoŜna sprawdzić bezpośrednio, Ŝe jest topologią w lub zauwaŝyć, Ŝe rodzina :, gdzie : dla kaŝdego, spełnia warunki (UO1)-(UO3) i następnie wykorzystać twierdzenie o wprowadzaniu topologii przez pełny układ otoczeń. Przykład zastosowania twierdzenia o wprowadzaniu topologii przez bazę topologia w produkcie przestrzeni topologicznych: Niech : będzie indeksowaną elementami zbioru rodziną zbiorów. Iloczynem kartezjańskim (uogólnionym) lub produktem wszystkich zbiorów tej rodziny nazywamy zbiór wszystkich funkcji : takich, Ŝe dla kaŝdego. Dla ustalonego, przekształcenie : określone wzorem dla kaŝdego nazywamy rzutem zbioru na zbiór. Bez pewnika wyboru nie moŝna udowodnić, Ŝe wszystkie takie rzuty są przekształceniami na, gdy kaŝdy z czynników produktu, którego te rzuty dotyczą jest niepusty. Twierdzenie o równowaŝności pewnika wyboru z niepustością produktów zbiorów niepustych. [ZF] W teorii ZF pewnik wyboru jest równowaŝny zdaniu: Dla kaŝdej niepustej rodziny : zbiorów niepustych produkt jest zbiorem niepustym. ZałóŜmy teraz, Ŝe w kaŝdym ze zbiorów, gdzie, jest topologia. Niech będzie rodziną wszystkich zbiorów postaci, gdzie dla kaŝdego oraz zbiór : jest skończony. Ta rodzina podzbiorów zbioru spełnia warunki (B1)-(B2). Wobec twierdzenia o wprowadzaniu topologii przez bazę, istnieje w zbiorze dokładnie jedna topologia taka, Ŝe rodzina jest bazą przestrzeni topologicznej,. Tak otrzymaną przestrzeń, nazywamy iloczynem Tichonowa lub produktem wszystkich przestrzeni topologicznych rodziny, :. Gdy wszystkie przestrzenie topologiczne rodziny, : są tą samą przestrzenią np.,, ich produkt oznaczamy. W niektórych pracach produkty Tichonowa bywają teŝ nazywane produktami Hausdorffa. Zadania: A. Tichonow [1906-1993, Rosja] 12

Umowa: gdy nie zaznaczymy inaczej, wszystkie zadania będziemy rozwiązywać w ZF. Zadanie 6. Sprawdzić, Ŝe funkcja : 0; określona wzorem: 0, gdy, 1 2, gdy jest quasi-metryką niearchimedesowską taką, Ŝe, \ dla i. Zadanie 7. Niech będzie zbiorem nieskończonym. Wykazać, Ŝe rodzina : \ jest topologią w zbiorze taką, Ŝe przestrzeń topologiczna, nie spełnia warunku Hausdorffa, ale jest -przestrzenią. ZauwaŜyć, Ŝe dla kaŝdej topologii w zbiorze takiej, Ŝe, jest -przestrzenią zachodzi inkluzja. Uwaga: topologia bywa nazywana ko-skończoną. Zadanie 8. Uzasadnić, Ŝe topologia w zbiorze wyznaczona przez quasi-metrykę z zadania 6 jest ko-skończona. Zadanie 9. Niech, i, będą przestrzeniami topologicznymi. Sprawdzić, Ŝe rodzina : spełnia warunki bazy (B1) i (B2), a ponadto, dla kaŝdego zbioru domkniętego w, oraz dla kaŝdego zbioru domkniętego w,, zbiór jest domknięty w przestrzeni wyposaŝonej w topologię wprowadzoną przez bazę. Zadanie 10. [ZFC] Uzasadnić, Ŝe prawdą jest w ZFC, iŝ jeŝeli jest zbiorem nieprzeliczalnym, a : jest rodziną przestrzeni topologicznych, z których Ŝadna nie jest antydyskretna, to produkt, nie spełnia pierwszego warunku przeliczalności. Uwaga. CUT(fin) to zdanie: suma przeliczalnie wielu zbiorów skończonych jest zbiorem przeliczalnym. Zdanie CUT(fin) jest niezaleŝne od ZF. MoŜna wykazać, Ŝe w kaŝdym modelu dla ZF+ CUT(fin) istnieje zbiór nieprzeliczalny taki, Ŝe przestrzeń R jest metryzowalna, więc spełnia pierwszy warunek przeliczalności. Wykład 3 Produkty przestrzeni metryzowalnych. Podprzestrzenie. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru. Zbiory gęste. Ośrodkowość: Twierdzenie o metryzowalności produktu przeliczalnie wielu przestrzeni metryzowalnych w ZF+CC. ZałóŜmy, Ŝe 0 1, natomiast : jest rodziną przestrzeni quasi-metryzowalnych oraz. Wówczas prawdą jest w ZF+CC, Ŝe przestrzeń jest quasi-metryzowalna, a ponadto, gdy wszystkie przestrzenie dla są metryzowalne, równieŝ ich produkt jest przestrzenią metryzowalną. 13

Szkic dowodu w ZF+CC. Wobec CC, nawet, gdy, istnieje rodzina : taka, Ŝe, dla kaŝdego, jest quasi-metryką wyznaczającą topologię przestrzeni. Niech min, 1 dla. ZauwaŜmy, Ŝe jest quasi-metryką w równowaŝną quasimetryce. Dla, określamy,,. Funkcja jest quasi-metryką w, a gdy wszystkie funkcje są metrykami, funkcja jest teŝ metryką. Niech będzie topologią produktową w. WykaŜemy, Ŝe. RozwaŜmy przypadek, gdy. ZałóŜmy najpierw, Ŝe. Z określenia produktu przestrzeni topologicznych wnioskujemy, Ŝe istnieje oraz istnieją zbiory takie, Ŝe oraz dla kaŝdego \ 1. Dla kaŝdego 1 istnieje liczba rzeczywista dodatnia taka, Ŝe,. Dla min : 1 zachodzi inkluzja,, skąd wnioskujemy, Ŝe. ZałóŜmy teraz, Ŝe. Istnieje liczba rzeczywista dodatnia taka, Ŝe,. Skoro szereg jest zbieŝny, istnieje takie, Ŝe \. Niech dla kaŝdego \ 1, natomiast, dla kaŝdego 1. Mamy, a ponadto, zatem. Dowód w przypadku, gdy pozostawiam do samodzielnego przeprowadzenia. Uwaga. Gdy 0, a, : jest rodziną przestrzeni (quasi-)metrycznych oraz, to funkcja : R określona, dla,, wzorem:,, jest (quasi-)metryką w zbiorze wyznaczającą topologię produktu,. OstrzeŜenie. W niektórych modelach teorii ZF nie kaŝdy produkt przeliczalnie wielu przestrzeni metryzowalnych jest przestrzenią quasi-metryzowalną. PoniŜsze twierdzenie pochodzi z 2015 roku. Podstawowe twierdzenie (quasi-)metryzacyjne dla produktów przestrzeni quasimetryzowalnych w ZF. (Wajch, 2015. ) ZałóŜmy, Ŝe jest niepustym zbiorem będącym sumą przeliczalnie wielu zbiorów skończonych, a, : jest rodziną przestrzeni topologicznych taką, Ŝe istnieje rodzina : taka, Ŝe, gdy, to jest (quasi-) metryką w zbiorze wyznaczającą topologię. Wówczas prawdą jest w ZF, Ŝe produkt, jest przestrzenią (quasi-) metryzowalną. Niemetryzowalność produktu nieprzeliczalnie wielu co najmniej dwuelementowych przestrzeni metryzowalnych w ZFC. ZałóŜmy, Ŝe jest zbiorem nieprzeliczalnym, a ; jest rodziną co najmniej dwuelementowych przestrzeni quasi-metryzowalnych. 14

Wówczas prawdą jest w ZFC, Ŝe produkt nie spełnia pierwszego warunku przeliczalności, a więc nie jest przestrzenią quasi-metryzowalną, zatem nie jest przestrzenią metryzowalną. Natomiast w ZF, gdy jest zbiorem nieprzeliczalnym będącym sumą przeliczalnie wielu zbiorów skończonych, to produkt jest przestrzenią quasimetryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy jest rodzina ; quasi-metryk taka, Ŝe jest quasi-metryką wyznaczającą topologię przestrzeni, gdy. MoŜna wykazać w ZF, Ŝe R jest przestrzenią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów skończonych. Podprzestrzenie: Niech, będzie przestrzenią topologiczną i niech. Wówczas rodzina : jest topologią w zbiorze indukowaną z, a parę, nazywamy podprzestrzenią przestrzeni topologicznej,. Umawiamy się, Ŝe, gdy nie zaznaczymy inaczej, wszystkie podzbiory przestrzeni topologicznej będziemy rozwaŝać z topologiami podprzestrzeni w nich indukowanymi z topologii całej przestrzeni. W szczególności, wszystkie podzbiory przestrzeni R rozwaŝamy z topologią naturalną w nich, to znaczy z topologią w nich indukowaną z topologii naturalnej w R, ale od czasu do czasu będziemy postępować inaczej, co wyraźnie będziemy zaznaczać ilekroć inną niŝ naturalna topologię w jakimś podzbiorze zbioru R będziemy badać. ZauwaŜmy, Ŝe jeŝeli jest bazą otwartą przestrzeni topologicznej, natomiast jest podprzestrzenią przestrzeni, to rodzina : jest bazą otwartą podprzestrzeni. Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru: Niech będzie przestrzenią topologiczną. Definicja wnętrza zbioru. Wnętrzem zbioru w przestrzeni topologicznej nazywamy sumę mnogościową wszystkich tych zbiorów otwartych w, które są zawarte w. Wnętrze zbioru w oznaczamy: int lub int. Warunek konieczny i wystarczający na to, aby punkt naleŝał do wnętrza zbioru. Niech B będzie bazą otoczeń punktu w przestrzeni topologicznej oraz niech. Wówczas: int B. Elementarne własności operacji wnętrza. [ZF] Niech, będą podzbiorami przestrzeni topologicznej. Wówczas: 15

i) int jest zbiorem otwartym w oraz dla kaŝdego zbioru otwartego w takiego, Ŝe zachodzi inkluzja int ; ii) int ; iii) int oraz int ; iv) int int int ; v) int int int ; vi) int int int. Twierdzenie o wprowadzaniu topologii przez operację wnętrza. [ZF] ZałóŜmy, Ŝe jest zbiorem, a : jest przekształceniem mającym następujące własności: (W1) ; (W2) ( ; (W3) ; (W3). Wówczas rodzina : jest topologią w zbiorze taką, Ŝe dla kaŝdego zachodzi równość: int,. Definicja domknięcia zbioru. Domknięciem zbioru w przestrzeni topologicznej nazywamy część wspólną wszystkich tych zbiorów domkniętych w, w których zawarty jest zbiór. Domknięcie zbioru w oznaczamy: cl lub cl. Warunek konieczny i wystarczający na to, aby punkt naleŝał do domknięcia zbioru. [ZF] Niech będzie bazą otoczeń punktu w przestrzeni topologicznej oraz niech. Wówczas: cl. Związek między wnętrzem i domknięciem zbioru. [ZF] Dla dowolnego podzbioru przestrzeni topologicznej zachodzi równość: int cl. Elementarne własności operacji domknięcia. [ZF] Niech, będą podzbiorami przestrzeni topologicznej. Wówczas: i) cl jest zbiorem domkniętym w oraz dla kaŝdego zbioru domkniętego w takiego, Ŝe zachodzi inkluzja cl ; ii) cl ; iii) cl oraz cl ; iv) cl cl cl ; v) cl cl cl ; vi) cl cl cl. 16

Twierdzenie o wprowadzaniu topologii przez operację domknięcia (operator Kuratowskiego). [ZF] ZałóŜmy, Ŝe jest zbiorem, natomiast : jest przekształceniem mającym następujące własności: (C1) ; (C2) ; (C3) ; (C3). Wówczas rodzina : jest topologią w zbiorze taką, Ŝe dla kaŝdego zachodzi równość: cl,. Definicja brzegu zbioru. Brzegiem zbioru w przestrzeni topologicznej nazywamy zbiór bd cl int. Warunek konieczny i wystarczający na to, aby punkt naleŝał do brzegu zbioru. [ZF] Niech ) będzie bazą otoczeń punktu w przestrzeni topologicznej oraz niech. Wówczas: bd. Definicje punktu skupienia i pochodnej zbioru. Punkt nazywamy punktem skupienia zbioru w przestrzeni topologicznej, gdy cl. Pochodną zbioru w przestrzeni topologicznej nazywamy zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru w przestrzeni. Definicja punktu izolowanego przestrzeni. Punkt przestrzeni topologicznej nazywamy punktem izolowanym tej przestrzeni, gdy zbiór jest otwarty w przestrzeni. Punktami izolowanymi przestrzeni topologicznej nie są punktami skupienia zbioru w przestrzeni. są dokładnie te punkty zbioru, które Zbiory gęste: Definicja zbioru gęstego w przestrzeni topologicznej. Zbiorem gęstym w przestrzeni topologicznej nazywamy kaŝdy taki podzbiór zbioru, którego domknięcie w jest równe. Warunek konieczny i wystarczający na to, aby zbiór był gęsty. Zbiór jest gęsty w przestrzeni topologicznej wtedy i tylko wtedy, gdy w kaŝdym niepustym zbiorze otwartym w jest jakiś element ze zbioru. 17

Definicje przestrzeni ośrodkowej i dziedzicznie ośrodkowej. Mówimy, Ŝe przestrzeń topologiczna jest ośrodkowa, gdy istnieje zbiór przeliczalny gęsty w niej. Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią dziedzicznie ośrodkową, gdy kaŝda jej podprzestrzeń jest ośrodkowa. Związek między ośrodkowością i dziedziczną ośrodkowością oraz drugim warunkiem przeliczalności ogólnie. KaŜda przestrzeń dziedzicznie ośrodkowa jest ośrodkowa. W teorii ZF+CC kaŝda przestrzeń spełniająca drugi warunek przeliczalności jest dziedzicznie ośrodkowa. Dowód. Wprost z odpowiednich definicji wynika, Ŝe przestrzenie dziedzicznie ośrodkowe są ośrodkowe. ZałóŜmy, Ŝe przestrzeń topologiczna spełnia drugi warunek przeliczalności i załóŝmy układ ZF+CC. Korzystając z pewnika wyboru przeliczalnego (CC) udowodnimy, Ŝe istnieje przeliczalny zbiór gęsty w. Niech B będzie przeliczalną bazą otwartą przestrzeni. Wobec CC, istnieje funkcja : B taka, Ŝe dla kaŝdego B jest. Zbiór : jest przeliczalny i gęsty w. Skoro kaŝda podprzestrzeń przestrzeni spełniającej drugi warunek przeliczalności teŝ spełnia drugi warunek przeliczalności, to z wykazanego wyŝej wnioskujemy, Ŝe w ZF+CC, moŝna dowieść, Ŝe w kaŝda podprzestrzeń przestrzeni spełniającej drugi warunek przeliczalności jest ośrodkowa. Związek między ośrodkowością, dziedziczną ośrodkowością i drugim warunkiem przeliczalności w klasie przestrzeni metryzowalnych w teorii ZF+CC. W ZF+CC przestrzeń metryzowalna spełnia drugi warunek przeliczalności wtedy i tylko wtedy, gdy jest ośrodkowa, co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń ta jest dziedzicznie ośrodkowa. Dowód. Wobec poprzedniego twierdzenia, wystarczy dowieść, Ŝe w ZF prawdą jest, iŝ kaŝda metryzowalna przestrzeń ośrodkowa ma bazę przeliczalną. ZałóŜmy zatem, Ŝe jest ośrodkową przestrzenią metryzowalną. Niech będzie metryką wyznaczającą topologię przestrzeni, natomiast niech będzie przeliczalnym zbiorem gęstym w. Wówczas prawdą jest w ZF, Ŝe rodzina ={, : i jest przeliczalną bazą otwartą przestrzeni. Uwaga. W niektórych modelach dla ZF niektóre przestrzenie metryzowalne spełniające drugi warunek przeliczalności nie są ośrodkowe. W ZFC nie kaŝda ośrodkowa przestrzeń quasimetryzowalna ma bazę otwartą przeliczalną oraz nie kaŝda quasi-metryzowalna przestrzeń ośrodkowa jest dziedzicznie ośrodkowa. Przykład (Przestrzeń zwana strzałka ). W zbiorze R wszystkich liczb rzeczywistych określamy quasi-metrykę wzorem:, gdy, 1, gdy dla, R. Przestrzeń topologiczną (R, nazywamy strzałka. Jest to w ZFC dziedzicznie ośrodkowa przestrzeń quasi-metryzowalna nie spełniająca drugiego warunku przeliczalności, a jej kwadrat jest przestrzenią quasi-metryzowalną ośrodkową, która nie 18

jest dziedzicznie ośrodkowa, bo zawiera nieprzeliczalną podprzestrzeń dyskretną, :. Zadania: Uwaga. Gdy dla liczby całkowitej nieujemnej n piszemy przestrzeń topologiczna, 1, to jest zbiorem wszystkich punktów tej przestrzeni, a 1 jej topologią. Zadanie 11. Wskazać wszystkie elementy zbiorów int, 3, cl, 3, bd, 3. Zadanie 12. Wskazać wszystkie punkty skupienia i wszystkie punkty izolowane przestrzeni topologicznej (9,10), gdzie 9 jest zbiorem wszystkich punktów tej przestrzeni, a 10 jej topologią. Zadanie 13. Uzasadnić, Ŝe kaŝdy podzbiór przestrzeni dyskretnej jest w niej zarówno otwarty jak i domknięty, a jedynym zbiorem gęstym w danej przestrzeni dyskretnej jest cała ta przestrzeń. Zadanie 14. Niech będzie metryką w zbiorze, a metryką w zbiorze. Sprawdzić, Ŝe funkcja określona wzorem: a),,,,,, b),,, max, ),, } jest metryką w zbiorze taką, Ŝe ={ :,,. Zadanie 15. Uzasadnić, Ŝe na przykład w z topologią naturalną część wspólna przeliczalnie wielu zbiorów otwartych nie musi być zbiorem otwartym, a suma mnogościowa przeliczalnie wielu zbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym. Zadanie 16. Sprawdzić, Ŝe wzór, gdy, 1, gdy gdzie, określa quasi-metrykę w. Zadanie 17. Udowodnić, Ŝe strzałka jest przestrzenią dziedzicznie ośrodkową w ZFC. Uwaga. W niektórych modelach dla ZF ani strzałka, ani z topologią naturalną nie są dziedzicznie ośrodkowe! Zadanie 18. Udowodnić, Ŝe strzałka nie ma bazy otwartej przeliczalnej. Zadanie 19. ZałóŜmy, Ŝe jest quasi-metryką w zbiorze. 19

a) Sprawdzić, Ŝe funkcja max, }, gdzie,, dla kaŝdego,, jest metryką w zbiorze. b) ZauwaŜyć, Ŝe równość nie musi zachodzić. Zadanie 20. Niech będzie metryką w zbiorze. Czy dla i 0,, domknięcie w, kuli otwartej, musi być kulą domkniętą,? Zadanie 21. ZałóŜmy, Ŝe jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni topologicznej. Uzasadnić, Ŝe jeŝeli jest zbiorem otwartym w, to cl cl. Zadanie 22. Podać przykład przestrzeni topologicznej i jej gęstej podprzestrzeni takiej, Ŝe dla pewnego zbioru równość cl cl nie zachodzi. Wykład 4. Zbiory brzegowe, nigdziegęste i doskonałe: Definicje. Niech będzie przestrzenią topologiczną. Zbiór nazywamy: i) brzegowym w, gdy kaŝdy niepusty zbiór otwarty w ma pewien element ze zbioru ; ii) nigdziegęstym w, gdy kaŝdy niepusty zbiór otwarty w zawiera niepusty zbiór otwarty w rozłączny z ; iii) doskonałym w, gdy jest domknięty w i zawarty w swojej pochodnej. Popularnym przykładem zbioru jednocześnie doskonałego i nigdziegęstego w R jest zbiór trójkowy Cantora wszystkich liczb rzeczywistych postaci, gdzie 0,2 dla kaŝdego 0. Zbiory typów i. Zbiorem typu w przestrzeni topologicznej nazywamy przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów otwartych w. Zbiorem typu w przestrzeni topologicznej nazywamy sumę mnogościową przeliczalnie wielu zbiorów domkniętych w. Przekształcenia ciągłe: Niech będzie topologią w zbiorze, a topologią w zbiorze. Ciągłość przekształcenia w punkcie i ciągłość globalna względem pary topologii - definicje. Mówimy, Ŝe przekształcenie : jest: i) ciągłe względem pary, w punkcie lub, -ciągłe w punkcie, gdy: ; 20

ii) ciągłe względem pary, lub, -ciągłe, gdy jest, -ciągłe w kaŝdym punkcie. Gdy jest ciągłe względem pary,, mówimy, Ŝe jest ciągłe globalnie na względem,. Charakteryzacja ciągłości w punkcie w terminach baz otoczeń. [ZF] Niech : oraz niech B będzie bazą otoczeń punktu w przestrzeni,, a B bazą otoczeń punktu w przestrzeni,. Wówczas jest, -ciągłe w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy:. Dowód powyŝszego faktu pozostawiam do samodzielnego przeprowadzenia jako ćwiczenie. Definicja ciągłości przekształcenia w punkcie względem pary (quasi-)metryk. ZałóŜmy, Ŝe jest (quasi-)metryką w zbiorze, a (quasi-) metryką w zbiorze. Przekształcenie : nazywamy ciągłym (w sensie Cauchy ego) w punkcie względem pary (quasi-) metryk (, ) (lub przestrzeni (quasi-)metrycznej, w przestrzeń (quasi-) metryczną, ), lub (, -ciągłe w punkcie ), gdy:,, [,, ]. Twierdzenie o równowaŝności ciągłości względem pary quasi-metryk i względem pary topologii wyznaczonych przez te quasi-metryki. [ZF] ZałóŜmy, Ŝe jest (quasi-)metryką w zbiorze, a (quasi-) metryką w zbiorze. Przekształcenie : jest, ciągłe w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest ono (, -ciągłe w tym punkcie. Twierdzenie o równowaŝności ciągłości w kaŝdym punkcie i otwartości przeciwobrazów zbiorów otwartych. [ZF] Przekształcenie : jest ciągłe globalnie na względem, wtedy i tylko wtedy, gdy:. Dowód. ZałóŜmy najpierw, Ŝe jest ciągłe globalnie na względem,, natomiast, a. Skoro jest ciągłe w punkcie względem,, to istnieje takie, Ŝe oraz. Widać, Ŝe, więc int. Zatem kaŝdy punkt zbioru jest punktem wewnętrznym tego zbioru w,, więc zachodzi równość int, co dowodzi, Ŝe. ZałóŜmy teraz, Ŝe:. RozwaŜmy dowolny punkt oraz dowolny zbiór taki, Ŝe. Niech. Wobec poczynionego załoŝenia,. Skoro ponadto oraz, to jest ciągłe względem pary, w punkcie, co kończy dowód. Twierdzenie o równowaŝności ciągłości w kaŝdym punkcie i domkniętości przeciwobrazów zbiorów domkniętych. [ZF] Przekształcenie : jest ciągłe globalnie na względem, wtedy i tylko wtedy, gdy dla kaŝdego zbioru domkniętego w, zbiór jest domknięty w,. 21

Dowód. ZałóŜmy, Ŝe : jest ciągłe globalnie na względem,, natomiast jest zbiorem domkniętym w,. Wtedy, \, więc wobec poprzedniego twierdzenia, \. Skoro ponadto \ \, to jest zbiorem domkniętym w,. Odwrotnie, załóŝmy, Ŝe przeciwobraz względem kaŝdego zbioru domkniętego w, jest zbiorem domkniętym w,. Niech. Wtedy \ jest zbiorem domkniętym w,, więc \ \ jest zbiorem domkniętym w,, zatem, co kończy dowód. Definicja przekształcenia otwartego. Przekształcenie : nazywamy otwartym względem, lub, -otwartym, gdy:. Definicja przekształcenia domkniętego. Przekształcenie : nazywamy domkniętym względem, lub, -domkniętym gdy dla kaŝdego zbioru domkniętego w,, zbiór jest domknięty w,. Definicja homeomorfizmu. Przekształcenie wzajemnie jednoznaczne : nazywamy homeomorfizmem przestrzeni topologicznej, na przestrzeń topologiczną, lub, -homeomorfizmem gdy jest ciągłe względem pary,, a przekształcenie jest ciągłe względem pary,. Warunki konieczne i wystarczające na to, aby przekształcenie było homeomorfizmem. [ZF] Przekształcenie wzajemnie jednoznaczne : jest homeomorfizmem przestrzeni topologicznej, na przestrzeń topologiczną, wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ciągłe i otwarte względem,, co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ciągłe i domknięte względem,. Definicja zanurzenia homeomorficznego. Przekształcenie : nazywamy zanurzeniem homeomorficznym przestrzeni topologicznej, w przestrzeń topologiczną,, gdy jest homeomorfizmem przestrzeni, na podprzestrzeń, przestrzeni,. Uwaga. Gdy jest ustalona topologia w zbiorze oraz topologia w zbiorze, zamiast mówić, Ŝe : jest ciągłe (odp. otwarte, domknięte) względem,, mówi się krótko, Ŝe jest przekształceniem ciągłym (odp. otwartym, domkniętym) przestrzeni topologicznej w przestrzeń topologiczną. Definicja przestrzeni homeomorficznych. Przestrzenie topologiczne i nazywamy homeomorficznymi, gdy istnieje homeomorfizm przestrzeni na przestrzeń. Własności topologiczne. Niezmienniki homeomorfizmów są zwane własnościami topologicznymi, gdzie przez niezmiennik homeomorfizmu rozumie się taką własność, którą posiada kaŝda przestrzeń topologiczna homeomorficzna z przestrzenią topologiczną mającą tę własność. Na przykład metryzowalność, quasi-metryzowalność, ośrodkowość, dziedziczna ośrodkowość, spełnianie pierwszego warunku przeliczalności, spełnianie drugiego warunku przeliczalności, spełnianie warunku Hausdorffa, bycie przestrzenią są własnościami topologicznymi. W dalszym ciągu będziemy poznawać inne własności topologiczne. 22

Wprowadzanie topologii przez rodzinę przekształceń: ZałóŜmy, Ŝe, : jest indeksowaną elementami niepustego zbioru rodziną przestrzeni topologicznych, jest zbiorem i dla kaŝdego dane jest przekształcenie : natomiast jest rodziną wszystkich niepustych skończonych podzbiorów zbioru. Wówczas rodzina B wszystkich zbiorów postaci, gdzie oraz dla kaŝdego spełnia warunki (B1)-(B2), zatem wobec twierdzenia o wprowadzaniu topologii przez bazę, istnieje w zbiorze jedyna topologia taka, Ŝe B jest bazą otwartą przestrzeni topologicznej,. Topologię tę nazywamy wprowadzoną przez rodzinę przekształceń { :, :. Topologia ta jest taka, Ŝe kaŝde przekształcenie jest, -ciągłe, a ponadto, gdy jest topologią w taką, Ŝe dla kaŝdego, przekształcenie jest, - ciągłe, to. Niech i niech będzie rzutowaniem zbioru w zbiór dla. Topologia produktowa (Tichonowa ) w produkcie, jest topologią w zbiorze wprowadzoną przez rodzinę przekształceń :, :. Jest to najmniejsza ze względu na relację inkluzji topologia w zbiorze taka, Ŝe kaŝde z rzutowań jest, -ciągłe. Oddzielanie przez zbiory otwarte: Definicje. Mówimy, Ŝe przestrzeń topologiczna jest: 0) przestrzenią, gdy dla kaŝdej pary, róŝnych punktów zbioru istnieje zbiór otwarty w taki, Ŝe zbiór, ma dokładnie jeden element; 1) przestrzenią, gdy dla kaŝdej pary, róŝnych punktów zbioru istnieje zbiór otwarty w taki, Ŝe i ; 2) przestrzenią lub przestrzenią Hausdorffa, gdy dla kaŝdej pary, róŝnych punktów zbioru istnieje para, rozłącznych zbiorów otwartych w taka, Ŝe i ; 3) przestrzenią regularną, gdy dla kaŝdego zbioru domkniętego w i kaŝdego punktu, istnieje para, rozłącznych zbiorów otwartych w taka, Ŝe i ; regularne przestrzenie bywają nazywane przestrzeniami; 4) przestrzenią normalną, gdy dla kaŝdej pary, rozłącznych zbiorów domkniętych w istnieje para, rozłącznych zbiorów otwartych w taka, Ŝe i ; normalne przestrzenie bywają nazywane przestrzeniami; 5) przestrzenią dziedzicznie normalną, gdy kaŝda podprzestrzeń przestrzeni jest normalna; przestrzenie dziedzicznie normalne bywają nazywane przestrzeniami; 6) przestrzenią doskonale normalną, gdy jest przestrzenią, w której kaŝdy zbiór otwarty jest typu w. Zadania: 23

Zadanie 23. Uzasadnić, Ŝe zbiór jest brzegowy w przestrzeni topologicznej wtedy i tylko wtedy, gdy int. Zadanie 24. Uzasadnić, Ŝe zbiór jest nigdziegęsty w przestrzeni topologicznej wtedy i tylko wtedy, gdy int cl. Zadanie 25. Wskazać wszystkie zbiory brzegowe w przestrzeni topologicznej (4, {, 4, 1,3, 2,3, 1,2,3, 3. Zadanie 26. Wskazać wszystkie zbiory nigdziegęste w przestrzeni topologicznej (4,5), gdzie 5 jest topologią w 4. Zadanie 27. Podać przykład zbioru R takiego, Ŝe. Zadanie 28. Uzasadnić, Ŝe jeśli jest podprzestrzenią przestrzeni topologicznej oraz, to cl cl. Zadanie 29. Uzasadnić, Ŝe jeśli : jest indeksowaną elementami zbioru rodziną przestrzeni topologicznych oraz dla kaŝdego, natomiast i, to prawdą jest w ZF, Ŝe cl cl. (*) Udowodnić, Ŝe pewnik wyboru jest równowaŝny zdaniu: dla kaŝdej rodziny : przestrzeni topologicznych oraz dla dowolnych zbiorów dla, zachodzi równość: cl cl, gdzie. Zadanie 30. Niech id oznacza przekształcenie toŝsamościowe (identycznościowe) na zbiorze oraz niech, będą topologiami w zbiorze. Wstawić odpowiednie inkluzje lub znak równości w następujących zdaniach: i) id jest ciągłe względem, wtedy i tylko wtedy, gdy ; ii) id jest otwarte względem, wtedy i tylko wtedy, gdy ; iii) id jest domknięte względem, wtedy i tylko wtedy, gdy ; iv) id jest homeomorfizmem, na, wtedy i tylko wtedy, gdy ;. Zadanie 31. sprawdzić, czy przekształcenie f: 5 4 jest ciągłe względem pary topologii (, ), gdzie f(0)=1, f(1)=2 =f(3), f(2)=0=f(4), ={, 5, {0,1,4}, {1,2,3}, {1}}, ={, 4, {1, 2}, {0, 2,3}, {2}}. Zadanie 32. Sprawdzić, czy przekształcenie : 5 4 jest ciągłe względem pary topologii (6, 5), gdzie 1 dla kaŝdego 5, a 6 jest topologią w 5, natomiast 5 jest topologią w 4. Wykład 5. Warunki oddzielania ciąg dalszy: 24

Podstawowy warunek równowaŝny regularności przestrzeni. [ZF] Niech dla kaŝdego rodzina B będzie bazą otoczeń punktu w przestrzeni topologicznej. Wówczas jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy gdy: cl. Dowód. Konieczność. ZałóŜmy najpierw, Ŝe jest przestrzenią regularną oraz i. Wtedy zbiór jest domknięty w oraz. Wobec regularności przestrzeni, istnieje para, rozłącznych zbiorów otwartych w taka, Ŝe i. Istnieje takie, Ŝe. Skoro i jest zbiorem domkniętym w, to cl. Oczywiście,, zatem cl. Dostateczność. ZałóŜmy, Ŝe spełniony jest warunek: cl. Aby pokazać, Ŝe jest przestrzenią regularną, rozwaŝmy dowolny zbiór domknięty w oraz przypuśćmy, Ŝe. Istnieje takie, Ŝe. Niech będzie takie, Ŝe cl. Zbiór cl jest otwarty w, rozłączny z, a ponadto, co dowodzi regularności. Podstawowy warunek równowaŝny normalności przestrzeni. [ZF] Przestrzeń topologiczna jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru domkniętego w i dowolnego zbioru otwartego w takiego, Ŝe, istnieje zbiór otwarty w taki, Ŝe cl. Dowód tego twierdzenia pozostawiam jako ćwiczenie, gdyŝ moŝna go przeprowadzić podobnie jak dowód poprzedniego twierdzenia dla regularności. Podstawowy warunek równowaŝny dziedzicznej normalności przestrzeni. [ZF] Przestrzeń topologiczna jest dziedzicznie normalna wtedy i tylko wtedy, gdy kaŝda jej otwarta podprzestrzeń jest normalna. Dowód. Oczywiście, gdy przestrzeń topologiczna jest dziedzicznie normalna, to kaŝda jej otwarta podprzestrzeń jest normalna. ZałóŜmy zatem, Ŝe kaŝda otwarta podprzestrzeń przestrzeni topologicznej jest normalna i rozwaŝmy jej jakąkolwiek podprzestrzeń. Niech, będzie parą rozłącznych zbiorów domkniętych w. Zbiór cl cl jest domknięty w, zatem zbiór jest otwarty w, natomiast zbiory cl oraz cl są domknięte w oraz rozłączne. Skoro jest podprzestrzenią normalną przestrzeni, to istnieje para, rozłącznych zbiorów otwartych w taka, Ŝe i. Zbiory oraz są otwarte w, rozłączne, a ponadto oraz, więc jest przestrzenią normalną. Twierdzenie o dziedziczeniu normalności przez podprzestrzenie domknięte. [ZF] KaŜda podprzestrzeń domknięta przestrzeni normalnej jest normalna. Dowód. Niech będzie podprzestrzenią domkniętą przestrzeni normalnej. Niech, będzie parą rozłącznych zbiorów domkniętych w. Zbiory, są domknięte w, a więc z normalności wynika, Ŝe istnieje para, rozłącznych zbiorów otwartych w taka, Ŝe i. Zbiory oraz są otwarte w, rozłączne oraz i. Zatem jest przestrzenią normalną. 25