Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność Schemat oceniania zadań otwartych x 3x 0. Obliczamy wyróżnik i pierwiastki trójmianu kwadratowego 3 x 4 Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego 9 4,, 3. 4 yx 3x,, x x 3x y 3-0 3 x - z którego odczytujemy zbiór rozwiązań rozwiązywanej nierówności x,,. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. x poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności zapisze nierówność w postaci równoważnej zapisze zbiór rozwiązań nierówności x i na tym 3 x i na tym poprzestanie lub błędnie 4 4 Strona z 4

popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność 3 błędnie przekształci nierówność do postaci równoważnej, np. zapisze x 4 4 i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: (,, lub x,, lub x lub x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Zadanie. ( pkt) Oblicz największą wartość funkcji kwadratowej f ( x) x 6x w przedziale,3. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f jest równa b 6 xw 4. a Stąd i z ujemnego znaku współczynnika stojącego przy x wnioskujemy, że w przedziale,3 funkcja f jest rosnąca. Zatem największa wartość funkcji f w tym przedziale jest równa f 3 3 638 48. Odpowiedź: Największa wartość funkcji f w przedziale,3 jest równa. Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f zapisze wzór funkcji f w postaci kanonicznej i stwierdzi, że w przedziale,3 funkcja jest rosnąca (wystarczy, że stwierdzi, że jest monotoniczna, o ile w dalszej części rozwiązania oblicza wartości na obu krańcach przedziału,3 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy największą wartość funkcji w przedziale,3 :. x Strona z 4

Zadanie 3. (pkt) Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest ćwiartką koła o promieniu 8 cm. Oblicz wysokość tego stożka. 8. 8 r h 8 r Ponieważ powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest ćwiartką koła o promieniu 8 cm, więc pole powierzchni bocznej stożka jest równe 8 6. 4 Zatem ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka otrzymujemy r8 6. Stąd r. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy Odpowiedź: Wysokość stożka jest równa cm. h Strona 3 z 4 8 r 8 60. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze związek pozwalający obliczyć promień podstawy stożka, np. wykorzysta wzór na pole powierzchni bocznej stożka i zapisze równanie r8 8. 4 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy wysokość stożka: h. Zadanie 4. (pkt) a jest określony dla n wzorem Ciąg n 3 3. ciągu jest liczba an n 4 3. Sprawdź, którym wyrazem tego Po zastosowaniu wzoru na kwadrat sumy i wykonaniu redukcji otrzymujemy Zatem liczba 3 3 9 4 4 3 3 6 4 34 4 3. 3 3 jest czwartym wyrazem ciągu a. 3 3 a 4. Odpowiedź: Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie zastosuje wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy: 3 3 9 4 4 3 3. Zdający otrzymuje... pkt gdy doprowadzi wyrażenie 3 3. 3 3 a 4 do postaci 6 4 3 i zapisze, że n

Zadanie. (pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x y z 3 prawdziwa jest nierówność x y z 3. Dowód I sposób rozwiązania Z założenia x y z 3 w sposób równoważny otrzymujemy z 3 x y. Wobec tego tezę możemy zapisać 3 3 x y x y, x y x y x y 9 6 3, x y 96x6y x xy y 3, x xy y 6x6y 6 0 x xy y x y 3 3 3 0, x y x y y 3 3 3 0. Otrzymaliśmy w ten sposób nierówność kwadratową z niewiadomą x. Wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie tej nierówności jest równy y3 4 y 3y3 y 6y94y y 3y 6y33 y y 3 y 0 dla każdej y R To, wraz z dodatnim współczynnikiem przy prawdziwa dla dowolnej liczby x R. Strona 4 z 4. x oznacza, że nierówność kwadratowa jest Uwaga Prawdziwość otrzymanej nierówności x xy y 3x3y 3 0 możemy też udowodnić zapisując ją w postaci równoważnej jej nierówności prawdziwej w sposób oczywisty. Pokażemy dwa takie sposoby: a) x xy y 3x3y 3 0, x x y y xy x y 0, x y x y y x y x y 0, 0, 3 0, 4 4 x x y y y 3 x y y 0. 4 Nierówność ta jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y. b) x y x y 0, x x y y x y 0, x x y y x y 0 x y x y 0. Podobnie jak poprzednio uzyskujemy nierówność prawdziwą w sposób oczywisty.

II sposób rozwiązania Podstawiając x a, y b, z c możemy zapisać założenie w postaci a b c 3, czyli ab c 0, zaś tezę możemy zapisać w sposób równoważny w postaci kolejno: a b c 3, a a b b c c 0, a b c a b c. Ostatnia nierówność jest, wobec założenia ab c 0, równoważna nierówności a b c 0, która jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych. III sposób rozwiązania Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z prawdziwe są nierówności czyli x y 0 y z 0 z x 0,,, x y xy, y z yz, z x zx. Dodając te nierówności stronami otrzymujemy x y z xy yz zx. Ponieważ z założenia x y z 3, więc Stąd Otrzymujemy zatem co należało udowodnić. x y z xy yz zx 9. xy yz zx 9 x y z. x y z 9 x y z, 3x 3y 3z 9, x y z 3, IV sposób rozwiązania Dla liczb nieujemnych x, y, z prawdziwa jest nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową x y z x y z. 3 3 Jeżeli natomiast któraś z liczb x, y, z jest ujemna, to ta nierówność również jest prawdziwa. Stąd i z założenia, że x y z 3 dostajemy x y z. 3 Podnosząc obie strony te nierówności do kwadratu, a następnie mnożąc je przez 3 dostajemy tezę. Strona z 4

Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej jej nierówności kwadratowej x y3 x y 3y 3 0 i zapisze, że otrzymana nierówność to nierówność kwadratowa lub obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego x y3 x y 3y 3 zapisze nierówność w postaci równoważnej x y x y 0 zastosuje podstawienie x a, y b, z c i zapisze założenie w postaci ab c 0 oraz tezę w postaci a b c 3 xy yz zx 9 x y z wynikająca z założenia oraz zapisze równość wykaże prawdziwość nierówności x y z xy yz zx (wystarczy, że powoła się na znaną nierówność, prawdziwą dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z) zastosuje nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową i zapisze x y z x y z nierówność (nawet bez rozpatrywania znaków liczb x, y, z) 3 3 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 6. (pkt) Wykaż, że jeżeli ramiona AD i BC trapezu ABCD o podstawach AB i CD zawierają się w prostych prostopadłych (zobacz rysunek), to AB CD AC BD. Niech E oznacza punkt przecięcia prostych AD i BC (przyjęliśmy za rysunkiem, że AB CD. Gdyby AB CD, to punkt E leżałby po drugiej stronie prostej CD, zaś rozumowanie nie zmieniłoby się). E. D C A B Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego kolejno do trójkątów ABE, DCE, ACE, BED otrzymujemy równości Strona 6 z 4

() () (3) (4) Zatem To kończy dowód. AB AE BE, CD DE CE, AC AE CE, BD DE BE. (),() (3),(4) AB CD AE BE DE CE AE CE DE BE AC BD. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze równości wynikające z twierdzenia Pitagorasa pozwalające udowodnić tezę, np.: AB AE BE, CD DE CE, i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. AC AE CE, BD DE BE Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Strona 7 z 4

Zadanie 7. (4pkt) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy liczbę spełniającą jednocześnie trzy następujące warunki: () liczba jest podzielna przez, () cyfry dziesiątek i setek są nieparzyste, (3) cyfra dziesiątek jest nie większa niż cyfra setek. Zdarzeniem elementarnym jest wylosowanie liczby naturalnej czterocyfrowej, więc zbiór 000,00,00,,9999. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych ma postać wszystkich liczb w tym zbiorze jest równa 9999 999 9000. Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba ze zbioru spełnia jednocześnie warunki (), () i (3). Liczba jest podzielna przez, więc jej dwucyfrowa końcówka to 00,, 0 lub 7. Ponieważ z () warunku wynika, że cyfra dziesiątek jest nieparzysta, więc końcówką może być jedynie 0 lub 7. Cyfra setek jest nieparzysta i cyfra dziesiątek jest od niej nie większa. Mamy zatem następujące trzycyfrowe końcówki liczby: 0, 70, 90, 77, 97. Cyfrą tysięcy jest dowolną cyfrą spośród dziewięciu cyfr:,, 3, 4,, 6, 7, 8, 9. Zatem A 9. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe A 9 P A. 9000 00, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: 9000 poprawne rozpatrzenie jednego z podanych warunków, np. obliczenie liczby wszystkich końcówek dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez lub ich wypisanie., w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz poprawne rozpatrzenie jednego z podanych warunków, np. obliczenie liczby wszystkich końcówek dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez lub ich wypisanie poprawne rozpatrzenie co najmniej dwóch warunków ale nie obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie jej z błędem. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A 9. pełne...4 pkt Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P A. 00 Strona 8 z 4

Zadanie 8. (pkt) Prostokątny pas wykładziny dywanowej o wymiarach 3,6 m na 7, m należy przeciąć prostopadle do dłuższego boku tak, aby przekątne otrzymanych dwóch prostokątnych kawałków różniły się o, m. Oblicz wymiary większego z otrzymanych kawałków. : Oznaczmy przez x nieznany wymiar większego z kawałków. Przekątna tego kawałka jest dłuższa od przekątnej mniejszego z kawałków. D F C 3,6 d A Nieznany wymiar mniejszego kawałka i długość przekątnej tego kawałka są równe odpowiednio EB 7, x, FB d,. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AED i dla trójkąta EBF otrzymujmy DE AE AD oraz x FB EB EF, d 3,6 x oraz d, 7, x 3,6. Drugie równanie zapisujemy w postaci d 3d, 6, x x 3,6. Stąd i z pierwszego równania mamy d 3d, 6, x d, x 3d 4, x d 8, d x 8. Podstawiając w miejsce d w pierwszym równaniu x 8 otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą 7, x 8 3, 6 x, x 80x 34,96 x, 4x 80x 3,04 0. 80 443,04 8080 4463,04 44 44 4463,04 6 4 4 63,04 6 8,76, 6 8,76 4,6 0, 4 80 0, 4 9, 6 80 0, 4 30, 4 x,7 lub x 4,8. 48 48 48 48 Pierwsze z otrzymanych rozwiązań nie spełnia warunków zadania, gdyż wówczas mielibyśmy dx8,784, 0. Zatem wymiary większego z otrzymanych kawałków są równe 3,6 m na 4,8 m. E B Strona 9 z 4

, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Przyjęcie oznaczeń i zapisanie jednego z równań wynikających z treści zadania, np.: d 3,6 x, gdzie x oznacza nieznany wymiar większego z kawałków, zaś d długość przekątnej tego kawałka., w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć wymiary większego z kawałków, np.: d 3,6 x. d, 3, 6 7, x Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt x8 3, 6 x. Doprowadzenie układu do równania z jedną niewiadomą (x d), np.: zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)...4 pkt Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą (x d), np.: 4x 80x 3,04 0. bezbłędne... pkt Obliczenie nieznanego wymiaru większego kawałka: 4,8 m. Strona 0 z 4

Zadanie 9. (4pkt) Prosta o równaniu y x przecina okrąg o równaniu x y Strona z 4 3 w punktach A i B. Oblicz współrzędne punktów A i B oraz wyznacz równanie stycznej do danego okręgu, przechodzącej przez jeden z tych punktów. Środkiem okręgu o równaniu x y 3 jest punkt S 3,, a promień tego okręgu jest równy r. Narysujmy ten okrąg wraz z prostą k o równaniu y x. A 0 9 8 7 6 4 3 - -4-3 - - 3 4 6 7 8 9 0 3 4 - - y Współrzędne punktów przecięcia prostej k z okręgiem obliczmy rozwiązując układ równań x 3 y. y x Stąd otrzymujemy równanie S B x x x x x3 0, k 3, 3 3, x 3 0, x 3 x 3 0, x 3 lub x 3 Gdy x 3, to wtedy y x, a gdy x 3, to wówczas y x. Zatem prosta k przecina okrąg w punktach A3,, B3,. Zauważmy, że środek S okręgu leży na prostej k, gdyż 3. Oznacza to, że styczna do okręgu przechodząca przez punkt A lub przez punkt B jest prostopadła do prostej k. Równanie stycznej do okręgu przechodzącej przez A ma zatem postać y x3, czyli yx8. x

Równanie stycznej do okręgu przechodzącej przez B ma postać y x3, czyli yx8. Odpowiedź. A3,, B3,, styczna do danego okręgu poprowadzona przez punkt A ma równanie yx8, a styczna poprowadzona przez punkt B ma równanie yx8., w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Doprowadzenie układu równań x y 3 i y x do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np.: x x 3., w którym jest istotny postęp... pkt układu równań i zapisanie współrzędnych punktów A i B: A3,, B3,. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej do danego okręgu przechodzącej przez punkt A lub przez punkt B:. pełne... 4 pkt Wyznaczenie równania stycznej do danego okręgu przechodzącej przez punkt A (lub przez punkt B): yx8 ( lub yx8 ). Strona z 4

Zadanie 30. (pkt) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Wysokość SE ściany bocznej ADS jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a punkt E jest środkiem krawędzi AD (zobacz rysunek). Pole ściany ADS jest równe cm, a objętość ostrosłupa jest równa 48 cm 3. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej CS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Wynik zaokrąglij do. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zaznaczmy też kąt między krawędzią boczną CS ostrosłupa a płaszczyzną jego podstawy. Jest to kąt ostry w trójkącie prostokątnym ECS o kącie prostym przy wierzchołku E. S h b E. D p a C Pole ściany bocznej ADS jest równe, więc możemy zapisać równanie ah. Wykorzystując podaną objętość ostrosłupa zapisujemy drugie równanie z tymi samymi niewiadomymi a i h 48 3 a h. Z pierwszego równania otrzymujemy ah 4, więc stąd i z drugiego równania dostajemy 4 48 3 a, a 6. Zatem 6h 4, czyli h 4. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego EDC otrzymujemy Stąd p 3. Obliczmy tangens kąta w trójkącie ECS A EC ED CD, p 3 6 4. h 4 4 tg 0,963. p 3 Z tablic odczytujemy miarę kąta zaokrągloną do 3. Odpowiedź: 3. a B Strona 3 z 4

, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zapisanie jednego z równań: ah, a h 48, gdzie a oznacza długość krawędzi 3 podstawy ostrosłupa, zaś h wysokość ostrosłupa i jednocześnie wysokość ściany bocznej ADS., w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa oraz wysokość ostrosłupa: ah oraz 48 3 a h. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Zaznaczenie kąta nachylenia krawędzi bocznej CS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa i wysokości ostrosłupa: a 6, h 4. Uwaga Jeżeli zdający zaznaczy zły kąt nachylenia krawędzi bocznej CS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa, to za całe rozwiązanie zadania może otrzymać co najwyżej punkty. zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)...4 pkt Obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta i błędne odczytanie miary kąta obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta z błędem rachunkowym i konsekwentne podanie miary kąta. bezbłędne... pkt Odczytanie miary kąta : 3. Strona 4 z 4