Mrosław Klawk ZSTOSOWNIE ZIORÓW ROZMYTYCH W JEDNOETPOWYM PROCESIE PODEJMOWNI DECYZJI PRZEZ JEDNEGO DECYDENT Wstęp Podemowane odpowednch decyz est zależnone od stopna wedzy decydenta o stanach natry oraz ego preferenc. Pomaąc na raze problem określena preferenc decydenta można wyróżnć trzy sytace (Helpern, 00: podemowane decyz w warnkach pewnośc, podemowane decyz w warnkach ryzyka, podemowane decyz w warnkach nepewnośc. Sytace te różną sę stopnem posadane wedzy o stanach natry. Perwsza sytaca występe dosyć rzadko zakłada, że wadomo na pewno, ak stan natry wystąp w danym momence. Drga sytaca est możlwa wtedy, gdy można opsać wszystke potencalne stany natry oraz oszacować prawdopodobeństwo ch wystąpena. To prawdopodobeństwo tożsama sę ze stopnem ryzyka w procese decyzynym (Nahotko, 997. Z trzecą sytacą można sę spotkać, kedy decydent ne ma pełne nformac o stanach natry lb ne można określć prawdopodobeństwa ch wystąpena. Dokone sę wtedy pewnego przyblżena, oszacowana na podstawe nformac, które są w posadan (praktyczne ne zdarza sę sytaca, w które ne ma żadnych nformac, czyl bde sę model proces podemowana decyz. Jest oczywste, że w sytacach neednoznacznych, maąc nawet dentyczne nformace, można zbdować wele różnych model. Zależy to główne od tego, na ak bardzo skomplkowany oblczenowo model zdecyde sę de-
78 Mrosław Klawk cydent. Wąże sę to bezpośredno z kosztam w relac m bardze skomplkowany model, tym wększe ponos koszty, oraz nformacam w tym sense, że m węce nformac zostane wykorzystanych do bdowy model, tym bardze wzrasta ego złożoność. Wdać węc wyraźne, że należy sę dobrze zastanowć nad wyborem narzędz słżących do bdowy model. Dodatkowo należy pamętać o tym, że dla decydenta dobra decyza ne zawsze oznacza dealną decyzę, tzn. eżel znadzemy dobrą decyzę, która spełna pozom ego oczekwań, to często koszt znalezena lepsze decyz przekracza zysk z tego płynące (oczywśce w sense relac preferenc decydenta. Na konec zawsze należy pamętać o tym, że wraz ze złożonoścą model wzrasta ne tylko koszt ego bdowy, ale także błąd oblczenowy, co w skranych wypadkach może prowadzć do fałszywych wynków. Wobec powyższych faktów można żyć dwóch teor słżących do bdowy takego model: teorę rachnk prawdopodobeństwa oraz teorę zborów rozmytych. Perwsza z nch wąże sę z tratą nformac zawartych np. w stwerdzenach: mne węce, prawe, około tp., ale za to otrzymany model est znaczne prostszy oblczenowo nż model zbdowany na podstawe teor zborów rozmytych. Z drge strony zbyt nagmnne sęgane po zbory rozmyte zbytne rozmyce model może prowadzć do złych wynków, które są sprzeczne ze zdrowym rozsądkem. W rozdzale pokażemy, w ak sposób zbytne rozmyce model prowadz do wynków sprzecznych z oczekwanym.. Zbory rozmyte Defnca Zborem rozmytym określonym na przestrzen X nazywa sę zbór porządkowanych par: {(, x : x X} ( gdze : X [0,] est fnkcą przynależnośc. Nośnkem zbor rozmytego est zbór: spp { x : 0} ( Fnkca przynależnośc est węc pewnym rozszerzenem fnkc charakterystyczne zbor z tą różncą, że każdem elementow x przypsana est wartość lczbowa z przedzał [0,], która mów o wedzy lb przekonan, czy
ZSTOSOWNIE ZIORÓW ROZMYTYCH 79 element x należy do. Jeśl 0, to x na pewno ne należy do ; eśl, to x z całą pewnoścą należy do ; eśl, to o przynależnośc x do ne można nc powedzeć. Zbory nerozmyte często określa sę ako ostre. W przypadk gdy zbór X x, x,, x } est skończony stose sę notacę: n { n ( x, x 0 x Defnca Zbór rozmyty nazywa sę normalnym wtedy, gdy stnee x 0, take że ( x 0. Oznacza to, że stnee chocaż eden element, który na pewno należy do. Oczywśce eżel zbór rozmyty ne est normalny, można przeprowadzć ego normalzacę przymąc fnkcę przynależnośc: max Defnca 3 Zbór rozmyty nazywa sę wypkłym, eśl ego fnkca przynależnośc spełna warnek: ( λx + ( λ y mn{, ( y} x, y X λ [0,] (3 Defnca 4 Nech, będą zboram rozmytym w X. Zbór rozmyty zawera sę w zborze rozmytym ( gdy: x X (4 Zbór rozmyty est równy zborow rozmytem ( gdy: x X (5
80 Mrosław Klawk Dopełnenem zbor rozmytego nazywamy zbór o fnkc przynależnośc: (6 o fnkc przy- Smą zborów rozmytych nazywamy zbór należnośc: max{, } (7 Przecęcem zborów rozmytych nazywamy zbór przynależnośc: o fnkc mn{, } (8 Powyższe defnce pochodzą od Zadeha, czasam ednak korzysta sę z nnych, mne ntcynych (Kacprzyk, 986; Czogała, Pedrycz, 980. Szczególne ważne są pewne defnce smowana mnożena zborów rozmytych, nazywane mękkm przecęcem mękką smą, w przecweństwe do wyże wymenonych, które czasem nazywa sę twardym przecęcem twardą smą. Defnca 5 Nech, będą zboram rozmytym w X. Mękkm przecęcem nazywa sę zbór rozmyty o fnkc przynależnośc: Mękką smą nazywa sę zbór rozmyty (9 + o fnkc przynależnośc: + + (0 Z pnkt wdzena poęca zmenne lngwstyczne ważne są następące defnce: Defnca 6 Nech będze zborem rozmytym w X. Koncentracę oznaczamy CON( defnemy ako zbór rozmyty o fnkc przynależnośc: CON ( ( (
ZSTOSOWNIE ZIORÓW ROZMYTYCH 8 Rozceńczene est to zbór rozmyty DIL(, tak że: 0,5 DIL( ( ( Intensyfkaca kontrast INT( est to zbór rozmyty o fnkc przynależnośc: INT ( ( ( 0, 5 x X : < 0,5 x X : 0,5 Zmneszene kontrast LR( est to zbór rozmyty o fnkc przynależnośc: LR( ( ( 0,5 x X : < 0,5 x X : 0,5 (3 (4 Mówąc potoczne: koncentraca wyostrza zbór rozmyty, a rozceńczene go spłaszcza. Defnca 7 Nech będze zborem rozmytym w X, a zborem rozmytym w Y. Iloczynem kartezańskm zborów nazywa sę zbór o fnkc przynależnośc: x X y Y ( x, y mn{, ( y}, (5 Defnca 8 Z defnc 7 wynka, że zbór est rozmyty w X Y. Relacę dwargmentową R mędzy dwoma ostrym zboram X Y defne sę ako zbór rozmyty w X Y, czyl: R {( R ( x, y,( x, y : x X, y Y} (6 W przypadk gdy zbory X Y są skończone, można zapsać e ako: R ( x, y R ( x, y x, y (7
8 Mrosław Klawk W przypadk zwykłe nerozmyte relac mów sę, że dwa elementy są ze sobą w relac lb ne. Natomast relaca rozmyta określa stopeń od 0 do, w akm te dwa elementy są ze sobą w relac. Defnca 9 Nech X,Y, Z będą zboram ostrym, R relacą rozmytą w X Y, a G relacą rozmytą w Y Z o fnkcach przynależnośc odpowedno R ( x, y G ( y, z. Złożenem typ max-mn relac rozmytych R G nazywa sę relacę rozmytą R o G w X Z o fnkc przynależnośc: Ro G ( x, z max{mn{ R ( x, y, G ( y, z}} x X, z Z (8 y Y Jeżel zbory X,Y, Z są neskończene wele wymarowe, to w powyższym złożen berze sę pod wagę spremm zamast maksmm. Podobne ak w przypadk smowana mnożena zborów rozmytych, tak przy składan relac można podać wele defnc (Kacprzyk, 986. Defnca 9 est ednak naczęśce stosowana.. Podemowane decyz Defnca 0 Nech S s, s,, s } będze zborem stanów natry, { n D { d, d,, d m} zborem decyz, l : D S R fnkcą wypłaty, a P rozkładem prawdopodobeństwa określonym na przestrzen stanów natry: Wtedy dla każde decyz p P s (9 ( d można polczyć średne wartośc oczekwane E : E n l( d, s p (0 oraz stosąc kryterm maksymalne wartośc oczekwane wyznaczyć decyzę optymalną d 0, taką że: E0 max E (,, m
ZSTOSOWNIE ZIORÓW ROZMYTYCH 83 Powyższa defnca est dobra tylko w przypadk, gdy decydent chce zmaksymalzować swó zysk, a fnkca wypłaty ścśle odpowada ego preferencom, np. kedy określa ona zysk fnansowy, który decydent chce osągnąć ak nawyższy. W ogólnym przypadk ego oczekwana mogą być ednak nne, dlatego wprowadza sę poęca relac preferenc oraz fnkc żytecznośc (Helpern, 99; Krawczyk, 990. Defnca Nech X będze zborem wartośc fnkc wypłaty l, O X X relacą preferenc decydenta, taką że eśl ( x, x O, to x est preferowane w stosnk do x. Fnkcą żytecznośc nazywamy fnkcę : X R, taką że: ( x, x O ( x > ( x, ( αx + ( α x α ( x + ( α ( x, gdze α [0,] est prawdopodobeństwem, 3 eśl spełnaą, to ( x a ( x + b, a, b R, a > 0. W sytac gdy zbory S D są skończone, fnkcę żytecznośc przedstawa sę często w postac macerzy [ ], gdze odpowada żytecznośc wynkaące z decyz d, przy stane natry s. Gdy est określona macerz żytecznośc, analza decyzyna odbywa sę dentyczne ak w defnc 0 (do wzor (0 podstawa sę ednak zamast l ( d, s. Czasam zdarza sę, że ne można ednoznaczne określć zbor stanów natry za pomocą lczb rzeczywstych lb określonego na nm rozkład prawdopodobeństwa. Korzysta sę wtedy z teor zborów rozmytych. Do dalszych oblczeń zostane wykorzystana defnca smowana mękkego (0. Defnca Nech S n S ( s będze rozmytym stanem natry, s D d, d,, d } zborem decyz, a: { m
84 Mrosław Klawk m m n n mn macerzą żytecznośc ( R. żyteczność rozmytą ako zbory rozmyte: n ( Następne wprowadza sę zbór:, wynkaącą z podęca decyz d, określa sę, gdze ( s ( ( S oraz: Y m spp max max Y Koleno określa sę zbory rozmyte: n ( m m, gdze ( m max (3 oraz: n ( 0 0, gdze ( mn{ (, ( } 0 m (4 Przez decyzę rozmytą rozme sę zbór: D* m d d D* (, gdze d max ( (5 (,, 0 D* n Każde decyz d przyporządkowany est węc pewen stopeń przynależnośc D* ( d. Natralną regłą est to, że wybera sę decyzę o nawyższym stopn przynależnośc.
ZSTOSOWNIE ZIORÓW ROZMYTYCH 85 W przypadk gdy stnee wele stanów rozmytych S k, można postąpć na dwa sposoby. Perwszy polega na tym, że dokone sę pewne agregac zborów S k w eden rozmyty stan natry S ; w drgm sposobe dla każdego zbor S k przeprowadza sę analzę z defnc wyznacza sę nową macerz żytecznośc, które elementam są rozmyte żytecznośc 0. Rozwązane problem decyzynego z rozmytym żytecznoścam wygląda następąco: Defnca 3 Nech S n S ( s będze rozmytym stanem natry, s D d, d,, d } zborem decyz, a: { m m m n n mn rozmytą macerzą żytecznośc, które elementy są zboram rozmytym w pewnym zborze P {,,, p ( k p}, czyl. k d przy rozmy- żyteczność rozmytą wynkaącą z zastosowana decyz tym stane natry S określa sę ako: Zbory n ( k, gdze ( ( s (6 S redke sę do zborów w następący sposób: p k ( k, gdze ( mn{ (, ( } k S s k k : s spp S (7
86 Mrosław Klawk Dale postępe sę dentyczne ak w przypadk nerozmytych wartośc fnkc żytecznośc, tzn. określa sę zbory z tą różncą, że max k. m max k,, p Następne porówne sę te zbory z, w wynk czego określa sę zbory 0 zgodne ze wzorem (5 wyznacza sę rozmytą decyzę optymalną D *. 3. Rozwązane problem metodą probablstyczną Rozważmy następący prosty problem decyzyny. Właśccel newelke pekarn zastanawa sę, ak zaplanować wypek chleba w cel zmaksymalzowana swoego zysk. Jest oczywste, że klczową rolę odgrywa t właścwe określene popyt dostosowane do nego prodkc. Dla proszczena przyął on następącą fnkcę wypłaty, która odpowada ego macerzy żytecznośc: Dane oblczenowe Tabela d s 0 0 40 60 80 00 0-0 0 0 0 0 0 40-40 -0 0 0 0 0 60-60 -30 0 30 30 30 80-80 -50-0 0 40 40 s popyt, d welkość prodkc. W sytac gdy ne są dostępne żadne nne nformace, rozwązane zadana est trywalne. Zakłada sę, że każdy ze stanów natry est ednakowo prawdopodobny otrzyme sę nawyższe wartośc oczekwane dla decyz d d równe E max 5. Załóżmy, że pekarz ma nformace o możlwych stanach natry, pochodzące z różnych źródeł, ale maące ednakową wagę. Są one następące: I popyt wynese około 40 I popyt wynese około 60 I 3 bardzo możlwe, że popyt wynese 40
ZSTOSOWNIE ZIORÓW ROZMYTYCH 87 I 4 popyt wynese neco mne nż 80 I 5 popyt wynese neco węce nż 60 I 6 popyt wynese mne węce 60 Wszystke nformace są ednakowo ważne. Po opszczen rozmytych nformac, czyl około, mne węce, neco mne neco węce otrzyme sę konkretne wskazana: dwa na 40, trzy na 60 edno na 80. orąc pod wagę te wskazana, rozkład ednostany,,,,, zamena sę 6 6 6 6 6 6 na rozkład 0,0,,,,0. Zmenaą sę też wartośc oczekwane, które 3 6 są odpowedno równe E 0, E 0, E 3 0, E 4 5. E max 0 dla decyz d d 3. Zadane zostało rozwązane, mmo pomnęca ważnych nformac rozmytych. Jak bardzo są one ważne, pokaże rozwązane zadana, w którym te nformace zostaną względnone. Do ego rozwązana zostane wykorzystana teora zborów rozmytych. 4. Rozwązana z wykorzystanem teor zborów rozmytych Naperw trzeba przedstawć nformace I k ako odpowedne zbory rozmyte, posłgąc sę poęcem zmenne lngwstyczne (Kacprzyk, 986: I 0,5/0+/40+0,5/60 I 0,5/40+/60+0,5/80 I 3 0,5/0+/40+0,5/60 I 4 0,5/60+/80 I 5 /60+0,5/80 I 6 0,7/40+/60+0,7/80 Następne trzeba połączyć wszystke rozmyte nformace w eden rozmyty stan natry S. Poneważ wszystke I k są ednakowo ważne, S ( s s można zrobć to w ten sposób, że s S ( s będze średną arytmetyczną z wartośc fnkc przynależnośc I k. Wtedy: S 0,5/0+0,535/40+0,708/60+0,45/80 (8
88 Mrosław Klawk Korzystaąc z algorytm przedstawonego w defnc 0 wyznacza sę koleno żytecznośc rozmyte wynkaące z decyz d : 0,935/0 0,5/-0+0,96/0 3 0,5/-30+0,535/0+0,84/30 4 0,5/-50+0,535/-0+0,708/0+0,45/40 zbory rozmyte m : m 0,5/0 m 0/-0+0,5/0 3m 0/-30+0/0+0,75/30 4m 0/-50+0/-0+0,5/0+/40 zbory 0 : 0 0,5/0 0 0/-0+0,5/0 30 0/-30+0/0+0,75/30 40 0/-50+0/-0+0,5/0+0,45/40 Ostateczne decyzą rozmytą est zbór D * tak, że d max{ ( }, czyl: ( 0 * D k D * 0,5/d +0,5/d +0,75/d 3 +0,45/d 4 (9 W take sytac, zgodne z defncą 0, wybera sę decyzę d o nawyższym stopn przynależnośc w zborze rozmytym D * (w naszym przykładze optymalna est decyza d 3. Przy pomnęc rozmytego charakter nformac I k, decyze d d 3 są neodróżnalne, natomast wykorzystąc e można zaważyć, że decyza d 3 est o wele lepsza od pozostałych. W model, który został przeanalzowany chodzło o określene decyz optymalne, która maksymalze zysk właśccela pekarn. Często est to właścwa wystarczaąca metoda, ednak ne berze ona pod wagę ndywdalnych preferenc decydenta. W szczególnym przypadk mogą sę one różnć od przyętych założeń. Rozpatrzmy następącą sytacę: decydent msał określć swó pozom zadowolena za pomocą określeń nsk, bardzo nsk, średn, wysok, bardzo wysok. Tabela wygląda teraz następąco:
ZSTOSOWNIE ZIORÓW ROZMYTYCH 89 Tabela Dane oblczenowe d s 0 0 40 60 80 00 0 N Ś Ś Ś Ś Ś 40 N N W W W W 60 N N N W W W 80 N N N Ś W W N pozom bardzo nsk, N nsk, Ś średn, W wysok, W bardzo wysok. Przyporządkmy tym określenom zbory rozmyte. Nech: N /+0,36/ N /+0,6/ Ś 0,4/+/3+0,4/4 W 0,6/4+/5 W 0,36/4+/5 Postępąc zgodne z defncą wyznacza sę koleno żytecznośc rozmyte : 0,935/Ś 0,5/N+0,96/W 3 0,5/N+0,537/N+0,84/W 4 0,5/N+0,537/N+0,708/Ś+0,453/N oraz zbory rozmyte : 0,4/+0,935+0,4/4 0,5/+0,5/+0,6/4+0,96/5 3 0,595/+0,595/+0,6/4+0,86/5 4 0,595/+0,757/+0,708/3+0,66/4+0,453/5
90 Mrosław Klawk Postępąc teraz dentyczne ak w przykładze z ostrym wartoścam fnkc żytecznośc, tworzy sę zbory rozmyte m porówne sę e z. Otrzymane zbory 0 wyznaczaą w konsekwenc rozmytą decyzę: D * 0,6/d +0,96/d +0,86/d 3 +0,66/d 4 (30 W te sytac optymalna est decyza d. Otrzymany wynk różn sę od poprzednego, kedy chodzło o zmaksymalzowane zysk. Wynka to z tego, że dla decydenta wypłaty w wysokośc 0 30 są ednakowo żyteczne przypsany est m tak sam pozom zadowolena wysok. Wnosk Podany przykład, mmo że bardzo prosty, pokaze, ak ostrożne należy korzystać z teor zborów rozmytych. Zaletą est wykorzystane całośc nformac zawartych w wyrażenach werbalnych, które wcześne były bądź pomane, bądź przyblżane probablstyczne. Wadą są skomplkowane oblczena oraz poksa nadmernego rozmyca zadana. W przykładze chęć względnena preferenc decydenta spowodowała wybór gorsze, czyl daące mneszy zysk decyz, trdno sę ednak spodzewać, że byłby on rzeczywśce zadowolony właśne z take decyz. Lteratra Czogała E., Pedrycz W.: Elementy metody teor zborów rozmytych. Wydawnctwo Poltechnk Śląske, Glwce 980. Helpern S.: Podemowane decyz w warnkach nepewnośc. E, Wrocław 99. Helpern S.: Podemowane decyz w warnkach ryzyka nepewnośc. E, Wrocław 00. Kacprzyk J.: Zbory rozmyte w analze systemowe. PWN, Warszawa 986. Krawczyk S.: Matematyczna analza sytac decyzynych. PWE, Warszawa 990. Metody loścowe w ekonom. Red. W. Ostasewcz. E, Wrocław 986.
ZSTOSOWNIE ZIORÓW ROZMYTYCH 9 Nahotko S.: Ryzyko ekonomczne w dzałalnośc gospodarcze. PWN, Warszawa 997. Ostasewcz W.: Zastosowane zborów rozmytych w ekonom. PWN, Warszawa 986. THE SGE OF THE FZZY SETS IN THE ONE-STGE PROCESS OF DECISION MDE Y ONE PERSON Smmary Mathematcs has served man as a tool for descrbng the realty ever snce. Ths descrpton shold be as precse as possble becase the conclsons wll be drown and decsons wll be made on ths bass. On the other hand t shold be smple, so that the cost of ts analyss wll not exceed the benefs. The classc model of the decson makng does not foresee sch staton when a man defnes some cases not precsely. For nstance he ses sch expresson as very, less, almost whch we leave p or approach of loosng some nformaton encoded n them. The fzzy sets, whch Zadeh defned n the 60 s, help s to descrbe the realty allowng fzzy (not sharp nformaton. In the followng paper I present the applance of the fzzy sets n the typcal staton accordng to Zadeh s defnton. Ths approach allows to obtan better reslts, however, n the frther stage too mch fzzy may generate worse reslts.