Trmodynamka Tchnczna dla MWT, wykład 8 AJ Wojtowcz IF UMK Wykład 8 1 I zasada trmodynamk; przypomnn now sformułowana 11 I zasada trmodynamk dla masy kontrolnj 1 I zasada trmodynamk jako równan kntyczn 13 I zasada trmodynamk dla układów otwartych 131 Ujęc masy kontrolnj 13 Ujęc objętośc kontrolnj 14 I zasada trmodynamk dla układów otwartych stacjonarnych o ustalonym przpływ (układy SUP) 141 Prędkość czynnka trmodynamczngo na wjścu /lub wyjścu układu otwartgo - 7 -
Trmodynamka Tchnczna dla MWT, wykład 8 AJ Wojtowcz IF UMK 1 I zasada trmodynamk; przypomnn now sformułowana Powrócmy traz na pwn czas do I zasady trmodynamk; zacznmy od przypomnna sformułowana I zasady dla masy kontrolnj w układz zamknętym w układz otwartym, a potm przjdzmy do sformułowana I zasady dla układu otwartgo w sformułowanu objętośc kontrolnj 11 I zasada trmodynamk dla masy kontrolnj Dla układów zamknętych (al n zolowanych) I zasadę trmodynamk formułujmy zawsz w ujęcu masy kontrolnj 1 W Rys 81 Zamknęty układ trmodynamczny Układ jst zamknęty, al n zolowany; ruchoma granca (tłok) umoŝlwa wykonan pracy zwnętrznj (objętoścowj), moŝlwy jst takŝ dopływ cpła z zwnętrzngo źródła cpła (grzjnka) gaz grzjnk 1 Q Układ zamknęty, tak jak pokazany na Rys 81, moŝ wymnać z otocznm cpło pracę, a węc prwsza zasada trmodynamk, dla przmany zachodzącj pomędzy stanam 1, przyjm postać: 1Q U U1 + 1W =, (1) gdz 1 Q 1W to cpło praca wymnan z otocznm a U to nrga wwnętrzna Pomjamy nrgę kntyczną potncjalną czynnka (gazu) gdyŝ zakładamy, Ŝ ch róŝnc są bardzo mał (z pwnoścą jst tak w przykładz pokazanym na Rys 81) Pamętamy, Ŝ nrga wwnętrzna jst funkcją stanu, tzn jj wartość w stan 1 czy jst ścśl okrślona n zalŝy od drog po którj układ osągnął tn stan Inaczj nŝ nrga, cpło praca wymnon pomędzy układm otocznm zalŝą od drog przmany Dla bardzo blsko lŝących stanów: δ Q= du+ δw, () gdz, dla tych samych powodów rozróŝnamy d od δ, prwsz symbolzuj róŝnczkę zupłną, drug wyraŝn róŝnczkow Po scałkowanu po jakjś wybranj drodz, otrzymamy (1), gdz róŝnca U U1 będz nzalŝna od drog, naczj nŝ zalŝn od wyboru drog wlkośc cpła pracy, 1 Q 1W Oczywśc, dla urządzna takgo, jak pokazano na Rys 81, droga pomędzy stanam 1, okrślonym głown przz blokady ogranczając ruch tłoka, będz zalŝała od obcąŝna tłoka, podobn zrsztą jak stany 1 ChocaŜ objętośc są dla czynnka roboczgo w stanach 1 ustalon, al cśnna gazu w obu stanach będą zalŝały od obcąŝna tłoka Dla stałgo obcąŝna tłoka zarówno droga jak sam stany 1 będą ścśl okrślon 1 I zasada trmodynamk jako równan kntyczn Dzląc wyraŝn () przz δt, czas potrzbny na przjśc pomędzy dwoma blsko lŝącym stanam, otrzymamy: du δw = + δt δt δt - 73 -
Trmodynamka Tchnczna dla MWT, wykład 8 AJ Wojtowcz IF UMK w grancy δt 0 (w grancy oba stany są dntyczn) otrzymamy du = Q& W&, (3) gdz du/ jst pochodną U po czas, a wlkośc z kropkam n są pochodnym właścwym, lcz przdstawają granc wyraŝń: Q Q & δ = lm δ t 0 δt W W& δ = lm δ t 0 δt któr rprzntują strumń cpła pracy (czyl moc), wpływający, lub wypływający z objętośc kontrolnj, którą wypłna masa kontrolna Jdnostką obu strumn jst kj/s czyl kw 13 I zasada trmodynamk dla układów otwartych Układ otwarty to układ, który wymna z otocznm n tylko cpło pracę, jak układ zamknęty al n zolowany, al takŝ masę; układ moŝ być obustronn otwarty (przpływowy) lub jdnostronn otwarty, jak np napłnany lub opróŝnany zbornk 131 Ujęc masy kontrolnj Ujęc masy kontrolnj w zastosowanu do układów otwartych przpływowych jdnostronnych stosowalśmy ndawno do wprowadzna pojęca ntalp Ogranczymy sę zatm tylko do przypomnna, Ŝ podstawą tgo ujęca jst śldzn przmany pwnj wybranj lośc czynnka (masy kontrolnj) od momntu tuŝ-przd wjścm do urządzna cplngo (w naszych rozwaŝanach, bardzo zrsztą ogólnych, był to slnk odrzutowy) do momntu tuŝ-po wyjścu z układu W układach jdnostronnych n ma wyjśca (dla napłnana) lub wjśca (dla opróŝnana) Blans nrgtyczny sporządzamy dla masy kontrolnj; wszystko co sę dzj z masą kontrolną podczas drog przz urządzn mus być w tym blans uwzględnon W naszych przykładach (rura z zaworm dławącym napłnan zbornka) waŝną rolę odgrywała praca prztłaczana (flow work), która w polskj trmnolog jst takŝ nazywana pracą napłnana lub pracą opróŝnana PonwaŜ n ma wymany cpła z otocznm, 1 Q = 0, róŝnc nrg kntycznj potncjalnj są do pomnęca, I zasada dla masy kontrolnj przyjmuj postać: U = U =, U1 1W a w przypadku rury z zaworm praca wykonana przz wykonana na układz (czyl mas kontrolnj): 1W = PV P1 V1 stanow całą pracę (n ma pracy objętoścowj lub tchncznj), a węc moŝna ją dołączyć do nrg wwnętrznj U + + PV = U1 P1 V1 zastąpć ob wlkośc ntalpą: H = H 1 W obu rozpatrywanych procsach (dławn gazu napłnan zbornka powtrzm atmosfrycznym) ntalpa była zachowana co pozwalało na rozwązan problmu (znalzn paramtrów stanu końcowgo) - 74 -
Trmodynamka Tchnczna dla MWT, wykład 8 AJ Wojtowcz IF UMK 13 Ujęc objętośc kontrolnj W ujęcu objętośc kontrolnj sporządzamy blans masy nrg dla objętośc kontrolnj W blans masy uwzględnamy strumń masy wpływającj do objętośc kontrolnj strumń masy wypływającj z objętośc kontrolnj, tak jak to pokazano na Rys 8 objętość kontrolna m m osłona kontrolna Rys 8 Urządzn cpln z jdnym wlotm ( nlt) jdnym wylotm ( xt) Czrwona ramka obrazuj osłonę kontrolną, wydzlającą objętość kontrolną z całgo urządzna cplngo Jśl w czas do układu wpłynęła masa, a wypłynęła z ngo masa to odpowdn strumn masy będą równ: lm = 0 = lm 0 Zasada zachowana masy w kaŝdj chwl czasu (to co wpływa mnus to co wypływa równa sę to co przybywa) sprowadza sę do: dm ok = (4) gdz m ok jst masą zawartą w objętośc kontrolnj Warto zwrócć uwagę pamętać o róŝncy pomędzy strumnm masy a pochodną; zmana lośc masy w objętośc kontrolnj jst róŝnczką zupłną, a lość masy wpływającj lub wypływającj z układu juŝ n Podobn jst z pracą cpłm, moŝna otrzymać taką samą zmanę masy zawartj wwnątrz objętośc kontrolnj na róŝn sposoby; mnjszy wpływ moŝna skompnsować mnjszym wypływm td Oczywśc, o l układ ma węcj wlotów wylotów, nalŝy uwzględnć wszystk strumn masy z odpowdnm znakm śby sporządzć blans nrg dla układu (czyl wszystkgo, co znajduj sę w objętośc kontrolnj) musmy uwzględnć n tylko dopływ cpła wypływ pracy, jak w przypadku masy kontrolnj, al takŝ strumń nrg wpływającj do wypływającj z objętośc kontrolnj, zwązany z masą wpływającą do wypływającą z objętośc kontrolnj objętość kontrolna δw t E, P, V Rys 83 Urządzn cpln z jdnym wlotm wylotm dla czynnka roboczgo Urządzn wykonuj pracę tchnczną podnosząc cęŝark pobra cpło z zwnętrzngo źródła cpła (grzjnka) E, P, V grzjnk Przyjmjmy, Ŝ do objętośc kontrolnj wpływa, w czas, czynnk roboczy o mas, a wypływa Wzrost nrg układu będz równy lośc nrg wnsonj do objętośc kontrolnj przz czynnk wpływający, plus cpło dodan z zwnętrzngo źródła cpła (z grzjnka), plus praca wykonana na układz - 75 -
Trmodynamka Tchnczna dla MWT, wykład 8 AJ Wojtowcz IF UMK mnus nrga usunęta z układu razm z czynnkm wypływającym z układu, mnus praca wykonana przz układ E = E E + Q W (5) ok Enrga całkowta czynnka przy czym E= E + E U, E kn kn pot + c = ; Epot = gz; U= u, (6) gdz c to prędkość, a Z to połoŝn (wysokość) czynnka w jakmś układz odnsna Jśl kształt objętośc kontrolnj wybrzmy tak, Ŝby wpływ wypływ były prostopadł do jj powrzchn wówczas wprowadzn pwnj masy do systmu wymaga wykonana pracy prztłaczana (napłnana) P V gdz P jst cśnnm na wjścu, a V jst objętoścą wprowadzonj masy Analogczn, wyprowadzn masy z układu wymaga wykonana przz układ pracy prztłaczana (opróŝnana) P V Po uwzględnnu pracy tchncznj W t, całkowta praca wykonana przz układ będz równa: W= PV P V + Wt, lub, uwzględnając, Ŝ: V = v V = v, otrzymamy: W=P v P v + Wt (7) Podstawając (6) (7) do (5) otrzymamy: c c Eok = u + P v + + gz u + P v + + gz + Q Wt, a po uwzględnnu dfncj ntalp (właścwj) h = u+ Pv : c c Eok = h + + gz h + + gz + Q Wt Dzląc przz przchodząc do grancy, 0, otrzymamy I zasadę trmodynamk w sformułowanu objętośc kontrolnj: deok c c h + + gz h + + gz + Q& W& t = (8) Przypomnamy raz jszcz, Ŝ strumń (natęŝn przpływu) wlkośc X: X X& = lm 0 14 I zasada trmodynamk dla układów otwartych stacjonarnych o ustalonym przpływ (układy SUP) Układ stacjonarny to układ, którgo stan (lub stany wydzlonych częśc tgo układu) n zmnają sę w czas Jśl jst to układ otwarty to właścw stacjonarność układu wymaga, - 76 -
Trmodynamka Tchnczna dla MWT, wykład 8 AJ Wojtowcz IF UMK by przpływ czynnka przz tn układ był takŝ stacjonarny, czyl ustalony Dla całkowtj jasnośc będzmy jdnak, podobn jak w podręcznkach trmodynamk tchncznj (np SBvW) formułować oba wymog; układ stacjonarny o ustalonym przpływ (USUP) to układ stacjonarny (stan lub stany układu lub jgo wydzlonych częśc nzmnn w czas), w którym przpływ czynnka jst takŝ ustalony objętość kontrolna m m osłona kontrolna Rys 84 Układ otwarty stacjonarny o ustalonym przpływ W warunkach ustalongo przpływu oba pokazan na rysunku strumn masy muszą być równ Dla układu SUP, takgo jak na rys 84, o jdnym wloc wyloc, do oczywstgo warunku: dmok = (9) wynkającgo z zasady zachowana masy, w warunkach ustalongo przpływu dodatkowym warunkm będz: = const (10) = const Z kol stan ustalony układu (czyl nrga masa zawart w układz n zmnają sę) wymaga by: dm ok = 0 (11) co oznacza, Ŝ: czyl: gdz: dmok = = =, = 0 () () lm ; = t 0 = lm m = = 0 Tak węc dzałan układu SUP, pokazango na Rys 85, polga na tym, Ŝ w czas do objętośc kontrolnj wpływa masa o objętośc V nrg E, pod cśnnm P Wypływa masa o objętośc V, nrg E, pod cśnnm P przy czym m = = W tym czas układ pobra cpło wykonuj pracę tchnczną δw t Blans nrgtyczny układu będz tak jak dla układu otwartgo, tzn: - 77 -
Trmodynamka Tchnczna dla MWT, wykład 8 AJ Wojtowcz IF UMK deok c c h + + gz h + + gz + Q& W& t = (1) objętość kontrolna E, P, V Rys 85 Układ otwarty stacjonarny o ustalonym przpływ Przpływ czynnka jst ustalony; układ wykonuj takŝ pracę tchnczną pobra cpło z zwnętrzngo źródła w tak sposób, Ŝ układ znajduj sę w stan ustalonym E, P, V δw t grzjnk z dodatkowym warunkm, wynkającym z stacjonarnośc układu: de ok = 0 (13) Wprowadzając oba warunk, (11) (13), do równana (1) otrzymamy: de ok 1 = Q& W& t + u + P v + c gz m u + & + P v + 1 c + gz = 0 Porządkujmy wyrazy; umszczając t z plusm po lwj, a t z mnusm po prawj stron, otrzymamy: 1 1 Q & + u + P v + c + gz = W& t + u + P v + c + gz, (14) równan, któr wyraŝa I zasadę trmodynamk dla układu otwartgo, stacjonarngo o ustalonym przpływ o jdnym wloc jdnym wyloc Równan to w oczywsty sposób odpowada zasadz zachowana nrg; po lwj stron mamy cpło nrgę (wwnętrzną, kntyczną potncjalną) dodan do układu oraz pracę wykonaną na układz (praca napłnana) a po prawj pracę wykonaną przz układ (praca tchnczna praca opróŝnana) nrgę (wwnętrzną, kntyczną potncjalną) wypływającą z układu razm z strumnm masy Na ogół moŝna pomnąć nrg potncjaln (gdyby była taka potrzba, moŝna j zawsz dopsać), dołączymy takŝ pracę prztłaczana do nrg wwnętrznj zastąpmy j ntalpą: h = u + P v () () () Otrzymamy wówczas: () 1 1 Q & + h + c = W& t + h + c (15) Dalj, ponwaŝ: - 78 -
Trmodynamka Tchnczna dla MWT, wykład 8 AJ Wojtowcz IF UMK Q& = 0 0 q W& t 0 δwt δwt = 0 gdz q w t to cpło dodan do układu praca tchnczna otrzymana z układu na 1 kg wpływającgo ( wypływającgo) do (z) układu czynnka, moŝna, dzląc ob strony równana (15) przz, otrzymać: 1 1 q + + h + c = w t + h c, (16) równan, któr zastosujmy traz do klku urządzń SUP o podstawowym znacznu w tchnc cplnj Zanm jdnak przjdzmy do urządzń SUP warto zwrócć uwagę na jdn problm Często pomjamy, oprócz nrg potncjalnj takŝ nrgę kntyczną Bardzo często warto sprawdzć czy jst to uzasadnon 141 Prędkość czynnka trmodynamczngo na wjścu /lub wyjścu układu otwartgo Prędkośc czynnka c c na wjścu /lub wyjścu układu otwartgo (nkonczn stacjonarngo) n są nzalŝn od nnych paramtrów układu PonwaŜ: A() m & () = c() (17) v() gdz A () to przkroj, a v () objętośc właścw czynnka na wjścu wyjścu, wdać, Ŝ przy duŝj zman objętośc właścwj (np gdy czynnk zmna fazę z ckłj na lotną lub odwrotn) nsprzyjającym stosunku przkrojów, moŝmy mć duŝą zmanę prędkośc czynnka konczność uwzględnna jgo nrg kntycznj Uzasadnn wzoru (17) Rurą o przkroju A płyn gaz z prędkoścą c Przz przkrój A w wybranym, ustalonym punkc rury przpływa w czas gaz, zawarty w cylndrz o przkroju A długośc c Masa tgo gazu będz: c V m= v gdz V to objętość cylndra a v objętość właścwa gazu Podstawając V= A c dzląc ob strony przz otrzymamy: A c = v Oczywśc mamy takŝ: A= πr 4, gdz R jst śrdncą rury przz którą płyn gaz Przykład W rurz o śrdncy 0 cm płyn powtrz z prędkoścą 0,1 m/s Tmpratura powtrza wynos 5 C cśnn 150 kpa Oblcz strumń masy powtrza płynącgo rurą Odp 0,0055 kg/s c A Z tabl A5 SBvW znajdujmy dla powtrza w warunkach normalnych (5 C, 100 kpa) R = 0,87 kj/kgk Stąd v = RT/P = 0,87 98,/150 = 0,5705 m 3 /kg Przkrój A=π(0,) /4=0,0314 m = c A/v = 0,1 0,0314/0,5705 = 0,0055 kg/s w t - 79 -