Temat: Ruch płynów doskonałych. Równanie ciągłości

Transkrypt

1 Lekcja 4 Temat: Ruch płynów doskonałych. Równanie ciągłości 1. Rodzaje przepływu płynów 2. Równanie ciągłości Ruch płynów rzeczywistych jest bardzo złożony i ciągle jeszcze nie umiemy go w pełni opisać. Omówimy zatem przepływ płynu doskonałego, którego opis matematyczny jest łatwiejszy, a daje mimo to bardzo użyteczne wyniki. Oto cztery założenia, związane z przepływem płynu, które muszą być spełnione, abyśmy nasz płyn mogli nazwać doskonałym. Rodzaje przepływu płynów 1. Przepływ ustalony. Przepływ jest ustalony (nazywany też laminarnym), gdy prędkość poruszającego się płynu w każdym wybranym punkcie nie zmienia się w upływem czasu, zarówno co do wartości, jak i co do kierunku. Łagodny przepływ wody w środkowej części płynącego powoli strumienia jest ustalony; gdy strumień napotyka szereg progów, jego przepływ nie jest już ustalony. Na rysunku obok pokazano przepływ dymu unoszącego się z papierosa, przy czym zachodzi przejście od przepływu ustalonego do nieustalonego (inaczej: turbulentnego). Gdy cząstki dymu wznoszą się, ich prędkość rośnie i począwszy od pewnej prędkości krytycznej przepływ zmienia się z ustalonego w nieustalony (tzn. z laminarnego w nielaminarny). 2. Przepływ nieściśliwy. Będziemy zakładać, podobnie jak to już robiliśmy dla płynów w spoczynku, że nasz doskonały płyn jest nieściśliwy, to znaczy, że jego gęstość jest stała. 3. Przepływ nielepki. Z grubsza rzecz biorąc, lepkość płynu jest miarą oporu, jaki stawia płyn jego przepływowi. Na przykład gęsty miód stawia przepływowi większy opór niż woda, a zatem mówimy, że miód jest bardziej lepki niż woda. Lepkość jest zjawiskiem analogicznym do tarcia między ciałami stałymi w obu przypadkach energia kinetyczna poruszających się ciał ulega zamianie w energię termiczną. Pod nieobecność tarcia klocek ślizgałby się po poziomej płaszczyźnie ze stałą prędkością. Podobnie, ciało porusza jące się w płynie niełepkim nie doznawałoby działania siły oporu lepkiego, tzn. siły oporu pochodzącej od lepkości płynu, i poruszałoby się w płynie ze stałą prędkością. Jak swego czasu zauważył uczony angielski lord Rayleigh, w płynie doskonałym śruba statku nie mogłaby spełniać swej funkcji, lecz z drugiej strony nie byłaby ona wcale potrzebna, bo wprawiony w ruch statek nie wymagałby już żadnego napędu! 4. Przepływ bezwirowy. Choć nie będzie nam to tutaj specjalnie potrzebne, założymy również, że przepływ jest bezwirowy. Aby przekonać się, czy przepływ jest bezwirowy, możemy umieścić w płynie małe ziarnko pyłu. Przepływ jest bezwirowy, gdy takie ziarnko nie obraca się wokół osi przechodzącej przez swój środek masy,

2 niezależnie od tego, czy porusza się po torze kołowym, czy nie. Stosując dość daleką analogię, moglibyśmy powiedzieć, że ruch diabelskiego młyna jest wirowy, ale ruch jego pasażerów jest bezwirowy. Przepływ ustalony Linie prądu w strumieniu powietrza opływającego samochód w tunelu aerodynamicznym W celu uwidocznienia charakteru przepływu płynu dodaje się nieraz do niego jakiś wskaźnik. Może nim być barwnik wprowadzany do cieczy w wielu punktach w poprzek strumienia lub cząstki dymu w przeprzepływającym gazie. Cząstki wskaźnika poruszają się wzdłuż linii prądu, które są torami cząstek płynu przy jego przepływie. Przypomnij sobie, że prędkość cząstki jest zawsze styczna do jej toru. Tak więc prędkość elementów (cząstek) płynu v jest styczna do linii prądu (rysunek 15.14). Z tego względu linie prądu nigdy się nie przecinają, gdyby bowiem tak było, cząstka docierająca do punktu przecięcia linii prądu miałaby jednocześnie dwie różne prędkości, co jest niemożliwe. Równanie ciągłości Być może zauważyłeś już kiedyś, że można zwiększyć prędkość wody wypływającej z węża ogrodowego, zasłaniając palcem część otworu wylotowego. Najwyraźniej prędkość wody v zależy od pola przekroju poprzecznego S, przez który ona przepływa. Chcemy teraz wyprowadzić zależność między v i S przy ustalonym przepływie płynu doskonałego przez rurę o zmiennym przekroju poprzecznym, jak pokazano na rysunku Płyn przepływa tu w prawą stronę, a przestawiony na rysunku odcinek rury (która może być w całości znacznie dłuższa) ma długość L. Prędkość płynu na lewym końcu rury oznaczamy przez v 1, a na prawym końcu przez v 2. Podobnie, pole przekroju poprzecznego rury wynosi S 1 na jej lewym końcu oraz S 2 na jej końcu prawym. Załóżmy, że w przedziale czasu Δt do rury wpływa z lewej strony płyn o objętości ΔV (objętość tę na rysunku 15.15a zabarwiono na fioletowo). Płyn jest nieściśliwy, a zatem na prawym końcu rury musi z niej

3 wypłynąć w tym czasie płyn o takiej samej objętości V (zabarwionej na rysunku 15.15b na zielono). To, że obie objętości ΔV są takie same, umożliwi nam wyznaczenie związku prędkości z polem przekroju poprzecznego. W tym celu przeanalizujemy najpierw sytuację przedstawioną na rysunku pokazującym widok z boku rury o stałym przekroju (o polu S). Na rysunku 15.16a element płynu e dociera do linii przerywanej, narysowanej w poprzek rury. Prędkość tego elementu jest równa r. a zatem w przedziale czasu Δt element ten przebywa wzdłuż rury odcinek o długości Δx = vδt. Wobec tego w przedziale czasu Δt przez linię przerywaną przepływa płyn o objętości ΔV równej: Δ V = S Δx = S v Δt (15.22) Zapisując równanie (15.22) dla lewego i prawego końca odcinka rury z rysunku 15.15, otrzymujemy ΔV = S1 v1 Δt = S2 v2 Δt czyli S1 v1 = S2 v2 (równanie ciągłości) (15.23) Ten związek prędkości z polem przekroju poprzecznego nazywamy równaniem ciągłości dla przepływu płynu doskonałego. Wynika z niego, że prędkość przepływu wzrasta, gdy maleje pole przekroju poprzecznego, przez który płyn przepływa (tak właśnie jest, gdy zasłaniasz palcem część otworu wyjściowego węża ogrodowego). Równanie (15.23) stosuje się nie tylko do przepływu płynu przez prawdziwą rurę, lecz także do tak zwanej strugi prądu, czyli umownej rury ograniczonej przez linie prądu. Taka rura działa tak samo jak prawdziwa, gdyż żaden element płynu nie może przepłynąć przez linię prądu, wobec czego cały płyn zawarty w strudze prądu pozostaje w niej przez cały czas. Na rysunku przedstawiono strugę prądu, której pole przekroju poprzecznego rośnie od wartości S 1 do wartości S 2 wzdłuż kierunku przepływu. Z równania (15.23) wiemy, że gdy pole przekroju poprzecznego wzrasta, prędkość przepływu musi się zmniejszać. Jak widać z rysunku 15.17, przejawem tego jest

4 zwiększenie się wzajemnych odległości linii prądu (w prawej części tego rysunku). Wiedząc to, możemy odczytać z rysunku 15.12, że prędkość przepływu płynu jest największa tuż nad i tuż pod walcem. Równanie (15.23) możemy również zapisać w postaci R V = S v = const (15.24) (strumień objętościowy, równanie ciągłości) przy czym R V jest szybkością przepływu objętości płynu (strumieniem objętościowym), czyli objętością płynu przepływającego przez pewien przewód w jednostkowym czasie. Jednostką tej wielkości w układzie SI jest metr sześcienny na sekundę (m 3 /s). Gdy gęstość płynu p jest stała, możemy pomnożyć stronami równanie (15.24) przez gęstość i wyznaczyć szybkość przepływu masy (strumień masy) R m, czyli masę płynu przepływającego przez przewód w jednostkowym czasie. Otrzymujemy Rm = ρ RV = ρ S v = const (15.25) Jednostką strumienia masy w układzie SI jest kilogram na sekundę (kg/s). Z równania (15.25) wynika, że masa płynu, który wpływa w jednostce czasu do odcinka rury z rysunku (15.15), jest równa masie płynu wypływającego z tego odcinka w jednostce czasu. SPRAWDZIAN Na rysunku przedstawiono odcinek rury o wielu wlotach i wylotach. Podano również wartość strumienia objętościowego (w cm3/s) i kierunek przepływu płynu dla wszystkich otworów z wyjątkiem jednego. Ile wynosi dla tego otworu strumień objętościowy i jaki jest kierunek przepływu? Zadanie 1 Pole przekroju poprzecznego S 0 aorty (wychodzącej z serca tętnicy głównej układu krwionośnego) u normalnego człowieka w warunkach spoczynkowych wynosi 3 cm 2. Krew przepływa przez aortę z prędkością równą 30 cm/s. Typowe naczynie włosowate (kapilarne), o średnicy około 6 μm, ma pole przekroju poprzecznego S równe cm 2, a krew przepływa przez nie z prędkością v wynoszącą 0,05 cm/s. Ile takich naczyń włosowatych ma człowiek? Rozwiązanie Jest oczywiste, że cała krew przepływająca przez naczynia włosowate musiała najpierw wydostać się z serca przez aortę. Strumień objętościowy w aorcie musi zatem być równy sumie strumieni objętościowych we wszystkich naczyniach włosowatych. Załóżmy, że wszystkie te naczynia są jednakowe, o polu przekroju poprzecznego S i prędkości przepływu v podanych w treści zadania. Z równania (15.25) otrzymujemy wobec tego S 0 v 0 = nsv, gdzie n jest liczbą naczyń włosowatych. Rozwiązując to równanie względem n, dostajemy: S v n = Sv = 6 10 czyli około 6 miliardów. Możesz łatwo wykazać, że łączne pole przekroju poprzecznego tych wszystkich naczyń włosowatych jest około 600 razy większe od pola przekroju poprzecznego aorty.

5 Zadanie 2 Jak pokazano na rysunku 15.18, struga wody wypływającej z kranu zwęża się ku dołowi. Zaznaczone na rysunku przekroje poprzeczne strugi, odległe od siebie w pionie o h = 45 mm, mają pola równe So = 1,2 cm2 i S = 0,35 cm2. Ile wynosi strumień objętościowy wody wypływającej z kranu? Rozwiązanie Nietrudno zauważyć, że strumień objętościowy wody musi być taki sam we wszystkich miejscach strugi, a więc także w dwóch miejscach zaznaczonych na rysunku. Z równania (15.24) otrzymujemy zatem S o v o = Sv, (15.26) gdzie v 0 i v są prędkościami wody na poziomach odpowiadających przekrojom o polach S o i S. Woda spada swobodnie z przyspieszeniem ziemskim g, a zatem zgodnie z równaniem (2.16) prędkości te związane są ze sobą wzorem: v 2 = v l + 2gh. (15.27) Eliminując v z równań (15.26) i (15.27), a następnie rozwiązując otrzymane równanie względem v 0, dostajemy: 2 2ghS v 0 = = 0,286m / s = 28,6cm / s 2 2 S S 0 Strumień objętościowy R v wyznaczamy z równania (15.24): R v = S o v o = (1,2 cm2)(28,6 cm/s) = 34 cm 3 /s