Słaomr Mesk Krakó, dn. -- Mecanka Komputeroa V rok Wydzał InŜyner Lądoe Potecnka Krakoska PRACA DYPLOMOWA METODA RÓśNIC SKOŃCZONYCH WYśSZEGO RZĘDU I J ZASTOSOWANIA W JEDNOWYMIAROWYCH PROBLEMACH BRZEGOWYCH MECHANIKI autor : Słaomr Mesk promotor : pro. dr ab. nŝ. Janusz Orksz
METODA RÓśNIC SKOŃCZONYCH WYśSZEGO RZĘDU I J ZASTOSOWANIA W JEDNOWYMIAROWYCH PROBLEMACH BRZEGOWYCH MECHANIKI WSTĘP Przedmotem pracy est Metoda RóŜnc Skończonyc MRS [], naeŝąca do szeroke kasy metod bezsatkoyc ednyc z podstaoyc metod dyskretnyc słuŝącyc do dyskretne anazy probemó brzegoyc. Podstaą MRS est zamana operatoró róŝnczkoyc ystępuącyc obszarze na ego brzegu na operatory róŝncoe, pozaaące na zapsane unkc neadome oraz e pocodnyc za pomocą e artośc ęzłoyc naprostsze ers te metody. Je kasyczna ersa bazoała edyne na satkac o reguarnyc odstępac mędzy ęzłam. Obecne mó sę o Bezsatkoe Metodze RóŜnc Skończonyc BMRS [], [6], które okana aproksymaca ne bazue na Ŝadne dane z góry reguarne kongurac ęzłó ub teŝ ynkaące z podzału na eementy. Oznacza to, Ŝ ęzły doone czbe mogą być rozmeszczone zupełne doone obszarze oraz na ego brzegu. Pozoło to znaczne rozszerzyć poe zastosoań da MRS. Wzory róŝncoe, naczęśce generoane metodą aproksymac MWLS Movng Wegted Least Squares pozaaą na zapsane rónań róŝncoyc postac układu rónań agebracznyc. Jego rozązane dae ynk numeryczny, obarczony błędem, zazycza postałym m.n. przez uŝyce operatora róŝncoego nske kasy. Wśród sposobó ego zmneszena yróŝnone są podeśca adaptacyne modykuące yścoą dyskretyzacę probemu brzegoego tam gdze błąd rozązana est naększy. Nabardze popuarne z nc są podeśca adaptacyne typu zększene czby ęzłó, [] oraz p podnesene rzędu okane aproksymac. Te ostatne, zane podeścam yŝszego rzędu, są punktem yśca da daszyc rozaŝań nnesze pracy. Obecny stan rozou tecnk yŝszego rzędu kasyczne MRS skazue na de metody zązane z podnesenem rzędu aproksymac przy generac zoró róŝncoyc : podeśce deect deerred correcton uŝyce operatora róŝncoego yŝszego rzędu opsane pracy [] oraz podeśce mutpont podnesene rzędu aproksymac operatora róŝncoego ęźe centranym poprzez ykorzystane odpoedne kombnac artośc
prayc stron rónana obczanyc pozostałyc ęzłac gazdy róŝncoe opsane [5]. Jednak oba podeśca ne są pozbaone ad, co nestety zaęŝa poe c ykorzystana. Ceem obecnego opracoana est rozane zupełne noego podeśca yŝszego rzędu zaproponoanego po raz perszy pracy []. Zększene rzędu aproksymac da operatora róŝncoego odbyać sę będze ne poprzez dokładane noyc ęzłó ecz poprzez uzgędnene członó yŝszego rzędu tak sposób aby akość aproksymac była stała nezaeŝna od uŝytego operatora róŝncoego. W dasze perspektye naeŝy skazać takŝe moŝość [] proadzena noego uepszonego podeśca mutpont. Tak zdenoane podeśce yŝszego rzędu naeŝy róneŝ uogónć na sytuace, któryc ystępuą skok neadome unkc ub e pocodnyc oraz na róŝnego rodzau postace arunkó brzegoyc. Dzęk temu uzgędnene ak naększe czby czynnkó pozo na przybŝene sę do rozązana ścsłego anatycznego danego probemu brzegoego oraz da moŝość pełne automatyzac podeśca. NaeŜy zatem brać pod uagę przyszłą mpementacę komputeroą oyc agorytmó. W tym ceu potrzebne est rozszerzene proponoanego podeśca yŝszego rzędu z kasyczne MRS na e bezsatkoą, pełn zautomatyzoaną ersę BMRS. W obecne pracy rozaŝana teoretyczne są erykoane anazą ednoymaroyc probemó brzegoyc, a złaszcza obczanem ugęć beek. Prostota sormułoana oyc probemó pozaa na przetestoane przedstaonyc pracy agorytmó raz ze stopnoym zększanem pozomu trudnośc, począszy od noe statyk bek zgnane aŝ do anazy yboczena słupa Euera. Wszystke przytoczone koenyc rozdzałac przykłady mały na ceu pokazane eektyność proponoanego podeśca raz z sygnazacą mesc, gdze postaą typoe da nego trudnośc. Daszym krokem będze przenesene rozaŝań do dzedzny zadań brzegoyc duymaroyc, na początek próba sormułoana podeśca raz z przedstaenem prostego przykładu. NaeŜy róneŝ spomneć o moŝośc ykorzystana proponoanego podeśca yŝszego rzędu do anazy błędu a posteror BMRS. Dzęk temu moŝna będze połączyć podeśce z stneącym tecnkam adaptacynym, głóne z adaptacą typu.
ZAKRES PRACY PROBLEMATYKA POSZCZEGÓLNYCH ROZDZIAŁÓW.TECHNIKI ULEPSZENIA ROZWIĄZANIA RÓśNICOWEGO przykład proadzaący kerunk anazy.technika DEFECT DEFERRED CORRECTION sormułoane przykłady podsumoane.technika WYśSZEGO RZĘDU DLA ROZWIĄZAŃ GŁADKICH proadzene dea podeśca sormułoane D da beek przykłady da beek podsumoane zaety ady nosk proadzene skokó.technika WYśSZEGO RZĘDU Z UWZGLĘDNIONYMI SKOKAMI FUNKCJI I J POCHODNYCH typoe sytuace skokó mecance budo sormułoane D da beek przykłady da beek zastosoane podeśca do dyskretyzac arunkó brzegoyc bek przykłady da beek 5.DYSKRETYZACJA WARUNKÓW BRZEGOWYCH proadzene carakterystyka probemu moŝe drog rozązana przykłady proadzaące
sormułoane rozązane D rozązane D przykłady da beek 6.TECHNIKA WYśSZEGO RZĘDU DLA STATYKI BELEK SPRĘśYSTYCH - ogóne sormułoane podeśce Cebsa - przykłady beka przeguboa beka statyczne neyznaczana yboczene słupa Euera 7.PODŚCIE MULTIPOINT - proadzene dea podeśca prosty przykład podsumoane ady, zaety, nosk - noe podeśce mutpont dea podeśca prosty przykład sormułoane - przykłady da beek 8.APROKSYMACJA WYśSZEGO RZĘDU W WERSJI BEZSIATKOW MRS - proadzene ogóna BMRS BMRS D prosty przykład da beek - rozązane da beek 9.ROZWINIĘCIE D PODŚCIA WYśSZEGO RZĘDU - proadzene - sormułoane BMRS yŝszego rzędu da probemó brzegoyc D 5
dyskretyzaca róŝncoa enątrz obszaru dyskretyzaca róŝncoa na brzegu.końcowe UWAGI - podsumoane poyŝsze całośc - kerunk dasze anazy.literatura ROZDZIAŁ : TECHNIKI ULEPSZENIA ROZWIĄZANIA RÓśNICOWEGO Nec punktem yśca do daszyc rozaŝań będze odeczny probem : zadane brzegoe ednoymaroe rozązano Metodą RóŜnc Skończonyc [] uzyskano rozązane róŝncoe otrzymane po zastosoanu moŝe prostego operatora róŝncoego. Porónano e ze znanym ynkem anatycznym okazało sę, Ŝ zgędna róŝnca mędzy nm est spora. Postae pytane : czy ramac tego samego zadana t. te same dyskretyzac esteśmy stane rozązane to poprać? Zanm zostane udzeona odpoedź, cały tok postępoana podeścu róŝncoym zostane zaprezentoany na prostym przykładze bek sobodne podparte obcąŝone obcąŝenem cągłym rónomerne rozłoŝonym. Przykład. 6
Do opsu matematycznego probemu zgnana bek uŝyto sormułoana okanego postac rónana róŝnczkoego ugęca bek. Take sormułoane est nabardze przerzyste tego typu zadanac, ae oczyśce aternatyne rozaŝana moŝna by proadzć przy uŝycu ednego ze sormułoań gobanyc. d M L d M q Ścsłe rozązane anatyczne bek przedstaa eoman rzędu -tego : q ~ Do obszaru proadzono ęzły o rozstae, zdyskretyzoano arunk brzegoe zeroe ugęca na podporac oraz operator róŝnczkoy drugego rzędu obszarze. L Rozązane kasyczne otrzymamy przez postaene operatora róŝncoego ęźe : L q L q Indeks L przy otrzymanym ynku oznacza ynk przy uŝycu operatora róŝncoego nskego rzędu, t. naprostszego z moŝyc. Obczono teŝ błąd zgędny rozązana stosunku do rozązana ścsłego oznaczonego ęŝykem. ~ ~ 5 q ε ~ % % Pozom błędu, %, est reatyne duŝy stano zacętę do poszukań tecnk popraena tego rozązana. MoŜna przedsęząć następuące środk zaradcze : ramac metody MRS kasyczne przy rónym rozstae ęzłó moŝna spróboać zagęścć satkę est to sposób nabardze oczysty ae nabardze prymtyny zrasta koszt obczeń, a akość ynku est cąŝ taka sama. Warto nadmenć, Ŝe przy n 9 ęzłac otrzymano da poyŝszego zadana ugęce środku, którego błąd zgędny obczony tak ak poyŝe ynos.5%; moŝna śadome zrezygnoać z ymogu reguarnośc satk spróboać ykorzystać podeśce adaptacyne, t. budoać koene satk po przeproadzenu anazy błędu resduanego. Tu pomocną moŝe być tecnka mutgrd, gdze ścśe 7
rozązue sę układ rónań róŝncoyc na satce narzadsze, natomast błąd rozązana korygue sę na satce nagęstsze; perszym pomysłem na tecnkę yŝszego rzędu est podeśce typu deect correcton, zakładaące uŝyce operatora róŝncoego yŝszego rzędu; nnym rozązanem moŝe być tecnka mutpont, u które podsta eŝy rozbudoa prae strony rónana róŝncoego do kombnac noe artośc prae strony rónana róŝnczkoego podnesene ten sposób rzędu aproksymac bez zększana czby ęzłó gazdy operatora róŝncoego; ostatnm, naepszym rozązanem est tecnka aproksymac yŝszego rzędu, gdze nnoacą est korekta prae strony rónana róŝncoego przez dodane członó zaeraącyc yrazy yŝszego rzędu przy tym samym t. nskego rzędu operatorze róŝncoym. ROZDZIAŁ : TECHNIKA DEFECT DEFERRED CORRECTION Tecnka zana deect correcton ub deerred correcton, zaprezentoana [] est nabardze oczystym sposobem poepszena akośc ynku róŝncoego przy utrzymanu te same czby ęzłó satce. Skoro operator róŝncoy naprostszy t. nskego rzędu dał rozązane obarczone stosunkoo duŝym błędem to moŝna oczekać, Ŝe błąd zmneszy sę po zastosoanu operatora róŝncoego rzędu yŝszego t. zbudoanego na ększe czbe ęzłó bądź teŝ ększe czbe stopn sobody ęzłac. Operator róŝncoy moŝe być bardze dokładny eŝe zostane ygeneroany tecnką MWLS Movng Wegted Least Squares. Wtedy przy nadmarze czby ęzłó stosunku do czby stopn sobody okane aproksymac trac sę łasnośc nterpoacyne, ae błąd obcęca est óczas róne rozłoŝony na spółczynnk stoące przy yrazac yŝszego rzędu. Zadane reazoane tecnką deect deerred correcton moŝna podzeć na da etapy : Etap I : zastosoane operatora róŝncoego nskego rzędu, otrzymane odpoadaącego mu rozązana nskego rzędu, eentuane obczene pozomu błędu, 8
Etap : zastosoane operatora róŝncoego yŝszego rzędu, otrzymane odpoadaącego mu rozązana yŝszego rzędu, porónane z rozązanem z etapu I. Od razu doczną adą podeśca est akt, Ŝ trzeba rozązyać noy układ rónań róŝncoyc, natomast arto nadmenć, Ŝ przy zastosoanu teracyne metody rozązyana układu rónań róŝncoyc etap optymane szybką zbeŝność do rozązana yŝszego rzędu moŝna otrzymać poprzez uŝyce rozązana nskego rzędu z perszego etapu ako ektora startoego do persze terac. Tak ęc edyne ako punkt yśca do nnyc, epszyc tecnk yŝszego rzędu pokazane zostane rozązane yŝszego rzędu otrzymane ynku podeśca deect correcton, nastarszego cronoogczne, na te same bece przy te same stępne dyskretyzac co przykładze.. Przykład. Przy dyskretyzac startuemy od tego samego operatora, co poprzedno : perszym etape otrzymue sę dobrze znane uŝ rozązane kasyczne nskego rzędu : q. L Stosony operator yŝszego rzędu, ścsły da eomanu n, zbudoany nterpoacyne na 5 ęzłac : L H 6 6 ymaga proadzena dodatkoyc kcynyc ęzłó poza beką, aby moŝa była kookaca ęźe środkoym bek. 9
Ic kcyne ugęca moŝna okreść ze statycznyc arunkó brzegoyc czy z aktu zeroana sę momentó zgnaącyc drugc pocodnyc ugęć na podporac : da, Przy sobodnym podparcu bek ugęca ęzłac kcynyc ydaą sę ęc być antysymetryczne stosunku do c rzeczystyc odpoednkó. Po zastosoanu kookac otrzymue sę następuące rónane róŝncoe oraz ynk : L H H q Ne otrzymano ednak rozązana ścsłego. Błąd zgędny ynos tym razem.86% est znaczne mneszy nŝ przy ynku kasycznym, ae ne est to rozązane naepsze. Daczego? Weoman opsuący ugęce bek est stopna -tego, tak ak drug operator róŝncoy L H. Ponen ęc on dać ynk ścsły. I dałby, gdyby ne dyskretyzaca statycznyc arunkó brzegoyc est ona nskego rzędu, gdyŝ została przeproadzona za pomocą trzypunktoego operatora róŝncoego na drugą pocodną tego samego co metodze kasyczne MRS. Popraka, ynkaąca z stnena nepełne antysymetr mędzy ęzłam ne została uzgędnona poprzez odrzucene yrazó yŝszego rzędu. Na obecnym etape ne da sę tego skorygoać, takŝe do tego przykładu będze eszcze naązane daszym cągu obecne pracy. Po przeproadzenu poyŝsze dyskus moŝna sormułoać kka zarzutó stosunku do deect correcton, które będą pretekstem do szukana nnyc tecnk yŝszego rzędu poepszena ynku. Wady podeśca typu deect correcton : Rozązyane układó rónań z dema całkoce nnym eym stronam róŝne macerze spółczynnkó, przez zastosoane dóc róŝnyc operatoró róŝncoyc : nskego yŝszego rzędu; Potrzeba proadzena dodatkoyc ęzłó kcynyc przy brzegu, a ęc noyc neadomyc do układu rónań, co czasam ne est korzystne, np. przy zadanac dynamk ub statecznośc konstrukc; Ostateczne rozązane zaeŝy sne od akośc uŝytego operatora róŝncoego.
Wszystke te nedogodnośc znkaą przy zastosoanu proponoane tym opracoanu metody aproksymac yŝszego rzędu ang. ger order appromaton. ROZDZIAŁ : TECHNIKA WYśSZEGO RZĘDU DLA ROZWIĄZAŃ GŁADKICH U podsta proponoanego tu podeśca yŝszego rzędu [], [] eŝy otrzymyane ynku, który zaeŝy tyko od przyętego rzędu aproksymac, natomast całkoce ne zaeŝy od akośc zastosoanego operatora róŝncoego. Popraka operatora skumuoana est człone korekcynym, dodaanym do prae strony rónań róŝncoyc. Ne ma ęc potrzeby rozązyana dóc zupełne róŝnyc układó rónań. Będą sę one róŝnć mędzy sobą edyne postacą prae strony. Korekta operatora ma zapenć odpoedn rząd aproksymac rozązana, yŝszy nŝ ten, który ynkałby z zastosoana operatora róŝncoego bez Ŝadnyc popraek czy nskego rzędu. ZałóŜmy, Ŝ operator róŝncoy est rzędu n, tedy będze sę ymagać drugm etape zadana ścsłośc da rzędu aproksymac n, zaróno da brzegu ak nętrza obszaru naeŝy pamętać, Ŝ na brzegu enątrz obszaru mogą być okreśone zupełne nne operatory róŝnczkoe t. nnego rzędu ub nne postac. Wszystke brakuące yrazy rzędu yŝszego, które razem z operatorem róŝncoym rzędu n daałyby ścsłość da aproksymac rzędu n znadue sę rozaąc dany operator szereg Tayora a ścśe rzecz borąc rozaąc artośc unkcyne, na któryc zbudoany est operator zberaąc e do yraŝena zanego członem korekcynym ang. correcton term. Podstaoym probemem będze teraz obczene artośc członu korekcynego. Przyęte zostane na stępe załoŝene, Ŝ unkca neadoma ma cągłość stopna co namne n, tzn. unkca e szystke pocodne do rzędu n łączne są unkcam cągłym eomanam bez Ŝadnyc skokó. O takm rozązanu mó sę, Ŝe est gładke. Na take postac unkc neadome skupmy sę tym rozdzae. Dzęk temu człon korekcyny będze składał sę yłączne z artośc pocodnyc yŝszego rzędu t. od n do n unkc ęzłac. Ic obczene sproadza sę ogónym przypadku do c złoŝena kompozyc z artośc operatoró rzędu nŝszego czy z tyc, które są uŝ okreśone perszym etape zadana. Gdy uŝ artość członu korekcynego est znana, naeŝy go dodać do strony prae rónana róŝncoego storzony ten sposób układ rónań będze mał zmodykoaną praą stronę porónanu do poprzedno
rozązyanego. JeŜe artość członu korekcynego est ścsła ramac rzędu n, to rozązane tego układu teŝ będze ścsłe ramac załoŝonego rzędu aproksymac n. Przedstaona ponŝe procedura oboązue da probemu zgnana beek spręŝystyc. Konsekencą est przyęce operatora róŝncoego na drugą pocodną ugęca tróęzłoego enątrz zaróno da ęzłó z nętrza obszaru ak ęzłó brzegoyc. ALGORYTM TECHNIKI MRS WYśSZEGO RZĘDU DLA ROZWIĄZAŃ GŁADKICH W PROBLEMIE ZGINANIA BELEK Dany est obszar ednoymaroy o długośc L zdysketyzoany za pomocą n ęzłó o rozstae. Rozpatrue sę dooną konguracę trzec ęzłó enątrz obszaru ak na rys : sormułoane okane probemu brzegoego da beek! d d M L L Dyskretyzaca róŝncoa : L n Roznęce artośc ęzłoyc -, oraz operatora róŝncoego szereg Tayora :
L ~ I I I 6 I 6 oraz zbansoane, uzgędnaące mnoŝnk czboe przy poszczegónyc yrazac roznęca dae yraŝene na operator róŝncoy : R R L u R R R praa strona rónana D człon korekcyny rozaŝany R błąd obcęca yrazó szeregu pomany Etap I : operator nskego rzędu : rozązane kasyczne L da,..., n L Etap : ten sam operator człon korekcyny : rozązane yŝszego rzędu L da,..., n H Jak obczyć artość członu korekcynego? Wadomo uŝ, Ŝ będze zaeŝeć on od pocodnyc yŝszego rzędu I. Naprostszą nabardze ogóną metodą ogóną tzn. da doonego operatora róŝncoego est kompozyca pocodnyc yŝszego rzędu I, obszarze z pocodnyc nskego rzędu sama unkca, I, a następne ykorzystane znanyc uŝ artośc tyc pocodnyc gdyŝ były one układane perszym etape zadana. Spraa neco kompkue sę przy obczanu pocodnyc na brzegu. Czasem c artość est znana z dodatkoyc arunkó brzegoyc np. przy podparcu sobodnym z aktu zeroana sę momentu zgnaącego czy druge pocodne ugęca. Tak zasze być ne mus. Przykładoo, eŝe agorytm natrałby na pocodne persze ugęć na brzegu I I,, to ne dałoby sę bezpośredno podstać za ne konkretne artośc. To perszy mankament takego typu podeśca, ymagaący budoy ogónego agorytmu postępoana ceu obczana artośc pocodnyc ugęć na brzegu obszaru. Na raze przyęte zostane załoŝene, Ŝe artośc pocodnyc na brzegu ynkaą bezpośredno z arunkó brzegoyc. Sposoby obczana artośc członu korekcynego enątrz obszaru są ęc następuące: Sposób : nabardze ogóny : kompozyca operatoró nŝszego rzędu o znanyc artoścac etap I;
Sposób : ykorzystane bezpośredno rónana róŝnczkoego ub po ego zróŝnczkoanu da prostyc probemó brzegoyc; Sposób : ormuła mutpont patrz : rozdzał 7. ogóne :,, - znane artośc z I etapu, I przypadkac szczegónyc :, td - z rónana L., PoyŜszy agorytm zostane zaprezentoany na tym samym przykładze bek, co poprzedno da epsze konrontac z stneącym, znanym uŝ, podeścam. Przykład. KaŜda metoda yŝszego rzędu na ogół ymaga znaomośc rozązana kasycznego, tu da operatora nskego rzędu : L L L L L q Istotą omaane metody ne est proadzene nnego operatora róŝncoego ae korekta tego uŝytego cześne. Odbya sę to poprzez roznęce szystkc yrazó unkcynyc becnyc operatorze róŝncoym L L centranego operatora : L I I 6 6 I I czy,, szereg Tayora okół ęzła Operator róŝncoy kasyczny był rzędu n, uzgędna sę ęc szystke yrazy roznęca aŝ do rzędu n łączne. Po zbansoanu czy dodanu yrazó roznęca z mnoŝnkam,-, ystępuącym operatorze kasycznym otrzymuemy : L L R, gdze : praa strona rónana R R R
człon korekcyny uzgędnone dodatkoe człony yŝszego rzędu R pomany błąd obcęca yrazó szeregu Da yrazó do rzędu drugego łączne stnee róność mędzy operatoram : róŝnczkoym róŝncoym kasycznym. Podstaoym probemem est obczene artośc członu korekcynego. Ogónym sposobem est dekompozyca operatora róŝnczkoego rzędu czartego : Druge pocodne ęzłac są róne zeru statyczne arunk brzegoe. Pozostae do obczena nezeroa pocodna drugego rzędu. W tym łaśne mescu naeŝy posłuŝyć sę gotoym uŝ operatoram nskego rzędu rząd perszy drug z perszego etapu obczeń : bezsatkoe MRS podczas generac zoró róŝncoyc generoane są metodą namneszyc aŝonyc kroczącyc kadrató MWLS ang. Movng Wegted Least Squares szystke pocodne aŝ do rzędu n łączne : q q L W przypadku prostego rónana róŝnczkoego łaśne przypadku statyk beek druge pocodne ugęć to praa strona rónana róŝnczkoego : M q q Oczyśce bardze ogóne est podeśce persze, oparte na ykorzystanu gotoyc uŝ artośc ygeneroanyc operatoró róŝncoyc nskego rzędu. Znane są teŝ nne tecnk obczana artośc członu korekcynego : przypadku prostego rónana róŝnczkoego dopuszczane est ego róŝnczkoane : q q moŝna teŝ skorzystać ze spomnane ormuły mutpont, ae na tym etape ne będze ona rozaŝana. Ostateczne rónane róŝncoe czy drugm etape rozązyana będze ygądało następuąco : L, gdze : L - ten sam operator róŝncoy q 5
- skorygoana praa strona q q H 5 q Ne ma uŝ Ŝadnyc przeszkód ku temu, aby otrzymany ynk uznać za ścsły : ścsły da załoŝonego rzędu okane aproksymac n oraz ścsły porónanu z ynkem anatycznym rząd eomanu opsuącego ugęce stąd R. Na zaprezentoanym przykładze dać bardzo dobrze zaróno ady ak zaety podeśca MRS yŝszego rzędu. Zanm ednak dokonany zostane c bans, rozaŝmy eszcze eden przykład : beka sobodne podparta obcąŝona obcąŝenem noo zmennym. Komentarze zostały ogranczone do nezbędnego mnmum. Przykład. sormułoane probemu : d M L d gdze : M q rozązane anatyczne ugęce bek eoman stopna 5-tego : q 8 5 ~ 5 6
dyskretyzaca róŝncoa arunkó brzegoyc operatora róŝnczkoego : L Etap I : rozązane nskego rzędu : L q obczene artośc członu korekcynego : L q 8 q Etap : rozązane yŝszego rzędu : L 5 q H q 5 q 8 Otrzymany ynk, ścsły da załoŝonego rzędu aproksymac rząd -ty okazue sę róneŝ być ynkem zgodnym z rozązanem anatycznym, mmo Ŝ eoman opsuący ugęce est rzędu 5-tego. Skąd ęc zgodność obydu ynkó? OtóŜ symetra operatora róŝncoego poodue, Ŝ edyne nezeroe yrazy reszty szeregu artośc pątyc q pocodnyc znoszą sę nazaem, tak ęc rezutace cąŝ reszta R. Taka ymuszona symetra na operatorze róŝncoym pozaa na otrzymyane ynkó zgodnyc z anatycznym da zadań z obcąŝenem noo zmennym na bekac. R 5 V 5 V Anazuąc poyŝsze przykłady moŝna dokonać perszego bansu ad zaet proponoanego podeśca yŝszego rzędu. Do zaet naeŝy zaczyć : Układ rónań ma tę samą eą stronę ak podeścu standardoym ten sam operator róŝncoy, natomast praa est zbogacona o człon zapenaący ścsłość ynku da załoŝonego rzędu aproksymac, Ostateczne rozązane zaeŝy tyko od błędu obcęca yrazó szeregu Tayora, ne zaeŝy od precyz operatora róŝncoego, Wymagane są da krok da otrzymana rozązana : eden da rozązana kasycznego, drug da rozązana yŝszego rzędu. Natomast probemy mogą postać przy następuącyc aspektac : 7
dyskretyzaca arunkó brzegoyc : ymagana osobna aproksymaca yŝszego rzędu ęzłac brzegoyc, mogą ystąpć róŝne stopne gładkośc rozązana : ymagane uzgędnene skokó same unkc ugęca ub/ e pocodnyc. Perszą rzeczą, którą trzeba sę zaąć est sposób uzgędnena skokó unkc neadome oraz e pocodnyc, yołanyc obecnoścą na bekac m.n. obcąŝeń skuponyc. Wproadzene aparatu obczenoego uzgędnaącego skok pozo osągnąć pełną zgodność ostatecznego ynku róŝncoego z załoŝonym rzędem aproksymac eomanoe zaróno obszarze, ak, da prostyc operatoró róŝnczkoyc, na brzegu obszaru. ROZDZIAŁ : TECHNIKA WYśSZEGO RZĘDU Z UWZGLĘDNIONYMI SKOKAMI FUNKCJI I J POCHODNYCH PoneaŜ dae będzemy zamoać sę głóne probemam statyk beek, przedstamy zbór naczęstszyc sytuac ystępoana skokó czy necągłośc koenyc pocodnyc ugęca bek. J 5 skok obcąŝena noo zmennego J skok obcąŝena rónomerne rozłoŝonego J skok sły poprzeczne J skok momentu zgnaącego J skok kąta ugęca bek przegub J utrata cągłośc bek 8
Skomentoać naeŝy przypadek perszy ostatn. Perszy J 5 trudno uznać na kasyczny przypadek necągłośc unkc, racze naeŝy go łączyć z próbą uzgędnena przyrostu obcąŝena noo zmennego od penego mesca na bece, ostatn zaś, J, ystępue racze rzadko, np. przy nerónomernym osadanu podpór. Zaróno sam skok, ak ego artość danym ęźe na bece, będą dae oznaczane symboem : J k, gdze : k rząd pocodne, które ystępue utrata cągłośc. Sposób na uzgędnene skoku pocodne odpoednego rzędu k k,,...5 będze poegał na opsanu pocodne okocy ęzła, którym ó skok ystępue za pomocą zeroedynkoe unkc Heavsde a przeskaoane przez artość tego skoku. W ten sposób przy rozanu danym ęźe szereg Tayora odpoednc artośc unkc ystępuącyc operatorze róŝncoym będze moŝna uzgędnć skończoną róŝncę artośc pocodne po obu stronac ęzła. Przedstaony ponŝe agorytm dotyczy tak ak poprzedno probemu zgnana beek. ALGORYTM TECHNIKI MRS WYśSZEGO RZĘDU PRZY RÓśNYCH STOPNIACH NIECIĄGŁOŚCI FUNKCJI UGIĘCIA ZGINAN BELKI Rozpatrzmy konguracę ęzłó ak na rys. ponŝe. W ęźe centranym mogą ystąpć szystke przypadk necągłośc rozązana zaprezentoane na początku rozdzału. 9
operator róŝncoy da probemu ugęca beek : L zaps k-te pocodne rozązana z necągłoścą ęźe centranym operatora : k gdze : k ea J k H, da < H, da unkca Heavsde a, da > roznęce operatora L szereg Tayora : L k k k k! po zbansoanu : L R k [ k k! k J k k R ] R gdze poszczegóne składnk moŝna rozpsać następuąco : J J J J J J J H α M Q q R J 6 J znana artość osadana podpory skok kąta ugęca dodatkoa neadoma skok momentu zgnaącego znana artość skok sły poprzeczne znana artość skok obcąŝena cągłego znana artość Teraz, ogónym przypadku dopuszczaącym ystępoane szystkc rodzaó necągłośc unkc ugęca, człon korekcyny składa sę oprócz znanyc z poprzednego rozdzału artośc pocodnyc yŝszego rzędu tu I takŝe z artośc skokó odpoednc pocodnyc rozaŝanym ęźe. Wszystke z nc, przypadku zadań beek zgnanyc są znane uŝ z pozomu statyk rozaŝanego probemu ugęca bek, natomast przypadku ystępoana necągłośc kątoe artość skoku kąta ugęca bek ęźe z J
przegubem naeŝy traktoać ako dodatkoą neadomą do układu rónań, gdyŝ ne est ona znana a pror. Wystąpene przegubu zana eden z ęzó knematycznyc, datego teŝ dysponue sę dodatkoym rónanem pozaaącym na ednoznaczne yznaczene oprócz ęzłoyc artośc ugęć róneŝ artośc necągłośc kątoe. Podobne spraa ma sę z neadomym perstatycznym przypadku konstrukc statyczne neyznaczanyc, o któryc moa będze rozdzae 6. Podany yŝe agorytm da beek będze zustroany na kku prostyc przykładac. Przykład. Beka taka ak poprzednc przykładac obcąŝona est słą skuponą. sormułoane probemu brzegoego : d M L d gdze : P, M P, < dyskretyzaca róŝncoa :
arunk brzegoe L operator rozązane kasyczne : L P L P W zadanu tym necągłość ystępue I pocodne ugęca, yołana est obecnoścą sły skupone na bece. Rozkład sły poprzeczne okocy ęzła moŝna zapsać następuąco: Q gdze : I J H H unkca Heavsde a J artość skoku trzece pocodne Po roznęcu operatora róŝncoego szereg Tayora : L I I [ 6 I I [ J 6 R ] R ] oraz po zbansoanu składnkó otrzymuemy następuące yraŝene : L 6 J gdze : J P P q J 6 6 P artość prae strony artość skoku I pocodne ugęca brak obcąŝena cągłego człon korekcyny Przy obczanu artośc pocodne ykorzystany został akt zeroana sę obcąŝena cągłego na bece. PoneaŜ rzeczystośc czarta pocodna ugęca okazue sę meć postać dety Draca ymuszene mpusoe ęźe, ne moŝna e składać z artośc pocodnyc rzędu, tak ak poprzednc przykładac, gdyŝ Ŝaden zór eomanoy ne est stane oddać postac te pseudounkc. Innym popranym sposobem na obczene artośc czarte pocodne est e dekompozyca aŝ do samyc artośc unkc :
L L L P P P,,, P NaeŜy teŝ zaznaczyć, Ŝe gdyby beka była dodatkoo tak obcąŝona, Ŝ czarta pocodna byłaby róŝna od zera, to cząc ą sposobem perszym naeŝy ne uzgędnać płyu obcąŝena skuponego. W ten oto sposób okazue sę, Ŝ człon korekcyny skupa sobe pły edyne artośc skoku I pocodne czy sły poprzeczne na bece. Tak ęc neuzgędnona podeścu kasycznym nskego rzędu artość skoku sły ma decyduące znaczene na zgodność rzędu dokładnośc ynku z rzędem aproksymac. Ostateczne rónane rozązane róŝncoe : L P H P 6 est zgodne z ynkem anatycznym będącym eomanem rzędu trzecego, da którego pomnęta roznęcu reszta R. Przykład. Beka sobodne podparta obcąŝona momentem skuponym. Na bece załoŝono cztery ęzły, zrezygnoano ze symetr rozązana, aby ugęce środku rozpętośc ne było zeroe. W zadanu ystępue skok druge pocodne ugęca momence zgnaącym.
sormułoane zadana: d M L da d arunk brzegoe : moment zgnaący : dyskretyzaca róŝncoa : M da M M da L L M M p M W dyskretnyc artoścac unkc prae strony rozróŝnono artość po strone prae ee momentu skuponego przyłoŝonego ęźe. rozązane nskego rzędu : M L p L M 5 M 8 M 9 L L korekta operatoró : 6 L R gdze : R stad : L J R M M gdze : R J stad :
rozązane yŝszego rzędu : M L p L M M M 6 M 9 M 9 H H Otrzymany ynk est ścsły ramac czartego rzędu aproksymac oraz pokrya sę z rozązanem anatycznym. Podany na początku rozdzału agorytm moŝna eektyne ykorzystać ceu zapenena tego samego rzędu aproksymac czartego ne tyko obszarze ae takŝe na ego brzegu. Jest to moŝe dzęk prostoce operatoró róŝnczkoyc ystępuącyc zadanac z bekam. Ne est to Ŝadnym ypadku podeśce ogóne patrz : rozdzał 5, ae edyne próba storzena ogónego agorytmu statyk beek zgnanyc przy pełnym ykorzystanu moŝośc płynącyc z moŝośc uzgędnana skokó unkc ugęca oraz e pocodnyc. Zostaną yróŝnone da naczęśce ystępuące przypadk : pełne uterdzene oraz podparce sobodne. PEŁNE UTWIERDZENIE 5
Pomysł poega na tym, aby przedłuŝyć symetryczne ragment bek tuŝ przy spornku proadzaąc eden kcyny ęzeł take same odegłośc ake eŝy nabŝszy ęzeł ęzła brzegoego. Wykorzystany est tuta akt symetr kcynego ugęca bek ęźe stosunku do ęzła ynkaący z dyskretyzac nskego rzędu operatora róŝnczkoego na brzegu na perszą pocodną ugęca za pomocą operatora centranego : d d M, ' ' I tak, zamast popraać operator róŝncoy brzegoy, potraktuemy okoce spornka ako przeeszoną bekę sobodne podpartą, z odpoedno dobranym obcąŝenem. Poprae uegne teraz kasyczny operator na drugą pocodną postaony ęźe. Zberaąc reakce do podpory sobodne ęźe dostae sę artość Pq, którą potraktue sę ako słę skuponą pooduącą skok trzece pocodne ugęca sły poprzeczne na podporze. Tak ęc reazaca numeryczna est taka sama ak poyŝszyc przykładac. Noy operator róŝncoy na brzegu ma teraz postać : L Roznęce operatora szereg Tayora ęźe brzegoym : L L J 6 I I 6 J M P q q J 6 6 P I I J q, gdze : R R 6
Tak poczony yraz korekcyny dodany do prae strony rónana róŝncoego na brzegu, uzupełnony o pozostałe rónana zapen eekce ścsłość rozązana da czartego rzędu aproksymac całym obszarze na ego brzegu. PODPARCIE SWOBODNE Sormułoane probemu d d M, L ' Dyskretyzaca arunkó brzegoyc " " W przypadku podpory sobodne ragment bek raz z e obcąŝenem od ęzła brzegoego do perszego ęzła obszarze przedłuŝyć moŝna antysymetryczne ze zgędu na stępną dyskretyzacę druge pocodne na brzegu. Zeroane sę momentu zgnaącego na podporze tz. arunek brzegoy statyczny moŝna boem potraktoać ako dodatkoy arunek na brzegu obszaru mmo, Ŝ rónane róŝnczkoe obszarze est ' 7
rzędu perszego. Jest to dopuszczane przypadku, gdy koneczne est proadzene ęzłó kcynyc poza obszarem ceu podnesena ogóne czby ęzłó do generac rónań róŝncoyc. Operator róŝncoy brzegoy : G G J I q I J J 6 6 q I I J R R Tym razem przy korekce operatora róŝncoego na brzegu uzgędna sę człone korekcynym nezeroą artość skoku obcąŝena cągłego, postałego przez antysymetryczny rozkład obcąŝena na rozaŝanym ragmence bek. Noa dyskretyzaca arunku brzegoego podparcu sobodnym ygąda następuąco : G q stara dyskretyzaca D noa dyskretyzaca D q Łato zauaŝyć, Ŝ początkoa antysymetra, ynkaąca ze stare dyskretyzac czy nskego rzędu uegła korekce, kcyne ugęce ęźe est neco mnesze nŝ ego odpoednk po strone rzeczyste bek ęźe szystko ramac ścsłośc da czartego rzędu aproksymac eomanoe. PoyŜsze rozaŝana moŝna ykorzystać dzedzne statyk beek spręŝystyc oraz nnyc prostyc probemac brzegoyc. W bardze złoŝonyc zadanac naeŝy opracoać osobny scemat podeśca yŝszego rzędu da operatoró brzegoyc. Stano to tematykę 8
na przeryana pełna antysymetra na cągła antysymetra korekta następnego rozdzału, natomast ykorzystane całego aparatu obczenoego uzgędnaącego skok przedstaa rozdzał 6. Na sam konec eszcze eden przykład : ykorzystane agorytmu da podparca sobodnego da bek z przykładu.. Tam ne udało sę uzyskać naepszego, ścsłego ynku przy zastosoanu operatora yŝszego rzędu. Teraz moŝna uŝ skuteczne poprać operator róŝncoy na drugą pocodną postaony ęźe brzegoym. Przykład. Przypomnene sormułoana probemu zadana z przykładu. : d M L d M q Operator róŝncoy pęcoęzłoy mał następuącą postać : L H 6 6 arunek brzegoy : q, * kookaca ęźe środkoym bek : L H q 5 q 8 6 Ostateczne rozązane po podstaenu do poyŝszego yraŝena za zązku * : H 5 q okazue sę być końcu zgodne z ynkem anatycznym. 9
ROZDZIAŁ 5 : DYSKRETYZACJA WARUNKÓW BRZEGOWYCH W rozdzae będze moa o osobnym scemace postępoana przypadku, gdy koneczne est ymuszene odpoednego rzędu aproksymac eomanoe na brzegu obszaru. Jak dotąd pokazano postępoane da operatoró róŝncoyc obszarze, gdy c korekta sproadzała sę do obczena członu korekcynego. Wyraz ó mógł składać sę z pocodnyc yŝszego rzędu oraz z artośc skoku poszczegónyc pocodnyc neadome unkc. Da operatoró centranyc, symetrycznyc korekta ne była zyke zbyt ucąŝa do obczana. Układane oraz popraane operatoró róŝncoyc na brzegu róneŝ est moŝe zasadze koneczne, z tym zastrzeŝenem, Ŝ cecue e o ee mnesza dokładność nŝ przypadku operatoró z nętrza obszaru. Proponoane podeśce aproksymac yŝszego rzędu operatoró brzegoyc pokazue ak robć to sposób nabardze raconany, aby c korekta ne była zbyt ucąŝa do ykonana a zarazem ykorzystyała agorytmy zaprezentoane poprzednc rozdzałac. Podeśce po raz perszy zaproponoano []. W MRS moŝe sposoby dyskretyzac operatora róŝnczkoego na brzegu to : dyskretyzaca edyne za pomocą same artośc unkc e nętrzu obszaru sposób naprostszy ae nabardze prymtyny, gdyŝ operatory róŝncoe tak zbudoane są na ogół mało dokładne, dyskretyzaca za pomocą operatora róŝncoego bazuącego, podobne ak MES, na róŝnyc stopnac sobody ęzłac oprócz samyc artośc unkc takŝe na pocodnyc kerunkoyc, np. normanyc do brzegu, artoścac rozmatyc operatoró róŝncoyc etc., dyskretyzaca za pomocą operatoró róŝncoyc bazuącyc na sztuczne proadzonyc, kcynyc ęzłac poza obszarem ceu uzyskana ak naększe dokładnośc dyskretyzac brzegoe porónyane z tą obszarze sposób naepszy, ae tyko nektóryc typac zadań; zadanac statecznośc dynamk ne poecany ęce ęzłó podnos tz. masę układu, aproksymaca yŝszego rzędu na brzegu obszaru bazuąca na korekce doonego zastosoanego cześne operatora róŝncoego brzegoego, tak aby był on ścsły