Dorota Miszczyńska Postawowe modele zapasów OPTYMALNA POLITYKA ZAPASÓW Problemy zapasów, kształtowania ich wielkości dotyczą dwóch rodzajów działalności: produkcyjnej oraz handlowej. Celem jest zapewnienie przede wszystkim ciągłości produkcji lub sprzedaży. Utrzymywanie zapasów wiąże się jednak z pewnymi kosztami. Do najważniejszych zaliczamy: 1. Koszty utrzymania zapasu [Ku] 2. Koszty zamówień [Kz] 3. Koszty związane z brakiem zapasów [Kb] Przedstawimy kilka wybranych modeli kształtowania zapasów gdzie podstawowe pytania jakie zadajemy to: a. Ile towaru (surowca) należy kupować? b. Jak często należy kupować Z kolei cel jaki sobie stawiamy to minimalizacja całkowitych kosztów związanych z potrzebą utrzymania zapasów (Koszty całkowite [Kc], których główne składowe to koszty wymienione w punktach 1-3. I Przykład 1 z deterministycznym popytem Dom sprzedaży wysyłkowej oferuje zestawy upominków okolicznościowych, które nabywa u producenta w cenie 300 PLN za zestaw. Z doświadczeń wynika, że popyt na zestawy jest stabilny i wynosi 50 zestawów na miesiąc. Koszt złożenia zamówienia (bez względu na rozmiar zamawianej
partii wynosi 50 PLN. Roczne jednostkowe koszty utrzymania zapasu (koszty magazynowania, kapitałowe itp.) kształtują się na poziomie 20% ceny zakupu u producenta. A) Po ile sztuk zestawów powinien każdorazowo zamawiać dom wysyłkowy, aby roczne całkowite koszty utrzymania zapasu były jak najmniejsze? B) Czy zmieni się optymalny rozmiar zamawianych partii zestawów upominkowych jeśli producent zaproponuje następujące opusty: 0,5% przy zamawianiu 50 lub więcej zestawów, 1,0% przy zamawianiu 75 lub więcej zestawów oraz 1,5% przy zamawianiu 150 lub więcej zestawów? Klasyczny model EOQ (Economic order quantity) Czyli inaczej ekonomiczna wielkość partii. Zakłada się tutaj: 1. Stałe zapotrzebowania (D) 2. Zużycie zasobu jest równomierne w zadanym okresie czasu (dzień, miesiąc, rok) 3. Zakup danego produktu (surowca) może odbywać się partiami, T-krotnie w ciągu danego okresu czasu. 4. Cena jednostkowa zakupu jest stała (p) 5. Koszty realizacji zamówienia związane z każdą transakcją są stałe (k z ), niezależnie od jej wielkości 6. Dany jest jednostkowy koszt magazynowania (k m ) 7. Natychmiastowa możliwość uzupełnienia zapasów W związku z przyjętymi warunkami oraz oznaczeniami koszt całkowity związany z utrzymaniem zapasów można określić wzorem:
3 KC(Q) = k z D Q + k m Q 2 + pd KC jest więc funkcją jednorazowej dostawy, tutaj określonej jako Q. Minimum funkcji KC wyznaczmy obliczając pierwszą pochodną względem zmiennej Q i przyrównując ją do zera. dkc dq = k z D Q 2 + k m 2 = 0 Co prowadzi nas do optymalnej wielkości jednorazowej dostawy EOQ = Q opt = 2k zd k m Natomiast optymalna liczba zakupów T opt oraz długość cyklu dostaw wynoszą odpowiednio: T opt = D oraz 1 Q opt T opt Dla zagadnienia przedstawionego w przykładzie, w punkcie A mamy: D=50* 12=600, k z =50 PLN, k m =0,2 *300=60 PLN, p=300 PLN, Czyli: KC = 50 600 + 60 Q + 300 600 Q 2 EOQ = Q opt 2 50 600 = 32 60 Optymalna liczba zakupów wyniesie T opt = 600 32 19, Długość cyklu wyniesie 1 T opt = 1 19 roku czyli co około 19 dni.
Dla zagadnienia przedstawionego w punkcie B mamy: Dla ustalonej wcześniej optymalnej wielkości partii mamy: KC = 50 600 32 + 60 + 300 600 181 910 PLN 32 2 natomiast dla zwiększonej partii, uwzględniając opusty: KC 50 = 50 600 50 KC 75 = 50 600 75 + 60 50 2 + 60 75 2 + 298,5 600 = 181200 + 297 600 = 180850 KC 150 = 50 600 150 + 60 + 295,5 600 = 182000 150 2 Zawsze można na bazie teoretycznego modelu uchylać założenia tak, aby opisywana sytuacja odzwierciedlała rzeczywistość gospodarczą. Model probabilistyczny Sytuacje w których zapotrzebowanie jest stałe i z góry określone są rzadkie w praktyce. To samo dotyczy czasu realizacji dostawy. W następnym rozpatrywanym modelu zakładamy losowy popyt. Przykład 2 Ten sam dom sprzedaży wysyłkowej ma wyłączność na kolportaż dziennika wydawanego w stolicy po 2 PLN za egzemplarz i sprzedaje po 3 PLN za egzemplarz. Umowa z wydawcą przewiduje, że odkupuje on po 1,50 PLN każdy egzemplarz, który nie został kupiony przez
5 detalistów. W przypadku braku dostatecznej liczby egzemplarzy dom sprzedaży wysyłkowej może zorganizować dodatkową dostawę, która zwiększy koszty o 1 PLN na każdym brakującym egzemplarzu. Popyt na dziennik jest losowy i opisuje go następujący rozkład prawdopodobieństwa (tab.1): Tab.1 i popyt prawdopodobieństwo Dystrybuanta 1 500 0,1 0,1 2 750 0,2 0,3 3 1000 0,4 0,7 4 1250 0,2 0,9 5 1500 0,1 1,0 1,0 Jaką liczbę egzemplarzy powinien zamawiać każdego dnia dom sprzedaży wysyłkowej, aby zrównoważyć straty w przypadku nadwyżki popytu lub nadwyżki podaży? Traktując powyższy rozkład jako dyskretny możemy analizując koszty wyznaczyć koszt najmniejszy, który wyznaczy wielkość zamówienia. zrealizowany popyt Koszty zamówienie 500 750 1000 1250 1500 500 0 250 500 750 1000 500 750 125 0 250 500 750 287,5 1000 250 125 0 250 500 150 1250 375 250 125 0 250 162,5 1500 500 375 250 125 0 250 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
Jeżeli potraktujemy rozkład jako ciągły to biorąc pod uwagę, że dystrybuanta rozkładu popytu powinna wynosić [wyprowadzenie wzoru można znaleźć w W. Sadowski (1973 ss.180-183)]: F(x z ) = L 2 L 1 + L 2 Musimy ustalić taką wielkość zamówienia (zapasu), aby spodziewana łączna suma kosztów i strat związanych z zaspokojeniem przyszłego zapotrzebowania na gazety była możliwie najmniejsza. Inaczej mówiąc należy wyznaczyć taką wielkość zamówienia (zapasu), dla którego wartość dystrybuanty (prawdopodobieństwo sprzedaży x z jednostek lub mniej będzie równe powyższemu stosunkowi Gdzie: L 1 gdy D < Q jednostkowa strata przy nadwyżce [2-1,5=0,5 zł] L 2 gdy D > Q jednostkowa strata przy niedoborze [(3-2) + 1= 2 zł] W rezultacie podstawiając do wzoru na F(x z ) otrzymujemy wartość 0,8 co oznacza, że nasze zamówienie powinno wynosić 1125 egzemplarzy. Należy znaleźć takie Q opt, że L 1 *P{D <=Q opt }=L 2 *P{D >Q opt } L 1 *P{D <=Q opt }= L 2 *[1-P{D <= Q opt }] P{D <=Q opt }= L2 / (L1+L2)= 0,8 (0,8-0,7)/(0,9-0,7)= (Q opt -1000)/(1250-1000) Q opt = 1000+(1250-1000)*0,5=1125 Optymalny rozmiar zamówienia wynosi 1125
7 Przykład 3 Załóżmy, że mając informację z przykładu 2 zakładamy, że rozkład popytu jest rozkładem normalnym. Przy takim założeniu i przy danych wielkościach wartości oczekiwanej na poziomie 1000 oraz odchylenia standardowego na poziomie 274 mamy: F ( Qopt 1000 ) = 0,8 274 Z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego odczytujemy, że wartości dystrybuanty 0, 8 odpowiada wartość argumentu funkcji F na poziomie 0,85 co pozwala nam ustalić: Q opt 1000 274 = 0,85 czyli Q opt = 0,85*274+1000= 1232,9 Przykład 4 [przykład z książki: Z.Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Skrzypek, A. Walkosz, Badania Operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, 2004] Przedsiębiorstwo Alfa produkuje obrabiarki na indywidualne zamówienie odbiorcy- przyszłego użytkownika. Podstawowym
elementem obrabiarki jest urządzenie tnące, które jest produkowane z wysokogatunkowej stali. Koszt wytworzenia tego urządzenia wynosi k 1 =2000 zł, jeśli urządzenie produkowane jest razem z obrabiarką. Natomiast w przypadku konieczności wyprodukowania tego samego urządzenia jako części zamiennej, na żądanie użytkownika, koszt wytworzenia jest zdecydowanie wyższy i wynosi k 2 =4500zł (zmiana oprzyrządowania, przygotowanie produkcji, sprowadzenie odpowiednio gatunkowej stali itp.). Powstaje problem wyznaczenia optymalnej wielkości zapasu części zamiennych (urządzeń tnących obrabiarki) dla producenta i dla użytkownika z punktu widzenia minimalizacji oczekiwanego kosztu utworzenia zbyt dużego lub zbyt małego zapasu. Użytkownik traci wartość ceny zakupu urządzenia c 1 =3000 zł w przypadku utworzenia nadmiernego zapasu lub poniesie stratę w wysokości podwyższonej ceny zakupu c 2 =5000 zł oraz poniesie stratę z powodu unieruchomienia całej obrabiarki- L=12000 zł. Z przeprowadzonych badań wynika rozkład prawdopodobieństwa liczby niezbędnych wymian urządzenia tnącego ( tab.2) Z Pz Fz 0 1 2 3 4 5 6 0,30 0,25 0,20 0,10 0,08 0,05 0,02 0,30 0,55 0,75 0,85 0,93 0,98 1,00 Wyznaczyć optymalną wielkość zapasu urządzenia tnącego z punktu widzenia producenta oraz użytkownika.
9 1. Dla producenta będzie to taki zapas (z), który spełnia warunek: czyli k 2 k 1 k 2 = F z 1 < k 2 k 1 k 2 F z 4500 2000 4500 = 0,555 Dla z=2 (F 2 =0,75; F 2-1 =0,55) 2. Dla użytkownika będzie to zapas spełniający warunek: F z 1 < c 2 c 1 + L c 2 + L F z Czyli: c 2 c 1 +L c 2 +L = 5000 3000+12000 5000+12000 = 0,82 Z=3 ( F z-1 =0,75; F z =0,85). Wygodnym sposobem podejścia do struktury zapasów jest ich podział według ich cenności. Dotyczy to najczęściej zapasów materiałowych. Z reguły tylko około 5-10 % ilości zapasów stanowi o 75-80% ich wartości. Są to zapasy cenne, zalicza się je do grupy A. Druga grupa (zapasy typu B) stanowi od 15 do 20 % wartości. W grupie C znajdują się zapasy występujące w dużych ilościach (masowe) ale o małym znaczeniu w tworzeniu wartości produktu. Przy ustalaniu optymalnego poziomu zapasów należy przede wszystkim poświęcić uwagę zapasom w grupie A. Mają one bowiem duży wpływ na koszty.
Procedura postepowania wg zasady ABC jest następująca: 1. Obliczanie rocznej wartości zużycia każdej pozycji zapasów 2. Uszeregowanie tych wartości malejąco 3. Zsumowanie wartości wszystkich pozycji materiałowych 4. Obliczenie udziału każdej pozycji materiałowej w wartości ogółem 5. Obliczenie skumulowanych udziałów procentowych każdej pozycji materiałowej. 6. Podjęcie decyzji o podziale materiałów na grupy ABC Dodatkowo, poza analizą ABC, która obejmuje określony przedział czasowy przeprowadza się analizę XYZ badając zmiany zjawiska w czasie. Wskazane jest aby to było kilkanaście okresów. Na tej podstawie wyróżnia się: 1. Klasę X- obejmującą obiekty, dla których cecha wykazuje statystyczną stałość, przy czym dopuszczalne są sporadyczne zakłócenia. 2. Klasę Y, obejmującą obiekty, dla których cecha wykazuje zmienność wynikającą najczęściej z sezonowości lub trendu 3. Klasę Z, do której zalicza się pozostałe obiekty, dla której wyróżniona cecha wykazuje istotną nieregularność [Krawczyk S., Metody ilościowe w planowaniu, wyd Beck, 2001] W praktyce wykorzystuje się kombinację obu podziałów.