BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda
Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp stan natury. Przyjmujemy, że mamy n możlwych decyzj może wystąpć m stanów. Ne są znane prawdopodobeństwa wystąpena poszczególnych stanów. Dana jest macerz [a j ], gdze a j oznacza zysk z podjęca tej decyzj, jeżel zachodz j-ty stan natury. dr Adam SOJDA 2
Teora podejmowana decyzj gry z naturą Reguła WALDA (maxmn) Dla każdej decyzj ustal mnmalny zysk wyberz jako optymalną decyzję k, dla której Reguła HURWICZA Ustal lczbę α ( 0 α 1 ) zwaną współczynnkem ostrożnośc, dla każdej decyzj oblcz: h jako optymalną stratege wyberz decyzję k, dla której w w k = = mn j max ( ) { } ( ) { } α = α mn a + 1 α max a j j j j { a } j { w } h k ( α) = max{ h ( α) } dr Adam SOJDA 3
Teora podejmowana decyzj gry z naturą Kryterum SAVAGE A Dla każdego stanu natury ustal maksymalny zysk Utwórz tablcę względnych strat (żalu) S, gdze z s j j = max = z j { a } j a j Dla każdej decyzj ustal maksymalną stratę względną Wyberz jako optymalną decyzję k, dla której s s k = = max j mn { } s j { s } dr Adam SOJDA 4
Teora podejmowana decyzj gry z naturą ZADANIE. Właśccel straganu pownen podjąć decyzję dotyczącą welkośc dzennej part zakupu truskawek. Może on nabyć 100, 120, 150, 300 łubanek po 5.50 zł za łubankę. Dzenne może sprzedać po 50, 130, 180, 200 łubanek po 11.00 zł za łubankę. Zakłada sę, że towar ne sprzedany w danym dnu ne nadaje sę do spożyca dna następnego. Określć optymalne decyzje w zależnośc od zastosowanego kryterum ( dla kryterum Hurwcza określć optymalne decyzje dla α=0.4) dr Adam SOJDA 5
Teora podejmowana decyzj gry z naturą Zmenne decyzyjne: MOŻLIWOŚĆ ZAKUPU 1. 100 2. 120 3. 150 4. 300 Stany zewnętrzne MOŻLIWOŚĆ SPRZEDAŻY 1. 50 2. 130 3. 180 4. 200 Wyznaczene wartośc w macerzy zysków: Ø a21 = - 5.50 x 120 + 50 x 11.00 = -110 zł Ø a22 = - 5.50 x 120 + 120 x 11.00 = 660 zł dr Adam SOJDA 6
Teora podejmowana decyzj gry z naturą Decyzje Stany natury 50 130 180 200 mn {a j } max {a j } h(α) 100 0,00 550,00 550,00 550,00 0 550 330 120-110,00 660,00 660,00 660,00-110 660 352 150-275,00 605,00 825,00 825,00-275 825 385 300-1100,00-220,00 330,00 550,00-1100 550-110 max 0 660 825 825 50 130 180 200 max {s j } 100 0 110 275 275 120 110 0 165 165 275 165 150 275 55 0 0 275 300 1100 880 495 275 1100 dr Adam SOJDA 7
W grze berze udzał dwóch graczy A B. Każdy z nch jest graczem ntelgentnym, ostrożnym tzn. ne podejmuje decyzj jawne dla sebe nekorzystnych oraz stosuje (kryterum Walda) maksymalzację swoch najmnejszych wygranych. Dana jest macerz wygranych gracza A, która jest jednocześne macerzą przegranych gracza B. Każdy z graczy ma skończoną lczbę możlwych decyzj. Wartość gry v wygrana gracza A, która jest przegraną gracza B. Mówmy, że gra posada rozwązane w zborze strateg (decyzj) czystych jeśl maksymalna z mnmalnych wygranych gracza A jest równa mnmalnej z maksymalnych przegranych gracza B. Jeżel gra ne ma rozwązana w zborze strateg czystych, możemy poszukać jej rozwązana w zborze strateg meszanych gracz stosuje swoje stratege z określonym częstoścam. Mówmy, że pewna stratega d k jest zdomnowana przez strategę d t, jeżel nezależne od decyzj przecwnka wygrane gracza przy strateg d t ne są gorsze (lepsze bądź take same) jak w przypadku zastosowana strateg d k. dr Adam SOJDA 8
Zadane GD1. Jacek Agatka grają w następującą grę. Każde z nch ma 3 karty: Asa, Króla, Damę. Pokazują je sobe jednocześne. Jeśl pokażą take same karty to nkt ne wygrywa, jeśl pojaw sę As Król, to właśccel Asa wygrywa 3 zł, jeśl As Dama, to właśccel Asa przegrywa 5 zł, jeśl Król Dama to właśccel Króla wygrywa 4 zł. a)zapsz macerz tej gry (wygrane Jacka). b)sprawdź czy ne ma rozwązana w zborze strateg czystych c)napsz program lnowy pozwalający tą grę rozwązać d)po pewnym czase Agata postanowła, że gra zostane przyspeszona odrzucła Damę rozwązać tą grę. e)po godzne jak Agata mała jeszcze 65 zł a Jacek 95 to Jacek postanowł przyspeszyć grę odrzucł Asa. Rozwązać grę określć lu średno wyłożeń kart potrzeba, aby jeden z graczy ne mał już penędzy. dr Adam SOJDA 9
Jeśl pokażą take same karty to nkt ne wygrywa, jeśl pojaw sę As Król, to właśccel Asa wygrywa 3 zł, jeśl As Dama, to właśccel Asa przegrywa 5 zł, jeśl Król Dama to właśccel Króla wygrywa 4 zł. Agatka Jacek As Król Dama As 0 3-5 Król -3 0 4 Dama 5-4 0 MIN ZYSK -5-3 -4 MAX PRZEGRANA 5 3 4 Gra ne ma rozwązana w zborze strateg czystych wyznaczone wartośc sę różną. Wartość gry (wygrana Jacka) będze od -3 do 3 dr Adam SOJDA 10
Wprowadźmy oznaczena: p częstość stosowana przez gracza A strateg a q j częstość stosowana przez gracza B strateg b j v - wartość gry Zakładamy dodatkowo, że v > 0, wtedy można będze wprowadzć zmenne pomocncze. x = p / v dla = 1 n y j = q j / v dla j = 1 m Zauważmy, że jeśl do każdej wygranej dodamy taką samą wartość, to wzrośne wartość gry o tą wartość, natomast ne ulegną zmane częstośc stosowana poszczególnych strateg. Jeśl wartość gry może być ujemna zmenamy grę dodając do każdej z wygranej taką wartość, która pozwol otrzymać nową grę, dla której wartość gry ne będze mogła być lczbą ujemną. Taką grę rozwązujemy, czyl wyznaczamy częstośc stosowana poszczególnych strateg, a następne wartość tej gry gry perwotnej. dr Adam SOJDA 11
Poneważ, w tej grze wartość gry v może być ujemna (-3,3) do każdej z wygranych Jacka dodajemy 4. Otrzymujemy grę: Agata Jacek As Król Dama As 4 7-1 Król 1 4 8 Dama 9 0 4 MIN ZYSK -1 1 0 MAX PRZEGRANA 9 7 8 Nowa gra ne ma rozwązana w zborze strateg czystych, a wartość gry ne może być już ujemną, gdyż v (1,7) dr Adam SOJDA 12
Dla gracza A (Jacek) v à max p 1 + p 2 + p 3 = 1 b1: 4p 1 + 1p 2 + 9p 3 v b2: 7p 1 + 4p 2 + 0p 3 v b3: -1p 1 + 8p 2 + 4p 3 v p 1, p 2, p 3 0 Dla gracza B (Agatka) v à mn q 1 + q 2 + q 3 = 1 a1: 4q 1 + 7q 2-1q 3 v a2: 1q 1 + 4q 2 + 8q 3 v a3: 9q 1 + 0q 2 + 4q 3 v q 1, q 2, q 3 0 Dzelmy, każdy element programu przez v>0 odpowedno podstawamy, za p,g zmenne x,y. v/v =1 x 1 + x 2 + x 3 = 1/v à mn v/v = 1 y 1 + y 2 + y 3 = 1/v à max b1: 4x 1 + 1x 2 + 9x 3 1 a1: 4y 1 + 7y 2-1y 3 1 b2: 7x 1 + 4x 2 + 0x 3 1 a2: 1y 1 + 4y 2 + 8y 3 1 b3: -1x 1 + 8x 2 + 4x 3 1 x 1, x 2, x 3 0 a3: 9y 1 + 0y 2 + 4y 3 1 y 1, y 2, y 3 0 dr Adam SOJDA 13
Po odrzucenu przez Agatę Damy (b3) programy można zapsać w sposób następujący: Gra dla Jacka: x 1 + x 2 + x 3 = 1/v à mn b1: 4x 1 + 1x 2 + 9x 3 1 b2: 7x 1 + 4x 2 + 0x 3 1 b3: x 1, x 2, x 3 0 Gra dla Agaty: y 1 + y 2 = 1/v à max a1: 4y 1 + 7y 2 1 a2: 1y 1 + 4y 2 1 a3: 9y 1 + 0y 2 1 y 1, y 2, y 3 0 Rozwązane tego programu znajdujemy z tw. o komplementarnośc albo w tablcy Smplex Ten program można rozwązać metodą grafczną albo algorytmem Smplex. x 1 = 9/63 x 2 =0 x 3 = 3/63 y 1 = 7/63 y 2 = 5/63 dr Adam SOJDA 14
Dla Jacka: x 1 = 9/63 x 2 =0 x 3 = 3/63 x 1 + x 2 + x 3 = 1/v = 12/63 Zatem v = 63/12 (v = 5.25 ) Częstośc stosowana strateg: p 1 = 0.75 p 2 =0 p 3 = 0.25 Dla Agaty: y 1 = 7/63 y 2 = 5/63 y 1 + y 2 = 1/v = 12/63 Zatem v = 63/12 (v = 5.25 ) Częstośc stosowana strateg: q1 =7/12=0.583(3) q2 =5/12=0.416(6) Rozwązane perwotnej gry: v = 5.25 4 = 1.25 Częstośc stosowana strateg: p 1 = 0.75 p 2 =0 p 3 = 0.25 Rozwązane perwotnej gry: v = 5.25 4 = 1.25 Częstośc stosowana strateg: q1 =7/12=0.583(3) q2 =5/12=0.416(6) dr Adam SOJDA 15
Po odrzucenu przez Jacka Asa otrzymujemy grę 2 x 2 : Agatka Jacek As Król Król -3 0 Dama 5-4 MIN ZYSK -3-4 MAX PRZEGRANA 5 0 Gra ta ne ma rozwązana w zborze strateg czystych. Szukając rozwązana w zborze strateg meszanych wyznaczamy je rozwązując układ równań (tylko w przypadku gry 2 x 2). Ne trzeba doprowadzać, do sytuacj, kedy wartość gry jest ujemna rozwązywać programu lnowego. dr Adam SOJDA 16
Dla Jacka: p 1 + p 2 =1 à p 1 = 1- p 2-3p 1 + 5p 2 = v 0p 1 4p 2 = v Dla Agaty q 1 + q 2 =1 à q 1 = 1- q 2-3q 1 + 0q 2 = v 5q 1 4q 2 = v Podstawamy do równań 2 3 porównujemy je: Podstawamy do równań 2 3 porównujemy je: -3(1-p 2 ) + 5p 2 = 0(1-p 2 ) 4p 2-3 + 3p 2 + 5p 2 = 4p 2 12p 2 = 3 p2 = 3/12=0.25 p 1 = 0.75-3(1-q 2 ) + 0q 2 = 5(1-q 2 ) 4q 2-3 + 3q 2 =5-5q 2 4q 2 12q 2 = 8 q 2 = 8/12=2/3=0.6(6) q 1 = 1/3=0.3(3) v = -3 0.75 +5 0.25 = -1 v = -4 0.25 = -1 v = -3 1/3 = -1 v = 5 1/3-4 2/3 = -3/3 = -1 dr Adam SOJDA 17