WYKŁAD 1. CO TO JEST I CZYM SIĘ ZAJMUJE OPTYMALIZACJA DYNAMICZNA 1. Optymalizacja W języku potocznym optymalizacja oznacza wybór najlepszej, czyli optymalnej, moŝliwości. Bywa teŝ rozumiana jako stopniowe ulepszanie, krok po kroku, istniejących rozwiązań, w ąŝeniu o uzyskania rozwiązania najlepszego z moŝliwych. Mówi się więc o optymalizacji procesu technologicznego, planu proukcji, sterowania w ukłazie automatyki, kształtu skrzyła samolotu itp. Jakość róŝnych rozwiązań (ecyzji, sposobów postępowania) porównywana jest zwykle przy uŝyciu kryteriów liczbowych: stuent uczy się lepiej, jeśli jego oceny są wyŝsze, a przesiębiorstwo jeśli przynosi większy zysk. Optymalizacja z reguły wymaga uwzglęnienia róŝnoronych ograniczeń, wyznaczających zbiór rozwiązań moŝliwych o przyjęcia, czyli opuszczalnych. Ograniczenia mogą wynikać na przykła z praw przyroy, przepisów prawa, norm technologicznych lub ograniczonej ostępności śroków proukcji. Jako teoria sformalizowana, optymalizacja stanowi gałąź matematyki stosowanej. Matematyczne formułowanie problemu optymalizacji zaczyna się o wprowazenia przestrzeni ecyzyjnej V. Jeśli moŝliwości oziaływania ecyenta na optymalizowaną wielkość (czyli zmienne ecyzyjne) ają się w pełni scharakteryzować przez skończony ciąg liczb rzeczywistych, przyjmujemy V = R, gzie R oznacza przestrzeń rzeczywistych wektorów n- n n wymiarowych. Problem optymalizacji nazywamy wtey skończenie wymiarowym. W automatyce zmiennymi ecyzyjnymi są często sterowania, bęące funkcjami czasu. Przestrzenią m ecyzyjną w takim wypaku jest przestrzeń funkcyjna, na przykła V = PC (0, T; R ). m PoniewaŜ funkcji z PC (0, T; R ) nie moŝna opisać jenoznacznie za pomocą skończonego ciągu liczbowego, taki problem optymalizacji jest nieskończenie wymiarowy. W przestrzeni ecyzyjnej V efiniuje się zbiór ecyzji (rozwiązań) opuszczalnych V. Zwykle określa się go jako zbiór tych wszystkich v V, które spełniają zaane ograniczenia nierównościowe lub równościowe, na przykła w przestrzeni V = PC( 0, T; R) zbiór opuszczalnych rozwiązań V moŝe zawierać tylko sterowania ograniczone: u ( t) 1, t [ 0, T ]. Jeśli ograniczeń nie ma, to V = V. Następnie wprowaza się wskaźnik jakości Q : V R. UŜywa się teŝ określenia funkcjonał jakości (obok kilku innych, takich jak funkcja celu i koszt), poniewaŝ funkcjonałem nazywa się kaŝą funkcję o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Wskaźnik jakości przyporząkowuje kaŝemu rozwiązaniu opuszczalnemu jego ocenę liczbową, pozwalając porównać ze sobą jakość wóch owolnych rozwiązań opuszczalnych. Definiuje on zatem sposób porównywania rozwiązań. Przyjmujemy umowę, Ŝe zawsze za lepsze bęziemy uwaŝać to rozwiązanie, la którego wartość wskaźnika jakości jest mniejsza. Jest to naturalne, jeśli wskaźnik ma interpretację kosztów lub strat. Umowa ta nie zmniejsza ogólności rozwaŝań, poniewaŝ w przypaku, gy poŝąana jest maksymalizacja interesującej nas wielkości (na przykła zysku), jako wskaźnik Q weźmiemy tą wielkość pomnoŝoną przez 1. Definicja 1. Rozwiązanie opuszczalne vˆ nazywamy optymalnym, jeśli spełnia warunek Q( vˆ) Q( la kaŝego v V. 1
Ta efinicja rozwiązania optymalnego pokrywa się z efinicją punktu minimum funkcjonału Q w zbiorze V : punkt vˆ V jest rozwiązaniem optymalnym wtey i tylko wtey, gy wskaźnik jakości Q osiąga w tym punkcie minimum w V. W ten sposób problem optymalizacji sprowaza się o obrze znanego zaania matematycznego, zięki czemu teoria optymalizacji moŝe się posłuŝyć orobkiem innych ziezin matematyki. ChociaŜ alsze rozwaŝania otyczą minimalizacji, po zmoyfikowaniu wskaźnika mogą być zastosowane o min Q( = max Q(. rozwiązywania problemów maksymalizacji, bowiem ( ) W przypakach, kiey informacja o problemie optymalizacji jest zbyt skąpa lub śroki poszukiwania minimum za słabe, często musimy zaowolić się rozwiązaniem, które jest najlepsze tylko w pewnym swoim otoczeniu, czyli lokalnie optymalne. Aby pokreślić róŝnicę, rozwiązanie określone w efinicji 1 nazywane jest teŝ globalnie optymalnym. Przyjmuje się, Ŝe rozwiązanie lokalnie optymalne jest punktem, w którym wskaźnik jakości osiąga minimum lokalne w zbiorze opuszczalnym. Definicja 2. Rozwiązanie opuszczalne vˆ nazywamy lokalnie optymalnym, jeśli istnieje otoczenie O punktu vˆ, takie Ŝe Q( vˆ) Q( v V O. Optymalizacja moŝe być uwaŝana za pewną metoykę poejmowania ecyzji. Z tego punktu wizenia wa postawowe elementy problemu, wskaźnik jakości i ograniczenia, pełnią role w znacznym stopniu zamienne, bo te same praktycznie wymagania w stosunku o rozwiązania moŝna często wyrazić zarówno przez nałoŝenie opowienich ograniczeń, jak przez opowienie zefiniowanie wskaźnika jakości. 2. Optymalizacja ynamiczna Optymalizacja ynamiczna jest zieziną, która powstała w wyniku zastosowania teorii optymalizacji o zaganień sterowania. Dlatego teŝ barzo często jest nazywana teorią sterowania optymalnego tych nazw bęziemy uŝywali zamiennie. Teoria ta uściśla i formalizuje intuicyjne pojęcie jakości sterowania, ostarcza śroków pozwalających na skuteczne poszukiwanie sterowania najlepszego w określonym sensie, czyli optymalnego, a takŝe meto umoŝliwiających jego analizę. Liczbowe kryteria jakości mogą być związane z mierzalnymi wielkościami fizycznymi lub ekonomicznymi, takimi jak zysk, wyatek, zuŝycie energii, paliwa lub surowców, czas tracony na osiągnięcie celu, albo okłaność naąŝania za zaanym przebiegiem. Problem optymalizacji ynamicznej sformalizujemy następująco. Dany jest system ynamiczny z przestrzenią wejść W, przestrzenią wyjść Y i funkcją przejścia F :W Y. W tak zwanym poejściu sekwencyjnym, zmiennymi ecyzyjnymi optymalizacji są tylko zmienne wejściowe, a przestrzeń ecyzyjna problemu optymalizacji V jest ientyczna z przestrzenią wejść lub jest jej częścią, W = V W1. W poejściu równoczesnym, zmiennymi ecyzyjnymi mogą być elementy wejścia i wyjścia, W Y = V W 1 Y1, a określony przez funkcję przejścia związek mięzy wejściem a wyjściem systemu jest traktowany jako ograniczenie równościowe. W obu poejściach w przestrzeni V zaaje się zbiór opuszczalny V. NajwaŜniejszą cechą wyróŝniającą zaania optymalizacji ynamicznej jest to, Ŝe z reguły elementami wektora ecyzyjnego są sterowania, zmienne wejściowe bęące funkcjami czasu, których nie a się jenoznacznie scharakteryzować za pomocą Ŝanego skończenie wymiarowego wektora rzeczywistego. W konsekwencji wymiar przestrzeni ecyzyjnej jest nieskończony. Funkcjami czasu są takŝe wyjścia systemu, czyli elementy przestrzeni Y. v v 2
Specyfika optymalizacji ynamicznej tkwi równieŝ w sposobie efiniowania wskaźnika jakości i ograniczeń. PoniewaŜ ziałanie systemu sterowania jest oceniane na postawie jego wyjścia, jest naturalne, Ŝe wskaźnik jakości Q jest funkcjonałem zaleŝnym o zmiennych wejściowych i wyjściowych. W równoczesnym sformułowaniu zaania wskaźnik jest określony na przestrzeni V, natomiast w sformułowaniu sekwencyjnym na iloczynie kartezjańskim V Y. Poobnie ograniczenia wektora ecyzyjnego, które wyznaczają zbiór opuszczalny, mogą być wyraŝone pośrenio, poprzez warunki nałoŝone na wyjście. W poejściu sekwencyjnym zaanie moŝna przepisać w postaci stanarowej, wprowazając wskaźnik jakości Q 1 :V R za pomocą toŝsamości Q 1( = Q ( v, F( v, w1 )), la ustalonego w 1 W 1. Analogicznie moyfikuje się zapis ograniczeń. We współczesnej teorii sterowania o opisu systemów ynamicznych uŝywa się pojęcia stanu i funkcji czasu, nazywanych trajektoriami stanu. Stan w optymalizacji ynamicznej ogrywa istotną rolę w syntezie regulatora optymalnego; w innych wypakach trajektorię stanu la celów optymalizacji moŝna na ogół potraktować jako element wyjścia. Regulator optymalny jest pojęciem specyficznym la optymalizacji ynamicznej, barzo waŝnym z punktu wizenia zastosowań. Stanowi postać rozwiązania problemu sterowania optymalnego niespotykaną w innych ziałach optymalizacji, słuŝącą o sterowania w pętli zamkniętej. Regulator taki mianowicie określa w kaŝej chwili czasu t aktualną wartość sterowania na postawie informacji o przebiegu wyjścia o chwili t i przeszłości sterowania. Jego zastosowanie, choćby w formie przybliŝonej, zmniejsza na ogół raykalnie wraŝliwość systemu na zakłócenia i w wielu wypakach jest jeynym skutecznym sposobem realizacji rozwiązania optymalnego w praktyce. Niestety, wyznaczenie regulatora optymalnego jest na ogół zaaniem teoretycznie i obliczeniowo trunym. Dlatego często stosuje się aproksymacje, oparte na przykła na lokalnej linearyzacji lub na schematach repetycyjnych z przesuwanym horyzontem. Pojęcie stanu systemu bywa barzo pomocne w konstrukcji regulatorów optymalnych, poniewaŝ stan zawiera w zwartej formie informację o przeszłych wejściach, w tym o przeszłych zakłóceniach. 3. Przykłay zastosowań W literaturze spotyka się uŝo prac otyczących zastosowań sterowania optymalnego. Obejmują one barzo szeroki zakres zaganień, pochozących z wielu ziezin: robotyki, nawigacji kosmicznej i morskiej, lotnictwa, inŝynierii procesowej, rolnictwa czy ekonomii. Obok typowych problemów sterowania, jako zaania sterowania optymalnego moŝna formułować zaania optymalnej filtracji sygnału o szumu, preykcji, rozpoznawania obrazów, optymalnej strategii automatycznego poszukiwania, optymalizacji konstrukcji i wiele innych. NiŜej omówimy jeen przykła praktyczny i okonamy krótkiego przegląu wybranych zastosowań. Parkowanie samochou. Kierowca samochou jaącego ulicą o uŝym natęŝeniu ruchu chce zaparkować samochó przy krawęŝniku. ZauwaŜył juŝ opowienią lukę w szeregu stojących pojazów i przystępuje o wykonania manewru. Naturalnym wskaźnikiem jakości jest czas trwania manewru T, poniewaŝ za parkującym samochoem szybko narasta sznur niecierpliwiących się uŝytkowników rogi. Przyjrzyjmy się elementom wektora ecyzyjnego, którym ysponuje kierowca. (i) Pierwszym jest wybór strategii: czy moŝe sobie pozwolić na wjechanie w lukę przoem (tak byłoby pręzej i wygoniej), czy jest ona tak mała, Ŝe musi parkować tyłem. Przypuśćmy, Ŝe zachozi ta ruga, barziej interesująca sytuacja. 3
(ii) Wybór stanu początkowego: gzie i w jakiej pozycji zatrzymać samochó prze rozpoczęciem parkowania. (iii) Manewrowanie kierownicą, które moŝna opisać zaleŝnością kąta skręcenia o czasu. (i Manewrowanie peałem przyspieszenia. ( Manewrowanie peałem hamulca. (vi) Manewrowanie biegami i sprzęgłem: tu wystarczy opuścić tylko trzy moŝliwości moŝna włączyć bieg wsteczny, bieg pierwszy, albo ustawić źwignię zmiany biegów w poło- Ŝeniu neutralnym. Elementy (i) i (ii) moŝna w pełni scharakteryzować przez poanie kilku liczb rzeczywistych. Takie zmienne ecyzyjne nazywamy parametrami. Pozostałe elementy opisuje się za pomocą 4 funkcji czasu u :[0, T ] R. Tworzą one wektor sterowania. Strategia parkowania i połoŝenie źwigni biegów przyjmują wartości ze zbioru skończonego, czyli yskretne. Pozostałe zmienne ecyzyjne mogą przyjmować owolne wartości w ramach ograniczeń, które wynikają z konstrukcji samochou i innych warunków zaania. Ograniczenia stanu początkowego wynikają z warunków geometrycznych, w pierwszym rzęzie połoŝenia luki w stosunku o toru jazy, a takŝe z moŝliwości technicznych samochou. Ograniczony jest kąt obrotu kierownicy, ograniczone połoŝenie peału przyspieszenia i połoŝenie peału hamulca. Oprócz ograniczeń nałoŝonych bezpośrenio na wartości zmiennych ecyzyjnych, trzeba uwzglęnić ograniczenia pośrenie, wyraŝone przez warunki narzucone na zmienne stanu. Po pierwsze, w trakcie manewru nie wolno potrącić zaparkowanych pojazów ani wjechać na chonik. To Ŝąanie ogranicza pole manewru. Po rugie, końcowe połoŝenie samochou powinno zawierać się w opuszczalnym obszarze: samochó powinien stać równolegle o krawęŝnika, w opowieniej o niego oległości, z zachowaniem właściwych ostępów o sąsienich pojazów. Ze wzglęów formalnych, w opisywanym zaaniu o wektora ecyzyjnego włącza się czas trwania procesu T. Tylko na pozór wygląa to paraoksalnie. Wartość wskaźnika jakości, równa T, nie moŝe być wybierana owolnie ecyują o tym warunki nałoŝone na stan końcowy. W rozwaŝanym przykłazie występują zarówno elementy teorii sterowania jak teorii optymalizacji. Samochó jest sterowanym systemem ynamicznym, w którym istotną rolę ogrywają siły i bezwłaność. Elementami optymalizacji są: przestrzeń ecyzyjna, zbiór opuszczalny, wskaźnik jakości i minimalizacja wskaźnika jakości jako cel sterowania. Sterowanie robotem. Optymalizację sterowania za pomocą sił i momentów sił rozwaŝa się często w fazie projektowania. Celem moŝe być przemieszczenie końcówki wykonawczej wzłuŝ zaanej krzywej lub teŝ zaplanowanie trajektorii stanu. Sterowanie źwigiem lub suwnicą. NaleŜy jak najszybciej przenieść łaunek w zaane miejsce, unikając namiernych oscylacji (huśtania łaunkiem). Sterowanie reaktorem chemicznym. W zaanym czasie chcemy wytworzyć maksymalną ilość prouktu, sterując opływem reagentów i woy oraz opływem energii cieplnej (lub chłozeniem). Proukcja alkoholu lub antybiotyków. Sterując opływem poŝywki la mikroorganizmów, trzeba wyproukować maksymalną ilość prouktu w zaanym czasie. Sterowanie samolotem. W jenej z wersji zaania naleŝy w najkrótszym moŝliwym czasie wyprowazić myśliwiec przechwytujący o lotu poziomego z maksymalną stałą prękością; w innej la określonego czasu i punktów końcowych lotu naleŝy zminimalizować zuŝycie paliwa. 4
Planowanie trajektorii sony kosmicznej. Zaplanować tak lot sony kosmicznej, aby przy minimalnym wyatku paliwa osiągnęła zaane połoŝenie w zaanym czasie. NaleŜy wykorzystać konfigurację planet i ich księŝyców. Zmiana orbity satelity. Przy minimalnym wyatku paliwa naleŝy przemieścić sztucznego satelitę z niskiej orbity okołoziemskiej na orbitę geostacjonarną. Wprowazenie ląownika stacji kosmicznej o atmosfery ziemskiej. NaleŜy uniknąć obicia się o atmosfery (przy za małym kącie wejścia) i przegrzania (przy za uŝym kącie wejścia). Manewry statku na morzu w sytuacji kolizyjnej. Sterując napęem (obrotami śruby) i sterem, uniknąć zerzenia z przeszkoą. Sterowanie systemem zapór wonych. RozróŜnia się optymalizację w warunkach normalnych (maksymalizacja efektywności pracy elektrowni wonych) i minimalizację skutków przewiywanej fali powoziowej. Sterowanie optymalne w meycynie. Optymalizuje się awkowanie leków w terapii rakowej, w terapii HIV i innych chorób. Zaganienia pościgu i ucieczki. Ścigający (rapieŝnik) usiłuje zminimalizować oległość o ściganego (ofiary); ścigany przeciwnie. Optymalizacja konstrukcji. Rolę czasu (zmiennej niezaleŝnej) ogrywa zmienna przestrzenna, sterowaniem jest funkcja opisująca kształt konstrukcji. Optymalizacja trasy autostray. Trzeba zmaksymalizować funkcjonalność projektowanej autostray i komfort jej uŝytkowników, przy ograniczeniu kosztów buowy (głównie robót ziemnych). Uwzglęnia się ograniczenia nachylenia (stromości) i krzywizny. 4. Analiza problemu optymalizacji Rozwiązanie problemu optymalizacji polega w zasazie na wyznaczeniu rozwiązania optymalnego vˆ. Zalecana jest jenak szersza analiza problemu, której główne elementy teraz naszkicujemy. 4.1. Zbaanie istnienia rozwiązania. Poszukiwanie rozwiązania optymalnego vˆ moŝe przynieść sukces tylko wtey, gy ono istnieje. Panuje powszechne przekonanie, Ŝe la kaŝego sensownego, praktycznego zaania optymalizacji moŝna znaleźć sformułowanie matematyczne, takie Ŝe powstały problem ma ścisłe rozwiązanie w sensie efinicji 1, spełniające oczekiwania praktyków. Kwestię istnienia minimum funkcjonału rozstrzyga się zazwyczaj przy pomocy twierzenia Weierstrassa, jenak w optymalizacji nieskończenie wymiarowej bywa to trune, nawet la matematyków. Co więc ma zrobić inŝynier, jeśli nie potrafi zakwalifikować swojego zaania o jakiejś klasy problemów matematycznych o obrze znanej teorii? Optymalizacja naal moŝe mieć sens, wystarczy tylko inaczej rozumieć rozwiązanie problemu. Zamiast elementu vˆ, szukamy tak zwanego ciągu optymalizacyjnego v, i = 1, 2,..., który w miarę moŝności powinien spełniać następujące warunki: i (i) vi V, i = 1, 2,... (kaŝy wyraz ciągu jest rozwiązaniem opuszczalnym), (ii) Q v + ) Q( v ), i = 1, 2,... (kaŝe kolejne przybliŝenie jest nie gorsze o poprzeniego), ( i 1 i (iii) Q( v ) inf Q(, gy i. i v V 5
Jeśli tylko V (zbiór rozwiązań opuszczalnych jest niepusty), to ciąg spełniający (i), (ii), (iii) na pewno istnieje. Ciąg optymalizacyjny jest matematycznym opisem iteracyjnego, stopniowego ulepszania istniejącego rozwiązania, a więc opowiaa temu, o czego optymalizacja najczęściej w praktyce się sprowaza. Dotyczy to takŝe strony obliczeniowej optymalizacji. Ze wzglęu na prostotę, w alszych rozwaŝaniach optymalność bęziemy zawsze rozumieć w sensie efinicji 1. 4.2. Zbaanie jenoznaczności rozwiązania. Dobrze postawiony problem optymalizacji powinien mieć okłanie jeno rozwiązanie optymalne. Niejenoznaczność rozwiązania optymalnego wskazuje, Ŝe wymagania zawarte w ograniczeniach i wskaźniku jakości są zbyt łagone i o rozwiązania powinno się zaŝąać czegoś więcej. Z rugiej strony, posługując się algorytmami optymalizacji obrze jest wiezieć, czy wskaźnik Q ma w zbiorze V okłanie jeno minimum lokalne, które jest takŝe minimum globalnym. Większość algorytmów iteracyjnych moŝe bowiem zatrzymać się na jakimkolwiek lokalnie optymalnym rozwiązaniu opuszczalnym. Jeśli istnieje minimum lokalne nie bęące zarazem globalnym, to zachozi niebezpieczeństwo, Ŝe otrzymany ciąg przybliŝeń rozwiązania optymalnego bęzie zbieŝny o punktu znacznie róŝniącego się o optimum. Jenoznaczność baa się w oparciu o pojęcie wypukłości i jego róŝne moyfikacje. Twierzenie. ZałóŜmy, Ŝe zbiór V jest wypukły i funkcjonał Q jest wypukły. Wówczas: (i) kaŝe minimum lokalne Q w V jest zarazem minimum globalnym; (ii) jeśli funkcjonał Q jest ściśle wypukły, to ma najwyŝej jeno minimum lokalne w V. Z twierzenia wynika natychmiast, Ŝe jeśli funkcjonał Q jest ściśle wypukły i rozwiązanie optymalne istnieje, to jest jeyne. 4.3. Charakteryzacja rozwiązania za pomocą konstruktywnych warunków optymalności. Twierzenia matematyczne, zawierające konieczne lub wystarczające warunki optymalności, charakteryzują rozwiązanie optymalne poając pewne relacje, które to rozwiązanie spełnia. Takimi relacjami są na przykła warunki Karusha Kuhna Tuckera lub warunek maksimum hamiltonianu w zasazie maksimum Pontriagina, którą omówimy alej. W szczególnych wypakach charakteryzacja jest na tyle okłana i prosta, Ŝe pozwala na bezpośrenie wyliczenie rozwiązania optymalnego, jenak na ogół trzeba się w końcu uciec o meto numerycznych. Informacja uzyskana z warunków optymalności pozwala zmniejszyć zakres poszukiwań, ułatwia wybór właściwej metoy obliczeniowej i umoŝliwia skuteczniejsze jej stosowanie. 4.4. Wyznaczenie rozwiązania optymalnego. Tylko w szczególnych zaaniach rozwiązanie optymalne otrzymuje się po skończonej liczbie operacji algebraicznych lub analitycznych (takich jak róŝniczkowanie analityczne). Jeszcze rzaziej rozwiązanie optymalne wyraŝa się za pomocą skończonego, prostego wzoru, zbuowanego z funkcji elementarnych, których argumentami są ane problemu optymalizacyjnego. Przykłaem zaania, la którego moŝna analitycznie wyznaczyć rozwiązanie optymalne, jest problem liniowo-kwaratowy sterowania optymalnego. W większości zaań optymalizacji musimy zaowolić się iteracyjną metoą obliczeniową, która generuje nieskończony ciąg coraz lepszych przybliŝeń rozwiązania optymalnego. Na wstępie przyjmuje się arbitralną wartość, aproksymującą rozwiązanie optymalne w sposób na ogół barzo nieoskonały. Następnie stosuje się wybraną proceurę optymalizacyjną, która poprawia (w sensie wskaźnika jakości) przybliŝenie rozwiązania optymalnego. Uzyskane 6
przybliŝenie jest ponownie poprawiane, przy pomocy tej samej proceury. Postępowanie takie powtarza się wielokrotnie, aŝ o przerwania obliczeń przez tzw. test stopu. Z reguły test jest powójny i przerywa obliczenia, jeŝeli spełniony jest jeen z wu warunków: - uzyskano wymaganą okłaność rozwiązania lub efekty ziałania proceury optymalizacyjnej są znikome, - wyczerpano opuszczalną ilość iteracji. 4.5. Baania postoptymalizacyjne rozwiązania optymalnego. Analiza problemu optymalizacji nie kończy się na wyznaczeniu mniej lub barziej okłanego przybliŝenia rozwiązania optymalnego. Aby rozwiązanie miało wartość praktyczną, trzeba sprawzić, jak wpływają na nie zmiany, choćby małe, moelu matematycznego (wskaźnika jakości i ograniczeń). Zwykle baa się tylko wpływ tych parametrów, o których moŝna przypuszczać, Ŝe ich wartość rzeczywista róŝni się o uŝytej w optymalizacji wskutek zakłóceń, błęów pomiaru, błęów moelowania itp. Jeśli wraŝliwość rozwiązania optymalnego na te zmiany jest uŝa, to jego wartość praktyczna moŝe być wątpliwa, poniewaŝ nawet mały błą lub zmiana parametru moŝe spowoować, Ŝe wartość wskaźnika jakości okaŝe się aleka o optymalnej. Niekiey baanie wraŝliwości ogranicza się o sprawzenia ciągłości. 5. Historia, teraźniejszość i perspektywy Teoria sterowania optymalnego ma juŝ pona 50 lat. Choć jej rozwój jest wciąŝ oŝywiony, jest obrze ugruntowaną moŝe nawet klasyczną gałęzią matematyki stosowanej. Jest ona rozwinięciem klasycznego rachunku wariacyjnego, który okazał się słabo ostosowany o zaań występujących we współczesnej technice. Przełomowe prace grupy Lwa Pontriagina w ZSRR i Richara Bellmana w USA w latach pięćziesiątych XX wieku ały początek wu nowym poejściom o zaań wariacyjnych: przez zasaę maksimum i przez programowanie ynamiczne. W alszych rozwaŝaniach oprzemy się głównie na zasazie maksimum Pontriagina. ChociaŜ na pierwszy rzut oka optymalizacja ynamiczna wyaje się atrakcyjnym poejściem o problemów sterowania, liczba jej bezpośrenich, praktycznych wroŝeń w przemyśle i gospoarce jest stosunkowo mała, w porównaniu z innymi ziałami optymalizacji takimi jak programowanie liniowe. Aby zrozumieć przyczyny tego stanu rzeczy, trzeba sobie uświaomić, Ŝe o efektywnej optymalizacji potrzebny jest okłany moel matematyczny procesu. Tymczasem sterowane procesy ynamiczne są często tak skomplikowane, Ŝe ich moele matematyczne są niezbyt okłane, za to zaawansowane matematycznie i trune o ientyfikacji. Wysokie wymagania pomiarowe, jakie optymalizacja ynamiczna stawia zarówno po wzglęem róŝnoroności, jak częstości i okłaności pomiarów, ponoszą koszty sterowania. Dochozą o tego koszty przetwarzania informacji i konieczność stosowania złoŝonych, czasochłonnych obliczeń w czasie rzeczywistym. Kiey weźmiemy przy tym po uwagę, Ŝe w zastosowaniach zysk z optymalizacji powinien być wyraźnie większy o błęu w jego oszacowaniu, staje się zrozumiałe, laczego w wielu ziezinach praktycy chętniej stosują optymalizację ynamiczną o celów analitycznych niŝ o bieŝącego sterowania. Rozwój techniki pomiarowej, a przee wszystkim gwałtowny rozwój techniki komputerowej i postępujący za nim rozwój meto obliczeniowych i analitycznych oprowaził w ostatnich latach o tego, Ŝe przestawiony obraz zaczyna się zmieniać. Wraz z komputeryzacją procesów przemysłowych pojawia się coraz więcej zastosowań optymalizacji ynamicznej w przemyśle, głównie chemicznym i rafineryjnym. Na razie najczęściej jest to tak zwane sterowanie optymalizujące, polegające na repetycyjnej optymalizacji punktu pracy. Rosnącym zainteresowaniem cieszy się optymalizacja trajektorii ynamicznych powtarzana repetycyjnie 7
z ustalonym bąź przesuwanym horyzontem (procesy wsaowe, okresowe itp.). Sprawzoną metoyką sterowania systemami przemysłowymi, głównie w inŝynierii procesowej, jest sterowanie preykcyjne na postawie moelu, znane po angielską nazwą Moel Preictive Control (MPC). Jego rozwinięciem jest Nonlinear Moel Preictive Control (NMPC), którego jąro stanowi optymalizacja ynamiczna z przesuwanym horyzontem. Nie naleŝy jenak sązić, Ŝe mimo niezłych perspektyw na przyszłość, obecnie optymalizacja ynamiczna ma niewielkie znaczenie praktyczne. Teoria ta jest chętnie wykorzystywana w baaniach stuialnych, analitycznych gzie ma uzielić opowiezi na pytania, jak najlepiej wykorzystać wiezę o systemie sterowania, jaki jest górny pułap moŝliwości sterowania, i wskazać kierunek moyfikacji istniejących rozwiązań. Rola teorii sterowania optymalnego polega wtey na ostarczaniu wzorca, o którego w rzeczywistym systemie naleŝy ąŝyć. JeŜeli procesy w systemie rzeczywistym obiegają nieznacznie o optymalnych, uzyskanych na moelu matematycznym, to ziałający system sterowania jest zaowalający. JeŜeli nie przebiegi optymalne ostarczają inŝynierowi wskazówek, w jakim kierunku moel systemu i sterowanie naleŝy ulepszać. Spotyka się teŝ opinię, Ŝe optymalizacja ynamiczna moŝe być pomocna w baaniu ogólnych praw teorii sterowania, a nawet praw rzązących celowym ziałaniem w ogóle. Prawa takie są pewnego rozaju ograniczeniami stwierzają, co jest moŝliwe, a co nie. Mogą więc być formułowane w postaci twierzeń o pułapie moŝliwości w sterowaniu. 8