. WSTĘP. MTODA ULRA. WSTĘP. MTODA ULRA Wprowadzee Mowacja pozawaa meod umerczc:. Rozwązwae bardzo dużc kosrukcj o złożoej geomer welu sopac swobod powżej mloa prz różorodm zacowau maerałów.. Śwadome wkorzswae oprogramowaa wmagaem jes posadae podsawowej wedz a ema meod umerczc.. Meod umercze pozwalają a aukę maemak wższej. Meod umercze pozwalają a ormułowae maemaczc problemów rozwązwae c w eekw sposób. Cecą carakersczą meod umerczc jes zasąpee zwkle pracocłoc oblczeń m meodam wmagającm zasosowaa armeczc dzałań. Przed rozwojem przemsłu kompuerowego ajwęcej czasu pośwęcao a rozwązwae problemów rozwązwae rówań algebraczc różczkowc a zacze mej czasu pośwęcao a samo ormułowae problemu erpreację wków. Bło o eekem rudośc w orzmwau rozwązań. Obece kompuer meod umercze saową alerawę dla meod radcjc. Wkorzsując kompuer e jeseśm zmusze do robea welu założeń upraszczającc co zwększa możlwość rozwązwaa złożoc problemów. W końcowm eekce węcej czasu moża pośwęcć a ormułowae problemu erpreację wków. Rówae różczkowe azwam zwczajm gd mam do czea z pocodm lko jedej zmeej ezależej. Będzem rozważać rówaa różczkowe perwszego rzędu: lub układ rówań d d = d d d d d d. z warukem począkowm:. Meod Kompuerowe - Domka Mejbaum Aa Sela Marek Komosa
. WSTĘP. MTODA ULRA Zagadea powższe możem zapsać w posac wekorowej: d d.. W przpadku gd = zagadee przjmuje posać jedego rówaa skalarego: d d.5 W m rozdzale będzem rozważać meod całkowaa rówań różczkowc z grup meod Rugego-Ku dla kórc wzór ogól jes posac:.6.7 gdze jes krokem całkowaa ukcj a φ kerukem poszukwaego kolejego puku rozwązaa. Meod Rugego Ku carakerzują sę m że poszukwae rozwązae orzmujem za pomocą wcześej oblczoc warośc. welkość kroku całkowaa - = = φ Rs.. Ierpreacja gracza meod sczc Meod Kompuerowe - Domka Mejbaum Aa Sela Marek Komosa
. WSTĘP. MTODA ULRA Meoda ulera Jedą z ajprosszc meod rozwązwaa zagadea.5 jes meoda ulera według kórej keruek jes wrażo przez perwszą pocodą ukcj: W akm raze mam: d.8 d.9. Tak węc perwsza pocoda ukcj o zacz prawa sroa rówaa różczkowego wzacza keruek położea owego puku rozwązaa. Jes o zw. predkor. puk przblżo predk or j błąd kroku puk szuka Rs.. Ierpreacja gracza meod ulera Odległość mędz predkorem a rozwązaem dokładm saow błąd meod. Ze względu a swoją prosoę meoda ulera jes ława do zasosowaa. Dobrze oddaje caraker rozwązaa ale może bć obarczoa dużm błędem. Przkład.: Rozparzm rówae różczkowe posac: d d 85 Zajdźm rozwązae dla przedzału od = do = waruku począkowego = kroku całkowaa =5. Meod Kompuerowe - Domka Mejbaum Aa Sela Marek Komosa
. WSTĘP. MTODA ULRA Rozwązae dokłade: d 85 d 8 5 C dla waruku począkowego: C węc rozwązae dokłade ma posać: 85 Rozwązae meodą ulera dla = 5 5 ; ; 5 5 85 5 55 a pods. wzoru.9 85 85 rozwazae umercze 5 5 5 5 855 875 rozw.doklade Błąd całkow proceow w pukce = 5 k k 875 55 5 5;55 5 doklade doklade 6% umercze % Rozwązae meodą ulera dla = 5 5;55 5 5 a pods. wzoru.9 5 85 5 55 5 5 5875 rozw.umercze 85 roz.dokl. Błąd całkow proceow w pukce = Meod Kompuerowe - Domka Mejbaum Aa Sela Marek Komosa
. WSTĘP. MTODA ULRA 5 k 5875 875 958% Uzskae rozwązae dla całego przedzału przedsawoo a Rs. gdze dla porówaa zameszczoo róweż rozwązae dokłade. 7 Meoda ulera 6 5 5 5 5 5 Rozw. dokłade =5 Rs.. Rozwązae oblczoe dla kroku =5 Poprawee dokładośc moża osągąć p. przez zmejszee kroku. Na Rs. przedsawoo rozwązaa dla kroku całkowaa = =5. Wdać wraźe poprawee dokładośc dla mejszego kroku całkowaa. 7 Meoda ulera 6 5 5 5 5 5 Rozw. dokłade = =5 Rs.. Rozwązaa dla różc welkośc kroku Meod Kompuerowe - Domka Mejbaum Aa Sela Marek Komosa
. WSTĘP. MTODA ULRA 6 lczba kroków 5 5 5 5 Błąd względ [%] welkość kroku Rs..5 Zależość mędz welkoścą kroku loścą kroków a dokładoścą rozwązaa. Oszacowae błędu w meodze ulera W aalze umerczej wróżam zasadczo dwa p błędów: Błęd zaokragleń wkające z wkowaa dzałań armeczc Błąd meod dskrezacj obcęca. Określm e błąd dla meod ulera. Dowolą ukcję moża przedsawć za pomocą rozwęca w szereg Talora. Gd ozaczm ukcję przez mam: gdze: '' ' R.!!! R. Poeważ asze rówae różczkowe ma posać d zaem możem apsać: d Meod Kompuerowe - Domka Mejbaum Aa Sela Marek Komosa
. WSTĘP. MTODA ULRA 7 '!!. Wdać z rówaa. że błąd meod ulera wos: '.! a błąd przblżo ograczam do perwszego wrazu błędu obcęca: a '.5! Jes o błąd lokal a jedm kroku proporcjoal do kwadrau kroku. Moża wkazać że błąd global całkow jes proporcjoal do perwszej poęg kroku. Przkład.: Wzaczć błąd meod ulera dla welomau z poprzedego zadaa. ' ''!! ' 6 ''! ze wzoru. Oblczam poszczególe błęd meod dla pocodej w pukce = 6 5 5 5 6 5 5 5 Całkow błąd rów jes sume błędów dla poszczególc pocodc: 5 5 5 5 W e sposób oszacowalśm całkow błąd w pukce = e zając dokładego rozwązaa. Zwróćm uwagę że błąd e jes rów dokłade błędow orzmaemu podczas rozwązwaa zadaa w przkładze wżej. Meod Kompuerowe - Domka Mejbaum Aa Sela Marek Komosa
. WSTĘP. MTODA ULRA 8 5 um dok Wdać że wraz ze wzrosem rzędu pocodej koleje wraz szeregu Talora warość błędu maleje dlaego ograczam błąd do pocodej drugego rzędu. Dla meod ulera błąd lokal jes węc proporcjoal do kwadrau kroku a błąd global o jede rząd żej low. W celu zmejszea błędu w meodze ulera moża uwzględć wraz wższego rzędu. Przparzm sę jak o będze w przpadku wrazu II rzędu. I ak mam: '.6! '' a.7 Perwszą pocodą musm wzaczć jak dla ukcj uwkłaej. Jes oa asępująca: d d '.8 Druga pocoda będze mała posać: '' d d d d d d d d.9 Wdać że oblczee wższc pocodc wmaga dużego akładu prac jes skomplkowae dlaego uka sę akego podejśca w prakce. Zasąpm jeszcze we wzorze.6 wrażee a dpocodą wrażeem różcowm: ' Orzmam wówczas: osaecze: Powższe rówae możem zapsać róweż jako: Meod Kompuerowe - Domka Mejbaum Aa Sela Marek Komosa
. WSTĘP. MTODA ULRA 9 Zwróćm uwagę że powższa ormuła całkowaa ma dokładość O. Jes o zw. zmodkowaa meoda ulera. Powrócm do ej meod w kolejm rozdzale. Meod Kompuerowe - Domka Mejbaum Aa Sela Marek Komosa