Praktycza umejętość opracowywaa wyków, teora epewośc pomaru Dostępa lteratura: 1. http://physcs.st/gov/ucertaty. Wyrażae Nepewośc Pomaru, Przewodk, Warszawa, Główy Urząd Mar, 1999 3. H. Szydłowsk, Pracowa fzycza, PWN Warszawa 1999 4. A. Zęba, Postępy Fzyk, tom 5, zeszyt 5, 001, str.38-47 5. A. Zęba, Pracowa Fzycza, WFTJ, Skrypt Uczelay SU 164, Kraków 00 1. Pomar Pomar welkośc fzyczej polega a porówau jej z welkoścą fzyczą tego samego typu, którą przyjęto za jedość. POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH BEZPOŚREDNIE wartość daej welkośc jest określaa wprost za pomocą przyrządu, merzącego tę właśe welkość. Przykładowo: wymary cała moża merzyć bezpośredo za pomocą ljk, suwmark, śruby mkrometryczej; masę cała za pomocą wag; atężee prądu za pomocą amperomerza, td. tp. POŚREDNIE wartość badaej welkośc określa sę a podstawe rezultatów bezpośredch pomarów ej welkośc fzyczej, które z badaą welkoścą są zwązae określoą zależoścą fukcjoalą. Przykładowo: średą gęstość cała moża oblczyć a podstawe bezpośredch pomarów masy objętośc tego cała; w przypadku, gdy zamy z bezpośredego pomaru atężee prądu w przewodku oraz apęce a jego końcach, jego opór elektryczy moża wyzaczyć w oparcu o prawo Ohma. Błędem pomaru azywamy rozbeżość mędzy wykem pomaru a rzeczywstą wartoścą merzoej welkośc. Źródłem rozbeżośc medzy wartoścą merzoą a rzeczywstą (prawdzwą) są edoskoałośc: - osoby wykoującej pomar - przyrządów pomarowych - obektów merzoych. Gdy udoskoalamy dośwadczee maleją rozbeżośc maleje błąd pomaru. str. 1
. Nepewość a błąd pomaru, podzał błędów wartość prawdzwa - rzeczywsta wartość merzoej welkośc, która zazwyczaj pozostaje ezaa; błąd pomaru - odstępstwo wyku pomaru od wartośc prawdzwej, której a ogół e zamy; wartość średa - estymator stosowaa jako przyblżee wartośc rzeczywstej za pomocą estymatora, którym zwykle jest średa, o le zjawsko jest opsywae rozkładem Gaussa lub pokrewym (w ych przypadkach sprawy wymagają głębszej aalzy) błąd maksymaly - wartość maksymalego odstępstwa wyku pomaru od welkośc poprawej, gwaratowaa przez zastosowae określoej metody pomarowej: p. merk merzy apęce z błędem maksymalym 1 mv, co ozacza, że wartość prawdzwa od pokazywaej przez merk może sę różć co ajwyżej o ±1 mv; BŁĄD błąd systematyczy (metodyczy, aparaturowy) przy welokrotych pomarach jedej tej samej welkośc pozostaje stały lub zmea sę według określoej reguły. Jest to błąd ajczęścej wykający z zastosowaej metody pomaru, zwykle zmeający wyk pomaru "w jeda stroę". Źródłem błędu systematyczego są: skale merków, euśwadomoy wpływ czyków zewętrzych a wartośc welkośc merzoej (p. lepkość), ewłaścwy sposób odczytu lub pomaru, przyblżoy charakter wzorów stosowaych do wyzaczaa welkośc złożoej; błąd przypadkowy (statystyczy) błąd pomaru wykający z ogółu wpływów środowska, których często e moża zdetyfkować czy wyelmować, p. właścwośc zastosowaego przyrządu pomarowego ych przyczy; Aby wartość błędu statystyczego charakteryzowała faktycze przebeg pomaru, mus być oa wększa ż błąd maksymaly. Iym słowy, pomar mus dawać róże wyk jeśl każdy pomar daje w gracach błędu maksymalego te sam wyk, e ma sesu stosowae aalzy statystyczej, szczegóły zjawska są przed am ukryte przez bezwładość układu pomarowego, podobe zwększae lczby pomarów e popraw sytuacj. Zwykle jako wartość błędu statystyczego przyjmuje sę odchylee stadardowe, co jest uzasadoe wyłącze, jeśl wyk pomarów mają statystyczy rozkład ormaly (Gaussa) lub y, możlwy do zastosowaa (p. rozkład Studeta); błąd gruby (admarowy) pomyłka: ma mejsce, gdy któryś z wyków pomaru odbega zacze od pozostałych, możemy przypuszczać, że zaszło jakeś zdarzee, które spowodowało zaburzea eksperymetu. Wyk take często są odrzucae podczas aalzy statystyczej. Błędy grube wykają ajczęścej z jakegoś poważego przeoczea, pomyłk p. złego odczytaa skal merka, z pomylea mejsca zapsu przecka podczas przetwarzaa pomarów, zmerzee e tego obektu tp. odchylee stadardowe estymator przyblżający wartość błędu statystyczego adekwaty w przypadku odpowedej lczośc próby pomarowej (p. odchylee stadardowe dla rozkładu Gaussa moża a ogół stosować, o le lczość próby jest wększa lub rówa 10) str.
według: Potr Jaśkewcz, Paweł Zaberowsk, Adrzej Kubaczyk. Poltechka Warszawska, Wydzał Fzyk, Laboratorum Fzyk I P, ZASADY OPRACOWYWANIA WYNIKÓW POMIARÓW BŁĄD błąd bezwzględy wartość błędu lczoa adekwatą do daej sytuacj metodą (jako błąd maksymaly lub jako błąd statystyczy) x x, x 0 gdze x - wartość zmerzoa x 0 - wartość rzeczywsta błąd względy wartość błędu podaa jako ułamek lub procet merzoej welkośc x. W ektórych przypadkach dzałae przyrządu x 0 pomarowego (p. pomar eerg elektryczej) wymusza take określee błędu maksymalego, to zaczy, dla tych metod pomaru błąd maksymaly pomaru jest podaway jako błąd względy. Błąd względy charakteryzuje użytą metodę pomaru, a w mejszym stopu sam wyk pomaru 3. Prawdłowy zaps wyków pojęce cyfr zaczących: Cyfram zaczącym są cyfry od 1 do 9 oraz zero, jeżel zero: (I) zajduje sę mędzy dwema cyfram, które zeram e są (p. 1.03) (II) zajduje sę a dowolym mejscu po cyfrze e będącej zerem w lczbe przedstawoej w postac lczby ecałkowtej (p..30) Przykładowo: lczba 1 10 3, czyl 1000 ma jedą cyfrę zaczącą (1). Gdybyśmy chcel zazaczyć, że ma oa trzy cyfry zaczące, ależałoby zapsać ją w postac 1.00 10 3. Z tego względu wyk będący ułamkem dzesętym ależy zapsywać w postac lczby możoej przez 10 w odpowedej potędze, p. 0.0000431780 =.431780 10-5. Wartość błędu zapsujemy z dokładoścą do dwóch cyfr zaczących. Należy pamętać, że błąd zaokrąglamy ZAWSZE W GÓRĘ! str. 3
Wartość ajbardzej prawdopodobą (a przykład średą) zapsujemy z dokładoścą wyzaczoą przez poprawy zaps wartośc błędu: ostata cyfra zacząca wyku mus zajdować sę a tym samym mejscu dzesętym, co w błędze. Wartość ajbardzej prawdopodobą zaokrągla sę zgode ze stadardowym metodam zaokrąglaa (ostatą cyfrę zaczącą pozostawamy bez zma, jeśl koleja, pomęta ma wartość mejszą ż 5, lub zwększamy o 1, jeśl stojąca po ej cyfra pomęta ma wartość wększą lub rówą 5). Przykłady: 1) r = 1.163cm Δr = 0.009654cm prawdłowy zaps pomaru powe meć postać: r = 1.17 ± 0.0030 [cm] ) U =.1431V ΔU = 0.1000V wówczas zapsujemy: U =.14 ± 0.10 [V] 3) m = 86573g Δm = 1000g w takm przypadku zaps powe wyglądać astępująco: m = 86600 ± 1000 [g] lub m = (8.66 ± 0.10) 10 4 g lub m = 86.6 ± 1.0 [kg] 4) t = 3.09651s Δt = 0.81s pamętając o tym, że wartość błędu zaokrąglamy zawsze do góry zaps przyjme postać: t = 3.09 ± 0.9 [s] 5) x = 4.831m Δx = 10m w tym przypadku błąd jest wększy ż wartość ajbardzej prawdopodoba. Jeśl spotykamy sę z taką sytuacją, wówczas przyjmujemy, że wartość ajbardzej prawdopodoba wyos zero. x = 0 ± 10 [m] 4. Nepewość pomaru Nepewość pomaru jest parametrem zwązaym z rezultatem pomaru. Charakteryzuje rozrzut wyków, który moża w uzasadoy sposób przypsać wartośc merzoej. Nepewość u (ag. ucertaty) posada wymar, tak sam jak welkość merzoa. Symbolka: u lub x) lub stężee NaCl). Nepewość względa u r (x) to stosuek epewośc (bezwzględej) do welkośc merzoej może być wyrażoa w % (bezwymarowa): x) u r ( x) x str. 4
typy ocey epewośc TYP A Dotyczy sytuacj gdy epewośc przypadkowe są duże w porówau z systematyczym. Koecza jest odpowedo duża lczba powtórzeń pomaru. Do tego typu zalczają sę metody wykorzystujące statystyczą aalzę ser pomarów ma zastosowae do błędów przypadkowych. W wększośc dośwadczeń stwerdza sę, że rozkład częstośc występowaa epewośc przypadkowych moża opsać fukcją (x) w postac: 1 ( x x 0) ( x) exp gdze x 0 jest wartoścą ajbardzej prawdopodobą (p. średa arytmetycza), jest odchyleem stadardowym, jest waracją rozkładu Fukcja rozkładu (x), wyrażoa wzorem opsuje rozkład ormaly, zway rozkładem Gaussa. w przedzale x 0 x x0 zawera sę 68,% (/3) w przedzale x x x zawera sę 95,4% 0 0 0 3 x x0 w przedzale x 3 zawera sę 99,7% wszystkch wyków Fukcja (x) zależy od dwóch parametrów x 0, a także speła waruek ormalzacyjy: ( x) dx 1 Waruek te wyka z właścwośc fukcj określa, że prawdopodobeństwo zalezea dowolego wyku pomaru x w przedzale od - do + jest rówe pewośc, czyl 1. TYP B Bazuje a aukowym osądze badacza względem wszystkch formacj o pomarze źródłach jego epewośc. Typ B stosoway jest, gdy statystycza aalza jest emożlwa. Może odosć sę do błędu systematyczego lub do jedego wyku pomaru (epewość maksymala). O welkość epewośc systematyczej decydują dwe składowe: 1) użyty w pomarach przyrząd jego klasa, dzałka elemetara, dokładość odczytu oraz ) obserwator epewość eksperymetatora zwązaa z czyoścam pomarowym. Najczęścej ocea typu B dotyczy określea epewośc wykającej ze skończoej dokładośc przyrządu. W przypadku epewośc systematyczych zawsze zakładamy, że przyczyk pochodzące od przyrządów obserwatora e kompesują sę, ale dodają do sebe z jedakowym zakam. Wobec tego całkowta epewość systematycza pomaru może być wyrażoa w postac sumy: x d x k x ox ex gdze deksy określają odpowede przyczyk od epewośc pomaru (d dzałka elemetara, k klasa przyrządu, o odczyt, e eksperymetator). Wyzaczoa w te sposób sumarycza epewość x azywa sę maksymalą epewoścą systematyczą. Należy ją terpretować jako połowę szerokośc przedzału od x-x do x+x, który a pewo zawera wartość rzeczywstą. Dla prostokątego rozkładu fukcj (x), epewość stadardowa x) zwązaa jest z maksymalą epewoścą systematyczą x, oszacowaą metodą typu B, wzorem (3): x x) 3 Przykład Wykoao pomary atężea prądu płyącego przez uzwojee busol styczych. Pomary próbe wykazały ezaczy rozrzut wyków: I 1 I I 3 0,80 A. Ozacza to przewagę epewośc systematyczych pomaru ad epewoścam przypadkowym. Użyty amperomerz był klasy 0,5 o zakrese 1 A ajmejszej dzałce 0,01 A. Według ocey eksperymetatora wahaa wskazówk meścły sę w gracach jedej dzałk. Sumarycza maksymala epewość systematycza pomary wyos l=0,005a+0,01a+0,005a=0,0 A. Względa epewość systematycza pomaru: 1 [%]=3%, a wyk końcowy zapsujemy w postac: I=(0,800,0) A lub I=0,80() A. Nepewość stadardowa średej jest rówa: ( x x) x) ( 1) Pomar o wększym charakteryzuje sę wększym rozrzutem wyków wokół wartośc średej czyl mejszą precyzją. Przykład Wykoao 10 pomarów długośc śruby przy użycu suwmark, której ajmejsza dzałka wyos 0,1 mm. Uzyskao astępujące wyk: 35,6; 35,8; 35,7; 35,5; 35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,4 (mm). Zgode ze wzorem 1 x x wartość średa długośc l 35, 69 mm, atomast epewość 1 stadardowa l) ma wartość l)=0,053 mm. str. 5
Kryterum odrzucaa błędów grubych (3) str. 6
Nepewość welkośc złożoej prawo przeoszea epewośc dy y) x) dx metoda różczk zupełej Dla welkośc złożoej y f ( x1, x,... x) gdy epewośc maksymale x1, x,... x są małe w porówau z wartoścam zmeych x 1 x,... x epewość maksymalą welkośc y wylczamy praw rachuku różczkowego: y y y y x1 x... x x x x 1 Metodę różczk zupełej stosujemy w przypadku, kedy epewośc maksymale przewyższają epewośc przypadkowe, lub kedy mamy jedye jede wyk e mamy możlwośc powtarzaa pomarów. Nepewość stadardową welkośc złożoej y f x, x,... x ) oblczamy z tzw. prawa przeoszea ( 1 epewośc jako sumę geometryczą różczek cząstkowych: y y y uc ( y) ux1 ux... ux x1 x x uc ( y) ucr ( y) y Przykład Wykoao 10 pomarów długośc wałka stalowego przy użycu suwmark, której ajmejsza dzałka wyos 0,1 mm. Uzyskao wyk 35,6; 35,8; 35,7; 35,5; 35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,4 (mm). Wartość średa wyos l 35, 69 mm; l)=0,053 mm gdze ( l l). Wyzaczamy l) ( 1) objętość wałka. Jego średcę merzoo 0 razy uzyskao wyk d 4,89() mm oraz d =0,4%. Objętość wyzaczamy z wzoru: ( d) V l 669, 93 mm 3. Nepewość 4 stadardowa będze rówa: u c ( V ) V d) d V l) l 3 30,06149 0,99075 5,57 6mm V d l d) d 4 3 3 669,93 670(6) mm (670 6) mm ; V =0,9% l) Pochoda logarytmcza Jeżel jakaś zależość fukcyja daa jest wzorem: f x = ax 1 m x bx k l 3 x 4 po zlogarytmowau obustroym otrzymujemy: l f x = l ax 1 m x bx k = l(ab 1 x m l 1 x x k 3 x l 4 ) = 3 x 4 = l a + l b 1 + l x m 1 + l x + l x k 3 + l x l 4 = = l a + ( l b) + m l x 1 + l x + ( k l x 3 ) + ( l l x 4 ), poeważ: l a b = l a + l b l a b = b l a, bo: l a b = l a a a a a = l a + l a + l a + l a + + l a = b l a Lczymy pochodą z logarytmu fukcj f(x): d l f d f = 1 f f skoro a b są stałym, to powyższa pochoda będze rówa: f f = f x x 1 + f x 1 x + f x x 3 + f x 3 x 4 4 Poszczególe pochode cząstkowe są rówe: f = m 1 x x 1 x 1 = m x 1 1 f = k 1 x x 3 x 3 = k x 3 ; 3 x 3 x 1 ; f = 1 x x x = x x f = l 1 x x 4 x 4 = l x 4 4 x 4 W takm przypadku epewość względa wartośc f będze wyosła: f f = m x 1 + x + k x 3 + l x x 1 x x 3 x Przykład: R = U I U = (10.0 0.5)V I = (0.54 0.01)A Nepewość oporu oblczoa metodą różczk zupełej: R = R R U + U I I = 1 I U + U I I = 1 10.0V 0.5V + 0.54A 0.54 0.01A = 1.3Ω A Oblczamy epewość względą oporu metodą pochodej logarytmczej: ΔR R = ΔU U + ΔI I = 0.5 10.0 + 0.01 0.54 = 0.0685 Wartość oporu wyos 18.5 Zatem epewość wyzaczea oporu ΔR wyese: 0.0685 18.5 = 1.3Ω str. 7
5. Metoda ajmejszych kwadratów Jeśl mamy pukty dośwadczale, które powy spełać zależość lową mamy wyzaczyć rówae prostej metodą ajmejszych kwadratów, wówczas szukamy takej prostej, od której odległośc wartośc eksperymetalych (w szczególośc kwadraty tych odległośc) będą ajmejsze. Szukamy zatem mmum fukcj będącej sumą kwadratów odległośc wartośc puktów eksperymetalych od tejże prostej: S( a, b) [ y 1 ( ax b)] m Ta fukcja ma mmum wtedy, gdy jej pochode cząstkowe po obu zmeych (a b) są rówe zeru: S 0, S 0 a b Lczymy pochodą fukcj S względem a b: S a = y (ax + b) x = 0 S b = y (ax + b) = 0 Mamy zatem układ rówań: y (ax + b) x = x y a x b x = 0 y (ax + b) = y a x b = 0 a x 1 a x 1 b x 1 b y 1 x y 1 Rozwązujemy go metodą wyzaczków: x y x y a = x = x y x y x x x x str. 8
b = x x y x y x x x = x y x y x x x Nepewośc pomarowe parametrów prostej wyoszą: y ( ax b) a), ) ( x ) 1 ( x 1 1 x 1 b) a) 6. Wykres Wykres jest grafczym przedstaweem wyków pomarów ależy sporządzać go w oparcu o astępujące zasady: 1. Ose a wykrese powy być opsae (jedostk, welkośc, możk). Zakres os powe być tak dobray, by pukty dośwadczale zajmowały możlwe całą przestrzeń przezaczoą a wykres 3. Pukty pomarowe powy być czytele zazaczoe róże zaczk dla różych pomarów (jeśl sporządzamy wykres porówawczy), zazaczamy wartośc błędów (epewośc) w postac wąsów w pozome poe. NIE ŁĄCZYMY PUNKTÓW EKSPERYMENTALNYCH LINIĄ ŁAMANĄ! 4. Jeśl zamy zależość teoretyczą, bądź potrafmy ją dopasować do uzyskaych wyków eksperymetalych wykreślamy krzywą (lub prostą) a tle aesoych wcześej puktów. Przykłady prawdłowo wykoaych wykresów wykoaych w programe Org będących prezetacją daych uzyskaych a zajęcach w laboratorum: str. 9
PODSUMOWANIE Każdy pomar laboratoryjy jest obarczoy epewoścą pomarową, którą eksperymetator mus określć zgode z pewym zasadam. Należy pamętać o zapsywau błędów maksymalych (dokładośc urządzeń merczych używaych w eksperymetach suwmarka, ljka, amperomerz tp.) W perwszej kolejośc ależy przeaalzować źródła błędów, pamętając, aby wyelmować wyk obarczoe błędem grubym (zacze odbegające od pozostałych daych z takm błędam moża spotkać sę w ćwczeu (jeśl przeoczy sę kroplę) lub w ćwczeu 3 (jeśl umke uwadze położee węzła fal akustyczej). W laboratorum studeckm błędy systematycze z reguły przewyższają błędy przypadkowe, te ostate ogrywają dużą rolę p. w ćwczeu 9, gdy merzy sę grubość płytk w różych mejscach za pomocą dokładego przyrządu (śruby mkrometryczej). Welokrote powtarzae pomarów, gdy domuje błąd systematyczy, e ma sesu. W takm przypadku dokoujemy tylko 3-5 pomarów w tych samych warukach w celu sprawdzea powtarzalośc. str. 10
Gdy błąd przypadkowy domuje w eksperymece, ależy sprawdzć czy rozkład wyków może być opsay fukcją Gaussa czy też ależy spodzewać sę ego rozkładu. W tym celu dokoujemy welokrotego (p. 100 razy) pomaru w tych samych warukach, oblczamy średą warację rozkładu, rysujemy hstogram, etc. (a aszych zajęcach laboratoryjych e ma czasu a tak dokłade pomary ale musmy przyajmej klkakrote powtórzyć pomar) Jako marę epewośc stosujemy raczej epewość stadardową w przypadku, gdy błąd przypadkowy przewyższa błąd systematyczy lub epewość maksymalą, w przecwym przypadku. W przypadku welkośc złożoej, stosujemy prawo przeoszea błędu (w przypadku, gdy mamy do czyea z epewoścam przypadkowym) lub metodę różczk zupełej (w przypadku epewośc maksymalych lub meszaych). Ważym elemetem sprawozdaa z przebegu eksperymetu ( to e tylko w laboratorum studeckm) jest wykres. Wykresy sporządzamy zgode z dobrym zasadam, pamętając o jedozaczym opse: jeżel zae są podstawy teoretycze badaego zjawska, a wykrese zameszczamy krzywą teoretyczą (la cągła) a tle wyraźych puktów eksperymetalych (doberamy odpowede symbole aosmy epewośc eksperymetale). Ne łączymy lą łamaą puktów eksperymetalych. Możemy wcześej dokoać dopasowaa parametrów przebegu teoretyczego w oparcu o zae metody ftowaa. Zawsze, gdy to możlwe, dokoujemy learyzacj daych eksperymetalych, p. rysując y vs. l(x), lub logy vs. logx, lub y vs. 1/x tp. Do tak przygotowaych daych moża zastosować metodę regresj lowej. str. 11