Rozdział 5 Pole magnetyczne 5.1 Oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki i pzewodniki z pądem 5.1.1 Podstawowe zjawiska magnetyczne W obecnym ozdziale ozpatzymy niektóe zagadnienia magnetostatyki. Magnetostatyką nazywamy tę część nauki o elektomagnetyźmie, któa dotyczy stałych, niezależnych od czasu pól magnetycznych oaz ich oddziaływania z pouszającymi się ładunkami elektycznymi i pzewodnikami z pądem. Źódłem pola magnetycznego są twałe magnesy oaz pouszające się ładunki i pzewodniki z pądem. Pewne elementane fakty z dziedziny magnetyzmu były znane już w staożytności. Magnesy twałe, np. sztabki wycięte z udy magnetycznej, Fe 3 O 4, pzyciągają opiłki żelaza, niklu i kobaltu. Miejsca, któymi magnes pzyciąga najsilniej, nazwano jego biegunami; znajdują się one w pobliżu końców magnesu. Magnes zawieszony swobodnie ustawia się w płaszczyźnie południka geogaficznego; zjawisko to tłumaczy się istnieniem pola magnetycznego Ziemi (ys. 5.1a). iegun magnesu zwócony na północ nazywamy północnym () a zwócony na południe południowym (). ieguny jednoimienne dwóch magnesów odpychają się, a bieguny óżnoimienne pzyciągają (ys. 5.1b, c). stnieje więc analogia między oddziaływaniem ładunków elektycznych a oddziaływaniem biegunów magnesów. Jest ona jednak niepełna biegunów magnesu nie można ozdzielić. Po pzełamaniu magnesu sztabkowego otzymuje się dwa magnesy, z któych każdy posiada oba bieguny. Z tego względu wekto chaakteyzujący pole magnetyczne wygodnie jest zdefiniować w inny sposób, niż wekto natężenia pola elektycznego. 123
124 POLE MAGETYCZE a) b) c) Rysunek 5.1: 5.1.2 iła Loentza. ndukcja pola magnetycznego Pod koniec XX wieku stwiedzono, że na naładowane cząstki pouszające się w polu magnetycznym działa okeślona siła, nazywana obecnie siłą Loentza. Piewsze takie doświadczenia wykonał w 1897 oku J.J. Thomson (Kelvin) z pomieniami katodowymi tj. wiązką pouszających się elektonów. Zgodnie z doświadczeniem, siła F działająca na cząstkę w polu twałego magnesu jest postopadła do wektoa v pędkości cząstki i zależy od jego kieunku względem biegunów magnesu (ys. 5.2a). Można znaleźć taki kieunek wektoa pędkości cząstki (na ysunku od jednego bieguna magnesu do dugiego), że na pouszający się ładunek nie działa żadna siła. Kieunek ten uważamy za kieunek pola magnetycznego, pzy czym siła Loentza jest do niego postopadła. Pzyjęto umownie, że pole magnetyczne jest skieowane od bieguna do bieguna magnesu. Pzy ustalonym kieunku pędkości ładunku watość siły jest wpost popocjonalna do ładunku q cząstki (pzy zmianie znaku ładunku siła zmienia zwot na pzeciwny), do pędkości v cząstki oaz do sinusa kąta α między kieunkiem pola magnetycznego a kieunkiem wektoa pędkości (ys. 5.2b). Zachodzi więc zależność Zapisując siłę Loentza jako F qv sin α. (5.1) F = qv sin α. (5.2)
ODDZAŁYWAE POLA MAGETYCZEGO A ŁADUK... 125 F F +q a) V +q b) V Rysunek 5.2: definiujemy wekto indukcji magnetycznej. Jednostką indukcji magnetycznej jest tesla (T), [] = T = /A m = V s/m 2. Wzó okeślający siłę Loentza można zapisać w postaci wektoowej F = q (v ). (5.3) Po okeśleniu wektoa indukcji magnetycznej można wpowadzić inne wielkości, chaakteyzujące pole magnetyczne. Pzez linie sił pola magnetycznego ozumiemy linie, któe w każdym punkcie pzestzeni mają kieunek styczny do wektoa indukcji magnetycznej i zgodny z nim zwot (ys. 5.3a). Pzebieg linii sił pola magnesu sztabkowego pokazuje schematycznie ys. 5.3b. Mają one podobną postać do linii sił pola elektycznego dwóch óżnoimiennych ładunków o jednakowej bezwzględnej watości. tumień Φ indukcji pola magnetycznego pzez dowolną powiezchnię definiuje się w identyczny sposób, jak stumień pola elektycznego (ys. 5.4), Φ = d. (5.4) Jednostką stumienia indukcji magnetycznej jest webe (Wb), [Φ ] = Wb = T m 2 = m/a = V s. Linie sił stałego pola magnetycznego są zawsze liniami zamkniętymi. W pzypadku pola wytwozonego pzez twałe magnesy wynika to z faktu, że w pzyodzie nie występują oddzielne bieguny magnetyczne. Jak będzie później
126 POLE MAGETYCZE 1 2 1 2 3 3 a) b) Rysunek 5.3: Rysunek 5.4:
ODDZAŁYWAE POLA MAGETYCZEGO A ŁADUK... 127 pokazane, ównież linie sił pola magnetycznego, wywołanego pzez pzepływ pądu stałego, zawsze zamykają się. Zatem stumień indukcji stałego pola magnetycznego pzez dowolną zamkniętą powiezchnię jest ówny zeu Φ = 0, (5.5) co można też zapisać jako d = 0. (5.6) Jest to odpowiednik pawa Gaussa dla pola elektycznego. 5.1.3 iła działająca na pzewodnik z pądem Jak stwiedzono popzednio, na elektyczny ładunek pouszający się w polu elektycznym działa siła. Ponieważ pzepływ pądu pzez pzewodnik polega na uchu w nim ładunków, na pzewodnik z pądem umieszczony w polu magnetycznym powinna ównież działać siła. Zjawisko to odkyli istotnie na początku XX wieku H. Oested i A. Ampè e. Jest ono wykozystywane w wielu uządzeniach technicznych, m. in. w silnikach elektycznych i elektycznych pzyządach pomiaowych. Obliczymy teaz wielkość siły, działającej na postoliniowy odcinek pzewodnika o długości l, pzez któy płynie pąd o natężeniu, umieszczony w polu magnetycznym o indukcji (ys. 5.5). Oznaczając pzez q sumayczny ładunek nośników w wyodębnionej części pzewodnika a pzez v ich pędkość dyfu, siłę tę można wyazić wzoem: Ale z definicji natężenia pądu F = q (v ). (5.7) q = t, (5.8) gdzie t jest czasem pzejścia pzez nośniki ładunku odległości l. Zatem F = t (v ) = [(v t) ]. (5.9) ioąc pod uwagę, że otzymujemy stąd wzó l = v t, (5.10) F = ( l ). (5.11)
128 POLE MAGETYCZE v Rysunek 5.5: W pzypadku pzewodnika o dowolnym kształcie działającą na niego wypadkową siłę można obliczyć, dzieląc pzewodnik na dużą liczbę niewielkich odcinków i sumując siły działające na poszczególne odcinki, tj. wykonując całkowanie po długości pzewodnika. 5.2 Pole magnetyczne pzewodników z pądem 5.2.1 Pawo iota-avata-laplace a a pzewodnik z pądem, umieszczony w polu magnetycznym, działa okeślona siła. Zgodnie z zasadą dynamiki ewtona, identyczna co do watości siła powinna działać ze stony pzewodnika na magnes wytwazający pole. Pzewodnik, pzez któy płynie pąd, jest więc źódłem pola magnetycznego. Magnetyczne działanie pądu odkył w 1820. H. Oested. twiedził on, że igła magnetyczna, umieszczona w pobliżu pzewodnika, wychyla się gdy pzez pzewodnik płynie pąd (ys. 5.6a). yło to piewsze doświadczenie, wykazujące związek między zjawiskami elektycznymi i magnetycznymi. W pzypadku pola magnetycznego postoliniowego pzewodnika linie sił pola są, jak łatwo stwiedzić doświadczalnie, koncentycznymi okęgami a ich zwot okeśla eguła śuby pawoskętnej (ys. 5.6b). Ogólny wzó, umożliwiający obliczenie pola magnetycznego wytwozonego pzez pzewodnik z pądem o dowolnym kształcie, podali uczeni fancuscy
POLE MAGETYCZE PRZEWODKÓW Z PRĄDEM 129 a) b) Rysunek 5.6: J. iot, F. avat i P. Laplace. Wzó ten można wypowadzić, kozystając ze wspomnianej ówności sił działających na pzewodnik z pądem i na biegun magnesu, wytwazającego pole magnetyczne. Poniżej pzytoczymy go bez wypowadzenia. Pawo iota-avata-laplace a okeśla indukcję pola magnetycznego w danym punkcie pzestzeni, pochodzącego od niewielkiego odcinka pzewodnika o długości l, pzez któy płynie pąd o natężeniu (ys. 5.7) Położenie punktu okeśla wekto wodzacy, popowadzony od odcinka pzewodnika. ndukcja magnetyczna wyaża się wzoem = µ 0µ ( l ) 4π 2 (5.12) w któym = / jest wektoem jednostkowym mającym kieunek wektoa. Jak z niego wynika, wekto indukcji jest postopadły do wektoów l i i ma watość liczbową: = µ 0µ l sin α 4π 2, (5.13) gdzie α jest kątem między wektoami l i. ndukcja pola magnetycznego jest wpost popocjonalna do natężenia pądu i do długości l odcinka pzewodnika a odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości danego punktu od odcinka pzewodnika. ndukcję magnetyczną, wytwozoną pzez cały pzewodnik z pądem o dowolnym kształcie oblicza się, sumując wektoy
130 POLE MAGETYCZE ˆ P Rysunek 5.7: indukcji, wytwozone pzez poszczególne elementy pzewodnika, tj. wykonując całkowanie po jego długości. Występujący w powyższych wzoach współczynnik µ 0 nazywa się pzenikalnością magnetyczną póżni. W układzie jednostek ma on wymia [µ 0 ] = T m/a = /A 2 = V s/a m a jego watość liczbowa wynosi µ 0 = 4π 10 7 T m/a. (5.14) atomiast współczynnik µ jest stałą bezwymiaową, zwaną względną pzenikalnością magnetyczną danego ośodka, któa chaakteyzuje jego własności magnetyczne (dla póżni µ = 1, dla ośodka mateialnego µ 1). W magnetostatyce do schaakteyzowania pola magnetycznego używa się, opócz wektoa indukcji magnetycznej, ównież wektoa natężenia pola magnetycznego H. Wektoy te są związane zależnością czyli H = µ 0 µ, (5.15) = µ 0 µ H. (5.16) atężenie pola magnetycznego ma wymia [H] = A/m. W pzypadku pola magnetycznego wytwozonego pzez pzewodnik z pądem z pawa iota- avata-laplace a wynika, że natężenie pola magnetycznego nie zależy od odzaju ośodka, otaczającego pzewodnik. Obliczymy teaz, kozystając z pawa iota-avata-laplace a, indukcję pola magnetycznego w odległości od nieskończenie długiego, postoliniowego pzewodnika, pzez któy płynie pąd o natężeniu (ys. 5.8). ndukcja
POLE MAGETYCZE PRZEWODKÓW Z PRĄDEM 131 l ' O Rysunek 5.8: pola pochodząca od małego odcinka pzewodnika o długości l wynosi = µ 0µ sin α 4π 2 l. (5.17) Ponieważ odległość l odcinka od początku układu współzędnych jest ówna więc długość l można wyazić wzoem l = dl dα α = l = ctg α, (5.18) sin 2 α. (5.19) α Odległość odcinka pzewodnika od punktu P, w któym obliczamy pole, można zapisać jako = (5.20) sin α Podstawiając dwa ostatnie wyażenia do wzou (5.17) otzymujemy = µ 0µ sin α 4π sin 2 α 2 sin 2 α α = µ 0µ sin α α. (5.21) 4π
132 POLE MAGETYCZE Ponieważ kieunki pól magnetycznych od poszczególnych odcinków pzewodnika są jednakowe, watość indukcji pola magnetycznego całego pzewodnika wyaża się całką: = π 0 µ 0 µ sin α dα = µ 0µ π sin αdα. (5.22) 4π 4π 0 Ostatnią całkę można łatwo obliczyć: π 0 sin αdα = ( cos α) π 0 = 2. (5.23) Pole magnetyczne postoliniowego pzewodnika jest więc ówne = µ 0µ 2π. (5.24) Widać, że indukcja pola magnetycznego jest odwotnie popocjonalna do odległości danego punktu od pzewodnika. 5.2.2 Oddziaływanie pzewodników z pądem. Jednostka natężenia pądu Jeżeli umieścimy ównolegle do siebie dwa postoliniowe pzewodniki z pądem, wystąpią miedzy nimi siły pzyciągania lub odpychania, odpowiednio w pzypadku pzepływu pądów w zgodnych lub pzeciwnych kieunkach (ys. 5.9). Każdy z pzewodników wytwaza bowiem pole magnetyczne, któe oddziaływuje na dugi pzewodnik. Obliczymy siłę F, jaką jeden pzewodnik działa na odcinek dugiego pzewodnika o długości l, jeżeli odległość pzewodników wynosi a natężenia pądów są ówne 1 i 2. Piewszy pzewodnik wytwaza pole magnetyczne o indukcji 1 = µ 0µ 1 2π. (5.25) a odcinek l dugiego pzewodnika działa ze stony pola magnetycznego siła (po. wzó 5.11) F = 2 l 1, (5.26) czyli, uwzględniając popzedni wzó, F = µ 0µ 1 2 l 2π. (5.27)
POLE MAGETYCZE PRZEWODKÓW Z PRĄDEM 133 1 2 1 l -F F l 1 1 F 2 2 Rysunek 5.9: iła działająca na odcinek l piewszego pzewodnika ma oczywiście tę samą watość. W układzie jednostek wzajemne oddziaływanie pzewodników z pądem wykozystuje się do zdefiniowania jednostki natężenia pądu ampea. Obliczymy siłę działającą na odcinek pzewodnika o długości l = 1 m, jeżeli pzez każdy z pzewodników płynie pąd o natężeniu 1 = 2 = 1 A, pzy czym znajdują się one w póżni (µ = 1) w odległości l = 1 m. Wynosi ona F = 4π 10 7 /A 2 1A 2 1m 2π 1m = 2 10 7. (5.28) Wynik ten jest zgodny z definicją ampea, podaną w podozdziale 1.1. ależy zwócić uwagę, że pzyjęta w układzie watość pzenikalności magnetycznej póżni µ 0 (wzó (5.14)) wynika z definicji jednostki natężenia pądu. Od watości µ 0 zależy z kolei watość pzenikalności dielektycznej póżni ε 0 (patz wzó (4.14)). Jak można wykazać, pędkość c ozchodzenia się fali elektomagnetycznej w póżni wyaża wzó c = 1 ε0 µ 0. (5.29) Można stąd obliczyć watość ε 0 i watość stałej k, występującej w ównaniach elektostatyki (wzoy (4.10) - (4.14)). Z ostatniego wzou otzymujemy ε 0 = 1 µ 0 c 2, (5.30)
134 POLE MAGETYCZE oaz k = 1 4πε 0 = µ 0c 2 4π. (5.31) Ponieważ z dobym pzybliżeniem pędkość fali elektomagnetycznej c = 3 10 8 m/s, więc k = 4π 10 7 /A 2 (3 10 8 m/s ) 2 4π = 9 10 9 m2 C 2. (5.32) Watość ta zgadza się z podaną w popzednim ozdziale (wzó (4.12)). 5.2.3 Pawo Ampèe a Obliczenie indukcji pola magnetycznego pzewodnika z pądem na podstawie pawa iota-avata-laplace a wymaga całkowania po elementach długości pzewodnika. W pzypadku, gdy pole magnetyczne pzewodnika cechuje wysoki stopień symetii, indukcję pola można niekiedy obliczyć w inny sposób, kozystając z pawa Ampèe a. Jeżeli uważać pawo iota-avata-laplace a za odpowiednik pawa Coulomba w elektostatyce, to odpowiednikiem pawa Ampèe a jest w elektostatyce pawo Gaussa. Pawo Ampèe a, łącznie z pawem Gaussa dla magnetyzmu (wzoy (5.5) - (5.6)), stanowi kompletny układ ównań magnetostatyki. Pzyjmijmy teaz, że pole magnetyczne jest wytwazane pzez nieskończenie długi postoliniowy pzewodnik, pzez któy płynie pąd o natężeniu. ędziemy chcieli obliczyć watość całki z wektoa indukcji magnetycznej po dowolnej kzywej C, obejmującej ten pzewodnik i leżącej w płaszczyźnie postopadłej do pzewodnika (ys. 5.10a). Założymy, że kieunek obiegu kzywej C odpowiada kieunkowi obotu śuby pawoskętnej, któa pzesuwa się zgodnie z kieunkiem pzepływu pądu. Z ysunku 5.10b widać, że całka po małym odcinku kzywej C wyaża się wzoem: s = s cos α, (5.33) w któym α jest kątem między wektoami i s. Zachodzi pzy tym związek s = s cos α (5.34) gdzie s długością zutu wektoa s na kieunek ównoległy do wektoa. Zatem s = s. (5.35)
POLE MAGETYCZE PRZEWODKÓW Z PRĄDEM 135 C C a) b) Rysunek 5.10: Ponieważ watość indukcji pola magnetycznego na ozpatywanym odcinku kzywej wynosi = µ 0µ 2π, (5.36) (wzó 5.24), więc s = µ 0µ s 2π. (5.37) Ostatni czynnik w powyższym wzoze jest ówny kątowi α, okeślającemu długość odcinka s (po. ys. 5.10b), Otzymujemy zatem wzó α= s. (5.38) s = µ 0µ α. (5.39) 2π Wynika z niego, że całka z wektoa indukcji magnetycznej po kzywej C wyaża się wzoem: C czyli wzoem ds = 2π 0 µ 0 µ 2π dα = µ 0µ 2π 2π 0 C dα = µ 0µ 2π, (5.40) 2π ds =µ 0 µ. (5.41)
136 POLE MAGETYCZE Jest to, napisane dla pzypadku pojedynczego postoliniowego pzewodnika, pawo Ampèe a. Pawo Ampèe a jest słuszne w znacznie ogólniejszych pzypadkach, niż wynika to z podanego wypowadzenia. Jeżeli kzywa C obejmuje większą liczbę ównoległych pzewodników postoliniowych, pochodzące od nich pola magnetyczne i całki po kzywej C będą się dodawać lub odejmować, zależnie od kieunku pzepływu pądów. Można ponadto wykazać, że gdy kzywa C nie obejmuje pzewodnika z pądem, całka z wektoa indukcji magnetycznej po tej kzywej jest ówna zeu. Pzez natężenie pądu w ostatnim wzoze należy więc ozumieć algebaiczną sumę natężeń pądów wszystkich pzewodników, któe otacza kzywa C, = l k. (5.42) k=1 Jeżeli pąd w pzewodniku płynie w kieunku uchu śuby pawoskętnej, obacającej się zgodnie z kieunkiem obiegu kzywej C, natężenie pądu uważamy za dodatnie, w pzeciwnym pzypadku za ujemne. Można weszcie udowodnić, że powyższe sfomułowanie pawa Ampèe a pozostaje słuszne w pzypadku gdy pole magnetyczne jest wytwazane pzez układ pzewodników o dowolnym kształcie (niekoniecznie postoliniowych), pzy czym kzywa całkowania C może być dowolną kzywą zamkniętą (niekoniecznie płaską). łownie pawo Ampèe a możemy wyazić jak następuje: Całka z wektoa indukcji pola magnetycznego po dowolnej zamkniętej kzywej jest ówna algebaicznej sumie natężeń pądów w pzewodnikach obejmowanych pzez tę kzywą, pomnożonej pzez iloczyn pzenikalności magnetycznej póżni i względnej pzenikalności magnetyczną ośodka. Zastosujemy teaz pawo Ampèe a do obliczenia pola magnetycznego wewnątz długiego solenoidu, tj. cylindycznej cewki, składającej się z dużej liczby zwojów dutu, twozących linię śubową (ys. 5.11a) Założymy, że długość solenoidu wynosi l, liczba jego zwojów a natężenie płynącego w nim pądu. Wiadomo z doświadczenia, że wewnątz solenoidu, z dala od jego końców, pole magnetyczne jest jednoodne i ma kieunek ównoległy do osi solenoidu. a zewnątz solenoidu jego pole magnetyczne pzypomina pole magnesu sztabkowego. W pobliżu solenoidu, za wyjątkiem jego końców, jest ono niemal ówne zeu. Za kzywą całkowania C wybiezemy postokątny kontu o długości l boku ównoległego do osi solenoidu (ys. 5.11b). Całka
POLE MAGETYCZE PRZEWODKÓW Z PRĄDEM 137 C l' ' l a) b) Rysunek 5.11: z indukcji pola magnetycznego po kzywej C jest ówna ds =l (5.43) C (na fagmentach kontuu postopadłych do osi solenoidu całka znika, ponieważ s). Jeżeli liczba zwojów solenoidu obejmowanych pzez kontu C wynosi, to zgodnie z pawem Ampèe a ds =µ 0 µ. (5.44) Poównując oba wzoy otzymujemy C = µ 0µ l. (5.45) Ponieważ solenoid jest nawinięty ze stałą gęstością zwojów, więc: co daje końcowy wzó l = l, (5.46) = µ 0µ l. (5.47)
138 POLE MAGETYCZE