WŁAŚCIWOŚCI GAZÓW DOSKONAŁYCH I PÓŁDOSKONAŁYCH

Polska Probley Nauk Stosowanych, 016, To 4, s 095 106 Szczecn Prof WSTE dr hab nż Benedykt LITKE Wyższa Szkoła Technczno-Ekonoczna w Szczecne, Wydzał Transportu Saochodowego Hgher School of Technology and Econocs n Szczecn, Faculty of Motor Transport WŁAŚCIWOŚCI GAZÓW DOSKONAŁYCH I PÓŁDOSKONAŁYCH Streszczene Wstęp cele: W pracy przedstawono pojęce gazu doskonałego półdoskonałego Podano prawa Boyle a-marotte a, Gay Lussaca-Charlesa, Aogadra Pokazano równana stanu gazu doskonałego Oówono cepło właścwe, energę wewnętrzną entalpę dla gazów doskonałych półdoskonałych Przedstawono pojęce eszanny gazów doskonałych półdoskonałych Podano prawo Daltona Leduca Opsano udzał asowy klograowy, olowy objętoścowy oraz cśnene cząstkowe, stałą gazową eszanny gazów, gęstość asę olową eszanny Podano zależnośc ędzy udzałe objętoścowy a asowy Materał etody: Materał stanową źródła z lteratury z zakresu terodynak W pracy zastosowano etodę analzy teoretycznej Wynk: Rezultate analzy jest opracowane podane wzorów opsujących równane stanu gazu doskonałego, cepło właścwe oraz energę wewnętrzną gazów doskonałych półdoskonałych W pracy równeż opracowano wzory dotyczące eszann gazów doskonałych półdoskonałych Wnosek: Pojęce gazu doskonałego wprowadzono w celu uproszczena analzy zachowań gazów par rzeczywstych Słowa kluczowe: Gaz doskonały, gaz półdoskonały, właścwośc gazu doskonałego gazu półdoskonałego, równane stanu gazu doskonałego, cepło właścwe, energa wewnętrzna, entalpa, eszanny gazów (Otrzyano: 1001016; Zrecenzowano: 001016; Zaakceptowano: 3001016) ROPERTIES OF PERFECT AND SEMI-PERFECT GASES Abstract Introducton and a: The paper presents the concept of the perfect and se-perfect gas Hae been gen the rghts of Boyle-Marotte, Gay Lussac-Charles and Aogadro The perfect gas law has been shown n the paper Has been dscussed the specfc heat, nternal energy and enthalpy for perfect and se-perfect gases The paper presents the concept of a xture of perfect and se-perfect gases The rght of Dalton and Leduc hae been presented n ths paper In the consderatons has been descrbed pound ass, olar and olue partcpaton Also has been shown a partal pressure, gas constant of the gas xture, densty and olar ass of the xture Has been gen the relatonshp between olue and ass partcpaton Materal and ethods: Materal coers soe sources based on the lterature n the feld of therodynacs The ethod of theoretcal analyss has been shown n the paper Results: The result of the analyss s the elaboraton and presentng soe forulas whch descrbe the equaton of perfect gas, specfc heat and nternal energy of perfect and se-perfect gases In the study also ges soe forulas for the perfect and se-perfect gas xtures Concluson: The concept of a perfect gas was ntroduced to splfy the analyss of the behaor of real gases and apors Keywords: Perfect gas, se-perfect gas, propertes of perfect gas and se-perfect gas, equaton of state of an deal gas, specfc heat, nternal energy, enthalpy, the gas xture (Receed: 1001016; Resed: 001016; Accepted: 3001016) B Ltke 016 Terodynaka / Therodynacs

B Ltke 1 Pojęce gazu doskonałego półdoskonałego Według teor knetycznej, gaz jest to zbór bardzo ałych cząsteczek, będących w cągły ruchu Cząsteczk te zderzają sę ędzy sobą oraz ze ścanka zbornka wskutek czego cągle zenają sę ch wartośc prędkośc oraz kerunk ruchu Ponadto wykonują ruchy rotacyjne (obrotowe) oscylacyjne (tzn drgają atoy w cząsteczce) Cząsteczk posadają określoną objętość własną zachodz ędzy n wzajene oddzaływane sł Pojęce gazu doskonałego wprowadzono w celu uproszczena analzy zachowań gazów par rzeczywstych W pewnych określonych, tzn uarkowanych warunkach, wynk oblczeń uzyskane dla gazów doskonałych są take sae jak dla czynnków rzeczywstych Badana wykazały, że czynnk występujące w technce ceplnej, take jak powetrze, spalny oraz gazy jednorodne przy cśnenach do 3 MPa oraz teperaturach do klkuset stopn ogą być traktowane jak doskonałe Górne grance tych wartośc cśnena teperatury zależą od wyaganej dokładnośc wynków W przypadku par, a szczególne pary wodnej, ożlwość traktowana ch jak gazów doskonałych jest znaczne ogranczona Gaz doskonały spełna następujące założena: cząsteczk są traktowane jak punkty ateralne, węc objętość wszystkch cząsteczek jest pojana w całkowtej objętośc zajowanej przez gaz, ne stneją sły ędzycząsteczkowe, cząsteczk podlegają prawo zderzena kul dealne sprężystych, w cząsteczkach (dot weloatoowych) ne występują drgana atoów, cepło właścwe jest stałe, energa rozkłada sę równoerne we wszystkch stopnach swobody (zasada ekwparycj energ) Gazy spełnające powyższe warunk zachowują sę zgodne z prawa ustalony na podstawe przeprowadzonych dośwadczeń Prawo Boyle a-marotte a Według tego prawa, przy stałej teperaturze, loczyn cśnena objętośc właścwej w dowolny stane jest stały, tzn [1]-[4] Prawo Gay Lussaca-Charlesa p11 = p = const (1) Prawo to określa wpływ teperatury na zanę cśnena objętośc właścwej gazu [1]-[4]: p = p 0(1 + α pt) dla = const, () = (1 + α t) dla p = const (3) 0 gdze p 0 0 oznaczają cśnene objętość właścwą w teperaturze 0 C, α p = 1/73 współczynnk ścślwośc gazu, α = 1/73 współczynnk rozszerzalnośc objętoścowej Na podstawe równań () (3) ożna otrzyać zależnośc wążące ze sobą paraetry gazu w dwóch różnych stanach: przy jednakowej objętośc właścwej, tzn 1 = : p1 = p 0(1 + α pt 1), (4) 96

Właścwośc gazów doskonałych półdoskonałych Po podzelenu strona równośc (4) (5) otrzyujey: a poneważ 73 + t = T, to p = p 0(1 + α pt ) (5) t1 1 p 1+ α 1 pt + 1 73 73+ t1 = = =, p t 1+ α pt 1+ 73 + t 73 p1 T 1 p (6) = T (7) postępując analogczne, gdy p 1 = p, z równana (3) otrzyano zależność: 1 T 1 = T (8) Prawo Aogadra Prawo Aogadra głos, że w jednakowych objętoścach dowolnych gazów zawarta jest taka saa lczba cząsteczek N, jeśl cśnena teperatury są jednakowe Na podstawe tego prawa uzyskuje sę pewne zależnośc, które ają duże znaczene w terodynace Stosunek as dwóch dowolnych gazów doskonałych 1 N1M 1 = N M (9) Jeżel asy tych gazów zajują jednakowe objętośc oraz cśnena teperatury są sobe równe, to zgodne z prawe Aogadra lczby cząsteczek w obu objętoścach są jednakowe, tj N 1 = N wówczas [1]-[4]: Masy ożna zastąpć zależnośca: otrzya sę 1 M 1 = M (10) 1 = V ρ 1, (11) = Vρ (1) M ρ = = M ρ (13) 1 1 1 Zastępując gęstość objętoścą właścwą, według zależnośc 1 = ρ (14) ożna napsać lub M 1 = (15) M 1 M11 = M = V M (16) 97

B Ltke Welkość V M przedstawa objętość zajowaną przez 1 kol gazu dla wszystkch gazów jest jednakowa w takch saych warunkach W warunkach noralnych fzycznych objętość olowa dowolnego gazu wynos: 3 VM, 4135 ; [V M ] [ / kol] W warunkach noralnych techncznych (wg ISO) = = (17) 3 VMt,7106 ; [V Mt ] [ / kol] = = (18) Gaz doskonały w który uwzględna sę zanę cepła właścwego w zależnośc od teperatury nazwano gaze półdoskonały Cepło właścwe gazu zwązane jest z ntensywnoścą drgań atoów w cząsteczkach, która zależna jest od teperatury Stąd wynka wnosek, że cepło właścwe gazów jednoatoowych ne zależy od teperatury tzn jest stałe dla danego gazu Równane stanu gazu doskonałego Stan terodynaczny gazu określany jest pewną loścą paraetrów terodynacznych W przeanach występujących w technce, jak wykazuje dośwadczene, stan terodynaczny opsywany jest w stopnu wystarczający za poocą cśnena, teperatury objętośc właścwej Można wykazać, że stneje ścsła zależność ędzy ty paraetra w różnych stanach przeany Przeana pokazana na rysunku 1 przebega najperw przy stałej teperaturze, następne przy stały cśnenu p 1 T = const 3 p = const Rys 1 Przebeg przean przy wyprowadzanu równana stanu gazów doskonałych Źródło: Opracowane Autora Fg 1 The course of transforaton n derng the equaton of state for deal gases Source: Elaboraton of the Author Korzystając z warunku (1) prawa Boyle a-marotte a ożna napsać dla przeany 1-3 [1]-1[4]: p11 = p3 3, (19) a dla przeany -3 według wyrażena (5) prawa Gay Lussaca [1]-[4]: T 3 3 = (0) T Po wyznaczenu z powyższego równana 3 podstawenu do poprzednego T = (1) 3 p11 p3 T 98

Właścwośc gazów doskonałych półdoskonałych Poneważ p 3 = p, () T 3 = T 1, (3) a po odpowednch podstawenach otrzyano ostateczną zależność: p11 p p = = = const (4) T T T 1 Dla dowolnego stanu określonego rodzaju gazu, wyrażene (4) jest welkoścą stałą zostało nazwane stałą gazową oraz oznaczone lterą R: lub p J R =, [R] = T kg K p (5) = RT (6) Jest to równane stanu gazu doskonałego nazwane równane Clapeyrona, dla 1 kg gazu Dla asy kg gazu równane (6) a postać: Poneważ p = RT (7) = V (8) tzn całkowtą objętoścą zajowaną przez kg gazu otrzyay: pv = RT (9) W przypadku, gdy asa gazu jest równa 1 kol tj =M, to wówczas V = V M, a równane stanu gazu a następującą postać: pvm = MRT (30) Przy określonych wartoścach p T objętość V M a jednakową wartość dla wszystkch rodzajów gazów, węc loczyn MR jest równeż wartoścą stałą nezależną od rodzaju gazu: MR = B (31) Stałą B nazwano unwersalną stałą gazową a jej wartość wynos: J B = 8314,3; [B] = kol K Równane stanu dla 1 kola dowolnego gazu ostateczne a postać: pvm (3) = BT (33) Z zależnośc (31) ożna łatwo określć wartość stałej ndywdualnej gazowej R znając rodzaj substancj a ty say asę olową: Równane stanu gazu dla n klool będze następujące: B R = (34) M pv = nmrt = nbt (35) Welkość V w równanu (35) przedstawa objętość równą nv M 99

B Ltke 3 Cepło właścwe gazów doskonałych półdoskonałych Cepło wyenane z otoczene podczas przeany oże być wyznaczone dwoa sposoba: z blansu energetycznego, jeśl znane są zana energ wewnętrznej U oraz praca L, na podstawe znajoośc zany teperatury układu W ty sposobe us być znany współczynnk proporcjonalnośc ędzy przyroste teperatury a loścą cepła wyenonego Ten współczynnk proporcjonalnośc nazywa sę pojenoścą ceplną układu: 100 dq C = dt (36) Pojeność ceplna 1 kg asy substancj nazywa sę cepłe właścwy 1 dq dq J c = =, [c] = dt dt kg K Wartość cepła właścwego zależy od rodzaju gazu warunków przeany W terodynace techncznej posługujey sę dwoa rodzaja cepła właścwego: cepło właścwe przy stałej objętośc dq c =, dt (38) cepło właścwe przy stały cśnenu oraz (37) dqp c p = (39) dt Cepło właścwe oże być równeż odnesone do lośc substancj równej 1 klool wynos: c pm = Mc p, (40) c M = Mc (41) W terodynace częste zastosowane a stosunek cepeł właścwych: cp c = κ (4) Wartość cepła właścwego olowego oraz współczynnka κ, nazywanego też wykładnke κ, zależy od lczby atoów w cząsteczce W wynku dośwadczeń ustalono wartośc tych welkośc gazy jednoatoowe gazy dwuatoowe 3 Mc = B, (43) 5 Mcp = B, (44) 5 κ = = 1,67 3 (45)

Właścwośc gazów doskonałych półdoskonałych gazy trójatoowe 5 Mc = B, (46) 7 Mcp = B, (47) 7 κ = = 1,4 5 (48) 6 Mc = B, (49) 8 Mcp = B, (50) κ = 1,33 (51) Z powyższego wdać, że wartość cepła właścwego przy stały cśnenu jest zawsze wększa nż przy stałej objętośc, tzn cp 1 c > (5) Przy stały cśnenu, cepła właścwe c p c gazów dwu weloatoowych zwększają sę przy wzrośce teperatury a gazów jednoatoowych są stałe Stosunek cepeł właścwych κ gazów weloatoowych aleje ze wzroste teperatury Można wykazać, że ędzy cepłe właścwy przy stały cśnenu cepłe właścwy przy stałej objętośc, a stałą gazową zachodz zależność: oraz, na przykład, dla gazu dwuatoowego cp c = R, (53) Mc Mc = MR = B (54) p 7 5 B B = B (55) Cepło właścwe gazów półdoskonałych jest funkcją teperatury t oże być oblczone z zależnośc: cp a bt ct = + + +K (56) Wartośc współczynnków a, b, c zaeszczone są w wydawnctwach dotyczących terodynak Dla gazu półdoskonałego słuszna jest równeż zależność (53) co pozwala określć wartość c dla określonego rodzaju gazu W praktyce wygodne jest posługwać sę średn cepłe właścwy dla rozpatrywanego zakresu teperatur, którego wartośc podawane są w tablcach Średną wartość cepła właścwego podaje sę w następujący sposób, np T T1 c, [c ] = [kj/kg K] Jeżel znana jest zależność ędzy cepłe właścwy a teperaturą c = f(t), wówczas średne cepło właścwe ożna wyznaczyć w następujący sposób: t t1 c dt c = t t 1 W tak sa sposób oże być oblczone c p (57) 101

B Ltke 4 Energa wewnętrzna entalpa gazów doskonałych półdoskonałych Dośwadczena Joule a nnych badaczy dowodły, że energa wewnętrzna oraz entalpa gazów doskonałych półdoskonałych są funkcja tylko teperatury, natoast entalpa gazu rzeczywstego zależy równeż od cśnena Korzystając z równań perwszej zasady terodynak dla układów zaknętych otwartych ożna wyprowadzć wzory do oblczana wyżej wyenonych welkośc W zagadnenach techncznych przeważne wyagana jest znajoość przyrostu energ wewnętrznej lub entalp gazu W przeane o stałej objętośc właścwej, tzn gdy cepło wyany wynos dq d = 0, (58) = c dt, (59) a równane I zasady terodynak dla układów zaknętych przyje postać: gdyż oraz Przyrost energ wewnętrznej wynese: Wyznaczając z zależnośc welkość oraz korzystając z równana stanu gazu otrzyano du = dq = c dt, (60) T pd = 0 (61) u u = c dt = c (T T ) (6) 1 1 T1 c c R (63) p = c cp κ = (64) c = R κ 1 (65) RT = p (66) 1 p p κ 1 κ 1 1 1 u u1 = R(T T 1) = W zastosowanach techncznych zwykle określa sę przyrost energ wewnętrznej od uownego pozou zerowego (u 1 = 0), który przeważne odpowada teperaturze t 1 = 0 C, tj T 1 = 73 K Przy tak założenu, zależność (6) ulegne uproszczenu do postac: gdyż różnca (67) u = c t (68) T 73 = t 0 = t (69) 10

Właścwośc gazów doskonałych półdoskonałych W przypadku gazu półdoskonałego (c = f(t)), stałe cepło właścwe we wzorze (68) należy zastąpć średn cepłe właścwy, węc t u = c t (70) o Postępując analogczne, ożna wyprowadzć zależnośc do oblczana entalp w przeane o stały cśnenu, tzn gdy dp = 0 Z drugej postac równana I zasady terodynak otrzya sę dla gazu doskonałego zależność: Przyrost entalp a postać: d = dq = c dt (71) T p 1 p p 1 T1 Po odpowednch podstawenach otrzyujey: p = c dt = c (T T ) (7) κ κ 1 = R(T T) = (p p1 1) = κ(u u 1) κ 1 κ 1 Ponadto z równana defncyjnego entalp, tj wynka zależność (73) = u + p = u + RT (74) 1 = u u1 + R(T T 1) (75) Przy założenu, że w teperaturze t 1 = 0 C entalpa 1 = 0 wzór (7) przyje postać: a dla gazu półdoskonałego: = cpt, (76) t = c t (77) p o 5 Meszanny gazów doskonałych półdoskonałych Meszanny różnych rodzajów gazów spotyka sę dość często Przykłade ogą być powetrze lub spalny Gazy ają tę właścwość, że łatwo eszają sę ze sobą po odpowedno dług czase wskutek dyfuzj eszanny ają jednorodny skład Prawo Daltona głos, że każdy ze składnków eszanny gazów doskonałych lub półdoskonałych zachowuje sę tak, jakby sa zajował całą objętość wywera cśnene ndywdualne nazwane cśnene cząstkowy p Wobec tego całkowte cśnene eszanny w zbornku jest suą cśneń cząstkowych poszczególnych gazów: p = p (78) Natoast prawo Leduca twerdz, że objętość eszanny gazów doskonałych półdoskonałych jest suą objętośc jego składnków, występujących oddzelne pod cśnene w teperaturze eszanny: V = V (79) 103

B Ltke W zastosowanu do gazów rzeczywstych są odstępstwa, przy czy wększe błędy dotyczą prawa Daltona nż prawa Leduca Do określena lośc poszczególnych gazów w eszanne służą udzały: Udzał asowy klograowy Sua udzałów asowych jest równa jednośc: Udzał asowy olowy Udzał objętoścowy g = (80) g = 1 (81) n z =, n (8) z = 1 (83) V r, V r = 1 (85) = (84) W przypadku gazów rzeczywstych ne zawsze sua udzałów objętoścowych jest równa 1 Korzystając z praw Daltona Leduca oraz defncj udzałów ożna wyprowadzć zależnośc do określana różnych welkośc dotyczących eszann: Cśnene cząstkowe Na rysunku przedstawono paraetry gazów w zbornku przed po zeszanu a) a b) b V 1, p, T, p, T V V, p, T, p, T V 3 Rys Paraetry gazów w zbornku: a) przed zeszane, b) po usunęcu przesuwnych przegród Źródło: Opracowane Autora Fg Paraeters of gas n the tank: a) before xng, b) after reoal of the sldng baffles Source: Elaboraton of the Author 104

Właścwośc gazów doskonałych półdoskonałych Równane stanu gazu dla składnka : przed zeszane (Rys a): po zeszanu (Rys b): pv = R T (86) pv = R T (87) Po przyrównanu lewych stron powyższych wyrażeń otrzyano: z tego Stała gazowa eszanny gazów pv = pv, (88) V p = p = r p V (89) W wynku zsuowana równań (87) dotyczących wszystkch gazów eszanny otrzyay: p V = R T (90) Po wynesenu stałych V T przed znak suowana Poneważ (91) V p = T R p = p (9) oraz R = R (93) równane stanu dla eszanny gazów a postać pv = R T (94) Z zależnośc (93) ożna wyznaczyć stałą gazową eszanny: Gęstość eszanny R R g R (95) = = 1 + + K ρ 1V1 + ρ V + K ρ = = = V V V Po podzelenu przez V 1 1 1 1 V V (96) ρ = ρ V + ρ V + K = ρ r + ρ r + K = ρ r (97) gdze ρ 1, ρ są gęstośca składnków przy całkowty cśnenu p oraz teperaturze T eszanny Masa olowa eszanny gazów Poneważ według zależnośc (13) asy olowe są proporcjonalne do ch gęstośc ożna na podstawe analog z zależnoścą (94) napsać: M = Mr (98) 105

B Ltke Prawo Aogadro dla eszanny a postać: a 1 kol eszanny zajuje objętość olową V M Zależność ędzy udzałe objętoścowy a asowy M R = B (99) Po podzelenu równośc (87) strona przez równość (94) otrzyay: a po uproszczenu Ostateczne lub pv R T, pv = (100) R T V R = (101) V R R r = g (10) R R = (103) g r R Korzystając z zależnośc (31), po podstawenu wyrażeń na stałą gazową R do równana (103) otrzya sę nny zwązek do przelczana udzałów: Cepło właścwe eszanny M = (104) g r M Cepło właścwe 1 kg eszanny gazów określa sę w następujący sposób: K (105) u = c t = g u = g c t = t(g c + g c + ), 1 1 c = g c + g c + K = g c, (106) skąd 1 1 c = g c + g c + K = g c (107) p 1 p1 p p Cepła właścwe odnesone do jednostk objętośc: Cp = rc p, (108) lub C = rc (109) 6 Wnosek Pojęce gazu doskonałego wprowadzono w celu uproszczena analzy zachowań gazów par rzeczywstych Lteratura [1] Ochęduszko S: Terodynaka stosowana Warszawa: WNT, 1974 [] Stanszewsk B: Terodynaka Warszawa: PWN, 1986 [3] Szargut J: Terodynaka Warszawa: PWN, 000 [4] Wśnewsk S: Terodynaka technczna Warszawa: WNT, 1999 106